点关于点对称
点关于点对称
xo-yo-2=0
即：7x+y+22=0
应用：
（1）已知两点A(–3，3)、B(5,1),在直线y = x PB最大 上求一点p使 AP —
2 2 （ x 3 ) ( x 3 ) （2）求
关于y轴对称
o
o
o
o
o
o
2m-X ___) y 点P( xo , yo ) P' (___, 关于直线y n对称 X 2n-y 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
o o o o
关于直线xm对称
? ? 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
关于直线l: Ax ByC 0对称
P(xo,yo )
几何条件： （1）垂直
（2）平分 方程组： Kpp’×kL= – 1
x xo y yo A( ) B( )C 0 2 2
L
M
P’(x,y)
练习：求点P(2,3)关于直线L:x-y-4=0的对称点p’。 答：p’(7,-2)
A(2a x) B(2b y) C 0
3．点关于直线对称
X -y 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
关于x轴对称
o
o
-X y 点P( xo , yo ) P' (___, ___) 关于直线y x对称 y X 点P( xo , yo ) P' (___, ___) 关于直线y x对称 -y -X 点P( xo , yo ) P' (___, ___)
五种点的对称点的规律
五种点的对称点的规律确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单凭直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。
一、点关于x 轴的对称点如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ′，则|PA|=|P ′A|，∴P ′（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数二、点关于y 轴的对称点如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ′，则|PB|=|P ′B|，∴P ′（-a ，b ） 规律：点P 关于y 轴的对称点P ′的坐标是P的横坐标互为相反数，纵坐标不变。
三、点关于原点的对称点如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ′，则|OP|=|OP ′|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ′BO=Rt ∠，∠POA=∠P ′OB ，故△POA ≌△P ′OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ′（-a ，-b ）规律：点P 关于原点的对称点P ′的坐标是P 的横、纵坐标的相反数。
四、点关于一、三象限角平分线的对称点如图4，l 为一、三象限的角平分线，P （a ，b ）关于l 的对称点为P ′，则|PC|=|P ′C|，易证Rt △PCO ≌Rt △P ′OC∴OP=OP ′，∠COP=∠COP ′作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B ，易证图2 b ） ，b ） x∵l 平分一、三象限∴∠COA=∠COB ，所以∠POA=∠P ′OBRt △POA ≌Rt △P ′OB ，所以|PA|=|P ′B|，|OA|=|OB|∴P ′（b ，a ）规律：点P 关于一、三象限的角平分线的对称点P ′的坐标是P 的纵、横坐标。
五、点关于二、四象限角平分线的对称点如图5，l 是二、四象限的角平分线，P （a证Rt △PCO ≌Rt △P ′CO ∴|OP|=|OP ′|，∠POC=∠P ′OC作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B又∵l 为二、四象限的角平分线∴∠AOC=∠BOC∴∠POA=∠P ′OB又∵|OP|=|P ′O| ∴Rt △PAO ≌Rt △P ′BO ∴|OA|=|OB|，|PA|=|P ′B|∴P ′（-b ，-a ）规律：点P 关于二、四象限的角平分线的对称点P ′的 坐标是P 的纵、横坐标的相反数。
点关于原点对称的点的求法
点关于原点对称的点的求法点关于原点对称的点的求法在二维平面直角坐标系中，原点是一个特殊的点，它位于x轴和y轴的交点处，其坐标为(0,0)。
如果给定一个点P(x,y)，那么我们可以通过一定的方法求出它关于原点对称的点P'(-x,-y)。
本文将介绍两种方法来求解这个问题。
方法一：利用向量运算向量是一个有方向和大小的量，可以表示平面上的任意一条线段。
在二维平面直角坐标系中，我们可以用两个数x和y来表示一个向量V(x,y)。
向量加法、减法和数乘等运算可以方便地进行。
假设有一个点P(x,y)，我们要求它关于原点对称的点P'(-x,-y)。
首先，我们可以构造一个以原点为起点、以P为终点的向量V1(x,y)，如下图所示：然后，我们再构造一个以原点为起点、以P'为终点的向量V2(-x,-y)，如下图所示：根据向量的定义，两个相反方向的向量之和等于零向量，即V1+V2=0。
因此，我们可以得到以下公式：V2 = -V1即：(-x,-y) = -(x,y)这个公式告诉我们，要求一个点关于原点对称的点，只需要将它的坐标取相反数即可。
因此，P'(-x,-y)就是P(x,y)关于原点对称的点。
方法二：利用几何性质在二维平面直角坐标系中，如果一个点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y)，那么它们的中心点一定位于原点。
因此，我们可以通过求出P和原点的中心点C(x/2,y/2)，然后将C的坐标乘以-2得到P'的坐标。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 求出P和原点O(0,0)之间的距离d(P,O)，即：d(P,O) = √(x^2+y^2)2. 求出P和O之间的中心点C(x/2,y/2)，即：C = (x/2,y/2)3. 将C乘以-2得到P'的坐标，即：P' = (-2x/2,-2y/2) = (-x,-y)这个方法也可以用来求解其他关于任意一点对称的问题。
点与线的四种对称关系
