数形结合思想在解题中的应用外文文献翻译
【论文】数形结合思想在解题中的应用毕业论文
【关键字】论文数形结合思想在解题中的应用张上兰湛江师范学院数学与计算科学学院广东湛江524048摘要：本文揭示了初中数学中的有理数、一次函数、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们在图象上达到高度的统一，构建了数学的和谐美，充分显示了数形结合思想在解题中的魅力. 数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将枯燥的知识趣味化，把算理变明晰，把学生头脑中模糊的概念变清晰，把复杂的问题变得更加简单，经抽象的知识变得直观. 这样不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效，从而让学生体会到数学教学充满乐趣.关键词：数形结合；几何意义；应用.数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法. 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大根底概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法. 数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合，交相辉映. 下面我从四个方面谈谈数形结合思想方法在初中数学教学解题中的应用.1 以“数”化“形”由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题.我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构.这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法.数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题.解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系.因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题.1.1 有理数教学中体现的数形结合思想数轴的引入是有理数体现数形结合思想的力量源泉. 由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）. 相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的. 尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则. 相关内容的中考试题，应用数形结合的思想可顺利得以解决.1.2 不等式（组）中蕴藏着数形结合思想北师大版八年级《数学》下册第一章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”.教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解.这里蕴藏着数形结合的思想方法. 在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步.确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效. 相关内容的中考试题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用.2 以“形”变“数”虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等.2.1 二元一次方程组、一元一次不等式的图象解法中蕴藏着数形结合思想北师大版八年级《数学》上册第七章第六节“二元一次方程与一次函数”讲用图象法解二元一次方程组，具体方法是先把每个二元一次方程变形成一次函数解析式，然后画出图象，两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解，这充分体现了数形结合的思想，构建了数与形的和谐美. 正如数学家华罗庚所说的:“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”.2.2 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式及其图象凸显数形结合思想由于在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然. 一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助. 因此，函数及其图象凸显了数形结合的思想方法. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们之间的关系在图象上得到了高度的统一，充分显示了数形结合思想在解题中的魅力，请看我在教学中的做法：由此观之，二次函数、一元二次方程、一元二次不等式它们之间的关系是整体与局部的关系，具体可归纳如下：(1)、抛物线与x轴交点的横坐标就是，当y=0时，一元二次方程的解.(2)、抛物线在x轴上方的图象投影在x坐标上的点所表示的数,就是当y>0时，一元二次不等式的解集.(3)、抛物线在x轴下方的图象投影在x坐标上的点所表示的数,就是当y<0时，一元二次不等式的解集.“数以形而直观，形以数而入微”这是数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述. 数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，初中数学中常在研究函数的性质，求解函数的有关问题时发挥着重要作用.数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法.初中《数学课程标准》把数学的精髓——数学思想方法纳入了根底知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举. 数学思想方法既是数学的根底知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力. 