《线性代数》教材801汇总678
考研数学线性代数教材和习题范围(同济五版)
第四章 向量组的线性相关性 核心考点： 1 表示性问题：线性表示的概念、结论与原理 2 相关性问题：向量组的线性相关与线性无关 3 等价性问题：向量组的等价的条件与本质 4 代表性问题：向量组的秩与向量组的极大无关组 习题范围： 习题四： 第 1 题、第 2 题、第 3 题、第 4 题、第 5 题、第 6 题、第 8 题、
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第 18 题、第 19 题、第 20 题、第 22 题、第 23、24 题、第 25 题、 第 26 题、第 27 题、第 28 题、
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 核心考点： 1 矩阵的初等变换的原理与初等矩阵 2 矩阵的秩及秩的性质的应用 3 线性方程组解的结构与性质 4 含参数的线性方程组的解法及方程组的公共解讨论 习题范围： 习题三： 第 1 题、第 4 题、第 5、6 题、第 7 题、第 10 题、第 12 题、第 13 题 第 14 题、第 15 题、第 16 题、第 17 题、第 18 题、第 19 题、 第 21 题
《线性代数》教材内容与习题范围浓缩版 同济大学第五版
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
线性代数（同济教材,第六版）知识点的细分目录
线性代数（同济教材，第六版）知识点的细分目录第一章行列式0101 排列与逆序数0102 行列式定义0103 几个特殊行列式0104 行列式性质0105 行列式按行（列）展开0106 单元小结0107 单元测试第二章矩阵及其运算0201 矩阵的引入0202 矩阵的运算0203 矩阵的转置与对称矩阵0204 逆矩阵0205 伴随矩阵与克拉默法则0206 分块矩阵0207 单元小结0208 单元测试第三章矩阵的初等变换与线性方程组0301 矩阵的初等变换030101 用消元法求解线性方程组030102 矩阵的初等变换及其相关定理030103 矩阵之间的等价关系0302 初等矩阵030201 初等矩阵的定义030202 有关初等矩阵的定理030203 用初等变换求逆矩阵030204 用初等变换解矩阵方程0303 矩阵的秩030301 k阶子式的概念030302 矩阵秩的概念和基本性质030303 矩阵秩的计算030304 矩阵秩的性质续（放在辅导难点部分）0304 线性方程组的解030401 线性方程组解的判定030402 线性方程组的解法030403 两个推广（放在辅导难点部分）0305 单元小结0306 单元测试第四章向量组的线性相关性0401 向量组及其线性组合040101 n维向量空间的概念040102 向量组的线性组合040103 向量组之间的线性表示0402 向量组的线性相关性040201 线性相关、线性无关的概念040202 线性相关性的判定040203 线性相关、线性无关的性质0403 向量组的秩040301 最大线性无关组与向量组的秩040302 矩阵的秩与向量组的秩的关系040303 向量组之间的线性表示和秩的关系0404 线性方程组的解的结构040401 齐次线性方程组040402 非齐次线性方程组0405 向量空间040501 向量空间的概念040502 子空间040503 基、维数与坐标040504 过渡矩阵和坐标变换0406 单元小结0407 单元测试第五章相似矩阵及二次型0501向量的内积、长度及正交性050101向量的内积及长度050102向量的正交性050103施密特正交化方法050104正交矩阵及正交变换0502方阵的特征值与特征向量050201特征值与特征向量的概念050202特征值与特征向量的性质0503相似矩阵050301相似矩阵的概念及性质050302矩阵的相似对角化0504对称矩阵的对角化050401实对称矩阵050402实对称矩阵的正交对角化0505二次型及其标准型050501二次型及其标准形050502用正交变换化二次型为标准形0506用配方法化二次型为标准形0507正定二次型050701正定二次型的概念及惯性定理050702正定二次型的判定0508 单元小结0509 单元测试。
线性代数教材(1)
线性代数教材简介线性代数是现代数学的一个重要分支，它主要研究向量空间及其上的线性变换。
线性代数在计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本教材旨在为初学者提供全面且易于理解的线性代数知识，以帮助他们建立对线性代数基本概念和技术的扎实理解。
目录1.引言–什么是线性代数–线性代数的历史和应用–线性代数的基本概念2.向量–向量的定义和表示–向量的加法和减法–向量的数量乘法–向量的线性组合–向量的内积和外积3.矩阵–矩阵的定义和表示–矩阵的加法和减法–矩阵的数量乘法–矩阵的乘法–矩阵的转置和逆4.线性方程组–线性方程组的定义和表示–线性方程组的解集–线性方程组的求解方法5.线性变换–线性变换的定义和表示–线性变换的性质–线性变换的矩阵表示–线性变换的复合和逆变换6.特征值与特征向量–特征值和特征向量的定义–特征值与特征向量的计算–特征值与特征向量的应用7.矩阵的相似性–矩阵的相似性定义–矩阵的相似对角化–矩阵的特征分解详细内容1. 引言什么是线性代数线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的数学学科。
它研究向量的线性结构、线性方程组的解集、线性变换以及与线性变换有关的矩阵、特征值和特征向量等内容。
线性代数的历史和应用线性代数作为一门学科可以追溯到19世纪，当时数学家对线性方程组和矩阵理论进行了研究。
随着时间的推移，线性代数渐渐成为现代数学的一个重要分支，并在自然科学、社会科学、工程学等领域得到广泛应用。
线性代数的基本概念在学习线性代数之前，我们首先需要理解一些基本概念，包括向量、矩阵、线性方程组和线性变换等。
本教材将逐一介绍这些基本概念，并提供一些实际应用的例子，以帮助读者理解这些概念的含义和用途。
2. 向量向量的定义和表示向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或有序三元组表示。
向量可以表示空间中的位置、速度、力量等物理量。
向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量的对应分量相加或相减，得到一个新的向量。
同济大学《线性代数》定理整理
定理 4.2 向量组B : b1, b2, . . . , bl能由向量组A : a1, a2, . . . , am线性表示的充 分必要条件是矩阵A = (a1, a2, . . . , am)的秩等于矩阵(a1, . . . , am, b1, . . . , bl)的 秩, ...
...
D = ai1 ai2 . . . ain + ai1 ai2 . . . ain
... ...
...
... ...
...
an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
性质 1.6 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的 元素上去, 行列式不变.
λa11 λa12 . . . λa1n
λA
=
Aλ
=
λa21 ...
λa22 ...
...
λa2n
...
λam1 λam2 . . . λamn
