对初等数论课程中核心概念的本质把握
一切解和一切整数解的区别初等数论
一、概述初等数论是数论中的重要分支，研究的对象常常是整数解或有理数解。
其中，一切解和一切整数解是初等数论中的重要概念，其区别对于数论研究具有重要的意义。
二、一切解和一切整数解的定义1. 一切解：对于一个方程或不等式，如果其解可以取任意的实数值，则称其有一切解。
2. 一切整数解：对于一个方程或不等式，如果其解可以取任意的整数值，则称其有一切整数解。
三、一切解和一切整数解的关系1. 一切整数解一定是一切解，即对于一个方程或不等式如果其有一切整数解，则一定有一切解。
2. 一切解不一定是一切整数解，即对于一个方程或不等式如果其有一切解，则不一定有一切整数解。
四、一切解和一切整数解的性质1. 一切解的存在性：对于某些方程或不等式，可能存在一切解，也可能不存在一切解。
2. 一切整数解的存在性：对于某些方程或不等式，可能存在一切整数解，也可能不存在一切整数解。
五、一切解和一切整数解的应用1. 一切解和一切整数解的研究可以帮助数学家更好地理解方程的解的分布规律，从而推导出一些重要的结论。
2. 一切解和一切整数解的理论在数论中具有重要的应用价值，可以用于解决一些重要的数论问题。
六、结论一切解和一切整数解是初等数论中的重要概念，对于数论研究具有重要的意义。
通过对一切解和一切整数解的研究，可以帮助数学家更好地理解方程的解的分布规律，并推导出一些重要的数论结论。
一切解和一切整数解的理论在数论中具有重要的应用价值，可以用于解决一些重要的数论问题。
七、一切解的研究1. 在数论中，一切解是一个重要的研究对象。
通过探究一切解的性质和特点，数学家们可以更好地理解方程或不等式的解的范围和分布规律。
在代数方程组的研究中，研究其一切解的性质可以帮助我们确定方程组解的范围，从而有助于解决代数方程组相关的问题。
另外，在不等式的研究中，研究一切解可以帮助我们分析不等式的解的分布情况，进而得出一些重要的数学结论。
2. 不同类型的方程和不等式可能具有不同的一切解的性质。
对义务教育阶段数学课程标准中十大核心概念的认识
对义务教育阶段数学课程标准中十大核心概念的认识义务教育阶段数学课程标准中的十大核心概念是数学教育的重要组成部分，对于学生数学素养的培养具有重要意义。
这些核心概念包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想、以及应用意识和创新意识。
下面我将对每个核心概念进行详细的阐述。
1.数感：数感是指对于数的感知和领悟能力，如对于整数、小数、分数和百分数的理解和运用。
数感的培养有助于学生更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力，同时也有助于发展学生的数学思维。
2.符号意识：符号意识是指对于数学符号的理解和运用能力，如对于加法、减法、乘法和除法等符号的掌握和运用。
符号意识的培养有助于学生更好地理解和运用数学符号，提高数学表达和交流的能力。
3.空间观念：空间观念是指对于空间和几何图形的理解和想象能力，如对于平面图形、立体图形、对称和旋转等概念的理解和运用。
空间观念的培养有助于学生更好地理解和运用几何知识，提高空间思维和想象能力，同时也为后续的几何学习打下基础。
4.几何直观：几何直观是指通过几何图形和图象的观察和理解，帮助人们理解和解决数学问题的一种思维方式。
几何直观的培养有助于学生更好地理解数学问题，提高解决问题的能力，同时也为后续的数学学习和职业发展打下基础。
