第三章 误差理论与数据处理 测量误差的传递

第三章 测量误差的传递在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式),,,(21n x x x f y =获得。

通过测量获得量n x x x ,,,21 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y 的数值。

那么测量数据的误差怎样作用于间接量y ，即给定测量数据n x x x ,,,21 的测量误差，怎样求出所得间接量y 的误差值?对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结 果。

这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。

现研究怎样确定这一传递关系，即怎样由诸误差因素分量计算出测量的总误差。

研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算， 并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础①。

3.1 按定义计算测量误差现在按测量误差的定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。

若对量Y 用某种方法测得结果y ，则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为 Y y y -=δ (3-1) 设有如下测量方程 ),,,(21n x x x f y = 式中 y ——间接测量结果；n x x x ,,,21 ——分别为各直接测得值。

直接量的测量数据n x x x ,,,21 的测量误差分别为 111X x x -=δ, 222X x x -=δ …………… n n n X x x -=δ式中，X 1，X 2，…，X n 分别为相应量的实际值(真值)。

则间接测量结果的误差可写为()()n n X X X f x x x f Y y y ,,,,,,2121 -=-=δ()()n n n X X X f x X x X x X f ,,,,,,212211 -+++=δδδ (3-2)上式给出了由测量数据的误差计算间接量y 的误差的传递关系式，这一误差关系是 准确无误的。

直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分 析某项误差因素对测量结果的影响时，若这一影响关系不便或不能化成简单的线性关系， 则这一方法更常使用。

因此直接按定义作误差传递计算的方法不能完全用下面所述的线性化的误差传递方法代替。

但在实用上，这种方法较为繁琐，特别是在分析多个误差因素对测量结果的综合影响 时更是如此，并且往往会遇到困难而无法解决。

更重要的是这种方法没有给出规则化的、 简明的误差传递关系，因此在讨论与处理不确定度的合成关系时，它也无法给出简明实用 的合成关系，这是这种方法的局限性。

例3-1 设矩形长度为x ，宽度为y ，则矩形面积s=xy 。

现通过测量获得x 和y 的测 得值，分别为x '和y '，其测量误差分别为x δ和y δ，如图3-1所示，求由此引起的面积误差s δ。

解 这是间接测量的情形。

因测得的x '值和y '值是有误差的，故按函数关系求得的面积s '也有误差，按测量误差的定义，面积误差应为xy y x s s s -''=-'=δ()()xy y y x x -++=δδ y x x y y x δδδδ++=显然，该误差为三项之和，这三项分别相应于图中划有阴影的三块小面积。

例3-2 测量工件平行端面间的距离L ，若工件在测量时，安置歪斜α角，则测量线ac 与被测线ab 方向不一致，分析由此引起的测量误差(图3-2)。

解 由图3-2的三角形abc ，被测量的实际值L与测得值l 间有如下关系 αcos l L = 按定义，测量误差为()ααδcos 1cos -=-=-=l l l L l l 将()αcos 1-按级数展开，略去三次以上的高次项可得221αδl l =此例不能按下面所述的线性化的方法计算。

例3-3 为求得某物体在给定时间间隔内的平均速度，测得时间间隔t 和物体相应 移过的距离s ，若测量误差分别为t δ和s δ，求所给速度的误差表达式。

解 给出的速度应按下式计算 t s v =而排除测量误差的速度表达式则为 tt ss V δδ--=按误差的定义，所给出速度的误差应为t t ss t s V v v δδδ---=-= 经整理并略去微小量可得t tss t v δδδ21-≈例3-4 如图3-3所示电路，设电阻R 1、R 2的误差分别为1R δ、2R δ，分析V 0的误差。

解 由图示关系，得 s V R R R V 1220+=由1R δ与2R δ引入V 0的误差为000V V V -'=δ s s V R R R V R R R R R R 212221222+-++++=δδδ()()s V R R R R R R R R R R 2121211221++++-=δδδδ由于1R δ《R 1,2R δ《R 2，故上式可简化为 ()()12212210R R R R R R V V sδδδ-+=由例3-4可见，对于间接测量的函数 ),,,(21n x x x f y =当测得n x x x ,,,21 值时，若按由误差定义所给出的式(3-2)计算y 的误差，一般来说是较为繁杂的。

