高中数学讲义 指对数比较大小

微专题41 指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。

这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N-= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =） log log m na a n N N m=二、典型例题：例1：设323log ,log log a b c π===,,a b c 的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<，从而a 肯定最大，只需比较,b c 即可，观察到,b c 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：223311log log 3,log log 222b c ====，从而可比较出32log 21log 3<<，所以c b < 答案：c b a <<例2：设123log 2,ln 2,5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是___________思路：观察发现,,a b c 均在()0,1内，,a b 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b <，在比较和c 的大小，由于c 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,a b c 值得大小：12152c -==<=，可考虑以12为中间量，则331log 2log 2a =>=，进而12a c >>，所以大小顺序为b a c >> 答案：b a c >>例3：设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >> 思路：观察到,,a b c 都是以e 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。

111352ln 2ln3ln5ln 2,ln3,ln5,235a b c ======发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：()()()1111111510635230303022,33,55=== ，通过比较底数的大小可得：b a c >> 答案：C小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。

所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。

例如可以先比较,:a b ()()11113232662=2,3=3，从而a b <，同理再比较,a c 或,b c 即可例4：设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >> 思路：观察可发现：()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =⨯=+=⨯=+=⨯=+357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>答案：D例5：设232555322,,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >> 思路：观察可发现,b c 的底数相同，,a c 的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。

对于,b c ，两者底数在()0,1，则指数越大，指数幂越小，所以可得b c <，再比较,a c ，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以a c >，综上：a c b >> 答案：B例6：已知三个数0.5333,log 2,cos2a b c ===，则它们之间的大小关系是（ ） A. c b a << B. c a b << C. a b c << D. b c a <<思路：可先进行0,1分组，0.531a =>，0,1b c <<，所以只需比较,b c 大小，两者都介于0,1之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。

所以考虑寻找中间值作为桥梁。

以3cos2作为入手点。

利用特殊角的余弦值估计其大小。

331cos cos 23232ππ>⇒<=，而331log 2log 2>=，从而12c b <<，大小顺序为c b a <<答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c 作为研究对象。

例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设 1.1 3.13log 7,2,0.8a b c ===，则（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. c b a <<D. c a b << 思路：首先进行0,1分组，可得1,c a b <<，下面比较,a b 的大小，可以考虑以2作为中间量，1.13322,log 7log 92b a =>=<=，所以2a b <<，从而c a b <<答案：D例8：设0,1a b a b >>+=且1111,log ,log bb a b x y ab z a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,x y z 的大小关系是（ ）A. y x z <<B. z y x <<C. y z x <<D. x y z <<思路：由0,1a b a b >>+=可得：1012b a <<<<，先用0,1将,,x y z 分堆，0x >，,0y z <，则x 为最大，只需要比较,y z 即可，由于,y z 的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。

111log log log 1a b ababa b y ab ab ab +⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-，而1log log b bz a a ==-，因为01b <<，所以log log 1,log 1b b b a b z a y <==->-=，所以顺序为y z x << 答案：C例9：下列四个数：()()2ln2,ln ln2,ln2a b c d ====的大小顺序为________ 思路：观察发现()ln ln20b =<，其余均为正。

所以只需比较,,a c d ，考虑()ln20,1∈，所以a d <，而1ln22c d ==<，所以下一步比较,a c ：()(211ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2022a c ⎛⎫-=-=-=-> ⎪⎝⎭，所以a c >，综上所述，大小顺序为b c a d <<<答案：b c a d <<<例10：已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断,,a b c 的范围。

首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：11222log ,log ,log a b c 均大于0，由对数的符号特点可得：(),0,1,1a b c ∈>，只需比较,a b 大小即可。

观察到1212ba⎛⎫>> ⎪⎝⎭，从而1122log log a b a b >⇒<，所以顺序为a b c <<答案：A小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点。

先作出12log y x =图像，再在这个坐标系中作出112,,22x xxy y y ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较交点的位置即可。