高中数学必修一《集合》高考专题复习
高中数学必修一第一章集合与函数的概念复习资料
必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B I{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A =I （2）A ∅=∅I （3）A B A ⊆I A B B ⊆IBA并集A B U{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A =U （2）A A ∅=U （3）A B A ⊇U A B B ⊇UBA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且（1）()U A A =∅I ð（2）()U A A U =U ð（3）()()()U U U A B A B =I U 痧? （4）()()()U U U A B A B =U I 痧?【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． （3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存 在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是 函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法yxo函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶．函数．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换 01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图： 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第一章 集合与函数概念第一讲 集合★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征[例1]（20XX 年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素 [解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
高一数学(必修一)集合经典复习
高一数学（必修一）集合1.1.1集合的含义与表示（一）集合的含义1．我们在初中接触过“正数的集合”、“负数的集合”等，集合的含义又是什么呢？•①解不等式2x－1＞3得x＞2，所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．•②平面几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合．•③自然数的集合0,1,2,3，……•④高一(5)班全体同学组成一个集合．•请想一想，集合这个概念应该怎样描述？•一般地，我们把所研究的对象如点、自然数、高一(5)班的同学统称为，把一些组成的总体叫做，通常用表示．•（二）集合中元素具的有几个性质特征（或称三要素）•⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．•⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只•能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．•⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．•例题(1)给定的集合中的元素必须是确定的．•“我国的小河流”能不能组成一个集合，你能用集合的知识解释吗？•．•例题(2)集合中的元素必须是互不相同的，•由1，－1,1,3组成的集合为；若a∈{a2,1}则a＝.•例题(3)若构成两集合的元素是一样的，则称两集合，若集合{1,2}与集合{a,1}相等，则a＝. •例子 1 A={1,3},问3，5哪个是A的元素？ 2 B={素质好的人}能否表示成为集合？•• 3 C={2，2，4}表示是否正确？• 4 D={太平洋，大西洋} E={大西洋，太平洋} 集合D ,E是不是表示相同的集合？••（三）常用的数集及其记法•我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，…表示集合中的元素．•全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为Ｎ•所有正整数组成的集合称为正整数集，记为Ｎ+•全体整数组成的集合称为整数集，记为Ｚ•全体有理数组成的集合称为有理数集，记为Ｑ•全体实数组成的集合称为实数集，记为Ｒ•常见的数集符号：自然数集：；正整数集：；整数集：；有理数集：；实数集：. •（四）集合的表示方法•1．把集合中的元素一一列举出来．•并用括起来表示集合的方法叫做，如大于－1且小于10的偶数构成的集合可表示为•练习题：用列举法表示下列集合：•(1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为．•(2)方程|x－1|＝3的解集为．(3)绝对值小于3的整数的集合为．•2．用集合所含元素的表示集合的方法，称作描述法．•具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的，再画一条竖线，在这条竖线后面写出这个集合中元素所具有的．它的一般形式是{x∈A|p(x)}或{x|p(x)}．“”为代表元素，“”为元素x必须具有的共同特征，当且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是该集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性的特点，当元素个数较多时，一般选用此法．•练习题1°试用描述法表示下列集合：•(1)方程x2－3x＋2＝0的解集为．(2)不等式3x＋2>0的解集为．•(3)大于1小于5的整数组成的集合为．•练习题2°用列举法表示下列集合：•(1)6的正约数组成的集合．________(2)不等式2x－1＜5的自然数解组成的集合．________ •(3)古代我国的四大发明组成的集合．________•本节重点：集合的概念，集合中元素的三个特性及集合的表示方法．•本节难点：集合中元素的性质的理解．•正确理解概念，准确使用符号，熟练进行集合不同表示方法的转换是学好本节的关键．•1．要辩证理解集合和元素这两个概念：•(1)符号∈和∉是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相等关系．•(2)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．•2．深刻认识集合中元素的四种属性•(1)任意性：集合中的元素可以是任意的对象，无论是数、式、点、线、人，还是其它的某种事或物，只要它们具有某种共同属性，集中在一起就能组成一个集合，我们把集合的这一性质称为元素的任意性；在中学，我们主要研究对象是一系列的数的集合或点的集合．•(2)确定性：判断一些对象是否可以组成一个集合，主要方法是，在观察任意一个对象时，应该可以确定这一对象要么属于这一集合，要么它不属于这一集合．