定义 2.4 设A = (aij)是一个m × s矩阵, B = (bij)一个s × n矩阵, 那么规定矩 阵A与矩阵B的乘积是一个m × n矩阵C = (cij), 其中
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ...
...
am1 am2 . . . amn
3
称为m行n列矩阵, 简称m × n矩阵.为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用 大写黑体字母表示它, 记作
《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识.docx
《线性代数》知识点归纳整理-⼤学线代基础知识.docx 《线性代数》知识点归纳整理诚毅学⽣编01、余⼦式与代数余⼦式................................................................... - 2 -02、主对⾓线............................................................................. - 2 -03、转置⾏列式........................................................................... - 2 -04、⾏列式的性质......................................................................... - 3 -05、计算⾏列式........................................................................... - 3 -06、矩阵中未写出的元素................................................................... - 4 -07、⼏类特殊的⽅阵....................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则....................................................................... - 4 -09、矩阵多项式........................................................................... - 6 -10、对称矩阵............................................................................. - 6 -11、矩阵的分块........................................................................... - 6 -12、矩阵的初等变换....................................................................... - 6 -13、矩阵等价............................................................................. - 6 -14、初等矩阵............................................................................. - 7 -15、⾏阶梯形矩阵与⾏最简形矩阵......................................................... - 7 -16、逆矩阵............................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题............................................................... - 8 -18、伴随矩阵............................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形：....................................................................... - 9 -20、矩阵的秩：........................................................................... - 9 -21、矩阵的秩的⼀些定理、推论............................................................. - 9 -22、线性⽅程组概念....................................................................... - 10 -23、齐次线性⽅程组与⾮齐次线性⽅程组（不含向量）......................................... - 10 -24、⾏向量、列向量、零向量、负向量的概念................................................. - 11 -25、线性⽅程组的向量形式................................................................. - 11 -26、线性相关与线性⽆关的概念.......................................................... - 12 -27、向量个数⼤于向量维数的向量组必然线性相关............................................ - 12 -28、线性相关、线性⽆关；齐次线性⽅程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题................. - 12 -29、线性表⽰与线性组合的概念.......................................................... - 12 -30、线性表⽰；⾮齐次线性⽅程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................... - 12 -31、线性相关（⽆关）与线性表⽰的3个定理................................................. - 12 -32、最⼤线性⽆关组与向量组的秩........................................................... - 12 -33、线性⽅程组解的结构................................................................... - 12 -01、余⼦式与代数余⼦式a 22 a 23对M ii 的解释：划掉第1⾏、第1列，剩下的就是⼀个⼆阶⾏列式a a ,这个 a 32 a 33⾏列式即元素an 的余⼦式M ii 。
线性代数知识点全面总结.ppt
初
等
变
换
与
初等方阵
线
性
方
程
组
矩 阵的 秩
线 性 方程 组
矩阵的初等变换
1.对换矩阵的i, j两行（列）.
