二项式定理典型例题
二项式定理例题
1．二项式定理：
011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()n
a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式
④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r n T C a b -+=表示
典型例题
例1 求的展开式
例2 的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数
例3 求291()2x x -
展开式中9x 的系数？
例4
求二项式210(x +
的展开式中的常数项？
6)12(x x -
7)21(x +
例5 求二项式9展开式中的有理项？
例6 若
n 展开式中偶数项系数和为256-，求n
例7 若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项
例9 342(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.
例10 若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1
(2)2n x +的展开式中系数最大的项？。
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理与典型例题
.
(6) 在 1 x3 1 x4 1 x5 1 x15 的展开式中 x3 的系数是
.
(7) 在 1 x 1 x2 1 x3 1 xn 所有二项式的各项的系数是
.
(8)若 x2 x10 a 0 a1(x 1) a9 (x 1)9 a10 (x 1)10 则 a9 ______ .
7、若 f (x) (1 x)m (1 x)n (m n N) 展开式中，x 的系数为 21，问 m、n 为何值时，x2 的系数最
小？
8、（1）自然数 n 为偶数时，求证：1 2C1n C2n 2C3n C4n 2Cnn1 Cnn 3 2n1 （2） Cn0 3Cn1 5Cn2 (2n 1)Cnn _______ . （3） C33 C43 C53 C530 _______ . （4） Cn0 2Cn1 3Cn2 (n 1)Cnn _______ . 80 9、求 11 被 9 除的余数
系数最大项的系数是多少？
练：(1).在 (a b)2n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ (2).在 ( x 1 )n 的展开式中，只有第 5 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
2 3x (3).写出在 (a b)7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ (4).若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ，求 (1 2x)n 的展开式中系数最大的项？
项.
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若 ( x2 1 )n 展开式中偶数项系数和为 256 ，求 n . 3 x2
练：若 ( 3
1 x
5
1 x2
5.6二项式定理十大典型例题配套练习
选修2-3 ：二项式定理常见题型第 1 页共9 页11．二项式定理：n 0 n 1 n 1 r n r r n n(a b) C a C a b C a b C b (n N ) ，n n n n2．基本概念：n ①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b) 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rC (r 0,1,2, ,n) .n③项数：共n+1 项，是关于a与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项r n r r r n r rC a b 叫做二项式展开式的通项。
用T 1 C a b 表示。
n r n3．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即k n kC n C .n②二项式系数和：令 a b 1,可得二项式系数的和为0 1 2 2r n nC C C C C ，n n n n n变形式 1 22 1 r n nC C C C 。
n n n n③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b 1，则0 1 2 3 ( 1)n n (1 1)n 0C C C C C ，n n n n n从而得到：0 2 4 2 1 3 2 1 1 1r r n nC C C C C C C 2 2n n n n n n n2n④二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数 2C 取得最大值。
nn 1 n 1如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数C 2 ,n C 2 同时取得最大值。
nn⑤系数的最大项：求( )a bx 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为A1, A2 , , A n 1 ，设第r 1项系数最大，应有A Ar 1 rA Ar 1 r 2，从而解出r 来。
⑥题型一：二项式定理的逆用；例： 1 2 6 3 62 n 6n 1 .C C C Cn n n n解：n 0 1 2 2 3 3 n n(1 6) C C 6 C 6 C 6 C 6n n n n n1 2 3 2 1 1 1 2 2n n n nC C 6 C 6 C 6 (C 6 C 6 C 6 )n n n n n n n61 1 10 1 2 2 n n n n(C C 6 C 6 C 6 1) [(1 6) 1] (7 1)n n n n6 6 6第 2 页共9 页2练：13 29 331 .nn CC CCnnnn解： n 431题型二：利用通项公式求nx 的系数；例：在二项式4 13 2( x ) xn 的展开式中倒数第 3项的系数为 45，求含有 3x 的项的系数？解：由条件知 n 2 45C ，即 n2 45C，n290 0nn，解得 n 9(舍去)或n 10 ，由1 210 r 2 rrrrr103434T1C 10 (x ) (x ) C 10 x，由题意r10 r 2 43r 3,解得r6 ，则含有3 x 的项是第 7 项 633T 6 1C 10 x 210 x ,系数为 210 。
二项式定理经典例题
二项式定理典型例题例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 例2 求10321⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项． 例3 已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，求：（1）7321a a a a ++++ ；（2）7531a a a a +++；（3）6420a a a a +++． 例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ； （2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n ． 例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ． 例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．A ．11B ．33C ．55D ．66 例10 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ． 例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 例12 已知n x x )1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．例14 设n m x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是________________.例17 求证：对于+∈N n ，111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n .。
