二项式定理十大典型问题及例题汇编
二项式定理十大典型例题配套练习
精锐1n n n n +1) n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n1. 二项式定理：，2. 基本概念：(a + b )n = C 0a n + C 1a n -1b ++ C r a n -r b r++ C n b n (n ∈ N * )①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。
r +1 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的齐次多项式 (r = 0,1C , r 2,⋅⋅⋅, n ) (r b a n④通项： 展开式中的第项叫做二项式展开式的 T C =r r a C +nr -1a r b nr -r b r 通项。
用表示。
3. 注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。
r +1 n n(n +1) ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。
与是不同 (b r +b a +a 1)n 的。
③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。
的指数从b 0n a 逐项减到，是升幂排列。
各项的次数和等于. ④系数： 注意正确区分二项式系数与项的 C 0 , C 1 , C 2 , ⋅b a ⋅⋅, C r ,⋅⋅⋅, C n . 系数， 二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。
4. 常用的结论：令 令 5. 性质：(1+ x )n = C 0 + C 1x + C 2a x 2=+1,b =+ C x ,r x r ++ C n x n (n ∈ N *) (1- x )n = C 0 - C 1x + C 2x 2a -=1,+b C = r -x x r ,++ (-1)n C n x n(n ∈ N *) ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的 C C k 0 ==C C kn-1两个二项式系数相等，即，···nnnn②二项式系数和：令,则二项式系数的C 0 + C 1 + C 2 +a = +b C = r 1+ + C n = 2n和为， 变形式。
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二项式定理 概 念 篇【例 1】求二项式 ( a － 2b)4 的展开式 . 分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a － 2b)4=C 04 a 4+C 14 a 3( － 2b)+C 24 a 2(－ 2b)2+C 34 a( － 2b)3+C 44 ( －2b) 4=a 4 － 8a 3b+24a 2b 2－ 32ab 3 +16b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－ 2b 中的符号“－”忽略 .【例 2】展开 (2x － 32) 5.2x分析一：直接用二项式定理展开式.解法一： (2x －35 05143233 232332x2) =C 5 (2x) +C 5 (2x) (－ 2x 2)+C 5 (2x) (－2x 2 ) +C 5 (2x) (－ 2x2) +C 54 (2x)( －3) 4+C 55(－3)52x 22x 2=32x 5－ 120x 2+180 － 135 + 405－243x4 7 10 .x 8x 32x分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 .解法二： (2x －35(4x 3 3)5 2x 2) =32x10=110 ［ C 05 (4x 3)5+C 15 (4x 3 )4(－ 3)+C 52 (4x 3)3(－ 3)2+C 35 (4x 3)2(－ 3)3+C 45 (4x 3)(－ 3)4+32xC 55 (－3) 5］1 10 (1024x 15－ 3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－ 243)=32x=32x 5－ 120x 2+180－135+ 405 － 243 .xx 4 8x 732x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例 3】在 (x － 3 )10 的展开式中， x 6的系数是.解法一：根据二项式定理可知x 6 的系数是 C 104 .解法二： (x － 3 )10 的展开式的通项是r－r(－ 3 )r .T r+1=C 10 x 10令 10－ r =6，即 r=4，由通项公式可知含 x 6 项为第 5 项，即 T 4+1 =C 104 x 6(－ 3 )4=9C 104 x 6.∴ x 6 的系数为 9C 104 .上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6 这一项系数，而不是求含x 6 的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含 x 6 的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 104 . 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 .二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关， 与二项式无关，后者与二 式、二 式的指数及 数均有关.【例 4】已知二 式(3 x － 2)10，3x(1)求其展开式第四 的二 式系数； (2)求其展开式第四 的系数； (3)求其第四 .分析：直接用二 式定理展开式.解： (3 x －210的展开式的通 是Trx10－r－ 2r， ，⋯，)=C 10 (3) ( ) (r=0 10).3x3x 1(1)展开式的第 4 的二 式系数C 103 =120.(2)展开式的第 43 72 3的系数 C 103 (－) =－ 77760.3(3)展开式的第 4 － 77760( x )7 1，即－ 77760x .x 3明：注意把 (3x － 2) 10写成［ 3 x +(－2)］ 10，从而凑成二 式定理的形式 .3x3x【例 5】求二 式( x 2+ 1)10 的展开式中的常数 .2 x分析：展开式中第r +1C 10r(x 2 )10－r (21)r ，要使得它是常数 ，必 使“x ”的指x数 零，依据是x 0=1， x ≠ 0.解： 第 r +1 常数 ，1 rr 20 51 r 5 r－ rr() =C 10 x( ) (r =0 ， 1，⋯， 10)，令 20－ r=0，得 r=8.T r +1=C 10 (x )2 2x2∴ T 9=C 108( 1)8= 45 .2256∴第 9 常数 ，其45 .256明：二 式的展开式的某一 常数 ，就是 不含 “ 元”，一般采用令通 T r+1中的 元的指数 零的方法求得常数 .【例 6】(1) 求 (1+2x)7 展开式中系数最大 ；(2)求 (1－ 2x)7 展开式中系数最大 .分析：利用展开式的通 公式， 可得系数的表达式，列出相 两 系数之 关系的不等式， 而求出其最大 .解： (1) 第 r+1 系数最大， 有C r 7 2r C r 7 1 2r 1,C r 7 2r C r 7 12r 1,7 !2r7 !2r 1,即 r !(7 r ) !(r 1) !(7 r 1) !7 !2r (r7 ! r2r 1, r !(7 r ) !1) !(7 1) !2 1 ,r 16 ,化 得r8 r 解得3又∵ 0≤ r ≤ 7，∴ r=5.71 r2 .r13.r 13∴系数最大T 6=C 75 25x 5=672x 5.(2)解：展开式中共有 8 ，系数最大 必 正 ，即在第一、三、五、七 四 中取得.