5.数据分析观念：数据分析观念是指对于数据的分析和理解能力，如对于统计图表、概率和频率等概念的理解和应用。
数据分析观念的培养有助于学生更好地理解和运用数据，提高数据处理和分析的能力，为后续的学习和工作打下基础。
6.运算能力：运算能力是指对于数学运算的理解和运用能力，如对于加减乘除等运算的理解和运用。
运算能力的培养有助于学生更好地理解和运用数学运算知识，提高计算和解决问题的能力。
7.推理能力：推理能力是指通过已知的数学事实或前提，推导出新的数学结论或证明某一命题的能力。
推理能力的培养有助于学生更好地理解数学中的逻辑关系，提高数学思维的严谨性和准确性。
新课标十大核心概念解读
• 运算符号，如＋、－、×、÷等；
• 结合符号，如（）、[ ]等；
• 单位符号，如角的计量单位“°”、长度计量单位“cm” “dm”“m”等；（7）其他特定符号，如小数点“.”、百分号 “%”、分数线“—”等。
数学符号的表达是多样化的：
• 数字、字母、图象、关系式等构成了符号 系统。
精彩观点分享：
• 数感指的是一个人对数字和运算的一般理 解力，以及灵活地应用这种理解力的倾向 和能力，用这种方式可以做出明智的数学 判断，并开发出数字和运算法则的有效策 略。
• 仅仅教给孩子们相互独立的计算程序已经 远远不够，教会他们如何找出数字之间的 联系则成为数学教学的当务之急。
• 当教师把数学学习看作是过程和结果相互 联系的逻辑结构，而不是仅仅传授标准计
• 解决问题——用于建立数学模型的基础， 推测结论。
（二）符号意识所包含的内容
• 能够理解并且运用符号表示数、数量关系 和变化规律。
• 两层含义： • 一是能够理解符号所表示的意义。 • 二是能够运用数学符号去表示数学对象。
（对数学符号不仅要‘懂’，还要会 ‘用’）
数学符号的种类可以简单地划分为：
• 数学符号不仅是一种表示方式，更是与数 学概念、命题等具体内容相关的、体现数 学基本思想的核心概念，发展学生的符号 意识是数学教学的重要目标。
数学符号的作用主要包括：
• 表示数量关系（规律）——表示公式、解 释关系，说明规律；
• 延伸思维过程——通过实施运算和推理； 借助符号，人们可以将看不见的思维过程 转化为可视的符号操作过程，便于深入进 行思维。
---《小学数学教师》2012年第12期
案例：
• 简算，让数感的培养浸润在精心设计的每 道题、每个数中
初中数学核心概念
初中数学核心概念初中数学核心概念初中数学是中学的重要组成部分，它是学生数学知识发展的重要阶段，也是奠定高中数学基础的阶段。
初中数学的核心概念是指基础性的概念，理解和掌握这些概念是学生成功学习数学的关键。
下文将按类划分介绍几个初中数学的核心概念。
1.数的分类数是初中数学的重要组成部分，对于数的分类是初中数学的基础。
数可以分为整数、分数、小数、实数等等。
初中数学应该掌握各种数的概念，例如：实数可以由有理数和无理数组成，有理数包括整数、分数和小数，无理数是不能被表示为整数或分数形式的数字等等。
深入理解数的概念，对于学生成为数学高手是非常必要的。
2.代数式代数式是初中数学中重要的一环，因为它是式子、方程式和不等式的基础。
代数式指的是由变量和常数构成的符号式子。
初中数学应该掌握代数式的基本概念，例如：常数、变量、系数和幂。
学生应该能够理解代数式中运算的基本法则，如加、减、乘、除等，以及代数式之间的运算法则。
3.几何图形几何图形是初中数学的重要组成部分，因为它是生活中最基本的图形，涉及到日常生活的方方面面。