高考数学精品试题：二项式定理
专题内容：二项式定理一、典型例题例1、已知()()511ax x ++的展开式中3x 的系数为15，则a 的值为（ ） A ．34 B ．13 C ．12 D ．1 例2、已知二项式()*12N n x n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则展开式的常数项为（ ）A ．14B ．240C ．60D ．240- 例3、设()5234512345612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= 。
二、课堂练习1、91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（ ） A ．84 B ．84- C ．28D ．28- 2、在()n x y -的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）A ．第6项B ．第5项C ．第5，6项D ．第4，5项 3、若312n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．44、()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为( ) A.5 B.10 C.15 D.205、若多项式()()()910210019101...11x x a a x a x a x +=+++++++，则9a = （ ）A. 9B. 10C. -9D. -10【布置作业】1、的展开式中的中间项为（ ） A ． B ． C ． D ．2、的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中的系数为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．80 3、使（）的展开式中含有常数项的最小的（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 4、二项式的展开式中有理项的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8 5、已知，设，则（ ）A ．1023B ．1024C ．1025D ．1026 6、在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．287、的展开式中的常数项是__________． 8、的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为______.9、的展开式中项的系数为___________（用数字表示）.10、已知的展开式中，的系数是240，则实数的值为______． 11、的展开式中所有二项式系数的最大值是_____（用数字作答）． 12、已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________． 13、若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第_______项 14、若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是___________. 8312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭35883358x -7-437x --3()n a x x+3x 13n x x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭n +∈N n 102x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭46n n C C =()()()()201234111n n n x a a x a x a x -=+-+-++-12n a a a +++=31()2n x x -552552-28-()51212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭4n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭25(1()2)x x +-4x ()61ax -2x a ()61x +21(0)nax a x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1()n x x +1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()*n ∈N 5615、设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为_____.。
二项式定理典型例题
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
二项式定理典型例题
二项式定理典型例题--典型例题一（ 1 <例1在二项式 仮十^ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有< 2血.丿 理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.11 12 1 1得系数为：t 1 =1, t 2 = C n — = — n,t 3 = C n — = — n(n -1),2 2 4 81 由已知：2t^t 1 t 3 n=1 n(n —1), 8n = 8通项公式为1 16 J3rT r 1 =c 8-r xFr =0,1,r 8,T r 1 为有理项，故 16-3r 是 4 的倍数, 2r ••• r =0,4,8.依次得到有理项为「=X 4,T 5二C ；丄X 二色乂忑二c 81x‘1X 2.24 8 28256说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 似地，C-.2 3 3）100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有17页系数和为3n .典型例题四例4 （1 ）求（1 -X ）3（1 - x ）10展开式中X 5的系数；（2）求（X - 2）6展开式中的常X数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， （1）可以视为两个二项展开式相乘； （2）可以经过代数式变形转化为二项式.3105解：（1） （1-X ）（1 X ）展开式中的X 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：心XT*2n _3r3 io c 55用(1 -X )展开式中的常数项乘以 (1 X )展开式中的 x 项，可以得到C io X ;用(1-X )3展开式中的一次项乘以(1 - X)10展开式中的X 4项可得到(_3x)(C ：o x 4) =-3C ：o x 5 ；43 2(C 10~C 10 '3C 1o —'Golx63x的常数项为C ；2二924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五2 6c例5求(1 • x -X )展开式中X 5的系数.分析：(1 • x -X 2)6不是二项式，我们可以通过 1 • X - X 2 =(1 • x) -X 2或1 (X-X 2) 把它看成二项式展开.解：方法一：(1 . x_x 2)6 =(1 . x) _x 2 66 5 2 4 4=(1 x ) -6(1 x) x 15(1 x) x -…其中含 x 5 的项为 c 6x 5 -6C ；X 5 15C ；X 5 二 6x 5. 含x 5项的系数为6.方法二：(1 x -x 2)6 = 1(X -X 2) F 22、22、32.42、5/ 2、6=1 6(x -x ) 15(x -x )20(x - x )15(x - x )6(x -x ) (x - x )55555其中含 x 的项为 20(-3)x ，15(-4)x 6x = 6x .