学而思高中数学1-不等式比较大小
专题7.1--不等式的性质及一元二次不等式(讲)(解析版)
专题 不等式的性质及一元二次不等式1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识点一 两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b .{(3)a －b ＜0⇔a ＜b .知识点二 不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ； a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方性：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a ＞b ＞0⇒n a ＞ nb (n ∈N ，n ≥2)．知识点三 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系…判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 ，(a ＞0)的根有两相异实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＜x 1或x ＞x 2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠－b 2a R~一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，b2－4ac＜0.2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，b2－4ac＜0.>考点一不等式的性质及应用【典例1】（湖南雅礼中学2019届质检）(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()≥b>a>c≥b>b>a>c>b(2)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④【答案】(1)A(2)C【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.;又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝⎝⎛⎭⎫a－122＋34>0，∴b>a，∴c≥b>a.(2)方法一因为1a＜1b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.方法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0， 所以a －1a ＞b －1b ，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确.）【方法技巧】比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论． (2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．【变式1】（河北辛集中学2019届模拟）设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.【答案】[5，10] 【解析】方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .】于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10.考点二 一元二次不等式的解法【典例2】（山西平遥中学2019届模拟）解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )。
不等式比较大小-高中数学知识点讲解
不等式比较大小1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法푏2푎2典例 1：若a＜0 ，b＜0 ，则p =+q＝a b푎푏与的大小关系为（）A．p＜q B．p q C．p＞q D．p q푏2푎2푏2―푎2푎2―푏21解：=+―a =+푎―p﹣q ﹣b =（b2﹣a2）⋅(푎푏푎푏1푏)=(푏2―푎2)(푏―푎)푎푏=(푏―푎)2(푎+푏)，푎푏Q a＜0，b＜0，a b＜0，ab＞0，若，则，此时，a＝b p﹣q＝0 p＝q若，则，此时，a b p﹣q＜0 p＜q综上，p q故选：B1/ 2方法二：利用函数的单调性―1―1―2266典例 2：三个数(5，(5，(5)5)5)5的大小顺序是（）―1―2―1―2―1―1―1―1―2―1―1―2 662662626626 A．(5)5)5＜(5)5)5)5)5)5)5)5)5)5) 5＜(5B．(5＜(5＜(5C．(5＜(5＜(5D．(5＜(5＜(5―1―266解：由指数函数的单调性可知，(5)5，5)5＞(―1―126由幂函数的单调性可知，(5)5，5)5＞(―1―1―2266则(5＞(5)5)5)5＞(5，―2―1―1662故(5＜(5＜(5，5)5)5)故选：B ．2/ 2。
高中数学第1章不等关系与基本不等式1.1.1实数大小的比较1.1.2不等式的性质课件北师大版选修4_5
教材整理 2 不等式的性质 阅读教材 P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列问题.
性质 1 对称性 a＞b⇔b＜a 性质 2 传递性 如果 a＞b，b＞c，那么a＞c
可加性 如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c 性质 3
推论 如果 a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d
利用不等式性质判断命题的真假
对于实数 a，b，c 判断下列命题的真假． (1)若 a>b，则 ac<bc； (2)若 ac2>bc2，则 a>b； (3)若 a<b<0，则 a2>ab>b2； (4)若 a<b<0，则|a|>|b|； (5)若 c>a>b>0，则c－a a>c－b b.