初中数学应该掌握几何图形的基本概念，例如：点、线、面、角、圆等等。
学生应该了解不同图形之间的关系，例如：对称、相似和共轭等等。
4.统计学统计学是初中数学中重要的一环，它是数学、社会科学和自然科学都必需的基本技能之一。
初中数学应该掌握统计学的基本概念和方法，例如：数据集的收集和分析、频率和比例等等。
学生应该学会使用统计图表来演示数据集，并通过统计学方法来探讨数据集的特征。
以上是初中数学的核心概念，深入掌握这些概念，能够为学生的数学知识打下坚实的基础，促使学生取得更高的数学成绩。
初中数学对于学生的未来发展将产生重要的影响。
《初等数论》教学大纲
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论基本思想方法总结
初等数论基本思想方法总结初等数论是研究整数性质及其关系的数学分支，它包括了数的整除性质、最大公因数、素数分解等基本概念和理论。
初等数论的基本思想方法总结如下：1. 数的分类：在初等数论中，数的分类是非常重要的一步。
我们把整数分为偶数和奇数、正整数和负整数、完全平方数和非完全平方数等等。
这样的分类有助于我们更好地理解和描述数的性质。
2. 递归思想：初等数论中经常使用递归思想。
例如，整数的定义是基于自然数的递归定义。
在证明一些性质的时候，我们也可以使用数的递归性质来进行推导。
递归思想在解决问题时，常常能够将复杂的问题简化为简单的子问题。
3. 数的整除性质：整除是初等数论最基本的概念之一。
在初等数论中，我们要研究一个数能否被另一个数整除、两个数的最大公因数等问题。
对于整除性质的研究，我们常常使用带余除法、最大公因数等概念和定理。
4. 素数和合数：素数和合数是初等数论中重要的概念。
我们称大于1且只能被1和它本身整除的数为素数，否则我们称之为合数。
素数的性质在初等数论中有着重要的地位，素数分解定理将任意一个正整数表示为若干个素数的乘积，具有重要的理论和应用价值。
5. 辗转相除法：辗转相除法是初等数论中常用的算法之一。
它用于求两个数的最大公因数，通过不断地进行除法运算，将两个整数的最大公因数转化为较小整数的最大公因数，直到其中一个数为0为止。
6. 数的因子分解：在初等数论中，我们常常需要将一个数分解为几个素数和幂的乘积。
这种分解是数的因子分解，可以通过素数分解定理和辗转相除法来实现。
7. 同余：同余是初等数论中重要的概念和方法之一。
两个整数除以一个正整数所得的余数（都是非负整数）相等，我们就说这两个数对于这个正整数是同余的。
同余关系可以用来刻画整数的性质和关系，也可以用来解决一些问题。
8. 数的循环节性：在初等数论中，很多整数序列会出现循环节。
例如，10进制小数中的循环节、数的幂的个位数循环节等等。
这样的循环节性质可以通过数的除法和模运算来进行研究和验证。
数学专业的核心概念
数学专业的核心概念数学作为一门科学，是研究数量、结构、变化以及空间等概念和模式的学科。
它在科学、工程、经济学等领域中起着不可替代的作用。
数学的核心概念是指那些基础且关键的概念，对于理解和应用数学知识是至关重要的。
本文将对数学专业中的核心概念进行探讨和解析。
一、集合论集合论是数学的基础，它研究的是元素的总体组成。
集合是指具有某种特征而被归类在一起的事物的总体。
在数学中，集合用大写字母表示，元素则用小写字母表示。
集合之间可以进行交、并、补等运算，通过这些运算可以建立数学中的基本关系和逻辑。
二、数论数论是研究整数的性质和结构的学科，它是数学中最古老的分支之一。