例如：给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其它对象都不属于这个集合．如果说“由接近3的数组成的集合”这里“接近3的数”是没有严格标准、比较模糊的概念．它不能构成集合．如“好人”、“较大的树”等都不能成为集合．••(3)无序性：在表示一个集合时，我们只需将某些指定的对象集在一起，虽然习惯上会将元素按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序，当两个集合中的元素相同，即便放置顺序完全不同时，它们也表示同一集合．•例如：{a，b}和{b，a}表示同一个集合．•(4)互异性：对于任意一个集合而言，在这一集合中的元素都是互不相同的个体．如：给出集合{1，a 2}，我们根据集合中元素的互异性，就已经得到了关于这个集合的几点信息，即这一集合中有两个不同的元素，其中的一个是实数1，而另一个一定不是1，所以a ≠1，且a ≠－1. • 3．正确理解列举法• (1)元素间用分隔号“，”隔开；(2)元素不重复；• (3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号．• 4．合理选用集合的表示方法• 列举法与描述法各有优点，列举法可以看清集合的元素，描述法可以看清集合元素的特征，一般含有较多或无数多个元素时不宜采用列举法，因为不能将集合中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．• 5．要正确理解描述法• 用描述法表示集合时注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)等．(2)元素具有怎样的属性？• 用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．• 6．特别注意以下几种集合，这是我们研究集合时的主要研究对象．• (1)一般数集．(2)特殊数集：如方程的解集；不等式的解集等．(3)平面点集．(4)图形集． • 7．集合语言• 集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．包括文字语言、符号语言、图形语言．• 要熟练地将集合的三种语言进行相互转化．• 8．解集合问题的关键• 解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构成．如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、形象化．也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合．• 例如，在判断集合A ＝{x |x ＝4k ±1，k ∈Z }与集合B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }是否为同一集合时，若从代表元素入手来分析它们之间的关系，则比较抽象，而用列举法来表示两个集合，则它们之间的关系就一目了然．即A ＝{…，－1,1,3,5，…}，而B ＝{…，－1,1,3,5…}• ∴A 与B 是同一集合．基础练习1．已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y|y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x|x 2－4x ＋4＝0}3．下列关系中，正确的个数为________．①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N *；④|－3|∈Q .4．已知集合A ＝{1，x ，x 2－x}，B ＝{1,2，x}，若集合A 与集合B 相等，求x 的值．巩固练习一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列命题中正确的()①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上语句都不对2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0} 3．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有()A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A4．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0 B．2 C．3 D．6二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________．6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)7．选择适当的方法表示下列集合集．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．8．设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5∉B，求a的值．9．(10分)已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}．(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．。
高考复习专题03 集合间的包含关系-高中数学精品课件(必修1)
②当m≠0时, 解得m=-4或
由mx m=6.
=12得,
x
12 m
,从而
12 m
3或
12 m
2
.
综上所述, m的值为0或-4或6.
注意 “两个集合具有包含关系”在试题中常采用以下等价说法：
A B B A B A A (CU B) A B.
（1）解决集合与集合之间的关系问题,常用的方法有：特征分析法、元素分析 法、图示法等，其中图示法就是利用Venn图或数轴或平面图形把两个集合表示 出来,再判断它们之间的关系. 一般地,元素分析法和图示法能使集合具体化、形 象化,从而降低思维难度,简化解题过程.
注意：集合M 为{1,3,5}的真子集，同时一定含有元素7.这类问题我们可以： {7} M {1,3,5,7}，即Φ M {1,3,5},即M {1,3,5}.不影响计算 M 的个数.
例5.集合A ={ x | -1< x < 3}, B ={ x | x < a },若A B,则实数a的
取值范围是 （A ）
A.a < 3
B.a ≤ 3
C.a > -1
D.a ≥ -1
解：因为A B ，所以集合 A 中至少有一个元素不在 B 中， 利用数轴可知 a < 3.
例6.若集合A ={-3,2}, B ={ x | mx =12 },且A B A,则m的值为 0或-4或6 .
解：∵ A B A ,∴ B A . ∵A ={-3,2},而集合B至多含有一个元素,∴ B =Φ,或B ={-3}或B ={2}. ①当m=0时, B ={ x | 0×x =12 }=Φ,符合题意；
子集与真子集
（1）子集：一般地，对于两个集合A 、B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个 集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B 或B A ,读作“A 含于B”或“B 包含A”.