【精彩点拨】 本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力．解答此题需 要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合 理逻辑推理即可判断．
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
利用基本不等式比较大小的方法
利用基本不等式比较大小的方法基本不等式是数学中常用的一个不等式，它可以帮助我们比较大小关系。
在本文中，我们将通过几个实际问题来说明如何利用基本不等式进行比较大小。
一、问题1：比较两个正数的平方和与它们的和的平方的大小关系。
假设有两个正数a和b，我们需要比较a^2 + b^2和(a + b)^2的大小。
根据基本不等式，我们知道(a + b)^2 ≥ a^2 + b^2，即两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。
所以，a^2 + b^2 < (a + b)^2。
二、问题2：比较两个正数的乘积与它们的和的关系。
假设有两个正数a和b，我们需要比较ab和(a + b)的大小。
根据基本不等式，我们知道ab ≤ (a + b)^2 / 4，即两个正数的乘积小于等于它们的和的平方的四分之一。
所以，ab < (a + b) / 4。
三、问题3：比较两个正数的倒数之和与它们的和的倒数的大小关系。
假设有两个正数a和b，我们需要比较1/a + 1/b和1/(a + b)的大小。
根据基本不等式，我们知道1/a + 1/b ≥ 2/√(ab)，即两个正数的倒数之和大于等于它们的乘积的倒数的两倍的平方根。
所以，1/a + 1/b ≥ 2/√(ab)。
四、问题4：比较两个正数的平均数与它们的几何平均数的大小关系。
假设有两个正数a和b，我们需要比较(a + b)/2和√(ab)的大小。
根据基本不等式，我们知道(a + b)/2 ≥ √(ab)，即两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
所以，(a + b)/2 ≥ √(ab)。
通过以上四个实际问题的分析，我们可以看到基本不等式在比较大小时的应用。
无论是比较平方和、乘积、倒数之和还是平均数和几何平均数，我们都可以利用基本不等式得出结论。
基本不等式提供了一种简洁而有效的方法来解决这些问题。
总结起来，利用基本不等式比较大小的方法可以帮助我们快速、准确地得出结论。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的不等式进行比较。
不等式1：性质和比大小
不等式1：不等关系和不等式考点：不等式的定义、性质基本知识：1．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a＜b .2．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)．基本方法：1.作差法：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．2.待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．3.常用性质(1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ；③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞b d ；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a .(2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m (b －m ＞0)；②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m (b －m ＞0)．例1.已知a ，b ，c ∈R ，则“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2.给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④考点：不等式性质的运用基本方法：1. 同向可加性与同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式．2.同向可加的应用：由a ＜f(x ，y)＜b ，c ＜g(x ，y)＜d ，求F(x ，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x ，y)＝mf(x ，y)＋ng(x ，y)，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F(x ，y)的取值范围．例1.若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围为 ( ) .例2.已知－1<2x －1<1，则2x －1的取值范围是____________．例3.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．例4.若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围． 考点：做差、做商、特殊值比较大小基本方法：1.对于整式可采用作差法；对于幂可采用作商法比较；当不能直接下结论时，采用分类讨论．2.题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．3. (1)作差比较法的依据是“a －b >0⇔a >b ”，步骤为：①作差；②变形；③定号；④下结论；常采用配方，因式分解，有理化等方法变形；(2)作商法的依据是“a b>1，b >0⇒a >b ”，步骤为：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)特例法，对于选择、填空题可用特例法选出正确答案．例1.【做差法】(2011·陕西)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )．A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b例2.若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系是( )A ．|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|B ．|log a (1－x )|＜|log a (1＋x )|C ．不确定，由a 的值决定D ．不确定，由x 的值决定。
学而思高中数学1-不等式比较大小(优选.)
【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．b【例2】 将232，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，122按从大到小的顺序排列应该是 ．【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =典例分析比较大小【例4】 若110a b<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④2b a ab+>正确的不等式有 ．（写出所有正确不等式的序号）【例5】 已知,a b ∈R ，那么“||a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【例6】 若0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11ab> B ．a b> C ．2b a ab+> D ．a b ab +>【例7】比较下列代数式的大小：⑴23x x+与2x-；⑵61x+与42x x+；【例8】比较下列代数式的大小：⑴43x x y-与34xy y-；⑵（其中0xy>，且x y>）⑶x yx y与y xx y（其中0,0,x y x y>>≠）．【例9】a、b、c、d均为正实数，且a b>，将ba 、ab、b ca c++与a db d++按从小到大的顺序进行排列．【例10】 比较大小：log aab、log a b 与log b a （其中21a b a >>>）【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b-<-，则下列各式恒成立的是（ ）A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b cd> D ．a b cd<【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．ab ac >B ．a c b c >C ．ab bc >D ．()0a b c b -->【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，0c d a b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例14】 ⑴已知：11,a b a b>>，求证：0,0a b ><． ⑵若0a b >>，0c d >>，求证：d c a b<．