又因 (1－ 2x)7 括号内的两 中后两 系数的 大于前 系数的 ，故系数最大必在中 或偏右，故只需比T 57两 系数的大小即可C 74 ( 2)4C 73 ＞ 1，所以系数和 T. 6( 2) =1C 7 4C 7最大 第五 ，即T 5=560x 4.明：本例中(1) 的解法是求系数最大 的一般解法，(2) 的解法是通 展开式多 分析，使解 程得到 化，比.【例 7】 (1+2x)n 的展开式中第6 与第7 的系数相等，求展开式中二 式系数最大的 和系数最大的 .分析：根据已知条件可求出n ，再根据 n 的奇偶性确定二 式系数最大的 .解： T 6=C n 5 (2x)5， T 7=C n 6 (2x)6，依 意有 C 5n 25=C n 6 26，解得 n=8. (1+2 x)8 的展开式中，二 式系数最大的 T 5=C n 4 (2x)4=1120x 4.C 7r 2rC 7r 1 2r 1 ,第 r +1 系数最大， 有C 7r 2rC 7r 1 2r 1.∴ 5≤ r ≤6.∴ r =5 或 r =6.∴系数最大的 T 6=1792x 5 ，T 7=1792x 6.明： (1)求二 式系数最大的 ， 根据二 式系数的性 ，n 奇数 中 两 的二式系数最大； n 偶数 ，中 一 的二 式系数最大 .(2) 求展开式中系数最大 与求二 式系数最大 是不同的，需根据各 系数的正、化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.用 篇【例 8】若 n ∈N * ， (2 +1)n= nnn 、 n ∈Z) ，b n 的()2 a +b (abA. 一定是奇数B. 一定是偶数C.与 b n 的奇偶性相反D.与 a 有相同的奇偶性分析一：形如二 式定理可以展开后考 .解法一：由 ( 2 +1)n =n n ，知 n n2 ) n2 a +b 2 a +b =(1+=C n 0 +C 1n 2 +C n 2 ( 2 )2+C n 3 ( 2 )3+ ⋯ +C n n (2 )n .∴ b n =1+C 2n ( 2 )2+C 4n ( 2 )4+ ⋯∴ b n 奇数 . 答案： A分析二： 的答案是唯一的，因此可以用特殊 法 .解法二： n ∈ N * ，取 n=1 ， (2 +1) 1=( 2 +1) ，有 b 1=1 奇数 .取 n=2 ， ( 2 +1)2=2 2 +5，有 b 2=5 奇数 .答案： A【例 9】若将 (x+y+z)10 展开 多 式， 合并同 后它的 数()A.11B.33C.55D.66分析： (x+y+z)10 看作二 式［( x y)10z ］ 展开 .解：我 把 x+y+z 看成 (x+y)+z ，按二 式将其展开，共有11“ ”，即 (x+y+z)10=10［( x10k10－k ky) z ］ =C 10 (x+y) z .k 0，由于“和”中各 z 的指数各不相同，因此再将各个二 式(x+y) 10－k 展开，不同的乘 C 10k (x+y)10－k z k (k=0， 1，⋯， 10)展开后，都不会出 同 .下面，再分 考 每一个乘C 10k (x+y)10－k z k (k=0 ， 1，⋯， 10).其中每一个乘 展开后的 数由(x+y)10－k 决定，而且各 中 x 和 y 的指数都不相同，也不会出 同 .故原式展开后的 数11+10+9+⋯ +1=66.答案： D明：化三 式 二 式是解决三 式 的常用方法 .【例 10】求 (｜ x ｜ +1－ 2)3 展开式中的常数 .| x |分析：把原式 形 二 式定理 准形状 .解：∵ (｜ x ｜ + 1－ 2)3=(| x | － 1)6，| x || x |∴展开式的通 是T r+1=C 6r ( | x | )6－r (－ 1 )r =(－ 1)r C 6r ( | x | )6－ 2r .| x |若 T r+1 常数 ， 6－ 2r =0， r =3.∴展开式的第 4 常数 ，即 T 4=－C 36 =－ 20.明： 某些不是二 式，但又可化 二 式的 目，可先化 二 式，再求解 .【例 11】求 ( x － 3 x )9 展开式中的有理 .分析：展开式中的有理 ，就是通 公式中x 的指数 整数的.1127 r解：∵ T r+1=C 9r (x 2 )9－r (－ x 3 )r =(－ 1)r C 9r x6.令 27r∈ Z ，即 4+3r∈ Z ，且 r=0 ， 1， 2，⋯， 9.66∴ r=3 或 r =9.当 r=3 ， 27 r =4， T 4=(－ 1)3C 39 x 4=－ 84x 4. 6当 r=9 ，27 r=3， T 10=( － 1)9C 99 x 3=－x 3.6∴ ( x － 3 x )9的展开式中的有理 是第 4 － 84x 4，第 10 － x 3.明：利用二 展开式的通 T r +1 可求展开式中某些特定 .【例 12】若 (3x － 1)77 7 6 61=a x +a x + ⋯ +a x+a ，求(1)a 1 +a 2 ⋯+a 7； (2)a 1 +a 3 +a 5+a 7；0 2 4 6(3)a +a +a +a .分析：所求 果与各 系数有关可以考 用“特殊 ”法，整体解决 .解： (1)令 x=0， a 0=－ 1，令 x=1 ， a 7+a 6+ ⋯ +a 1+a 0=27=128.①∴ a 1+a 2+⋯ +a 7=129.(2)令 x=－ 1， a 7+a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=( －4) 7.②由(1) ( 2)得： a 1+a 3+a 5+a 7= 1［ 128－ (－ 4)7］ =8256.22(3)由 (1) (2) 得 a 0 +a 2+a 4+a 6 = 1 ［ 128+(－4) 7］ =－ 8128.2 2明： (1)本解法根据 恒等式特点来用“特殊 ”法， 是一种重要的方法，它用于恒等式 .(2)一般地， 于多 式g(x)=( px+q)n =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4 +a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7， g(x)各 的系数和g(1)，g(x)的奇数 的系数和1［ g(1)+ g(－ 1)］，g(x)的偶数 的系数和1［ g(1)22－ g (－ 1)］ .【例 13】 明下列各式(1)1+2C 1n +4C 2n + ⋯ +2n －1C n n 1 +2n C n n =3n ；(2)(C 0n )2+(C 1n ) 2+ ⋯ +(C n n )2=C n 2 n ；(3)C 1n +2C 2n +3C 3n + ⋯ +nC n n =n2n －1.分析： (1)(2) 与二 式定理的形式有相同之 可以用二 式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通 求 律 .明： (1)在二 展开式 (a+b)n =C 0n a n +C 1n a n －1b+C 2n a n －2b 2+ ⋯ +C n n 1 ab n －1+C n n b n 中，令 a=1， b=2，得 (1+2) n =1+2C 1n +4C 2n + ⋯ +2n －1C n n 1 +2n C n n ，即1 2+ ⋯ +2n －1n 1 n n =3n.1+2C n +4C nC n +2 C n(2)(1+ x)n (1+x)n =(1+ x) 2n ，12r12r2n.∴ (1+C n x+C n x 2+ ⋯ +C n x r + ⋯ +x n )(1+C n x+C n x 2+ ⋯ +C n x r + ⋯ +x n )=(1+ x)而 Cn 是 (1+ x)2n 的展开式中 x n 的系数，由多 式的恒等定理，得2nC 0n C n n +C 1n C n n 1 + ⋯ +C 1n C n n 1 +C n n C 0n =C n 2n . ∵ C m n =C n n m ， 0≤ m ≤ n ，∴ (C n 0 )2+(C 1n )2+ ⋯ +(C n n )2=C 2n n .