数论的核心概念包括素数、整除、同余等。
素数是只能被1和自身整除的数，整除是指一个数能够被另一个数整除而没有余数，同余是指两个数在除以同一个数时的余数相等。
三、代数学代数学是研究代数结构的学科，它研究的是数学对象的抽象性质。
代数学的核心概念包括代数系统、群、环、域等。
代数系统是一种运算封闭的集合，群是满足一定运算法则的代数系统，环是在加法和乘法运算下构成的代数系统，域是满足特定条件的交换环。
四、微积分微积分是研究变化和积分的数学学科，它是物理学和工程学中必不可少的工具。
微积分的核心概念包括极限、导数和积分。
极限是数列和函数在趋近某个值时的行为，导数是函数在某一点处的变化率，积分是函数在某一区间上的累积量。
五、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象规律的学科，它在金融、统计学等领域中应用广泛。
概率论的核心概念包括概率、随机变量和概率分布。
概率是描述事件发生可能性的数值，随机变量是随机试验结果的映射，概率分布是随机变量取值的概率规律。
六、线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的学科，它在机器学习、图像处理等领域中有着广泛的应用。
线性代数的核心概念包括向量、矩阵、特征值和特征向量等。
向量是有大小和方向的量，矩阵是由数按矩形排列而成的表格，特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
掌握中学生数学核心概念的七个窍门
掌握中学生数学核心概念的七个窍门数学是学习科学中的一门重要学科，对培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力具有极大的帮助。
然而，许多中学生在学习数学的过程中常常感到困惑和无助。
其实，只要我们能够掌握数学的核心概念，就能够事半功倍地学好数学。
本文将介绍七个掌握中学生数学核心概念的窍门，帮助学生在数学学习中取得更好的成绩。
一、建立坚实的基础学好数学，首先要建立起坚实的基础。
数学是一个渐进的学科，后面的知识往往基于前面的知识来推导。
因此，我们要注重对基础概念和基本原理的理解和掌握，打好数学的基础。
二、理解数学概念数学概念是数学学习的基石。
学生在学习数学时，要注重理解数学概念的内涵。
不仅要知道概念的表层含义，还要深入思考概念的内在联系。
只有真正理解了数学概念，才能运用自如，灵活应用于实际问题的解决中。
三、掌握关键定理和公式在数学学习中，常常会遇到一些关键定理和公式。
掌握了这些定理和公式，可以大大节省我们学习的时间和精力。
因此，我们要注重学习和掌握关键定理和公式，使其成为我们解决问题的有力工具。
四、善于归纳总结数学是一个非常系统和规范的学科，善于归纳总结是学好数学的关键。
在学习数学时，要善于总结和归纳，将已学过的知识和方法进行分类整理，并形成自己的学习笔记。
这样可以更好地加深对数学概念的理解和记忆，提高数学解题的能力。
五、经常练习数学是一门需要反复练习的学科。
通过大量的题目练习，可以巩固已学过的知识，熟练掌握解题方法。
数学是需要动手实践的学科，只有不断练习，才能真正掌握数学核心概念。
六、培养逻辑思维数学学习强调的是逻辑思维能力的培养。
中学生在学习数学时，要注重培养逻辑思维，灵活运用推理、推断等方法解决问题。
培养逻辑思维能力，不仅有助于数学学习，也对其他科学学科的学习具有积极的促进作用。