【例15】 设a ∈R ，则1a >是11a<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例16】 如果00a b <>，，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．11ab< B ．22a b < D ．||||a b >【例17】 设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【例18】 若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b aa b+> D ．||||||a b a b +>+【例19】 若0a b <<，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．11ab >和11||||a b >均不能成立 B ．11a b a>-和11||||a b >均不能成立 C ．不等式11a b a >-和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立D ．不等式11||||a b >和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立【例20】 若111a b<<，则下列结论中不正确的是（ ） A ．log log a b b a > B ．|log log |2a b b a +>C ．2(log )1b a <D ．|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+【例21】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若22ac bc >，则.a b > ⑵若a b >，则11.ab< ⑶若,a b c d >>，则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ，则.m m a b >【例23】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a =+，11D a=-．【例24】 实数a b c d、、、满足条件：①,a b c d <<；②()()0a c b c -->；③()()0a d b d --<，则有（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c a d b <<<【例25】 已知实数a 、b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例26】 设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0x >且1x ≠．试比较()f x 与()g x 的大小．【例27】 若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【例28】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b+>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例29】 设a、b 、c 、d 、m、n 均为正实数，P =，Q = ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【例30】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22ab < B ．22aba b < C ．2211ab a b< D ．b a ab<【例31】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ）A ．||||||a b a c b c --+-≤B ．2211a a a a++≥C ．1||2a b a b-+-≥ D【例32】 “0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例33】 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤ B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【例34】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111ab+≤ D ．22111ab+≥【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ） A ．12B ．22ab + C ．2ab D ．a【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c-<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例37】 已知a b c >>2a c-的大小关系是 ．【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ）A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例39】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是（ ）A ．12a b +> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +【例40】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a ba b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
第三节 一元一次不等式及其应用-学而思培优
第三节 一元一次不等式及其应用一、课标导航二、核心纲要1.一元一次不等式的解法步骤(1)去分母：在不等式的两边都乘以各分母的最小公倍数；注：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．(2)去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；注：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．(3)移项：把含有未知数的项都移到不等式的一边，不含未知数的项移到不等式的另一边； 注：①移项要变号；②不要丢项．(4)合并同类项：把不等式化成ax >b （或彻<b ）的形式；注：字母及其指数不变．(5)系数化为1：在不等式的两边都除以未知数的系数a （a≠0），得到不等式的解a b x >（或ab x <)． 注：①不要把分子、分母位置颠倒；②当a<0时，系数化1要变号.2.一元一次不等式的实际应用(1)审：审清已知、未知及关键字词和语句；(2)找：找出题目中的不等关系；(3)设：设适当的未知数；(4)列：列不等式；(5)解：解不等式；(6)答：检验是否符合题意，作答．3.一元一次不等式的综合应用(1)-元一次不等式的特殊解；(2)-元一次不等式与方程；＊(3)含字母系数的不等式．对于不等式ax >b ， ①若a>0，则;ab x >②若a<0，则;a b x < ③若a=0，b<0，则不等式的解集是任意实数；若a-0，b≥O，则不等式无解．＊ (4)含有绝对值的不等式的解法（a>O ）．①l x l<a 的解集是-a<x<a ；②∣x ∣>a 的解集是x<一a 或x>a.注：可利用数轴来确定在一定条件下的特殊解.4.数学思想(1)数形结合；(2)分类讨论，本节重点讲解：一个解法，一个应用（一元一次不等式的应用），两个思想．三、全能突破基 础 演 练1．不等式-x-5<0的解集在数轴上表示正确的是( )2．关于x 的不等式2x-a≤-1的解集如图9-3-1所示，则a 的取值是( )0.A 3.-B 2.-C 1.-D3．已知二元一次方程,82=+y x 当0<y 时，x 的取值范围是( )4.>x A 4.<x B 4.->x C 4.-<x D4．已知,3,25,15->-=+=m m y m x 若则x 与y 的关系为( )y x A =. y x B >. y x C <. D ．不能确定5．不等式2x-3≤4x+5的负整数解为6．若点P(3a -2，2b -3)在第二象限，则a ，b 的取值范围是7．若不等式2x-l≤13中的最大值是m ，不等式- 3x-l≤-7中的最小值为n ，则不等式mx mn nx <+ 的解集是 ．8．解下列不等式：)34(2125)1(-≤-x x(2)解不等式1)1(22<---x x(3)解不等式,5456110312-≥+--x x x 并把它的解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解， 能 力 提 升9．已知0|3|)3(2=++++m y x x 中，y 为负数，则m 的取值范围是( ) 9.>m A 9.<m B 9.->m c 9..-<m D10．如果关于x 的方程5432b x a x +=+的解不是负数，那么a 与b 的关系是( ) b a A 53.> b a B 53.≥ b a C 35.= b a D 35.>11．