(3) 法一：令 S=C 1n +2C n 2 +3C n 3 + ⋯ +nC n n . ①令 S=C 1n +2C n 2 + ⋯ +(n － 1)C n n 1 +nC n n =nC n n +(n － 1)C n n 1 + ⋯ +2C n 2 +C 1n=nC n n +(n － 1)C 1n + ⋯ +2C n n 2 +C n n 1 .②由① +②得 2S=nC 1n +nC n2 +nC n3 + ⋯ +nC n n =n(C n n +C 1n +C n2 +C n3+ ⋯ +C n n ) 0123n=n(C n+C n +C n +C n + ⋯ +C n )=n2n.∴ S=n2n－1，即 C 1n +2C n2 +3C 3n + ⋯ +nC n n =n2n－1.法二：察通：kC n k =k n n( n1) !nC n k11 .k ! (n k) !(k1)! (n k) !∴原式 =nC +C n n11 )= n2n－1，12即C n +2C n0121 +nC3+⋯n 101231 +⋯n 1 +nC n 1+nC n n 1+nC n 1=n(C n 1+C n 1+C n 1 +C n 3⋯n n－1+3C n ++nC n =n2 .明：解法二中 kC n k =nC n k11可作性住 .【例 14】求 1.9975精确到 0.001的近似 .分析：准确使用二式定理把 1.997 拆成二之和形式如 1.997=2－ 0.003.解： 1.9975=(2－ 0.003)5=25－ C 15 240.003+C 52 230.0032－ C 35 220.0033+⋯≈32－0.24+0.00072 ≈ 31.761.明：利用二式定理行近似算，关是确定展开式中的保留，使其足近似算的精确度 .【例 15】求： 5151－1 能被 7 整除 .分析：了在展开式中出7 的倍数，把51 拆成 7 的倍数与其他数的和(或差 )的形式.明： 5151－1=(49+2) 51－1=C 051 4951+C 151 49502+ ⋯ +C 5051 49· 250+C 5151 251－ 1，易知除 C 5151 251－ 1 以外各都能被7 整除 .又 251－ 1=(2 3)17－ 1=(7+1) 17－ 1=C0717+C1716+⋯+C167+C17－171717171=7(C 170 716+C 171 715+⋯ +C 1716 ).然能被 7 整除，所以5151－ 1 能被 7 整除 .明：利用二式定量明有关多式(数 )的整除，关是将所多式通恒等形二式形式，使其展开后的各均含有除式.新篇【例 16】已知 (x lgx+1) n的展开式的最后三系数之和22，中一20000. 求 x.分析：本看似繁，但只要按二式定理准确表达出来，不求解！解：由已知 C n n +C n n 1 +C n n 2 =22，即 n2+n－ 42=0. 又 n∈ N*，∴ n=6.T4中一， T4=C 3lg x 3，即 (xlgx 3lg x=10. 6(x ) =20000)=1000. x两取常用数，有1 lg2x=1， lgx=± 1，∴ x=10 或 x= .10明：当目中已知二展开式的某些或某几之的关系，常利用二式通公式，根据已知条件列出等式或不等式行求解.【例 17】 f(x)=(1+ x)m+(1+ x)n(m， n∈ N* )，若其展开式中关于x 的一次的系数和11， m，n 何，含 x2的系数取最小？并求个最小.分析：根据已知条件得到x2的系数是关于 x 的二次表达式，然后利用二次函数性探最小 .解： C 1m +C 1n =n+m=11. C m2+C n 2 =1(m2－m+n2－ n)=m2n211 ，22∵ n∈N *，∴ n=6 或 5， m=5 或 6 ， x 2 系数最小，最小 25.明：本 是一道关于二次函数与 合的 合 .【例 18】若 (x+ 1－ 2)n 的展开式的常数 －20，求 n.x分析： 中 x ≠ 0，当 x ＞ 0 ，把三 式 (x+1－ 2)n化 ( x －1)2n ；当 x ＜ 0 ，xx同理 (x+1－2) n nx － 1 2 n x 的 指数 零， 而解出 n.x=(－ 1) () .然后写出通 ，令含x解：当 x ＞ 0 ， ( x+ 1－ 2)n =(x －1 )2n ，xx其通 T r+1=C 2n r( x )2n －r (－1)r =(－ 1)r C 2r n ( x )2n －2r .x令 2n － 2r=0 ，得 n=r ，∴展开式的常数 (－ 1)r C 2n n ；当 x ＜ 0 ， (x+ 1－2) n =(－ 1)n(x －1)2n .同理可得，展开式的常数 (－ 1)r C 2n n .xx无 哪一种情况，常数 均 (－ 1)r C 2n n .令 (－ 1)r C 2n n =20.以 n=1，2， 3，⋯，逐个代入，得n=3.明：本 易忽略x ＜ 0 的情况 .【例 19】利用二 式定理 明(2 n －1 2.) ＜n31分析：2 不易从二 展开式中得到，可以考 其倒数n 1 .n 12明：欲 (2)n －1 ＜ 21成立，只需 (3)n －1＜n1成立 .3n22而 ( 3)n － 1=(1+ 1)n － 1=C n1 +C1n 11+C n 21 ( 1)2+ ⋯ +C n n 11 (1)n －122222=1+ n 1 21 2⋯n 1 1) n －12+C n1 () ++C n 1 (22＞n 1.2明：本 目的 明 程中将( 3)n －1化 (1+ 1)n －1，然后利用二 式定理展开式是解2 2决本 的关 .【例 20】求 ： 2≤ (1+1) n ＜ 3(n ∈N * ).n1 n 与二 式定理 构相似，用二 式定理展开后分析.分析： (1+)n明：当 n=1 ， (1+ 1)n =2.n当 n ≥2 ， (1+ 1)n=1+C 1n n又C n k ( 1 )k = n(n 1) (nnk ! n k1 +C n2 1 + ⋯ +C n n ( 1 )n =1+1+C n 2 1 + ⋯ +C n n ( 1 )n＞ 2.n n 2 n n 2n k 1) ≤ 1 ，k !所以 (1+ 1)n≤ 2+1+ 1 + ⋯ + 1＜ 2+1 + 1 + ⋯ + 1n2 !3 !n!1 2 2 3 ( n 1) n=2+(1 －1)+(1 － 1 )+ ⋯ +( 1 － 1)22 3 n 1 n=3－ 1＜ 3.n上有 2≤ (1+1)n ＜ 3.n明：在此不等式的 明中，利用二 式定理将二 式展开，再采用放 法和其他有关知 ，将不等式 明到底 .【例 21】求 ： 于n ∈N *， (1+ 1) n＜ (1+ 1)n+1 .nn 1分析： 构都是二 式的形式，因此研究二 展开式的通 是常用方法 .明： (1+1) n展开式的通 Tr1A n rnr+1 =C n n r=r ! n r= 1 n(n 1)(n 2) (n r 1)r ! n r=1 (1－12 r 1 ).r !)(1 －)⋯ (1－nnn(1+1 )n+1展开式的通 T ′ r+1=C n r11 1) r =A n r 1 rn 1( n r !(n 1)=1 n(n 1)(n 2) (n r1)r !n r= 1 (1－ 1 )(1－ 2)⋯ (1－r1 ).r !n 1n 1n1由二 式展开式的通 可明 地看出 T r+1＜ T ′ r+1所以 (1+ 1 )n＜ (1+1)n+1nn 1明：本 的两个二 式中的两 均 正 ，且有一 相同. 明 ，根据 特点，采用比 通 大小的方法完成本 明.【例 22】 a 、 b 、c 是互不相等的正数，且a 、b 、c 成等差数列， n ∈ N * ，求 ： a n +c n＞2b n .分析： 中 未出 二 式定理的形式，但可以根据a 、b 、c 成等差数列 造条件使用二 式定理 .明： 公差d ， a=b － d ， c=b+d.a n +c n － 2b n =(b － d)n +( b+d)n － 2b nn1n － 12n － 2 2nn n1n － 12n － 22n=［ b － C n b d+C n bd + ⋯ +(－ 1) d ］+［ b +C n bd+C n bd + ⋯ +d ］明：由 a 、 b 、 c 成等差，公差 d ，可得 a=b － d ， c=b+d ， 就 利用二 式定理 明此 造了可能性 . 