七、寻找数学的乐趣数学是一门非常有趣的学科，也是一门需要发现的学科。
学生在学习数学时，要善于发现问题背后的规律和美妙之处，体会到数学的乐趣。
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２ １ ０ ２正
高 师 理 科 学 刊
Ｊｕ ａ ｆＳ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ Ｃ ｌ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ｃｅ ｃ ｆ ｎ Ｔｅｃ ｅｓ ｏｌ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｅ ｙ
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ４ １３ ．
７月
Ｊ１ ２ １ ｕ． ０ ２
２ 对 三组核心概念 的本质特征 的把握
２１ 最大 公 因数与最 小公 倍数 ．
通常各种版本 的教材引入最大公 因数概念的定义是 ： 定义 １ 整数 ａ， …， ａ ， ａ 的公共因数称为ａ， ： …， ａ ， ａ 的公因数．不全为零的整数 ａ， ， ， …
作为大学数学课程 ， 初等数论介绍有关整数的一些基础知识和基本理论 ， 是培养和发展学生创新思维 、 合情推理、逻辑思维 、发散思维能力 的一个相 当实用和不可多得 的知识载体ｕ ． 卅
另外 ， 初等数论课程包含了现行基础教育新课程标准下高中数学选修系列四中 “ 初等数论初步” 模块 的全部内容 ，同时数论在信息安全中的应用也是高中数学选修系列三中 “ 信息安全与密码”模块的基本内 容，因此该课程对培养中学数学教师和从事数学研究也具有特别重要 的作用．
此可得 到推 论 １ ．
推论 １ 设Ｃ １ａ， ａ 的一个公因数，则ｃ ， ２ …， ． 是ａ， ２ …， １ ａ， ａ）
推论 １ 刻画了最大公因数的本质特征 ： 最大公因数不但是公因数中最大的， 而且是所有公因数的倍数 ；
也揭示出最大公因数概念中 “ 最大”的涵义实质是针对整除关系而言 ，而不是指形式上的大小关系 ，当然 从大小 比较也确实是最大．为此可获得最大公 因数 的一个等价定义 （ 刻画本质特征 ） ：
中图分 类号 ：０１１： ６２０ ５ Ｇ ４． 文献标 识码 ：Ａ ｄ ０３６／ｉ ｎ１０— ８ １ ０ ２０．２ ｏ：１．９９ｊｓ ．０７ ９３ ． １． ０３ Ｊ ．ｓ ２ ４
Ｇｒ ｓ ｉｇｔ ｅｎ ｔ ｒ ｆ ｏ ｅｃ ｎ ｅ ｔ ｉ ｌｍｅ ｔｒ ｕ ｅ ｅ ｒ ａ ｐ ｎ ａｕ ｅｏ ｒ ｏ ｃ ｐ ｓ ｎ ｅｅ ｎ ａ ｙｎ ｍｂ ｒ ｈ ｏ ｈ ｃ ｔ ｙ
口，
．
由定理 ３ 可获知一个重要事实 ： 两个整数的任意公倍数都可 以被它们 的最小公倍数整除．这一事实刻
画了两个整数的最小公倍数的本质特征 ： 【 ｂ等价于ａ ，ｂ Ｉ 且对于任意ｃ Ｚ， ｌ，纠 ， ｍ＝ａ 】 ， ｉ ｍ， ｍ ∈ 若口 ｃ ｃ 则 必有 ｍ 成立． ｌ ｃ 反复利用上述事实可得，对于任意的ｎ 个整数 ａ， …， ａ ， ａ ，作 【 ， ＝ ２ ２ ａ】 ｍ ，…， ａ ａ】 ｍ ， ， ３＝ １ ａ ＝ ，【 ， ＝ 】 ｍ ｍ ａ 】 ｍ ，则 １ａ， ａ】 ， ２…， ＝ｍ ．从而有推论 ２ ．