高中必修一集合复习讲义[1]
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集合专题复习【例题解析】题型1． 正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y|y=x 2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}例2.若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道集 合定 义 特 征 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 表示法 分 类 列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} 有限集、无限集 数 集 关 系 自然数集N 、正整数集+*N 或N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、空集φ 元素和集合的关系是”或“∉∈如N 3M 2∉∈或 集合与集合之间的关系是",,,,, ,"A C u =⊄⊆⊂ 运 算 性 质交集 A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}； 并集 A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B}； 补集 A C U ＝{x|x ∉A 且x ∈U}，U 为全集 A ⊆A ； φ⊆A ； 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ； A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ；A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ； A ∩C U A ＝φ； A ∪C U A ＝I ；C U ( C U A)＝A 方 法 韦恩示意图 数轴分析 注意：① 区别∈与⊂、⊂与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ4.③ 对于任意集合B A ,，则 =B C A C U U )(B A C U ；B C A C U U )(B A C U =； ④ 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是12-n ，所有非空子集的个数是12-n ，所有非空真子集的个数是22-n 。
高考数学总复习集合必修1
正解： ∵ y x2 4x 3 ( x 2) 2 1≥ 1 ，
y x2 2x 2 (x 1)2 3≤ 3 ，
∴ A y ≥y 1 B y y ≤ 3
，
，
∴ A B y 1≤ y≤ 3 ．
解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素） ，均是 y，所以要求出两个集合中
围再求交集， A 中的 y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合．
用心 爱心 专心
-1-
（ 3）无序性
集合中的元素的次序无先后之分．如：由 1，2，3 组成一个集合，也可以写成 1，3，2 组成一个
集合，它们都表示同一个集合． 帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题
（ 1）注意 a 与 a 的区别． a 是集合 a 的一个元素，而 a 是含有一个元素 a 的集合，二
{ x a x b, x R, a b} 记作闭区间 [ a, b] ， R 记作 ( , ).
定义 7 空集 ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （ 1）确定性
集合中的元素，必须是确定的．对于集合 A 和元素 a ，要么 a A ，要么 a A ，二者必
，则 实数
x2 y2
{( x, y) |
2. （2010. 湖北卷 2. ）设集合 A=
4
16 1} ， B={( x, y) | y 3x} , 则 A∩B 的子集的
个数是（
）
A. 4 B.3 C.2 D.1
方法：注意研究元素，是点的形式存在， A 是椭圆， B 是指数函数，有数形结合方法，交于两
{ x x 0}
如 { 有理数 } ，
分别表示有理数集和正实数集。
高中数学人教版必修1集合重点题型
高中数学人教版必修1集合重点题型高中数学人教版必修1集合主要包括集合的基本概念、集合的运算、集合的关系与性质、应用等。
下面将分别介绍每个部分的重点题型。
一、集合的基本概念：1.集合的表示方法：常用的集合表示方法有列举法、描述法和区间表示法。
重点考察对不同表示方法的理解与转换。
2.集合的基本运算：重点考察集合的并、交、补、差运算的性质。
常见的题型包括求集合的并、交、补的运算结果、画出集合的Venn图等。
二、集合的运算：1.集合的交换律、结合律、分配律：重点考察理解集合运算的交换律、结合律、分配律，并能运用这些性质解决实际问题。
2.集合的恒等律、吸收律和对偶律：重点考察理解集合的恒等律、吸收律和对偶律，并能在解题过程中应用这些性质。
3.应用题：考察对集合的运算性质的灵活应用，如使用集合的运算解决包含“至少”、“至多”、“或”、“且”等关系的问题。
三、集合的关系与性质：1.集合的含义和关系的判断：重点考察理解集合关系的概念和如何判断集合之间的关系。
2.集合包含关系和相等关系：重点考察理解集合的包含关系和相等关系，并能根据题意判断集合之间的包含和相等关系。
3.集合的不相交关系：考察理解集合的不相交关系，并能运用相关概念来解题。
四、应用题：1.集合的应用：重点考察将现实生活中的问题转化为集合的运算问题，并能运用集合的运算性质解决实际问题。
2.定义集合：考察理解集合的定义，运用集合的概念解决定义问题。
以上是高中数学人教版必修1集合的重点题型。
在复习时，可以结合教材中的例题和习题进行训练，同时注意理解和掌握相关概念和性质，注重灵活运用。
希望对您有所帮助！。
高中数学必修一 集合和函数详细复习资料
集合参数取值范围问题1.已知集合{}{}2|15500,|10A x x x B x ax =-+==-=,若A B ⋂≠Φ,求a 的值.2．已知集合A={1，3，x 2}，B={2﹣x ，1}． （1）记集合，若集合A=M ，求实数x 的值；（2）是否存在实数x ，使得B ⊆A ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由． ，且3=）由于集合，解得±（1）若A ∩B=B ，求实数m 的取值范围；，得，﹣．已知不等式：等价于；；时，时，时，时，，须有综上：与，∴﹣≤，＞时，a=＞＜a=第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ一．考纲解读1.了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质（二）指数函数1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题 3．知道对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数与对数函数互为反函数。
（四）幂函数1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
高一集合题高考知识点分析
高一集合题高考知识点分析高考是每个高中生都会面对的考试，它决定着一个学生是否能够进入心仪的大学。
而高一时期，就是为高考做准备的重要阶段。
为了更好地应对高考，我们需要对高一集合题的高考知识点进行深入分析。
一、数学数学是高考中最重要的科目之一，也是很多学生头疼的科目。
高一的数学集合题主要包括集合的基本运算、集合的表示方法、集合的包含关系等。
1. 集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集和补集。
高一的集合题一般会涉及这些基本运算，考查学生对集合运算的理解和应用能力。
2. 集合的表示方法集合的表示方法有四种：列举法、描述法、区间表示法和集合运算表示法。
高一的集合题中常常会要求学生根据具体情况选择适当的表示方法，并正确表示集合。
3. 集合的包含关系集合的包含关系包括真包含、假包含和相等三种情况。
高一的集合题中经常会涉及这些包含关系，考查学生对包含关系的理解和判断能力。
二、物理物理是高考中的另一门重要科目，它考查学生对自然界现象和物理规律的理解和应用能力。
高一的物理集合题主要包括力和运动、能量和功以及电和电路等方面的知识点。
1. 力和运动高一的物理集合题中常涉及力和运动之间的关系，包括力的合成和分解、运动的速度和加速度等。
学生需要掌握这些基本概念，并能够应用到具体问题中。
2. 能量和功能量和功是物理中的重要概念，高一的集合题中经常会要求学生计算物体的动能、势能和机械功等。
学生需要熟悉能量和功的计算公式，并能够灵活运用。