点与线的四种对称关系直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称 例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,12y 3,12x 200解得⎩⎨⎧-==1y ,4x 00所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0b y x 3=+-。
解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得.13|b 16|13|416|22+++=+-+解得10b -=，或4b -=（舍）。
则直线l 的方程为.010y x 3=--评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
此题还可在直线04y x 3=--上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
3、点关于直线的对称例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
利用点关于直线对称的性质求解。
解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。
点关于点对称
点关于点对称点对称是几何学中一个重要的概念，指的是平面上的一个点关于某个中心点进行对称时，落在同一直线上的两个点的位置互换。
在本文中，我们将探讨点对称的定义、性质以及应用。
一、定义和性质点对称是指平面上的一个点P关于一个中心点O进行对称，记作P'。
点P和点P'位于同一直线上，并且以中心点O为中点。
点对称是一种保持距离和方向不变的变换。
点对称的性质如下：1. 对于给定的中心点O和点P，点P'是唯一确定的，并且与点P的距离相等。
2. 中心点O是过点P和点P'的垂直平分线上的点。
3. 对于任意一点Q，它关于点P的对称点记作Q'，那么线段PQ和P'Q'具有相同的长度。
二、点对称的应用点对称在几何学中有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用情景：1. 制作折纸手工点对称可以用于制作折纸手工，例如制作动物形态的手工模型。
在设计过程中，可以利用点对称将图纸上的一部分具有相同形状和大小的部分折叠到另一部分上，从而达到对称的效果。
2. 制作对称图案点对称也常用于制作对称图案，如镜像图案。
通过将一个形状完整的图案进行点对称，可以得到与原图案完全相同，但是位置互换的新图案。
这种对称性可以用于设计艺术品和装饰品。
3. 解决几何题目点对称在解决几何问题时经常被使用。
例如，当需要构造一个与已知图形关于指定点对称的图形时，可以通过利用点对称的性质来确定新图形的位置和形状。
4. 研究光学现象点对称在光学研究中也有应用。
例如，在反射光线的研究中，光线在镜面反射时的入射角和反射角相等，由此可以得到入射光线和反射光线关于镜面上某一点的点对称性。
5. 电磁学中的点对称电磁学中常常用到点对称的概念，例如在电场和磁场的研究中，通过建立点与点之间的对称关系，可以推导出电荷和磁荷间的相互作用的规律。
总结：点对称是几何学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决各种几何问题，如构造对称图形、研究光学现象等。
高中数学点线对称问题(精选.)
答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可
直线中的对称问题6种考法
直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
对称点公式
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L1
x
M
解： 设Q(x,y)为L3上任意一点, 它关于L2的对称点为 P(xo,yo)在L1上,故xo-yo-2=0 （*）
由
y yo 3 1 x xo
3 x xo y y o 3 0 2 2
y
Q(x,y)
L3 ？ L2
P(xo,yo)
L1 x
得 xo 4 x 3 y 9
关于点C ( m yo ) 对称 2m-x0 y0 点P(x0,y0), P’(___, ___)
x0 关于点C ( xo n ) 对称 点P(x0,y0) , P’(___,2n-y0 ___)
2．直线关于点对称
例.求直线L: 4x+y –1 =0 关于点M(2,3)对称的直线 L’的方程。 L’ L 一般地，直线L:Ax+By+C=0 关于M(a,b)的对称直线L’为
4.直线关于直线对称
例.求直线L1:x – y–2 = 0关于直线L2 : 3x – y +3 = 0对称 的直线L3的方程。 y
解法一：先求得L1,L2交点 M的坐标，再由到角公式 求得L3的斜率K3，最后由 点斜式写出方程。 解法二：先求得L1,L2交点M，再在 L1上取一点p，求出其关于L2的对称 点Q，由两点式得方程 L3 ？ L2
关于直线l: Ax ByC 0对称
P(xo,yo )
几何条件： （1）垂直
（2）平分 方程组： Kpp’×kL= – 1
x xo y yo A( ) B( )C 0 2 2
L
M
P’(x,y)
练习：求点P(2,3)关于直线L:x-y-4=0的对称点p’。 答：p’(7,-2)
5
代入（*）得：
3x 4 y 3 yo 5 4 x 3 y 9 3x 4 y 3 20 5 5
xo-yo-2=0
即：7x+y+22=0
应用：
（1）已知两点A(–3，3)、B(5,1),在直线y = x 上求一点p使 AP — 最大
（x 3) 2 ( x 3) 2 （2）求
对称性
点关于点对称
直线关于点对称
中心对称 点关于直线对称 轴对称 直线关于直线对称
1、点关于点对称
2a-x0 ___) 点P(x0,y0) P’(___, 2b-y0
关于点C ( a ,b ) 对称
-x0 点P(x0,y0) P’(___, -y0 ___)
关于原点 ( o,o ) 对称
A(2a x) B(2b y) C 0
3．点关于直线对称
X -y 点P( xo , yo ) P' (___,___)
关于x轴对称
o
o
-X y 点P( xo , yo ) P' (___,___) 关于直线y x对称 y X 点P( xo , yo ) P' (___,___) 关于直线y x对称 -y -X 点P( xo , yo ) P' (___,___)
关于y轴对称
o
o
o
o
o
o
2m-X y 点P( xo , yo ) P' (___,___) X 点P( xo , yo ) 关于直线y n对称 P' (___,2n-y ___)
o o o o
关于直线xm对称
? ? 点P( xo , yo ) P' (___,___)
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