若a>l ，则312,32,+=+==a P a N a M 的大小关系为( ) M N P A >>. P N M B >>. N P C >>M . M P N D >>.12．若m>7，试用m 表示出不等式m x m ->-1)7(的解集13．(1)已知x<a 的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是 ，(2)已知x>a 的解集中最小整数为-2，则a 的取值范围是 .14.已知不等式3x -a≤0的正整数解只有1，2，3，4，那么a 的取值范围是15．若关于x 的方程5.2)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3)43(4)14(-=+x a x a 的解，则a 的取值范围为16．已知不等式a x x 322434-<+(x 为未知数)的解都是不等式21621<-x 的解，求a 的取值范围．17．解关于x 的不等式：).1(2=/-≤+a a x ax18．解不等式：2||)1(<x .3|12|)2(≥-x19.2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图9-3-2所示）．根据信息，解答下列问题．(1)求这份快餐中所含脂肪质量；(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．20.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机器所耗资金不(1)按该公司要求可以有几种购买方案？(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？中 考 链 接21．（广东）已知不等式m m x x (48+>+是常数）的解集是.,3m x 求<22.（2011．湖北襄阳）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错（或不答）一题记-5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对 道题．23.（2011．广州）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？巅 峰 突 破24.设a ，b 是常数，不等式01>+b a x 的解集为,51<x 则关于x 的不等式0>-a bx 的解集是( ) 51.>x A 51.<x B 51.->x C 51.<x D 25．已知,2351312x x x --≥--求|3||1|+--x x 的最大值和最小值．26.某仓库有50件同一规格的某种集装箱，准备委托运输公司送到码头，运输公司有每次可装运1件、2件、3件这种集装箱的三种型号的货车，这三种型号的货车每次收费分别为120元、160元、180元，现要求安排20辆货车刚好一次装运完这些集装箱，问这三种型号的货车各需多少辆？有多少种安排方式？哪些安排方式所需的运费最少？最少运费是多少？。
学而思高中数学1-不等式比较大小
【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．b【例2】 将232，1223⎛⎫⎪⎝⎭，122按从大到小的顺序排列应该是 ．【例3】 若52x =-，23x =-，则,x y 满足（ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =【例4】 若110a b<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④2b aa b+> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）典例分析比较大小【例5】已知,a b∈R，那么“||a b>”是“22a b>”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【例6】若0b a<<，则下列不等式中正确的是（）A．11a b>B．a b>C．2b aa b+>D．a b ab+>【例7】比较下列代数式的大小：⑴23x x+与2x-；⑵61x+与42x x+；【例8】比较下列代数式的大小：⑴43x x y-与34xy y-；⑵（其中0xy>，且x y>）⑶x yx y与y xx y（其中0,0,x y x y>>≠）．【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c++与a d b d ++按从小到大的顺序进行排列．【例10】 比较大小：log a ab、log a b 与log b a （其中21a b a >>>）【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b -<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d<【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．ab ac >B ．a c b c >C ．ab bc >D ．()0a b c b -->【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例14】 ⑴已知：11,a b a b>>，求证：0,0a b ><． ⑵若0a b >>，0c d >>，求证：d ca b<．【例15】 设a ∈R ，则1a >是11a<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例16】 如果00a b <>，，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B a b - C ．22a b < D ．||||a b >【例17】 设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【例18】 若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b aa b+> D ．||||||a b a b +>+【例19】 若0a b <<，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．11a b>和11||||a b >均不能成立 B ．11a b a >-和11||||a b >均不能成立 C ．不等式11a b a >-和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立D ．不等式11||||a b >和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立【例20】 若111a b<<，则下列结论中不正确的是（ ） A ．log log a b b a > B ．|log log |2a b b a +> C ．2(log )1b a <D ．|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+【例21】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若22ac bc >，则.a b > ⑵若a b >，则11.a b< ⑶若,a b c d >>，则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ，则.m m a b >【例23】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-．【例24】 实数a b c d 、、、满足条件：①,a b c d <<；②()()0a c b c -->；③()()0a d b d --<，则有（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c a d b <<<【例25】 已知实数a 、b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例26】 设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0x >且1x ≠．试比较()f x 与()g x 的大小．【例27】 若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【例28】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b+>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例29】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =那么（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【例30】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【例31】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥C ．1||2a b a b-+-≥ D【例32】 “0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例33】 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【例34】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例37】 已知a b c >>2a c-的大小关系是 ．【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ）A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例39】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是（ ）A ．12a b +> B ．12b a +>C ．1lg 2a b b +>D ．1lg 2b a a +<【例40】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12。
