函数与方程专题训练
2023年中考数学高频考点二次函数与一元二次方程专题训练原卷版
2023年中考数学高频考点二次函数与一元二次方程专题训练原卷版一、综合题1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程y=ax2+bx+c的两个根；（2）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（3）若抛物线与直线y=2x−2相交于A(1,0)，B(2,2)两点，写出抛物线在直线下方时x的取值范围．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为；（2）不等式ax2＋bx＋c>0的解集为；（3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为；（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为.3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．（1）当抛物线C经过点A（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线y=-x+l与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；（3）若抛物线C：y=mx2+4x+l（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在-l和0之间（不包括-l和0）．结合函数的图象，求m的取值范围．4．已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A(-3，0)，B两点，交y轴于点C。
（1）求该抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积。
5．已知：二次函数y=−x2+2x+m．（1）如果二次函数图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB解析式．6．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？7．设b为常数，已知二次函数y=−2x2−2bx+b2+1.（1）求证：无论b为何值，该二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；（2）若把二次函数的图象沿y轴方向平移2个单位长度，则使得该二次函数的图象与x轴恰有一个公共点，求b的值.8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）当m取何值时，ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根．9．如图，将函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象沿y轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数y=x2﹣2|x|的图象．（1）观察思考函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；方程x2﹣2|x|=2有个实数根；关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是；（2）拓展探究①如图2，将直线y=x+1向下平移b个单位，与y=x2﹣2|x|的图象有三个交点，求b的值；②如图3，将直线y=kx（k＞0）绕着原点旋转，与y=x2﹣2|x|的图象交于A、B两点（A左B右），直线x=1上有一点P，在直线y=kx（k＞0）旋转的过程中，是否存在某一时刻，△PAB是一个以AB为斜边的等腰直角三角形（点P、A、B 按顺时针方向排列）．若存在，请求出k值；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．11．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c( a＞0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1，0).（1）求c的值和a，b之间的关系式；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜l时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数.12．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”.例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”.（1）求一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”.（2）若二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”，且与y轴交于正半轴，求当1≤x≤3时，y的取值范围.（3）若对于任意的实数n，在二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，求m的取值范围.13．如图1，已知抛物线L：y=ax2+bx﹣1.5(a＞0)与x轴交于点A(-1,0)和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x=1.（1）直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2+bx﹣1.5=0的解.（2）求抛物线L的解析式及顶点M的坐标.（3）如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移.使它的頂点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N.设点P的横坐标为m①当m=5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由.②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在.请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.14．平面直角坐标系中，抛物线C1：y1=x2-2mx+2m2-1，抛物线C2：y2=x2-2nx+2n2-1，（1）若m=2，过点A（0,7）作直线l垂直于y轴交抛物线C1于点B、C两点.①求BC的长；②若抛物线C2与直线l交于点E、F两点，若EF长大于BC的长。
初中数学函数与方程复习题
初中数学函数与方程复习题1. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。
解析：将x=4代入函数f(x)，得到f(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5。
因此，f(4)的值为5。
2. 已知方程5x + 7 = 22，求x的值。