造成这一困难的根本原因是这一方法给出的误差计算关系是完全准确的关系，其中包括了若干微小因素。

这些微小因素产生了非线性的关系，造成误差表达式的复杂性。

将这些微小量适当舍弃以后，可使误差表达式大为简化。

3.2 函数误差传递计算的线性化设有函数),,,(21n x x x f y =若n x x x ,,,21 分别含有误差n x x x δδδ,,,21 ，则y 的误差为()()n n X X X f x x x f y ,,,,,2121-=δ为获得简单的误差关系式，将函数),,,(21n x x x f y =按泰勒级数展开，并略去二次以上的高次项，则得 ),,,(21n x x x f y = ()()()2202110121,,X x x f X x x f X X X f n -⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+= ()n n n X x x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂++0()n n n x x f x x f x x f X X X f δδδ020210121,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=式中n X X X ,,21——分别为n x x x ,,,21 的真值； n x x x δδδ,,,21 ——分别为n x x x ,,,21 的误差； 00201,,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂n x f x f x f ——分别为函数),,,(21n x x x f 对n x x x ,,,21 的偏导数在n n X x X x X x ===,,,2211 处的值。

将展开式代人上面的误差式中，则有 ()n n X X X f x x x f y ,,),,,(2121-=δ n n x x f x x f x x f δδδ0202101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= 或简单写成i ni in n x x f x x f x x f x x f y δδδδδ∑=∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=12211 (3-3) 式中，偏导数ix f∂∂可用真值X i 代人求得，也可用测得值x i 代人求得。

这是因为x i 与X i 的差别甚小，相应的偏导数值十分接近。

上式表明，函数y 的总误差应是各误差分量i x δ与相应偏导数ix f∂∂之积的代数和,即函数y 的总误差是各误差分量i x δ的线性和。

这样，通过函数线性化的方法获得了线性的误差传递关系。

既简明，又有规则。

在函数关系较复杂的情形下，更具有突出的优越性。

由于函数关系通常是非线性的，在作线性化处理时需要略去展开式中二次以上的高 次项，保留的一次项部分(即线性部分)只是原来的函数y 的近似表达式，所以严格地说，上面的误差传递关系(式3-3)在一般情况下只是一个近似的关系式。

只有在y 是x i 的线性函数时，该式才是准确的。

当展开式的高次项不可忽略(如例3-2的情形)时，函数不能作线性化处理，此时只能直接按定义计算误差。

因此，线性化方法的应用受一定条件的限制。

但就一般情形看，由于测量误差i x δ相对来说通常是很微小的，所以函数线性化处理 时略去的高次项部分也常可忽略不计。

可以说，一般按线性和求总误差在实用上具有足 够的精度，因而式(3-3)，具有普遍意义。

根据式(3-3)，对一些具有特殊函数关系的间接量，可以获得更具体的结果。

对于线性函数n n x k x k x k y +++= 2211 式中，n k k k ,,,21 为系数。

间接量y 的总误差应为∑==+++=ni iin n x k x k x k x k y 12211δδδδ (3-4)当121====n k k k 时，则有 ∑==+++=ni in x x x x y 121δδδδ (3-5)显然式(3-4)与式(3-5)是准确关系式。

对于三角函数),,,(sin 21n x x x f =ϕ 由式(3-3)，得n nx x f x x f x x f δδδϕδ∂∂++∂∂+∂∂=2211)(sin (3-6) 为求角度ϕ的误差，对正弦函数微分 ϕϕϕd d cos sin = 则有ϕϕϕcos sin d d =以误差量代替微分量，得 ϕϕδδϕcos sin =将式(3-6)代人上式，得角度误差的表达式) +(cos 12211n nx x fx x f x x f δδδϕδϕ∂∂++∂∂∂∂= i n i i x x f δϕ∑=∂∂=1cos 1 (3-7)同样，也可给出具有其他三角函数关系的角度误差表达式。

对于函数),,,(cos 21n x x x f =ϕ 角度ϕ的误差式为i n i ix x fδϕδϕ∑=∂∂-=1sin 1 (3-8) 对于函数),,,(21n x x x f tg =ϕ 角度ϕ的误差式为ini ix x fδϕδϕ∑=∂∂-=12cos (3-9)对于函数),,,(21n x x x f ctg =ϕ 角度ϕ的误差式为 ini ix x fδϕδϕ∑=∂∂-=12sin (3-10)对于对数函数x y ln = y 的误差式为x xy δδ1= (3-11) 对于对数函数x y a log = y 的误差式为x xx y δδln 1=(3-12) 当函数误差以相对误差的形式给出时，由式(3-3)，其传递关系为i n i iy x x fy y yδδβ∑=∂∂==11 (3-13) 或写成i ni iy x x fyyδδβ∑=∂∂==1ln (3-14)以相对误差表示各误差分量时，其传递关系为i x i n i iy x x fy ββ∑=∂∂=11 (3-15)或 i x i ni iy x x fββ∑=∂∂=1ln (3-16) 例3-5 利用线性化的方法给出例3-3中速度的误差表达式。