ＸＩ ｏ ｇ － ｉ Ｅ Ｈ ｎ —ｍｅ （ ｃｏｌｆ ｏｍ ｌ ｈｈｚＵ ｉ ｒｉ ，Ｓｉｅｉ ３０ ３ ｈｎ ） ＳｈｏｏＮ ｒａ，Ｓｉｅｉ ｎ ｅｓｙ ｈｈｚ８２ ０ ，Ｃ ｉａ ｖ ｔ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｄｅ ｃ ｂ ｄ ａ ｆ ｃｉ ｅｗａ ｅ ｅ ｌ ｈ ａｕ ｅｐ ｏ ｅ ｔ ｆ ｏ ｃ ｐ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｈ ｗ ｔ ｒ ｓ ｅ ｅ ｓ ｎ ｉｌ ｓ ｃ： ｒ ｓ ｒ ｅ ｎ ｅ ｅ ｔ ｙｔ ｒ ｖ ａ ｅ ｎ ｔ ｒ ｒ ｐ ｒｙｏ ｎ ｅ ｔ ， ｉｃ ｓ ｅ ｏ ｇ ａ ｐ ｔ ｓ ｅ ｔ ｉ ｖ ｏ ｔ ｃ ｏ ｈ ａ
文 章编 号 ：１ ０ — ８ １（ ０ ２） ４ ０ ７ － ０ ７ ９ ３ ２ １ ０ — ０ ３０ ４
对初 等数论课程 中核 心概念 的本质把握
谢红梅
（ 河子 大学 师 范 学院 ，新 疆 石河 子 ８２ ０ ） 石 ３０ ３
摘要 ：阐述了初等数论教 学中揭示概念本质属性的有效方式 ， 讨论 了如何把握初等数论 中的三组 核心概念—— 最大公 因数与最小公倍数，质数与合数 ，同余、剩余类和 完全剩余 系的本质特征等 问题 ， 明了数学概念认知的重要性． 说 关 键词 ：初 等数论 ；核 心概 念 ；本质 特征
，
推论 ２ 若ｍ是整数ａ， …， ａ， ａ 的公倍数，则【，ａ， ａ ． ａ， ： …， ｎ
推论 ２ 刻画了最小公倍数 的本质属性 ：最小公倍数不但是所有正公倍数中最小的，而且是所有公倍数 的因数 ；也揭示出最小公倍数概念中 “ 最小”的涵义本质上是针对整除关系而言的．由此可 同样获得最小
７ ４
高 师 理 科 学 刊
第３ ２卷
运算 和解 决数 学 问题 ．
为 了交流和思考数学概念 ，就需要对概念做 出表征．数学概念往往有多种表征方式 ， 如利用现实情境 中的实物、模型、图像或 图画进行 的形象表征，利用 口 语和书写符号进行的符号表征等．不同的表征将导
致不同的思维方式 ， 概念多元表征可以促进学生对数学概念的多角度理解 ；在不同的表征系统 中建立概念 的不同表征形式，并在不同表征系统之间进行转换训练 ，可以强化学生对概念联系性的认识 ；建立概念不 同表征间的广泛联系，并学会选择、使用与转化各种数学表征 ， 是使用概念有效地解决复杂、综合问题 的 前提．因此，使学生掌握概念 的多元表征 ，并能在各种表征 间灵活转化 ，是数学概念教学的基本策略Ｈ ． 初等数论中的概念大都是通过数学逻辑建构产生的，学生获得概念的主要方式是概念同化 ， 教师也主 要是通过逻辑演绎进行概念教学．通常对这类概念的认识不可能一蹴而就 ，随着后续相关 内容 的学习有一 个渐次深入的过程 ，需要通过多次反复认知才可能对概念理解到位 ， 把握其本质属性．在初等数论核心概 念的教学中，要使学生掌握概念的多元表征 ， 教师可采用多种等价表述方式来揭示概念 的本质特征．
收 稿 日期 ：２ １－ ３ １ ０２ ０ —０
基 金项 目 ：国家 自然科 学基金 资助 项 目 （ １６ ００） １１ １４
作者简介 ：谢红梅 （ ９７ １６一）， ，甘肃 民勤人，教授 ，硕士，从事代数学和应用概率论研究．Ｅ ｍ ｉ ｈ ｅ＠ｓｚ． ｕ１ 女 — ａｌ ｍ￣ ａ ｈｕｅ ．１ ：ｘ ｄ ３ １
定义 ２ 设 ａ， ， …， ａ ， ａ 为不全为零的整数 ，若正整数 ｄ满足 ：
（ ）ｄ ｉ（ ＝１２ …， ； １ ｌ ｉ ， ， ｎ） ａ