因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用.参考文献[1] 张志淼. 数学学习与数学思想方法[M]. 河南：郑州大学出版社.[2] 顾泠沅. 数学思想方法[M]. 北京：中央广播电视大学出版社.[3] 钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M]. 北京：北京师范大学出版社.[4]《全日制义务教育数学课程标准(实验稿). 北京师范大学出版社.[5] 陈裕兴.《发挥数形结合思想在数学教学中的功能》. 数学通讯，1999年第3期.[6] 蒋巧君.《数形结合是促进学生意义建构的有效策略》. 小学数学教师，2005年第5期.[7] 候敏义主编. 数学思维与数学方法. 东北师范大学出版，1991年5月陈军.[8]《捕捉生成性资源，引导建构数学模型. 江苏教育, 2006年第4期.[9]《数学思想方法教学的意义、现状和策略》. 徐颖峰2000.[10]《数学》八年级上、下册. 北京师范大学版社.[11]《数学课程标准》. 北京师范大学版社.[12]《课堂教学的原理、策略与研究》. 华东师大出版社.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
数形结合思想在解题上的应用
数形结合思想在解题上的应用作者：王安琪来源：《山东青年》2018年第07期摘要：数形结合思想作为一种重要的数学思想方法，建立起“数”与“形”的优势互补，在学生的数学学习与解题中发挥着不容忽视的关键作用。
并且，数形结合思想在“双基”的基础上，对学生的综合能力发展提出了更高的要求，是学生提升探索创新能力与培养发散性思维的一个强大助力。
关键词：数形结合；解题；发散性思维；思想方法一、数形结合的内涵数学作为一门以客观世界中的空间形式与数量关系作为研究对象的科学。
其中既有形的直观，又带着数的抽象，两者看似对立，实则却是密不可分、相辅相成。
数学家拉格朗日说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。
因此，数与形两者的相互结合是数学学习以及研究发展的必然趋势，其体现的数形结合思想也是不容忽视的一个关键。
在中学的数学学习中，数形结合作为重要的数学思想方法之一，是学生学习过程中解决数学问题的得力手段。
“数形结合”主要指的是数与形之间的一一对应关系。
简而言之，数形结合就是指将直观的几何位置、图形关系、抽象的数量关系、数学语言相结合，同时通过“以数解形”“以形助数”的方式使抽象问题具体化、复杂问题简单化，从而优化解题方法。
即通过形象思维和抽象思维的结合优化解题途径。
[1]抓住了形的生动性、数的可操作性，取长补短，才能相得益彰。
二、数形结合思想的教育价值2.1 数形结合思想有利于学生将代数问题形象化、直观化，便于求解代数问题往往繁琐机械，若适当与图形相结合，能够简化问题的求解过程，为学生的数学学习减轻负担。
做到数与形的双向沟通，促进表征对象与表征目标间本质结构的深层理解，并且认为这是通过解题而获得数学理解的一条有效途径。
[2]换言之，数形结合思想融合代数与几何，做到了优化解决数学问题并加深了对数学问题的理解。
数形结合论文翻译文章
数形结合论文翻译文章 勾股定理不是211=+，或者一个古老的数学定理的证明勾股定理是一个古老的数学定理，它一直占据着重要位置，即使现在它仍然是灵感的源泉。
在本文中我们尝试给出一个有前途的新的证明方法，我们的结果会更加直观。
关键词：勾股定理 几何变换 欧几里得几何学最古老的数学定理之一—勾股定理指出：直角三角形斜边（直角所对的边）所画正方形的面积等于另外两条边（直角边）所画正方形的面积的和。
就是222c b a =+。
如果我们分别用a,b ，c 表示三角形三遍的长度。
卢米斯收集了数百种勾股定理的证明，并将其分类。
马奥尔追溯了勾股定理的演变以及它对数学和我们的文化的影响。
网络上包含了约93种勾股定理的证明。
我们的目标是通过一种新方法给出证明，准确的说是定理的另一类型。
定理1：如果在简单的直角三角形中勾股定理成立，那么在任意直角三角形中都成立。
当然我们必须给出证明说明我们的假设是正确的。
这就涉及到几何变换的属性，我们将用到：在给定的方向上收缩或拉伸欧几里得平面（见图1）。
图1.转换让我们假设T 是这样一个收缩/拉伸系数为a 的转变。
我们可以认为这种转化为在三维空间内平面之间的平行投影的效果，如图2所示。
图2.拉伸和收缩转换T 明显具有的性质：·转换T 通过系数a 收缩/拉伸一个平面图形的面积，如果P 是一个平面图形，那么()P P T aS S =·它与不相交的图形的面积的可加性是兼容的，如果P,Q 是两个不相交的图形，那么()()()Q T P T Q P T S S S +=⋃·它保留了以下森斯的填充率：让P 是面积为A 的正多边形，并修复他的边缘L 。
让我们假设T 把它转换为面积为aA 的多边形Q = T （P ），并假设图形L 转换为K 。
然后将填充率定义为()的相似多边形上P 'K Q QS S k =与多边形边的长度和收缩/拉伸方向无关（见图3）。
图3.不变性现在让我们考虑一个直角三角形的两条直角边的长度为a 和b 。
数形结合思想在解题中的应用
几何问题转化为代 数问题：将几何图 形的问题转化为代 数方程，利用代数 方法求解
数形结合思想的应 用：在解题中，将 代数与几何相结合 ，利用各自的优势 ，简化问题
相互转化的方法： 通过坐标系、函数 图像等手段实现代 数与几何的相互转 化
利用图形解决代数问题
代数问题：难以直观理解的问题 图形优势：直观、形象、易于理解 应用场景：求解方程、不等式、函数等问题 解题步骤：将代数问题转化为图形问题，利用图形性质求解
掌握数形结合的基本技巧：如比例尺、等比数列求和、函数图像的绘制等，这些技巧可以帮助 我们更好地运用数形结合思想。
练习数形结合的题目：通过大量的练习，可以加深对数形结合思想的理解，提高应用能力。
练习数形结合的题目
题目：已知函数 f(x) = x^2 - 2x，求 f(x) 在区间 [0, a] 上的最小值。
数形结合思想的重要性
数学解题中的常见问题：抽象、难以理解 数形结合思想的引入：将抽象问题具体化、形象化 数形结合思想在解题中的应用：提高解题效率、增强理解能力 数形结合思想的意义：培养数学思维、提高数学素养
02
数形结合思想在数学解题中的应用
代数问题与几何问题的相互转化
代数问题转化为几 何问题：通过建立 代数方程，将其转 化为几何图形，利 用几何性质求解