用(1 —x)3中的x 2乘以(1 x)10展开式中的 X 3可得到 3x 2 C ；o X 3 =3C ；o X 5 ；用(1 - X )3 中的 310 2X 项乘以(1 X)展开式中的X 项可得到—3x C 10X = -C 10X ，合并同类项得5X 项为:12，可得展开式由1 5(X - ■ 2) x1 — 展开式的通项公式X、.x 17x5 二x 项的系数为6.方法3 :本题还可通过把(1 • x - X 2)6看成6个1 • x - X 2相乘，每个因式各取一项相乘 可得到乘积的一项，x 5项可由下列几种可能得到.5个因式中取x , —个取1得到C 6x 5. 231323个因式中取x , —个取-X ，两个取1得到C 6 C 3X •(-x ). 1个因式中取X ,两个取-x 2，三个取1得到C ； C ；x (_x 2)2 . 合并同类项为(C ； —C ；C ； C ；C ；)X 5 =6x 5, X 5项的系数为6.典型例题六c n - Cn • c n =2n .•••左边=n C 0」+ nC ；」+…+nCn ；- C n ^= n 2n 」二右边.n! k!(n -k)! (k -1)!(n -k)!n 16 1n 1 A—(c ；1 c 2^- c n1)= n 1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质 求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求910897822 C io 2 C 10 2 C w ■ 2C io 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 -2)10的展开式接近，但要注意：求证: (1)Cn - 2Cnn 1亠 亠 nC n n 2 一 ； 0 1 ,.2C n C n "C n23二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.将等式左边各项变化的等数固定下(2) 分析: 伯弘的(宀)-解决这两个小题的关键是通过组合数公式 来，从而使用二项式系数性质n |解：(1)1 ke n =k 丄一 k!(n _k)!n!(n-1)! =n ——:———— =nC^(k -1)!(n -k)! (k -1)!(n k)!n!⑵丘Ck =k+1(n 1)! (k 1)!(n -k)! n 1-C^1_ C 21_ C n 1 C n -1C n 1 n +1—(2n 1 -1)=右边. n 1•••左边(1 2)10二C o Co 2 • C2。
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二项式定理典型例题--
例1 在二项式n
x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r
n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231
21-=====n n t n t t n n
， 由已知：)1(8
1123
12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n
通项公式为
1431681,82,1,021C +-
+==r r r r
r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256
121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．
例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．
分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开．
解：方法一：[]6
262)1()1(x x x x -+=-+
-+++-+=4
4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5
x 项的系数为6．
例3 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；
（2）)12(1
1C 11C 31C 21C 1210
-+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质
n n n n n n 2C C C C 210
=++++ ．
解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅
=k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n
=⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．
（2）)!
()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+ 11C 1
1)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k
n n k n k n n ． ∴左边112111C 1
1C 11C 11++++++++++=
n
n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5
2232⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）．
A ．11
B ．33
C ．55
D ．66
分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．
解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即
∑=-⋅+=++=++100101010
10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开，
不同的乘积k k k z y x C ⋅+-1010)
(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．
其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，
而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．
故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，
∴应选D ．
例6 若n
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ． 例7 1031⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．
解：使1031⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 有意义，必须0>x ； 依题意，有43T T <，即3
373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ． ∴31123891012910x
x ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）． 解得56489
80<<x ． ∴x 的取值范围是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<<5648980x x ． ∴应填：5648980<<x ． 例8 n
x )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．
解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有
8226655=⇒=n C C n n ．
∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==． 设第1+r 项系数最大，则有
652
22211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．
∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．。