（ ） ｃ （ ＝ ， ， ｎ） ０Ｉ ． ２ 若 Ｉ ｉ １ ２ …， ，贝 以 ｃ
则称 ｄ为 ａ， ： …， ａ ， ａ 的最大公因数，记作 ｄ＝ ， …， ． ａ， ａ） 事实上 ，人们在寻求若干个整数的最大公因数时，一般几乎不会采用最初引入的定义 １ ，而是使用这 概念的本质特征 （ 即定义 ２ 来判断和推算．计算两个非零整数的最大公因数的辗转相除法就是一个典 ）
的最小的一个叫做ａ， ： …， ａ ， ａ 的最小公倍数， 记为 ， ： …， ． ａ， ａ】
然后推证最小公倍数和最大公因数之间的一个重要关系式 ，即
．
心概 念的本质把握
７ ５
定理 ３
对任意的正整数 以，ｂ，有 ， 】 ｂ＝
定 设口 ２…， 为 理２ １ ， 不全为 整 以Ｙ 集合Ａ ｛Ｙ ａ １ 口 ２ …＋ ｎ ｉ ， 零的 数， ｏ 表示 ＝Ｙ ＝ １ ＋ ２ ＋ ａ Ｉ ， ∈
Ｚ １ｆ ｔ ， ≤ ， 中的最小正数， ｝ 则对于任何 Ｙ Ａ，ＹＩ．特别地，Ｙｌ （ ≤ ≤ ． ∈ ｏ ｙ ｏ ｆ １ ｉ ） ａ 定理 ２ 表明 Ｙ ＝ ， …， ， （ ａ， ａ） 。 ａ， ａ） 且 ， …， 可以表示成 ａ， ： …， ａ ， ａ 的整系数线性组合．由
ａ 的公 因数 中最大的一个称为 ａ， …， 。ａ， ａ 的最大公因数 （ 或最大公约数 ） ，记为 （ ， …， ． ａ ａ， ａ） 利用辗转相除法 （ 又称 Ｅ ｃ ｄ ｕｌ 算法 ） ｉ 可以计算出任意 ｎ 个非零整数的最大公因数 ， 具体求解过程为定
理 １．
定理 １ 对于任意的 ｎ 个整数 ａ， ２ …， 作 （ｌａ） ｄ ，（２ａ） ｄ ， １口， ａ ， ａ， ２： ２ ｄ， ３＝ ３ …，（ ， ） ， ｄ ａ ＝ｄ＿ １ （ ， ｎ＝ｄ ，贝 １ａ， 口） ｄ ． ｄ－ ａ） ０ ， ２ …， ＝ 】 运用构造法和 自然数最小数原理 ，可得定理 ２ ．
ｒ ｓｄｕ ｓ ａ ｄ ｉ ｉａ ｅ ｅｉ ｏ ｔ ｎ ｅｏ ｗａ ｅ ｓ ｆｍａ ｈ ｍａ ｉ ａ ｏ ｃ ｐ ｓ ｅｉ ｅ ， ｎ ｎｄ ｃ ｔｄ ｔ ｈ ｍｐ ｒａ ｃ ｆａ ｒ ｎｅ ｓｏ ｔ ｅ ｔｃ ｃ ｎ ｅ ｔ ． ｌ
Ｋｅ ｒｓ ｅｅ ｎａ ｕ ｅ ｅ ｒ ； ｃ ｒ ｏ ｃ ｐ ； ｅ ｓ ｎｉｌ ｈ ｒｃｅｉｔ ｓ ｙｗｏｄ ： ｌｍｅ ｔｒ ｎ ｍｂ ｒ ｏ ｙ ｈ ｔ ｙ ｏｅｃ ｎ ｅ ｔ ｓｅ ｔ ａａ ｔｒｓｉ ａｃ ｃ
其实人们是从小学开始零零总总地认识 自然数 、整数 ， 不甚系统地学习初等数论的基础内容 （ 整数的 整除性理论 ） ．在 中学阶段 ，相当一部分学生又通过参加各级各类的数学竞赛培训 ，对初等数论的核心内 容（ 整数 的同余理论 ） 有了一定 的认识 ， 以大学阶段的初等数论课程的许多内容对学生来讲不是陌生的， 所 但也说不上熟识．在这一阶段 ，学生对数论 的相关内容的学习和认知 ，不能仅停留在原有的认知水平和形
式化的理解上 ，而更需关注数学本质 ，对整数的认识理应提升到相应的认知水准．
１ 采用 多种 等价表述方式揭示概念 的本质属性
数学概念是事物空间形式和数量关系的本质属性在人脑中的反映 ， 是进行数学思维的基本要素 ， 是建 立数学定理、公式 、法则的基础 ．只有正确认识和理解数学概念，才可能有效地进行判断、解释、推理 、
一
型例证 ，这从其算理和计算过程体现出来． 因此教学中，引导学生得到最大公因数的基本性质 （ 即推论 １ 后 ，应不失时机重新审视最大公因数 ）