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【例1】 若0a b <<，1a b +=，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．b【例2】 将232，1223⎛⎫⎪⎝⎭，122按从大到小的顺序排列应该是 ．【例3】若2x =，2x =,x y 满足（ ）A ．x y >B ．x y ≥C ．x y <D ．x y =【例4】 若110a b<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④2b aa b+> 正确的不等式有____ ．（写出所有正确不等式的序号）典例分析比较大小【例5】 已知,a b ∈R ，那么“||a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【例6】 若0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b >B ．a b >C ．2b aa b+> D ．a b ab +>【例7】 比较下列代数式的大小：⑴ 23x x +与2x -； ⑵ 61x +与42x x +；【例8】 比较下列代数式的大小：⑴ 43x x y -与34xy y -；⑵0xy >，且x y >） ⑶ x y x y 与y x x y （其中0,0,x y x y >>≠）．【例9】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【例10】 比较大小：log a ab、log a b 与log b a （其中21a b a >>>）【例11】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b -<-，则下列各式恒成立的是（ ） A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d<【例12】 当a b c >>时，下列不等式恒成立的是（ ）A ．ab ac >B ．a c b c >C ．ab bc >D ．()0a b c b -->【例13】 已知三个不等式：0ab >，0bc ad ->，0c da b->（其中a 、b 、c 、d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例14】 ⑴已知：11,a b a b>>，求证：0,0a b ><． ⑵若0a b >>，0c d >>，求证：d ca b<．【例15】 设a ∈R ，则1a >是11a<的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例16】 如果00a b <>，，那么，下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b< B C ．22a b < D ．||||a b >【例17】 设,a b ∈R ，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【例18】 若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b < B ．2ab b < C ．2b aa b+> D ．||||||a b a b +>+【例19】 若0a b <<，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．11a b>和11||||a b >均不能成立 B ．11a b a>-和11||||a b >均不能成立 C ．不等式11a b a >-和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立D ．不等式11||||a b >和2211a b b a ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均不能成立【例20】 若111a b<<，则下列结论中不正确的是（ ） A ．log log a b b a > B ．|log log |2a b b a +> C ．2(log )1b a <D ．|log ||log ||log log |a b a b b a b a +>+【例21】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ）A ．1a >B ．1a <-C ．11a -<<D ．1a >【例22】 判断下列各命题的真假，并说明理由．⑴若22ac bc >，则.a b > ⑵若a b >，则11.a b< ⑶若,a b c d >>，则.a c b d ->- ⑷若,a b m +>∈N ，则.m m a b >【例23】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a=+，11D a=-．【例24】 实数a b c d 、、、满足条件：①,a b c d <<；②()()0a c b c -->；③()()0a d b d --<，则有（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c a d b <<<【例25】 已知实数a 、b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式①0b a << ②0a b << ③0a b << ④0b a << ⑤a b = 其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例26】 设()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，其中0x >且1x ≠．试比较()f x 与()g x 的大小．【例27】 若2log 3a =，3log 2b =，13log 2c =，21log 3d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【例28】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b+>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例29】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =那么（ ） A ．P Q ≥ B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【例30】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【例31】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥C ．1||2a b a b-+-≥ D【例32】 “0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例33】0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ） A ．12ab ≤ B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【例34】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111a b +≤D ．22111a b+≥【例35】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例36】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例37】 已知a b c >>2a c-的大小关系是 ．【例38】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例39】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是（ ）A ．12a b +> B ．12b a +>C ．1lg 2a b b +>D ．1lg 2b a a +<【例40】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12。