拓展知识面：了解数学与其他学科的联系，如物理、工程等，加深 对数形结合思想的理解和应用。
掌握数形结合的基本方法
理解数形结合的概念：数形结合是指将数学中的数量关系和空间形式结合起来，通过几何图形 或图像的方式表达数学问题。
掌握数形转化的方法：在解题过程中，可以将数量关系转化为图形或图像，或将图形或图像转 化为数量关系，以便更好地理解和分析问题。
数形结合思想在中学数学教学中的应用1
数形结合思想在中学数学教学中的应用学生姓名：张夏学号：20075030050数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：张留伟职称：讲师摘要：本文首先给出了数形结合思想的主要内容，然后从三个方面结合实例具体地分析了数形结合思想在中学数学教学中的应用．关键词：数; 形; 数形结合思想; 数形结合The Applications of Number Shape Union Thought in middle schoolmathematical teachingAbstract：This article firstly introduced main contents about the number shape union thought, then unified many examples from three aspects to specificly analyze the number shape union in mathematics application.Key words：Number；Shape；Number shape union thought；Number shape union0前言数形结合的思想方法是中学数学中的一种重要的思想方法．数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中的两大基础概念，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或位置关系的讨论，或把图形的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数形结合的思想方法．数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合，相映生辉．著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.有些数量关系，借助图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化；而图像的一些性质借助与数量的计算和分析，得以严谨化．初中生若能掌握这种思想方法,那么对题目以后的学习和成长都会产生巨大的影响．下面我将列出中学数学中主要有哪些内容蕴藏着数形结合思想．1在中学数学中蕴藏着数形结合思想1.1有理数内容体现的数形结合思想数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉．由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴cb（图1）ACDEB（图2）上的对应位置关系进行的（实数的大小比较也是如此），相反数、对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的．尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则．例1 实数c b a 、、在数轴上的对应点如图1所示,化简 ________a b +-=答案：c b +应用题内容隐含的数形结合思想列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就是要根据题意画出相应的示意图，这里隐含着数形结合的思想方法．例2 一小船由A 港到B 港顺流需6小时，由B 港到A 港逆流需8小时．一天，小船从早餐6点由A 港出发顺流到B 港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：（1）若小船按水流速度由A 港漂流到B 港需要多少小时？ （2）救生圈是在何时掉入水中的？分析 （1）答：小船按水流速度由A 港漂流到B 港需用48小时．（2）如图2，设救生圈是在上午x 点钟落入水中C 点的．当小船由C 点顺流行驶到B 港时，救生圈由C 点顺流漂到D 点;当小船由B 港用一小时逆流行驶到E 点找到救生圈时，救生圈同时用一小时由D 点顺流漂到了E 点．于是1(12),6CB x =⨯-1(12)48CD x =⨯-,118BE =⨯,1148DE =⨯，因为BD DB =,所以有BE DE CD CB +=- 从而得到方程1111(12)(12)11648488x x ⨯--⨯-=⨯+⨯解方程，得x =11 ，所以救生圈是在上午11点钟掉入水中（C 点）的．不等式内容蕴藏着数形结合思想“九义”教材《代数》第一册（下）第六章内容是“一元一次不等式和一元一次等式组”，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表达出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解．这里蕴藏着数形结合的思想方法．在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示又前进了一步．确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效．相关内容的中考题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用．例3（1）解不等式63432x x +-≤+ 并把它的解集在数轴上表示出来．（2）若关于x 的不等式组121x m x m <+⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是（ ）．答案：（1）3x ≥- （如图3） （2） 2m ≥提示 不等式组有解时，211m x m -<<+ (如图4)，其中121m m +>-;不等式组无解时，121m m +≤- (如图5) ∴2m ≥（注意不要漏掉等号）函数及其图像内容凸显了数形结合思想由于在直角坐标系中，有序实数对（x , y ）点P 的一一对应，使函数与其图像的数形结合成为必然．