离散量数
最常见的离散量数
最常见的离散量数
离散量数是统计学中用于描述一组数据分散程度的量数。
最常见的离散量数有很多种，以下是其中一些常见的离散量数：
1.标准差：标准差是最常用的离散量数之一，它表示一
组数据与其平均数之间的离散程度。
标准差越大，数据越分散；标准差越小，数据越集中。
2.四分位差：四分位差是指一组数据中，下四分位数与
上四分位数之差。
它主要用于描述数据的中间50%的离散程度。
四分位差越大，数据越分散；四分位差越小，数据越集中。
3.众数：众数是数据中出现次数最多的数值。
如果一组
数据中出现多个众数，则众数不一定是最佳的离散量数。
4.全距：全距是指一组数据中的最大值与最小值之差。
它是最简单的离散量数之一，但通常不能提供太多的信息，因为它不考虑数据的分布情况。
这些是最常见的离散量数，它们具有不同的特点和应用场景。
选择适当的离散量数取决于研究问题的性质和数据的分布情况。
在数据分析中，选择合适的离散量数非常重
要，因为它可以帮助我们更好地了解数据的分散程度和分布情况，从而做出更准确的决策。
体育统计学
课本一，1，统计推断结论都存在出错的可能性，所有的统计结论总是和概率相关系的结论。
2，统计分析步骤:根据研究的问题做出研究设计、、根据上述设计手机样本数据、、整理数据资料统计描述、、统计推断、、做统计结论、、结合专业作分析讨论。
3，影响抽样误差大小的因素：样本含量的大小、总体被研究标志的变异程度、抽样的组织方式、抽样方法。
4，常见的抽样方法有单纯随机抽样，机械抽样，分层随机抽样，整群随机抽样。
5，代表总体特征的统计指标称为参数6，人们把所需要研究的同质对象的全体称为总体7，从总体中抽出来用以推测总体的部分对象称为样本二，1，体育统计资料的来源主要有两个方面：常规性资料、、专题性资料。
2，体育统计可分为全面调查和非全面调查，非全面调查又分为抽样调查和典型调查，。
体育统计常用的是抽样调查。
3，变量按取值情况可分为离散变量和连续性变量，按性质可分为定类变量、定序变量、定距变量和定比变量。
4，收集资料时应注意的问题：第一：保证资料的完整性、有效性和可靠性；第二：保证样本的代表性。
5，连续型变量频数分布表的编制步骤如下：求全距、、、确定组数和组距、、、确定组限、、、列频数分布表并划记。
三，1，反映集中趋势的数称为集中量数。
2，算数平均数是所有的观察总和除以总额说所得之商，简称为平均数或均数。
算数平均数是反映同质对象观察值的平均水平与集中趋势的统计量。
·3，反映集中趋势的数称为集中量数。
4.中位数是将数依据数值大小顺序排列后，位于序列中央位置的数，用★表示。
偶数，则中间两个的平均数是中位数。
5，标准差是带有与原观察值相同单位的名数。
它对两种不同或相同而两个平均数相差较大的资料，都无法比较差异的大小，必须用变异系数进行比较。
所谓变异系数是指标准差与平均数的百分比6，★四．1在一定条件下可能发生的可能不发生的现象成为随机现象。
对于随机现象的一次观察可以看作一次实验，这样的实验成为随机实验。
2如果事件A发生的可能性的大小可以用一个常数P来表示，则P称为随机事件A在该试验条件下的概率。
如何衡量数据的离散程度
如何衡量数据的离散程度我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。
常用的可以反映数据离散程度的统计量如下：极差（Range）极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差：极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。
四分位距（interquartilerange，IQR）我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征：一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。
四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。
方差（Variance）方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消：方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。
标准差（StandardDeviation）方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。
平均差（MeanDeviation）方差用取平方的方式消除数值偏差的正负，平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。
平均差可以用均值作为参考系，也可以用中位数，这里使用均值：平均差相对标准差而言，更不易受极端值的影响，因为标准差是通过方差的平方计算而来的，但是平均差用的是绝对值，其实是一个逻辑判断的过程而并非直接计算的过程，所以标准差的计算过程更加简单直接。
张厚粲《现代心理与教育统计学》(第3版)配套题库[课后习题](差异量数)
](https://img.taocdn.com/s3/m/446b814cb7360b4c2e3f64f4.png)
第4章差异量数1．度量离中趋势的差异量数有哪些?为什么要度量离中趋势?答：（1）度量离中趋势的差异量数有全距、四分位差、百分位差、平均差、标准差与方差。
差异量数就是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，也称离散量数（measures of dispersion）。
（2）度量离中趋势的必要性在心理和教育研究中，要全面描述一组数据的特征，不但要了解数据的典型情况，而且还要了解特殊情况。
这些特殊性常表现为数据的变异性。
因此，只用集中量数不可能真实地反映出它们的分布情形。
为了全面反映数据的总体情况，除了必须求出集中量数外，这时还需要使用差异量数。
2．各种差异量数各有什么特点?答：（1）标准差计算最严密，它根据全部数据求得，考虑到了每一个样本数据，测量具有代表性，适合代数法处理，受抽样变动的影响较小，反应灵敏。
缺点是较难理解，运算较繁琐，易受极端值的影响。
（2）方差的描述作用不大，但是由于它具有可加性，是对一组数据中造成各种变异的总和的测量，通常采用方差的可加性分解并确定属于不同来源的变异性，并进一步说明各种变异对总结果的影响。
因此，方差是推论统计中最常用的统计量数。
（3）全距计算简便，容易理解，适用于所有类型的数据，但它易受极值影响，测量也太粗糙，只能反映分布两极端值的差值，不能显示全部数据的差异情况，仅作为辅助量数使用。
（4）平均差容易理解，容易计算，能说明分布中全部数值的差异情况，缺点是会受两极数值的影响，但当数据较多时，这种影响较小，因有绝对值也不适合代数方法处理。
（5）百分位差易理解，易计算，不易受极值影响，但不能反映出分布的中间数值的差异情况，也仅用作补助量数。
（6）四分位差意义明确，计算方便容易，对极端值不敏感，较不受极端值影响。
当组距不确定，其他差异量数都无法计算时，可以计算四分位差。
但是，四分位差无法反映分布中所有数据的离散状况，不适合使用代数方法处理，受抽样变动影响较标准差大。
体育统计学
1.体育统计：是运用数据统计的原理和方法对体育领域里各种随机现象规律性尽兴研究的一门基础应用学科，属方法论学科范畴。
2.体育统计工作的基本过程：1.统计资料的搜集；2.统计资料的整理；3.统计资料的分析。
3.体育统计研究对象的特征：1.运动性；2.综合性；3.客观性。
4.体育统计在体育活动中的作用：1.体育统计是体育教育科研活动的基础；2.体育统计有助于训练工作的科学化；3.体育统计能帮助研究者制定研究设计；4.体育统计能帮助研究者有效地获取文献资料。
总体：根究统计研究的具体研究目的而确定的同质对象的全体。
6.总体可分为假想总体和现存总体。
现存总体又分为有限总体和无限总体。
7.有限总体：指基本研究单位的边界是明晰的，并且基本研究单位的数量是有限的总体。
8.无限总体：指基本研究单位的数量是无限多的总体。
9.样本：根据需要与可能从总体中抽取的部分研究对象所形成的子集。
可分为随机样本和肥随机样本。
10.随机样本：指采用随机取样方法获得的样本。
非随机样本：指研究者根据研究的需要，寻找具备一定条件的对象所形成的样本。
11.样本含量用n表示，n大于等于45为大样本；n小于45为小样本。
12.等距随机抽样：机械随机抽样是先将总体中的个体按照与研究目的无关的任一特征进行排列，然后根据要求按一定间隔抽取个体组成样本的方法。
13.必然事件：事先能够预言一定会发生的事件。
14.随机事件：在一定的实验条件下，有可能发生也有可能不发生的事件。
15.随机变量：在统计研究中随机事件需由数值来表示，我们把随机事件的数量表现成为随机变量。
随机变量分连续型变量和离散型变量。
16.连续型变量：在一定的范围里，变量的所有的可能取值不能一一列举出来。
17.离散型变量：变量所有的可能取值能一一列举出来。
18.总体参数：反映总体的一些数量特征。
19.样本统计量：样本所获得的一些数量特征。
20.收集资料的方法：1.日常积累；2.全面普查；3.专题研究。
离散程度衡量指标
离散程度衡量指标离散程度衡量指标是用来评估一组数据或变量的分散程度的指标。
在统计学和数据分析中，离散程度是一个非常重要的概念，可以帮助我们理解数据的分布情况、变量之间的关系以及数据的可信度。
在本文中，我将从简单的离散程度衡量指标开始介绍，然后逐渐深入探讨更复杂的指标和概念。
通过阅读本文，你将对离散程度的概念和衡量指标有一个清晰的了解，并能够灵活运用它们进行数据分析和实践。
1. 范围和极差范围是最简单的离散程度衡量指标，它表示一组数据中最大值和最小值之间的差距。
范围越大，代表数据的离散程度越高。
2. 方差和标准差方差是衡量数据分散程度的常用指标，它表示数据与其均值之间的差距的平方的平均值。
标准差是方差的平方根，代表数据的离散程度相对于其均值的大小。
方差和标准差越大，代表数据的离散程度越高。
3. 均方差均方差是衡量预测值与实际观测值之间的差距的指标。
在统计学中，我们常常需要使用模型进行数据预测，而均方差可以帮助我们评估预测的准确程度。
均方差越大，代表预测值与实际观测值之间的差距越大，说明数据的离散程度越高。
4. 四分位数和箱线图四分位数是将数据按照大小划分为四等分的指标，可以帮助我们了解数据的分布情况。
箱线图是基于四分位数的可视化工具，可以将数据的离散程度直观地展示出来。
箱线图的上下边界代表数据的上下四分位数，中位线代表数据的中位数，离群点代表数据中的异常值。
如果箱线图的箱子较长，离散程度较小；如果箱线图的箱子较短，离散程度较大。
5. 离散系数离散系数是衡量数据离散程度的相对指标，它是标准差与均值之比。
离散系数越大，代表数据的离散程度越高。
6. 相对离散度相对离散度是衡量两个随机变量之间相对离散程度的指标。
它可以帮助我们理解两个变量之间的关系以及数据的可信度。
相对离散度越大，代表两个变量之间的离散程度越高。
通过对这些离散程度衡量指标的介绍，我们可以发现离散程度的概念和应用是十分广泛的。
无论是在统计学、机器学习还是数据分析领域，离散程度都是一个重要的概念。
体育统计第三章样本特征数
频数点
Excel函数
某小学二年级3班、4班80名男孩身高数据(单位：cm)：
135
134
129
133
131
131
131
134
140
128
136
127
131
137
115
133
134
124
128
135
133
131
123
131
136
144
143
140
124
144
138
127
131
120
121
125
130
例: 2 6 6 6 6 6 10 = 6
Excel函数
AVERAGE 算术平均数 [统计函数]
适 用：返回一组数据的集中趋势及平均水平
公 式：
x
x
n
预 备：数据区域A2：A6中，分别输入10，7，9，27，2
结果区域A8
函数窗：AVERAGE（A2：A6）等于 11
语 法：AVERAGE（数据区域）等于 平均数
20
频数
15 10
5
0
3班、4班频数分布图 身高上限
频数点
1班、2班与3班、4班身高频数分布表
身高下限 身高上限 1、2班频数3、4班频数
115
117
1
5
118
120
3
7
121
123
8
8
124
126
10
9
127
129
20
11
130
132
19
11
133
135
统计心理-第四章 差异量数
25% 25% 25% 25%
Q1
Q2
Q3
Q = （Q3 – Q1）/2
排序后处于25%和75%位置上的值
三、四分位差
1. 也称为内距或四分间距 2. 反映了中间50%数据的离散程度 3. 不受极端值的影响 4. 用于衡量中位数的代表性
5. 可用于顺序数据、数值型数据，但不 能用于分类数据
顺序数据的四分位数
i 1
N
i 1
N
i
（三）总标准差的合成
St
N 1
S
2 1
d
2 1
N2
S
2 2
d
2 2
Nk
S
2 k
d
2 k
N1 N2 Nk
k
k
N
i
S
2 i
N
i
d
2 i
i1
i1
k
Ni
i1
S
：
t
总
标
准差
注意：只有应用同一种观测手段，测量同一 个特质，只是样本不同时，才能应用该公式 合成方差和标准差。
二、百分位差
3.百分位数的计算
Pp
Lb
1p00NFb f
i
4.百分位差
（1）P90 P10 （2）P93 P7
Pp为所求的第P个百分位数 Lb为百分位数所在组的精确下限 f为百分位数所在组的次数
Fb为小于Lb的各组次数的和 N为总次数
i为组距。
【例】：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P90-P10。
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Lb—百分位数所在组的精确下限
f—百分位数所在组的次数
Fb—小于Lb的各组次数的和
N—总次数
i—为组距
例题4-1 计算百分位差P90—P10
组别
65～ 60～ 55～
50～ 45～ 40～ 35～ 30～ 25～ 20～ 15～ 20～
f
向上累加次数
1
157
4
156
6
152
8
146
16
138
CV S 100 X
例题4-4：
在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平 均数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。
班级 1 2 3
人数 42 36 50
平均数 标准差
103
16
110
12
98
17
计算过程
班级 n X
1 42 103
2 36 110
3 50
98
74
—
S
dXXt d2XXt 2
16
6
0.000004
第三节 标准差的应用
思考： 已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤,体重的
标准差是3.7公斤,平均身高110厘米,标准差为6.2厘米, 问体重与身高的离散程度哪个大?
一、差异量数
1.Coefficient of variation 也称离散系数,标准差系数，是一组数据的标准差与其
相应的均值之比。
一、全距 定义 ：是一列数据中最大数与最小数的差距，又称
极差。公式：R=Xmax-Xmin 特点： 1.是说明数据离散程度最简单的统计量； 2.不能充分利用数据信息； 3.不稳定，不可靠，也不灵敏。
二、百分位差
（一）百分位数（Percentile） 百分位数是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数
N
i
分数分组
908580757065605550454035302520151050-
次数
累积次数
累积百分数
13
课堂练习 1900
100.00
27
1887
99.32
51
1860
97.89
70
1809
95.21
98
1739
91.53
134 131
PR
1641
100 1507
[Fb
f ( X 86.37
67
65.5—68.5 |||
63---
64
62.5—65.5 |
60---
61
59.5—62.5 |
上限以下的累加次数
次数f
实际累加 相对累加 频数p/N 次 数 次 数
2
0.02
100
1
3
0.03
98
0.98
4
0.04
95
0.95
8
0.08
91
0.91
11
0.11
83
0.83
17
0.17
72
0.72
课堂练习 x x x x x 2
73 -6
36
87
8
64
X
2
x x 236
83
4
16
80
1
1
77 -2
4
79
0
0
75 -4
16
78 1
1
72 -7
49
86 7
49
S
x
2
x
N
236 23 .6 10
4 . 86
课堂练习：采用原始数据计算
x 编号
X2
1
4
2
5
3
7
4
4
5
6
6
8
36
二、四分位差
1.四分位数可视为百分位数的特例，用Q来表示。 2.P25,P50 , P75把数据分成四等份，所以称为四分位数。 P25（第一个四分位，Q1）； P50（第二个四分位，Q2）； P75 （第三个四分位，Q3）；
3. 四分位差是百分位差特例: （P75-P25）/2=（Q3-Q1）/2。 4.实质：反映了中间50%数据的离散程度。
的成绩比约79%的人要好，比约19%的人要差。
百分等级的编制过程
精确
分组区间 组中值Xc 上下限
登记
次数
96---.
97
95.5—98.5 ||
93---
94
92.5---95.5 |||
90---
91
89.5—92.5 ||||
87---
88
86.5—89.5 |||| |||
84---
85
83.5—86.5 |||| |||| |
i为所求的百分位的位置。 第三步：若i不是整数，将i向上取整；若i是整数，则
第p百分位数是第i项与第（i+1）项数据的平均值。
例题
有12个职员薪金的数据，求第85和第50百分位数。 解：（1）先排序： 2210 2225 2350 2380 2380
2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 （2） i=(p/100)n=(85/100) 12=10.2。由于
第四章 差异量数
李金德
第一节 全距与百分差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用 第四节 差异量数的选用
例题
例：设甲、乙、丙三人，做四级英语模拟试题5套得分 结果如下：
编号
甲
乙
丙
1 560 520 510
550
2 540 510 505
3 500 500 500
500
4 460 490 495
24
122
34
98
21
64
16
43
11
27
9
16
7
7
解：（1）先确定P90，P10的位置： 157*（90/100）=141.3; 157*（10/100）=15.7
（2）确定P90，P10所在区间：
P90在“50～”这组，P10在“15～”这组
（3）确定公式中的符号：
Lb=49.5，Fb=138，i=5，f=8
81---
82
80.5—83.5 |||| |||| ||||||
78---
79
77.5—80.5 |||| |||| ||||||||
75---
76
74.5—77.5 |||| |||| ||||
72---
73
71.5—74.5 |||| ||||
69---
70
68.5—71.5 |||| ||
66---
S fd2fd2 f i f
学生创造性思维成绩分布表
第1行
40-44 35-39 30-34 25-29 20-24 15-19
第2行 人数
1
7
3
11
8
2
32
第m3行 组中值 42
37
32
27
22
17
—
第4行
d
3
2
1
0
-1
-2
—
第5行
d 2
9
4
1
0
1
4
—
第6行
fd 3
14
3
0
-8
-4
8
第7行
Lb=14.5，Fb=7， i=5，f=9
（4）代入公式计算P90 ，P10 P 90 4.5 914 .3 8 1 13 5 85.5 16 1.7 57 P 101.5 4 9 51.3 93
（5）计算P90-P10=51.56-19.33=32.23
课堂练习
计算上例中P75，P25
ST
Ni Si2 Nidi2 Ni
30386 3013.971 260.94 16.15 42 36 50
5.方差、标准差的性质和意义 （1）性质 每个观测值加一个常数C，标准差不变。 每个观测值乘一个常数C，新数据标准差为原标准差
乘此常数。 （2）意义 表示数据离散程度的最好指标。
19
0.19
55
0.55
14
0.14
36
0.36
10
0.1
22
0.22
7
0.010.+070.01=0.0122
0.12
3
0.03
5
0.05
1
0.01
2
0.02
1
0.01
1
0.01
∑f=100 1
3.百分等级的公式： 可以通过百分位数公式推导而出
PR 100 [Fb f ( X Lb) ]
解：
161.先对原始数据求和：
25 X36
492.再对原始数据平方求和：
16
36 X2 226
643.把结果带入公式
226 s2 N X2 NX2262636621.67
3.分组数据的标准差和方差（了解）
方差： s 2
f Xc X
f
2
标准差： S
2
f Xc X
f
练习：学生创造性思维成绩分布表，求标准差
79.32
Lb)]
125
N 1376
i 72.42
149
1251
65.84
136
1102
58.00
134 126
x 89826362时，
50.84 43.79
138 139 147
706
5681809 PR ＝429