解析：将方程5x + 7 = 22移项，得到5x = 22 - 7 = 15。
再将等式两边除以5，得到x = 15 ÷ 5 = 3。
因此，方程的解为x = 3。
3. 设函数g(x) = x^2 - 4x + 5，求g(-1)的值。
解析：将x=-1代入函数g(x)，得到g(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10。
因此，g(-1)的值为10。
4. 已知方程x^2 + 3x - 4 = 0，求x的值。
解析：可以使用因式分解或者求根公式来解这个方程。
通过因式分解，我们可以得到(x + 4)(x - 1) = 0。
因此，方程的解为x = -4或x = 1。
5. 已知函数h(x) = 3x^2 - 12x + 9，将其化简为完全平方式：a(x -b)^2 + c。
解析：首先，我们需要将h(x)展开：h(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 -4x) + 9 = 3[(x - 2)^2 - 4] + 9 = 3(x - 2)^2 - 12 + 9 = 3(x - 2)^2 - 3。
因此，将h(x)化简为完全平方形式为h(x) = 3(x - 2)^2 - 3。
通过以上五道函数与方程的复习题，我们回顾了一些初中数学中常见的函数和方程相关知识点。
函数和方程是数学学科中的重要内容，掌握它们的概念和解题方法对于更深入的数学学习至关重要。
希望以上复习题对你的数学学习有所帮助！。
专题12 函数与方程(解析版)
2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考 明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20） 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． （1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=， 当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-； 【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=， 所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x ，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0fx，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。
2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (
函数与方程试题及解答
函数与方程试题及解答1. 函数题（1）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
所以f(2)的值为-1。
（2）已知函数g(x) = 3x - 5，求满足g(x) = 10的x的值。
解答：将g(x) = 10代入函数表达式，得到3x - 5 = 10。
解这个方程，将常数项移到右边，得到3x = 15。
再将方程两边除以3，得到x = 5。
所以满足g(x) = 10的x的值为5。
2. 方程题（1）解方程3x + 5 = 8。
解答：将常数项移到右边，得到3x = 8 - 5 = 3。
再将方程两边除以3，得到x = 1。
所以方程3x + 5 = 8的解为x = 1。
（2）解方程2(x - 3) = 4x + 5。
解答：先将方程两边展开，得到2x - 6 = 4x + 5。
将2x移动到右边，将4x移动到左边，得到-6 - 5 = 4x - 2x。
计算得到-11 = 2x。
再将方程两边除以2，得到x = -5.5。
所以方程2(x - 3) = 4x + 5的解为x = -5.5。
3. 综合题有一个数列，前两项为1，第三项开始，每一项是前两项的和。
求这个数列的第10项。
解答：根据数列的定义，可以得到数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，接下来可以继续计算得到第10项为34。
所以这个数列的第10项为34。
4. 应用题某公司销售一种产品，根据市场调研，每降低产品售价1元，销量就会增加1000件。
已知该产品售价为20元时，销量为20000件。
问降低售价至多少元时，销量可以达到40000件？解答：假设降价x元时，销量为40000件。
根据已知条件，可以得到方程20 - x = 40000/1000。
将方程简化，得到20 - x = 40。
将常数项移到右边，得到-x = 40 - 20 = 20。
初二数学函数方程练习题
初二数学函数方程练习题1. 已知函数 $y = 3x - 2$，求当 $x = 5$ 时的函数值。
解析：将 $x$ 的值代入函数中，得到 $y = 3(5) - 2 = 13$。
所以当 $x =5$ 时，函数值为 $y = 13$。
2. 解方程 $2x - 5 = 7 - x$。
解析：将方程化简，得到 $3x = 12$。
然后除以 $3$，得到 $x = 4$。
所以方程的解为 $x = 4$。
3. 若函数 $f(x)$ 的图像经过点 $(2, 5)$，求函数 $f(x)$ 的表达式。
解析：由已知条件可知，当 $x = 2$ 时，函数 $f(x)$ 的值为 $5$。
所以可以将点 $(2, 5)$ 代入函数表达式中，得到 $f(2) = 5$。
因此，函数表达式为 $f(x) = x + 3$。
4. 解方程 $2(3x - 1) = 4x + 5$。
解析：将方程进行展开和化简，得到 $6x - 2 = 4x + 5$。
然后移项，得到$6x - 4x = 5 + 2$。
继续化简，得到 $2x = 7$。
最后除以 $2$，得到 $x = \frac{7}{2}$。
所以方程的解为 $x = \frac{7}{2}$。
5. 若直线 $y = 2x - 1$ 和 $y = kx + 3$ 是平行线，求常数 $k$ 的值。
解析：两条直线平行意味着它们的斜率相等。
根据直线的一般表达式 $y = mx + c$，斜率为 $m$。
因此，比较斜率可以得到 $2 = k$。
所以常数$k$ 的值为 $2$。
6. 解方程 $\frac{1}{3}x + 2 = 5$。
解析：将方程进行移项和化简，得到 $\frac{1}{3}x = 5 - 2$。
继续计算，得到 $\frac{1}{3}x = 3$。
然后乘以 $3$，得到 $x = 9$。
所以方程的解为 $x = 9$。
7. 若函数 $g(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，且经过点 $(1, 4)$，求函数 $g(x)$ 的表达式。
函数与方程经典例题及答案