即(b － d)n +(b+d) n ＞ 2b n ，然后用作差法改(b － d)n +( b+d)n－ 2b n ＞ 0.【例 23】求 (1+2x － 3x 2)6 的展开式中x 5 的系数 .分析：先将 1+2x － 3x 2 分解因式， 把三 式化 两个二 式的 ， 即(1+2 x － 3x 2)6 =(1+3x)6 (1－ x)6.然后分 写出两个二 式展开式的通 ，研究乘x 5 的系数， 可得到解决.解：原式 =(1+3 x)6(1 －x)6，其中 (1+3x)6 展开式之通T k+1=C k 6 3k x k ， (1－ x)6 展开式之通 T r+1=C r 6 (－ x)r .原式 =(1+3x) 6(1－ x)6 展开式的通C 6k C 6r (－ 1)r 3k x k+r .要使 k+r =5，又∵ k ∈ {0 ， 1， 2， 3， 4， 5， 6} ， r ∈{0 ， 1，2， 3， 4， 5， 6} ，必k 0, 或 k 1, 或 k 2, 或 k 3, 或 k 4, 或 k 5,r 5r4r 3r2r 1r 0 .故 x 5 系数 C 60 30C 65 (－ 1)5+C 16 31 C 64 (－ 1)4+C 62 32C 63 ( － 1)3+C 63 33C 62 (－ 1)4+C 64 34C 16(－ 1)+C 65 35 C 60 (－ 1)0=－ 168.明：根据不同的 构特征灵活运用二 式定理是本 的关.【例 24】 (2004年全国必修 + 修 1)(x －1)6 展开式中的常数 ()xA.15B.－ 15C.20D.－ 203r3解析： Trr6－r － rrr 32x) =(－ 1) C2，当 r=2 ，3－2=15.r +1=(－ 1)C 6 (xxr=0 ，T 3=( －1) C62答案： A【例 25】 (2004 年江 )(2x+ x )4 的展开式中 x 3 的系数是 ()A.6B.12C.24D.48解析：T r +12 rr rx ) 4－r (2x) r =( －1) r r r 2，当 r =2 ，2+ r3－ 22=24.=(－ 1) C 4 (2 C 4 x2 =3 ，T =( 2) C 4答案： C【例 26】 (2004年福建理 )若 (1－ 2x )9展开式的第3288， lim 1 1+ ⋯ +1( +2n)nxxx的 是 ()A.2B.11D.2C.52解析： T r+1=( －1) r C r 9 (2 x )r =(－1) r C r 9 2xr ，当 r =2 ， T 3=(－ 1)2C 92 22x =288.∴ x= 3.21 112 ∴ lim3 =2.( + 2 + ⋯+n)= nxxx123答案： A【例 27】 (2004 年福建文 )已知 (x － a)8 展开式中常数1120，其中 数 a 是常数，x展开式中各 系数的和是( )A.28B.38C.1 或 38D.1 或 28解析： Tr+1=( －1) rr8 －ra r rr8－2r，当 r=4 ， T4 4 =1120，∴ a=± 2.C x() =(－ a)C x=(－ a) Cx∴有函数 f(x)=(x － a)8.令 x=1， f(1)=1 或 38.x答案： C【 例 28 】(2004 年 天 津 ) 若 (1 － 2x)20040 12 22004 2004=a +a x+a x + ⋯ +ax(x ∈ R) ， (a +a )+( a +a)+0 10 2(a 0+a 3)+ ⋯ +(a 0+a 2004)= .(用数字作答 )解析：在函数 f(x)=(1 － 2x)2004中， f(0)= a 0 0 1 2+ ⋯ +a 2004，=1， f(1)=a +a +a=1 (a 0+a 1 )+(a 0+a 2)+( a 0 +a 3 )+⋯+( a 0 +a 2004) =2004a 0 +a 1+a 2+ ⋯ +a 2004=2003a 0 +a 0+a 1+a 2+ ⋯ +a 2004 =2003f(0)+ f(1) =2004.答案： 2004。
二项式定理十大典型例题配套练习
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：教学内容1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
二项式知识点十大问题+练习含答案
1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式;②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rnC a b -叫做二项式展开式的通项;用1r n r r r n T C a b -+=表示; 3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项;②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改;()n a b +与()n b a +是不同的;③指数：a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列;b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列;各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数包括二项式系数;4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nnn n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n nn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =,···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=,变形式1221rnn nn n n C C C C +++++=-;③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n nn nn n n n C C C C C -+-++-=-=,从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值;如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值;⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法;设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅,设第1r +项系数最大,应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩,从而解出r 来;专题一题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .nn nn n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=解：012233(16)6666n nn n n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅与已知的有一些差距,练：1231393 .n nnn n n C C C C -++++=解：设1231393n nn nn n n S C C C C -=++++,则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-(13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有3x 的项的系数 解：由条件知245n nC -=,即245n C =,2900n n ∴--=,解得9()10n n =-=舍去或,由 2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==,由题意1023,643r r r --+==解得, 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210; 练：求291()2x x-展开式中9x 的系数 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-,令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-; 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(x +的展开式中的常数项解：5202102110101()()2r rrrr r r T C x C x --+==,令52002r -=,得8r =,所以88910145()2256T C ==练：求二项式61(2)2x x-的展开式中的常数项解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-,令620r -=,得3r =,所以3346(1)20T C =-=-练：若21()n x x+的二项展开式中第5项为常数项,则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==,令2120n -=,得6n =. 题型四：利用通项公式,再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项 解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-,令276rZ -∈,09r ≤≤得39r r ==或, 所以当3r =时,2746r -=,334449(1)84T C x x =-=-, 当9r =时,2736r -=,3933109(1)T C x x =-=-; 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n 展开式中偶数项系数和为256-,求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①,1x =令,则有0123(1)2,n n n a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=- 有题意得,1822562n --=-=-,9n ∴=;练：若n的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项; 解：0242132112r r n nn n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=,121024n -∴=,解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==,565451462nT C x -+==⋅,611561462T x-+=⋅题型六：最大系数,最大项；例：已知1(2)2n x +,若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少解：46522,21980,nn n C C C n n +=∴-+=解出714n n ==或,当7n =时,展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数,434571()270,2T C ==的系数当14n =时,展开式中二项式系数最大的项是8T ,7778141C ()234322T ∴==的系数; 练：在2()n a b +的展开式中,二项式系数最大的项是多少解：二项式的幂指数是偶数2n ,则中间一项的二项式系数最大,即2112n n T T ++=,也就是第1n +项;练：在(2n x -的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少解：只有第5项的二项式最大,则152n+=,即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =例：写出在7()a b -的展开式中,系数最大的项 系数最小的项解：因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项4,5第项的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有34347T C a b =-的系数最小,43457T C a b =系数最大; 例：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项解：由01279,nn n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大,12121211(2)()(14)22x x +=+ 1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩,化简得到9.410.4r ≤≤,又012r ≤≤,10r ∴=,展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x == 练：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少解：假设1r T +项最大,1102rr r r T C x +=⋅ 111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得,化简得到6.37.3k ≤≤,又010r ≤≤,7r ∴=,展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x == 题型七：含有三项变两项；例：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++,2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+,当且仅当1r =时,1r T +的展开式中才有x 的一次项,此时124125(2)3r T T C x x +==+,所以x 得一次项为1445423C C x它的系数为1445423240C C =; 解法②：255505145051455555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 故展开式中含x 的项为4554455522240C xC C x x +=,故展开式中x 的系数为240. 练：求式子31(2)xx+-的常数项解：361(2)x x +-=,设第1r +项为常数项,则66261661(1)()(1)rr rr r rr T C xC x x--+=-=-,得620r -=,3r =, 33316(1)20T C +∴=-=-.题型八：两个二项式相乘；例：342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.解：333(12)(2)2,m m m m m x x x +⋅=⋅⋅的展开式的通项是C C 342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此20022111122003434342(1)2(1)2(1)6x C C C C C C ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-的展开式中的系数等于.练：610(1(1+求展开式中的常数项.解：436103412610610(1(1m n m nm n m nC x C x C C x --++⋅=⋅⋅展开式的通项为0034686106106104246C C C C C C ⋅+⋅+⋅=时得展开式中的常数项为.练：2*31(1)(),28,______.nx x x n N n n x+++∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 解：3431()C C ,n r n r r r n r n n x x x x x---+⋅⋅=⋅展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：2006(,,,_____.x x S x S ==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++设=-------①题型十：赋值法；例：设二项式1)n x的展开式的各项系数的和为p ,所有二项式系数的和为s ,若272p s +=,则n 等于多少解：若20121)n n n a a x a x a x x=+++⋅⋅⋅+,有01n P a a a =++⋅⋅⋅+,02nn nn S C C =+⋅⋅+=, 令1x =得4n P =,又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n +=⇒+-=解得216217()n n ==-或舍去,4n ∴=.练：若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少解：令1x =,则nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为264n=,所以6n =,则展开式的常数项为3336(C ⋅540=-. 例：200912320092009120123200922009(12)(),222a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++⋅⋅⋅+若则的值为 解：2009200912120022009220091,0,2222222a a a a a a x a a =+++⋅⋅⋅+=∴++⋅⋅⋅+=-令可得 练：55432154321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则 解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得 题型十一：整除性；例：证明：22*389()n n n N +--∈能被64整除 证：2211389989(81)89n n n n n n +++--=--=+--由于各项均能被64整除22*389()64n n n N +∴--∈能被整除 1、x －111展开式中x 的偶次项系数之和是 1、设fx=x-111, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f )1(f 11-=-=-+ 2、=++++nn n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C 2、4n3、203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第 项 3、3,9,15,214、2x-15展开式中各项系数绝对值之和是4、2x-15展开式中各项系数系数绝对值之和实为2x+15展开式系数之和,故令x=1,则所求和为355、求1+x+x 21-x 10展开式中x 4的系数5、93102)x 1)(x 1()x 1)(x x 1(--=-++,要得到含x 4的项,必须第一个因式中的1与1-x 9展开式中的项449)x (C -作积,第一个因式中的－x 3与1-x 9展开式中的项)x (C 19-作积,故x 4的系数是135C C 4919=+6、求1+x+1+x 2+…+1+x 10展开式中x 3的系数6、)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =x x x )1()1(11+-+,原式中x 3实为这分子中的x 4,则所求系数为7C7、若)N n m ()x 1()x 1()x (f n m ∈⋅+++=展开式中,x 的系数为21,问m 、n 为何值时,x 2的系数最小7、由条件得m+n=21,x 2的项为22n 22m x C x C +,则.4399)221n (C C 22n 2m +-=+因n ∈N,故当n=10或11时上式有最小值,也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时,x 2的系数最小8、自然数n 为偶数时,求证：8、原式=1n 1n n 1n n5n 3n 1n n n 1n n 2n 1n 0n 2.322)C C C C ()C C C C C (----=+=++++++++++ 9、求1180被99、 )(1811818181)181(80101110111110111111Z k k C C C ∈-=-++-=-= , ∵k ∈Z,∴9k-1∈Z,∴1181被9除余810、在x 2+3x+25的展开式中,求x 的系数10、5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++在x+15展开式中,常数项为1,含x 的项为x 5C 15=,在2+x 5展开式中,常数项为25=32,含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅,此展开式中x 的系数为24011、求2x+112展开式中系数最大的项11、设T r+1的系数最大,则T r+1的系数不小于T r 与T r+2的系数,即有∴展开式中系数最大项为第5项,T 5=44412x 7920x C 16=。
二项式知识点+十大问题+练习(含答案)
二项式知识点+十大问题+练习(含答案)011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈；2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项；是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b-叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b-+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0；是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ；是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数；二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等；即0n n nC C =；···1k k n nC C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnnn n n n n C C C C C ++++++=； 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-。
(完整版)二项式定理典型例题解析
二项式定理 概念篇【例1】求二项式(a — 2b)4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开•解：根据二项式定理得 (a — 2b)4=c 0 a 4+c 4 a 3( — 2b)+C 4 a 2( — 2b)2+C 3 a( — 2b)3+C 4 (— 2b)4=a 4 — 8a 3b+24a 2b 2— 32ab 3+i6b 4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把— 2b 中的符号“―”忽略【例2】展开(2x -2代2x分析一：直接用二项式定理展开式•解法一：(2x - 32)5=C °(2x)5+c l (2x)4(— q )+C ；(2x)3( — q )2+c 5(2x)2(—与)3+2x2x 2x 2xC 5 (2x)( — 2)4+C ；( — 2)52x 2 2x 2分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法二：35--和件[C 5 (4x 3)5+C 1 (4x 3)4(— 3)+C 5 (4x 3)3(— 3)2+C 3 (4x 3)2( — 3)3+C 4 (4x 3)( — 3)4 + C 5( — 3)5]荷(1024x 15— 3840x 12+5760x 9— 4320x 6+l620x 3— 243) 32x 10说明：记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便【例3】在(x — ■ 3)10的展开式中，x 6的系数是 ________ . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是c 4°.解法二：(x —，3)10 的展开式的通项是 T r+1=C ；0X 10—r ( — 3 )r .令10— r=6，即r=4,由通项公式可知含 x 6项为第5项，即T 4+1=C ：0x 6( — . 3 )4=9C 40x 6. ••• x 6的系数为9C ：0.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含 x 6这一项系数，而不是求含 x 6的二项式系数，所以应是解法二正确 如果问题改为求含 x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C ：0.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项=32x 5— 12Ox 2+180 x135 405+87243 10 .32x=327°=32x 5— 120x 2+180 x 135 405x 4 +8x 7243 32x 10 .式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关【例4】已知二项式(3 . x — —)10,3x(1) 求其展开式第四项的二项式系数； (2) 求其展开式第四项的系数； (3) 求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式•解：(3..X — -2)10 的展开式的通项是 T r+i =C ；o (3.、x )10—r ( — 2)r (r=o , 1,…，10).3x3x•••第9项为常数项，其值为256说明：二项式的展开式的某一项为常数项， 就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项； (2)求(1 — 2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式， 可得系数的表达式， 列出相邻两项系数之间关系的不等 式，进而求出其最大值.7!2r7! 2r 1即 r!(7r)!(r 1)!(7 r 1)!7! 2r7! 2r 1r !(7 r)!(r 1)!(7 r 1)!(1)展开式的第 4项的二项式系数为 C ?0=120.(2)展开式的第 (3)展开式的第 2 4 项的系数为 C ；037(— — )3= — 77760.34 项为—77760( x )7十，即一77760 • x .z\.(3 .. x — —)10写成］3 x +(— A)： 10,从而凑成二项式定理的形式3x 3x【例5】求二项式(x 2+ 1 )10的展开式中的常数项.2丘说明：注意把 分析：展开式中第r+1项为C ；0(x 2)10—r ( 1)r ，要使得它是常数项，必须使2Jxx ”的指数为零，依据是X 0=1 , x M 0.解：设第r+1项为常数项，则 Eg 2)102053r 1 r人 52(一)r (r=0, 1，…，10)，令 20 —r=0,2 2••• T9=C 80(1)8=45 256解：(1)设第r+1项系数最大，则有C 72r (C r 1?r 1 C 72r ( C r 1?r 1系数最大项为 T 6=C 7 25X 5=672X 5.(2)解：展开式中共有 8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得•又因(1 - 2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值， 故系数最大值 必在中间或偏右，故只需比较C 4( 2)4C 3T 5和T 7两项系数的大小即可-C6( 2)6 =4C >1, 所以系数最大项为第五项，即 T 5=560X 4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法， (2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁 .【例7】(1+2x)n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n ,再根据n 的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T 6=C ；j (2x)5, T 7=C 6 (2X )6，依题意有。
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3Sn Cn1 3 Cn2 32 Cn333 Cnn 3n Cn0 Cn1 3 Cn2 32 Cn333 Cnn 3n 1 (1 3)n 1
Sn
(1 3)n 3
1
4n 1 3
题型二：利用通项公式求 xn 的系数；
例：在二项式 ( 4 1 3 x2 )n 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 x3 的项的系数？ x
(a
1)n
2
(a
1) n
(
)
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数
n
Cn2 取得最大值。
n1
如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数 Cn 2 ,
n1
Cn 2 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是
Cn0 , Cn1, Cn2 ,, Cnr ,, Cnn. 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令 a 1,b x,
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr xr Cnn xn (n N )
解：由条件知
C n2 n
45 ，即 Cn2
45 ，n2
n
90
0 ，解得 n
9(舍去)或
n
10
，
由
Tr 1
C1r0
(
x
1 4
)10r
(
x
2 3
)
r
C x r
10r 2 r 43
10
，由题意 10 r 4
最全的二项式定理题型及典型试题
最全的二项式定理题型及典型试题
1
最全的二项式定理题型总结及练习
1、“n b a )(+展开式
例1．求4)1
3(x x +的展开式；
【练习1】求4)1
3(x x -
的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在331
)2-（n x x 的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
【练习2】若41()2n x x
+展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.已知223()n x x +的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)
n x x -的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）.
[练习3]已知*22()()n x n N x
-∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.（1）求展开式中含3
2x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．在72)2)(1-+x x （的展开式中，3
x 项的系数是；
[练习4]在2
61+x+x )(x )x
-（2的展开式中常数项是5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5．在3)21(-+