3. 电和电路电和电路也是高一物理集合题中的常见知识点，涉及电流、电压、电阻等方面。
学生需要了解电路中的基本元件和电流的分布情况，以及如何计算电路中的电流和电压等。
三、化学化学是一门应用性很强的科学，它与生活密切相关。
高一的化学集合题主要集中在化学反应、化学方程式和化学平衡等知识点上。
1. 化学反应化学反应是化学中的重要概念，高一的集合题中经常要求学生识别化学反应类型、写出化学方程式等。
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专题二 集 合
1．集合的基本概念
(1)集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：a ∈A 或a ∉A . (3)常见集合的符号表示
(4)2．集合间的关系
(1)两个集合A ，B 之间的关系
(2)空集
规定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集． (3)子集的个数
集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集(除集合本身)，有2n －1个非空子集，有2n －2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)．
遇到形如A ⊆B 的问题，务必优先考虑A ＝∅是否满足题意． 3．集合间的运算
考向一 集合的基本概念
1、(2013·江西，2)若集合
A
＝
{}x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0中只有一个元素，则a ＝
( )A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4
2、(2014·福建，16)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0
有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．
3、(2016·山东济南一模，3)若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合
z＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2
考向二集合的基本关系
4、(2013·福建，3)若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为()
A．2 B．3 C．4 D．16
5、(2012·大纲全国，2)已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝()
A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3
6、(2013·课标Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()
A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B 考向三集合的基本运算
7、(2015·福建，2)若集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于()
A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1}
变式7.1：设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝()
A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}
变式7.2：已知全集R，集合A＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧
⎭⎪
⎬
⎪⎫
x
⎪
⎪
⎪
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
x
≤1，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩(∁R B)＝()
A{x|x≤0} C．{x|0≤x＜2或x＞4} B．{x|2≤x≤4} D．{x|0<x≤2或x≥4}
考向四集合的新定义
9、(2015·湖北，10)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A．77 B．49 C．45 D．30
能力提高：
1．(2016·课标Ⅰ)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()
A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}
2．(2016·课标Ⅲ)设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则∁A B＝()
A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}
3．(2016·天津)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y ＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝()
A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
4．(2016·山东)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝() A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
5．(2016·北京)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|x<3或x>5}，则A∩B＝()
A．{x|2<x<5} B．{x|x<4或x>5} C．{x|2<x<3} D．{x|x<2或x>5}
6．(2016·四川)设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．6 B．5 C．4 D．3
7．(2016·浙江，1，易)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁U P)∪Q＝()
A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
8．(2015·课标Ⅰ，1，易)已知集合A＝{x|x＝3n ＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()
A．5 B．4 C．3 D．2
9．(2015·安徽，2，易)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()
A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}
10．(2015·山东，1，易)已知集合
A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝()
A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)
11．(2015·课标Ⅱ，1，易)已知集合
A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝() A．(－1，3) B．(－1，0) C．(0，2) D．(2，3)
12．(2015·陕西，1，易)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()
A．[0，1] B．(0，1] C．[0，1) D．(－∞，1]
13．(2013·山东，2，中)已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁U B＝()
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅
14．(2012·湖北，1，中)已知集合A＝{x|x2－3x ＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，
x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
15.(2015·江苏，1，易)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为________．16.(2015·湖南，11，易)已知集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{1，3，4}，则A∪(∁U B)＝________.。