例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点， （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ． 【解】（1）设函数解析式为2y ax bx c =++， 由85937c a b c a b c =-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得128a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴2()28f x x x =+-． （2）令()0f x =得2x =或4-， ∴零点是122,4x x ==-． （3） (2)(4)0f f =，(1)(3)97630f f -=-⨯=-<，(5)(1)350f f -=-<，(3)(6)1120f f -=>．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．例2：利用计算器，求方程2670x x -+=的近似解（精确到0.1）． 分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解． 解法一：设2()67f x x x =-+，通过观察函数的草图得：(1)20f =>，(2)10f =-<，∴方程2670x x -+=有一根在(1,2)内，设为1x ， ∵(1.5)0.250f =>，∴11.52x <<， 又∵ 1.52()(1.75)0.437502f f +==-<，∴11.5 1.75x <<，如此继续下去，得1(1)0,(2)0(1,2)f f x ><⇒∈，1(1.5)0,(2)0(1.5,2)f f x ><⇒∈， 1(1.5)0,(1.75)0(1.5,1.75)f f x ><⇒∈1(1.5)0,(1.625)0(1.5,1.625)f f x ><⇒∈(1.5625)0,(1.625)0f f <>1(1.5625,1.625)x ⇒∈∵1.5625,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程2670x x -+=的一个近似值都为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为4.4．点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号． 分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解． 解法二：将原方程写成276x x +=①取12x =代入等式右边得211 1.8333336x =≈，再将2x 代入方程①右边，得3 1.72685x ≈，……如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在1.58583，∴该方程的近似解为1.58583，精确到0.1后为1.6．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为4.4． 点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．例3：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围． 分析：【解】（1）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，符合题意；（2）0k ≠时，(0)1f =，0k <时，()f x 的图象是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点的两侧；0k >时，()f x 的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302k k k k ⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩，解得01k <≤综上可得k 的取值范围为(,1]-∞.追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为 （ D ））A .1B .0C .2或0D . 22．已知01a <<则方程0log=+x a ax的解的个数是（ A ）A .1B . 2C .3D . 不确定 3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+0=只有一个公共点，则k 的值为（ A ）A . 0，41,21-B . 0，41-C . 41,21-D . 0，41,21-4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是 (1,0)、(5,0)，方程2650x x -+=的根为1或5 ．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为113k ≥ .6．已知函数()2x f x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为 1.7- ． 7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）． 答案：3.2和0.88．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解． 答案：有解．。
二次函数与一元二次方程简答题专题训练含答案
二次函数与一元二次方程简答题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共21题）1、若抛物线的顶点坐标是，且经过点（ 1 ）求该抛物线的解析式（ 2 ）设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），试求的面积2、已知抛物线y ＝x 2 + x + 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于点C ．（ 1 ）求点A 、B 、C 的坐标．（ 2 ）试判断AOC 与BOC 是否相似，并说明理由．3、已知：二次函数（ 1 ）列表画图…… ………… ……（ 2 ）根据图象，直接写出不等式的解集4、已知抛物线（ 1 ）通过配方可以将其化成顶点式为__________ ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x 轴 __________ （填上方或下方），即__________0 （填大于或小于）时，该抛物线与x 轴必有两个交点；（ 2 ）若抛物线上存在两点，，分布在x 轴的两侧，则抛物线顶点必在x 轴下方，请你结合A 、B 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）（ 3 ）利用二次函数（1 ）（ 2 ）结论，求证：当，时，．5、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．6、如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m。
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式。