概念
2.用k≠0乘矩阵的第i行（列）.
3.把某i行（列）的k倍加到另一行 （列）的对应元素上去.
1.初等变换不改变矩阵的秩.
性质
2.对A经过有限次初等变换得到B，
则A等价B.
~ ~ 求逆，
行
三、重要公式
1、矩阵的秩
(1) r(A) = r(AT) ;
(2) r(A+B) ≤ r(A) + r(B)
(3) r(AB) ≤ min{ r(A) r(B)}
(4) 若P、 Q可逆，则r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)= r(A)
r(A), k ≠ 0 ,
(5) r(kA) =
0 , k = 0;
|A| = 0 , A不可逆 . AB = E , A与B互逆. 反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵惟一。
3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
n 线性表示
维
判定
向 量 组 的 线
向 量 线性相关
概念
判定 概念
充要条件 充分条件
性 相
线性无关
【精品】线性代数各章知识点及脉络图(含例题)-假期预习必备
一、行列式知识结构网络图概念性质展开式计算证明0A =应用经转置行列式的值不变；某行有公因数k ，可把k 提到行列式外；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和； 两行互换行列式变号；某行的k 倍加至另一行．行列式的值不变；不同行、不同列的n 个元素之积的代数和1nn ik ik k D a A ==∑（按i 行展开）1nn kj kj k D a A ==∑（按j 行展开）余子式、代数余子式给定（i ,j ）元的值未给定（i ,j ）元的值化三角形－加边法、爪型行列式；公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式； 递推、数学归纳法；等用行列式性质计算； 用矩阵性质计算； 用方阵的特征值；等克拉默法则；判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵； 线性相关性的判定；求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况； 求方阵的特征值。
()n n R n ⨯<A ；0是方阵A 的特征值；=-A A行列式行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．行列式的性质【例】：已知531，252，234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明522353124也是9的倍数。
解答：522353124231321010r r ,r r ++522353531252234139r 5229353582726【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？解答：设原行列式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A αα 1det ，则新的行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-113221det ααααααααn n n B ， ()00,,3,2det 11321113221=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--ααααααααααααααn n n i n n n n i r r B特殊行列式1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式1111111111221122221111111niii nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a ====∏2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式()()12111111212212121111111n n n n n nn,n,n ,n ,n iii n n,n nnn n a a a a a a a a a a aa a a a a ----=-===-∏3、分块三角行列式 形式简记为：*==⨯*A O A AB BO B，()1k n⨯*==-⨯*O A AA B BB O4、范德蒙德行列式()211112112122222221212121111111121121111111,,,11n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x --------------==()()121,,,n ijn i j f x x x x x ≥>≥=-∏ ()()()()()1213211212111,,,n nj n j j j n j n j j j f x x x xx xx xx x x --≥≥-≥≥≥≥≥≥=-⋅---∏∏∏∏()()()()1221n n n n n n x x x x x x x x --=----()()()()()()()12131211323121n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -------------认识范德蒙德行列式可以将n 阶范德蒙德行列式看成式关于n 个变量12,,,n x x x 的函数，即()12,,,n n D f x x x =。
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或 可表为 其中
Ax b,
x11 x22 xnn b,
A 1,2 ,
, n .