x
x 的展开式中，常数项是________ [练习5]在28+x-x )（2的展开式中含1x 的项是
6、求中间项。
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,则有 ①， ,则有 ②
将①-②得：
有题意得， ， 。
练：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项。
解： ， ，解得
所以中间两个项分别为 ， ，
题型六：最大系数，最大项；
例：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
8、自然数n为偶数时，求证：
8、原式=
9、求 被9除的余数
9、 ,
∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴ 被9除余8
10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
10、
在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为 ，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为240
2、 2、
2、4n
3、 的展开式中的有理项是展开式的第项
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
5、 ,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项 作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项 作积，故x4的系数是
练：在 的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设 项最大，
，化简得到 ，又 ， ，展开式中系数最次项的系数？
解法①： ， ，当且仅当 时， 的展开式中才有x的一次项，此时 ，所以 得一次项为
它的系数为 。
解法②：
故展开式中含 的项为 ，故展开式中 的系数为240.
4．常用的结论：
令
令
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 ，···
②二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为 ，
变形式 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令 ，则 ，
从而得到：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大值。
11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项
例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数？
解：由条件知 ，即 ， ，解得 ，由
，由题意 ，
则含有 的项是第 项 ,系数为 。
练：求 展开式中 的系数？
解： ，令 ,则
故 的系数为 。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式 的展开式中的常数项？
解： ，令 ，得 ，所以
练：求二项式 的展开式中的常数项？
学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
教学内容
1．二项式定理：
，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数 .
③项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式
④通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。
解： 解出 ，当 时，展开式中二项式系数最大的项是 ， 当 时，展开式中二项式系数最大的项是 ， 。
练：在 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数 ，则中间一项的二项式系数最大，即 ，也就是第 项。
练：在 的展开式中，只有第 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第 项的二项式最大，则 ，即 ,所以展开式中常数项为第七项等于
解： ，令 ，得 ，所以
练：若 的二项展开式中第 项为常数项，则
解： ，令 ，得 .
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式 展开式中的有理项？
解： ，令 ,( )得 ，
所以当 时， ， ，
当 时， ， 。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若 展开式中偶数项系数和为 ，求 .
6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
6、 = ，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为
7、若 展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？
7、由条件得m+n=21，x2的项为 ，则 因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小
如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。
专题一
题型一：二项式定理的逆用；
例：
解： 与已知的有一些差距，
练：
解：设 ，则
题型二：利用通项公式求 的系数；
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有 项。
②顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。
③指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项减到 ，是升幂排列。各项的次数和等于 .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 项的系数是 与 的系数（包括二项式系数）。
练：写出在 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数 是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 的系数最小， 系数最大。
练：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大的项？
解：由 解出 ,假设 项最大，
，化简得到 ，又 ， ，展开式中系数最大的项为 ,有
练：若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式的常数项为多少？
解：令 ，则 的展开式中各项系数之和为 ，所以 ，则展开式的常数项为 .
练：
解：
练：
解：
题型十一：整除性；
例：证明： 能被64整除
证：
由于各项均能被64整除
1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是
1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是
练：求式子 的常数项？
解： ，设第 项为常数项，则 ，得 , , .
题型八：两个二项式相乘；
例：
解：
.
练：
解：
.
练：
解：
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
解：
题型十：赋值法；
例：设二项式 的展开式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为 ,若
,则 等于多少？
解：若 ，有 ， ，
令 得 ，又 ,即 解得 ， .