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？7、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．8、如图，平面直角坐标系中，点A坐标（2,0），点B是y轴上的一个动点，连结AB，取AB中点M，将线段AM绕着点A顺时针方向旋转90°得到线段AN，连结ON、BN，ON与AB所在直线交于点P，设点B的坐标为（0，t）（1）当t>0时，用t的代数式表示点N的坐标；（2）设△OBN的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在点B，使得△ABN与△ANP相似？若存在，求出符合条件的点B的坐标，若不存在，请说明理由。
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哈师大附中 创新作业函数与方程一、选择题1. 函数零点所在的区间是A.B.C.D.2. 函数的零点所在的大致区间为A.B.C.D.3. 用二分法求方程的近似根，精确度为 ，用条件结构的终止条件是A.B.C.D.4. 若 是方程的解，则 属于区间A.B.C.D.5. 已知函数．如果关于 的方程有两个不同的实根，那么实数 的取值范围是A.B.C.D.6. 若 点 A.是奇函数，且 是C.7. 已 知 三 个 函 数 则 A.， B.的一个零点，则一定是下列哪个函数的零B.D.，的零点依次为 ， ， ，C.D.8. 已知，实数 、 、 满足，且．若实数 A.是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是B.C.D.9. 函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则 的取值范围为．A.B.C.D.31哈师大附中 创新作业10. 对 于 实 数，定义运算“ ”：，设，则 A.，且关于 的方程的取值范围是B.C.恰有三个互不相等的实数根 ， ， D.11. 已知函数A. C. 12. 若函数，则 的零点与若存在 ， ，当的取值范围是 B. D.的零点之差的绝对值不超过 ，则时， 可以是A.B.C.D.二、填空题13. 若关于 的二次方程取值范围是．14. 设 函 数与是．15. 已知函数的两根 ， 满足 的图象的交点为，则实数 的，则所在的区间，若函数有三个零点，则实数 的取值范围是．16. 在 枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，若用二分法的思想，则最多称次就可以发现这枚假币．17. 若 函 数满足，且在上单调递增，则 的取值范围是．18. 已知关于 的方程 的取值范围是在区间 ．上有两个不相等的实根，则实数三、解答题 19. 证明：方程在区间内至少有两个实数解．20. 用二分法求函数在区间内的一个零点（精确度 ）．32哈师大附中 创新作业21. 已知函数是定义在 上的奇函数，当时，．（1）求函数 （2）求函数的解析式； 的所有零点．22. 已知函数，．（1）求 的值．．当时，函数的零点23. 已知函数 （1）写出 （2）若函数 （3）当与 的解析式；时，总有的图象关于原点对称．为奇函数，试确定实数 的值； 成立，求实数 的取值范围．24. 已知关于 的—元二次方程 （1）若方程有两个实根分别在区间 （2）若方程的两个实根都在区间．和内，求实数 的取值范围；内，求实数 的取值范围．25. 已知函数 （1）求 的值； （2）设函数，是偶函数．，其中，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数 的取值范围．33哈师大附中 创新作业答案第一部分 1. C 2. B3. B4. D 【解析】构造函数，知属于区间5. B 【解析】在同一坐标系内作出函数的图象（如图）．，由 ．关于 点， 所以的方程 的取值范围是有两个不同的实根，等价于直线 ．与函数6. C 【解析】由题得7. B 【解析】函数 图象交点的横坐标，，又为奇函数，所以．，的零点分别为的零点为 ，如图：的图象有两个不同的交，所以函数与、由图象知．8. D 【解析】因为函数在 上单减，在定义域内单增，而定义域内单减，因此在上是减函数，因为为，所以应有两种情况：（1）、、均为负值，此时、（2），，，此时、综上，．，所以、；、．9. B 【解析】提示：令，则可将所求转化为求直线与曲线数问题．在 ．因的交点个34哈师大附中 创新作业由图可知，可能的交点个数为 10. A 【解析】提示：不妨设的图象如图所示．． ，由已知可得，画出）及由已知条件结合图象可知，，，，所以．因为，所以，所以的取值范围是．11. B 【解析】因为时，，由函数的图象得当时， ，所以；当；当时，有；当时，时，由函数的图象得所以的取值范围是，综上，则 ，则．12. A 【解析】函数是连续不断的单调递增函数，且，．设的零点为，则 于选项 B，因为．对于选项 A，因为 的零点为的零点为，符合要求，即选项 A 正确；对，不符合要求，即选项 B 不正确；对于选项 C，因为35的零点为的零点为哈师大附中 创新作业，不符合要求，即选项 C 不正确；对于选项 D，因为，不符合要求，即选项 D 不正确．第二部分13.【解析】设解得．14.【解析】幂函数在，根据题意得，，上是增函数且函数图象过点，指数型函数， 在上是减函数且函数图象过点，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，如图所示，可知．15. 【解析】函数图象如下：函数有三个零点即函数与有三个交点．当时满足条件．16.【解析】将 枚金币均分成两份，放在天平两端，则假币一定在较轻的份，则假币一定在较轻的 枚中，以此类推可得．17.【解析】因为，所以，，即 ， 是方程枚中；再将这 枚均分成两 的两根，因为在上单调递增，所以，因为，所以，所以．18.36【解析】当 在区间 即哈师大附中 创新作业时，方程在区间上有两个不相等的实根时，有，整理得，解得无实根；当 在区间．时，满足方程 上恒成立，第三部分19. 证明 设，其图象是连续曲线．因为．所以在内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．20. 由于，所以内存在零点，取区间作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：在区间因为，所以原函数精确度 的零点近似值可取为．21. （1） 因为是定义在 上的奇函数，所以，且．设，则，所以，所以．所以函数的解析式为．（2） 当时，由，解得（舍去）或；当时，由所以函数的零点为，解得 ，，．（舍去）或．37哈师大附中 创新作业22. 设函数，，根据，对于函数在时，一定得到一个值小于 ，在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在所以函数的零点时， ．之间，23. （1） 设是函数则关于原点的对称点为因为 在函数所以，所以．（2） 因为所以，所以所以所以． （3） 由图象上任意一点， ．的图象上，， ，得为奇函数， ，，设 由题意知，只要 因为， 即可．在上是增函数，所以 24. （1） 设 根据示意图，，即即为所求． ，其图象的对称轴为直线，画出示意图．方程有两个实根分别在区间和内等价于不等式组38哈师大附中 创新作业即解得． （2） 根据示意图，方程两实根都在区间内等价于不等式组解得．25. （1），．因为是偶函数，所以，即整理后得，即，即因为（2） 由第一问可知 ，所以．，所以．．，所以．令，则一个根．令，，则，即有且仅有有且仅有一个大于 的实根，其中．时，只需，所以时，不合题意； 时，对称轴为中），显然不成立；综上所述： 的范围是．，显然成立．所以；，又，所以没有大于 的实根（其39哈师大附中 创新作业 40。