关于第二章 线性方程组的编写
内容是全书最难理解的。 编写的准则是不求最简，只求容易接受
第二章 线性方程组
第一节 线性方程组
一、克拉默(Cramer)法则
二、线性方程组的消元法
第一类 64课时；48课时 第二类 32课时 考试：期中、期末统一考试，统一改卷。
戴跃进 蔡丽娟 林玉闽 陈桂芝
本书结构
第一章 矩阵
第二章 线性方程组 第三章 矩阵的特征值和特征向量 第四章 二次型 第五章 线性空间
将行列式放在矩阵一章的好处之一：
突出矩阵这一符号在本课程中的中心地位
mn
b1 b2 . . b m m
将行列式放在矩阵一章的好处之二：
行列式对矩阵计算几乎没有价值
例如
0.1 0.1 A 0.1 1000
det A 101000.
进一步引入：
a12 a12 a11 a11 a a a a 21 22 21 22 a a a m 2 am 2 m1 m1
n x1 b1 a1n a1 a x b a2 n 2 n 2 2 , , amn a xn b
何时无穷多解！解之间的关系！
（1）书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 谢谢观看 （2）黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 献给大家几句我很喜欢的话 （3）读书要三到：心到、眼到、口到 （4）一日无书，百事荒废。 ——陈寿 天将降大任于斯人也 （5）我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。 ——高尔 必先劳其筋骨 坚持的人才会成功 基 爱好学习的人才有梦想 （6）书到用时方恨少，事非经过不知难。 ——陆游 没有谁一开始就拥有一切 （7）读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。 ——笛卡 努力就有未来 儿 （8）理想的书籍是智慧的铜匙。 ——列夫托尔斯泰 （9）书籍是造就灵魂的工具。 ——雨果 （10）书籍是全世界的营养品，生活里没有书籍就好像 没有阳光；智慧里没有书籍就好像鸟儿没有翅膀。 —— 莎士比亚 坚持才会成功 （11）问渠哪得清如许，为有源头活水来。 ——朱熹
mn
, x x1 , x2 ,
, xn , b b1 , b2 ,
T
, bm .
T
介绍了矩阵分块运算，问题
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm .
希望解答的问题仍然是：该方程组何时 无解？ 有唯一解？如何求解？ 何时无穷多解？解之间的关系。
再推广：一般n元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm .
介绍了矩阵运算，所研究的问题
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm .
可表为
Ax b,
其中
A aij
一、向量组的秩 二、向量组的等价 三、向量组的秩与矩阵秩的关系
可以通过例子说明： 最大无关组的存在性，不唯一性。 秩唯一吗？
用向量组间的关系来论述秩的唯一性
第四节 线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构
已经得到问题：
Ax b
何时
无解！
有唯一解！如何求解！
再回头看一下我们讨论的问题：
Ax b
已经解决的问题：该方程组何时
无解！
有唯一解！如何求解！
何时无穷多解！解之间的关系？
第二节 向量间的线性关系
一、n 维向量
二、向量的运算
三、线性相关性
强调向量组线性相关定义的重要性； 强调向量组线性相关与齐次线性方程组解的关系
直至与系数矩阵秩的关系
第三节 向量组的秩与最大无关组
计算机能够表示的最小的正数
%计算机可以表示的最小的正实数 x=1; while x+x>x x=x/2 pause(.02) end
4.94 10
324
.
第一章 矩阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算
第三节 矩阵的分块
第四节 矩阵的行列式
第五节 可逆矩阵
第六节 矩阵的秩 第七节 矩阵的初等变换
Xiamen University
《线性代数》教材
厦门大学数学科学学院 陈桂芝
编写线性代数教材的初衷
目前我校线性代数选材情况来自经管类 高等学校经济管理学科数学基础
《线性代数》中国人民大学 卢刚主编，高等教育出版社
理工类
工科数学
《线性代数》同济大学，高教出版社
线性代数管理情况
秋季开课分为：
教学中的引例：二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
几何意义：
无解
唯一解
无穷多解
推广：n元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
仍希望解答的问题仍然是：该方程组何时 无解？ 有唯一解？如何求解？ 何时无穷多解？解之间的关系。
数学也是一门符号的艺术，问题不同符号不同 问题：
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm .