二项式定理(基础+复习+习题+练习)

课题：二项式定理
考纲要求：
1.能用计数原理证明二项式定理
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习
1.二项式定理及其特例：
()101()()n n n r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，
()21(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+
2.二项展开式的通项公式：r
r n r n
r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项：
求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.
4.二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式
系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
5.二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r
n C 可以看成以r 为自变量
的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
6.()1对称性．
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2
n
r =
是图象的对称轴. ()2增减性与最大值：
当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C
-，12n n
C
+取得最大值
()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r
n
n n n n n C C C C C =+++
++
+
7.在使用通项公式1r n r r
r n
T C a b -+=时，要注意： ()1通项公式是表示第1r +项，而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r n C 与
第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n . ()4证明组合恒等式常用赋值法.()5要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.()6要注意区分项的系数与项的二项式系数. ()7二项式展开式系数可用通项公式及组合知识.
()8用二项式定理进行近似运算，关键是恰当地舍取不影响精度的项，一般地：当α
很小时，有()()21
1112
n
n n n ααα±≈±+
-. 典例分析：
考点一 二项展开式定理及通项公式的应用
问题
1．()1（2013江西）5
2
32x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
展开式中常数项为.A 80.B 80-.C 40 .D 40-
()2求()10
2x +展开式中系数最大的项
()3求(
)
100
32
3+x 展开所得x 的多项式中，系数为有理数的项数
考点二 “生成法”的应用
问题2．()1求()
6
2123x x +-展开式中5
x 的系数（要求用两种方法解答）.
()2（2012安徽）2521
(2)(
1)x x
+-的展开式的常数项是.A 3- .B 2- .C 2 .D 3
考点三 “赋值法”的应用
问题3．()1已知()443322104
32x a x a x a x a a x ++++=+，
则()()2
2
02413a a a a a ++-+=
()2（07安徽文）已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，
则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．
()3（06浙江）若多项式21091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则9a =
.A 9 .B 10 .C 9- .D 10-
()4（05天津）设*n N ∈，则12321666n n n n n n C C C C -+++⋅⋅⋅+=
()5（2012浙江）若将函数5()f x x =表示为()()2
012()11f x a a x a x =+++++… ()5
51a x ++， 其中12,,a a ，…，5a 为实数，则3a =
考点四 二项式展开式在其它方面的应用
问题3．()1求51.997的近似值（精确到0.001）
、
()2已知*n N ∈，求证：231222++++…512n -+能被31整除.
问题4．求证：()1322n n n ->+⋅（n N +∈且2n >）.
课后作业：
1.()7
232x y z --展开式中含432x y z 项的系数是
2.()6
2x y z +-展开式中z y x 23的系数是
3.若()
2009
12x -=2012a a x a x +++…20092009a x +()x R ∈，则
3
1223222a a a +++ (20092009)
2a + 的值为 .A 2 .B 0 .C 1-
.D 2-
4.今天是星期日，不算今天，再过902天后的第一天是星期几？
5.1465n n +⨯+（*n N ∈）被20除后的余数是
6.设5432()5101051f x x x x x x =-+-++ ()x R ∈，则()f x 的反函数1()f x -
.A 1+ .B 1+ .C 1- .D 1-
7.设()()()()9
2
201212122x x a a x a x ++=+++++()11
112a x ⋅⋅⋅++，则012a a a ++
11a +⋅⋅⋅+的值为 .A 2-
.B 1- .C 1 .D 2
8.若1122113333(1)3(1)512,n n n n n n n
n C C C -----+-⋅⋅⋅+-⋅+-=则n = .A 7 .B 8 .C 9 .D 10
9.（07届西工大附中模拟文）设n 为满足0122450n
n
n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+<的最大自然数, 则n =_____
走向高考：
10.(05湖北) 5)21
2(++x
x 的展开式中整理后的常数项为
11.（05全国Ⅱ）()
10
x 的展开式中64
x y 项的系数是
.A 840
.B 840- .C 210 .D 210-
12.（07江西）已知
n
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比
为64，则n 等于 .A 4 .B 5
.C 6
.D 7
13.（07陕西文）()5
12x +的展开式中2x 项的系数．．
是 （用数字作答）
14.（2012湖北）设a Z ∈，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a = .A 0 .B 1 .C 11 .D 12
15.(2013新课标全国) 已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a .A 4-
.B 3- .C 2- .D 1-
16. (2013陕西)
设函数61,0()0x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩ ， 则当0x > 时，()f f x ⎡⎤⎣⎦
表达式的展开式中常数项为 .A 20- .B 2 .C 15- .D 15
17.（2011安徽）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++
，则1011a a +=。