一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提高了很大的帮助．因此，函数及其图像内容凸显了数形结合的思想方法．教学时老师若注意了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果．21m -x21m -（图4）-3（图3）x（图5）6 4 8 10(图6)例4 （1）已知0k <，则正比列函数y kx =的图像与反比例函数ky x=的图像大致是（ ）（2）如图例函数6y x-=(0)x <的图像上任取一点P ，过点P 分别作x N M 、，那么四边形ONPM 的面积为（ ）答案：（1）C (2) 6初步统计内容融入了数形结合思想在初步统计中，一组数据反映在坐标平面上就是一群离散点．研究一组数据的集中趋势（平均数、众数、中位数），相当于考察这群离散点的分布状态；而研究一组数据的波动大小（方差、标准差），就相当于考察坐标平面上这群离散点的分布规律．这里融入了数形结合的思想方法，教学中老师若注意到了这一数形结合的思想方法，可加深学生对平均数、众数、中位数、方差、标准差概念的理解．例5 如图7是某单位职工的年龄（取正整数）的频率分布直方图，根据图形提供的信息，回答下列问38岁但小于44岁42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有几人？答案：（1）该单位职工有50人．（2）不小于38岁但小于44岁的职工人数占总人数的60％． （3）年龄在42岁以上的职工15人． 平面几何内容充满了数形结合思想平面几何研究的是图形的性质及其位置关系，然而平面几何内容中又充满了数形结合的思想和方法．例如，三角形的内角和定理、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比列定理、解直角三角形、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、切线长定理、相交弦定理、正多边形的有关计算、三角形的面积、平行四边形的面积、梯形的面积、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积等内容中，无一不与数量关系紧密相联．教学时老师若注重了相应内容中体现出来的数形结合思想，对于学生学好平面几何无疑是大有脾益的．例6 如图8，设C 为线段AB 中点，BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 为半径的圆与AB 及其延长线相交与K H 、,证明：AC AH AK 2=⋅BCDMQ （图9）分析 本题一般可用几何证法，但下面代数的证法更显得数形结合简捷： 设BC x =,则AC x =, BD =,又2AK x =+,2AH x =-,于是AC x AH AK 2222==⋅．例7 如图9，ABC ∆是一块锐角三角形余料，边80=AD 毫米，120=BC 毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个定点分别在AC AB ,上，设该矩形的长y QM =毫米，宽x MN =毫米． (1) 求证：31202y x =-； (2) 当x 与y 分别取什么值时，矩形PQMN 的面积最大？最大面积是多少？分析 (1)由APN ∆∽ABC ∆得PN BC 即120y ＝8080x -， y=120-32x ． (2)设矩形PQMN 的面积为S ，则S xy =，即233(120)12022S x x x x =-=-+ 当x =40时，S 有最大值为2400，此时y =60．∴当x =40毫米时，y =60毫米时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积为2400平方毫米．2结合中学生的特点，因材施教中学生的特点及数形结合思想教学的四个阶段由于生理和心理的特点，中学生的思维还处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，因而基本上，他们的思维仍然有感性经验相关联．“数形结合”就是把抽象的“数”转化为具体的“形”，通过解决具体的“形”而达到解决抽象的“数”，这种思想正符合初中生的心理特点，乐于被他们接受．因此，作为一项教学改革，需要我们教师在教学中加强这方面的训练指导，也需要我们的中学生加强这方面的练习．对中学生来说，数形结合思想的形成一般要经历四个阶段．由于数形结合的思想以知识AB为载体，但数学知识是逐步深化的，这就导致了在知识的不同发展阶段对数形结合思想的不同层次的要求，因此在考虑实施数形结合思想教学时主要可分四个阶段进行．第一阶段渗透孕育起期．由于学生刚升入中学，他们对数形结合的认识主要还停留在用线段图解应用题这种简单浅显的层次，因此这一时期的要求不能太高，因以“数轴”、“相反数”、“绝对值”、“有理数是计算”等内容为载体，以数轴为结合点．在数学中提出数与形的问题，使学生感受到“数”与“形”间存在着相互联系、相互转化的辩证关系．并且通过问题的解决，察觉到数轴的作用．如：设点A 在数轴上的数为-3，点B 在数轴上，且点B 到点A 的距离是 5, 则点B 所表示的数是多少？这个对刚升入中学的学生来说比较抽象，若借助数轴将抽象的数的关系转化为直观的位置关系，则问题就容易解决了．第二阶段体会领悟期．这一时期，代数以“不等式”的知识为载体继续向学生介绍数形结合思想，使学生明白如果不借助“数轴”这个工具，就不容易找出不等式组的解集．由此而领悟到，数形结合对解决数学问题不是可有可无的，而是一种非常重要的办法．另一方面，学生开始学习几何知识，几何入门比较难，但借助以学过的代数知识，将直观图形数量化转化为代数运算加以解决，可降低机几何学习的难度．具体的做法有：不考虑几何问题中的位置关系，直接采用代数和的方法解题．例８ 如图10，已知090AOB ∠=, AOC ∠为锐角, ON 平分AOC ∠, OM 平分COB ∠ ，求MON ∠的度数．解 ON AOC ∠平分 12AON AOC ∴∠=∠OM BOC ∠平分 12BOM BOC ∴∠=∠MON MOA AON ∴∠=∠+∠1902BOM AOC =-∠+∠0119022BOC AOC =-∠+∠0190()2BOC AOC =-∠-∠01902AOB =-∠045=．通过几何知识的学习，使学生意识到数形结合思想不仅可以用“形”的直观表达抽象的数也可以将直观的图形数量化，转化为“代数运算” 进而解决问题．这种领悟可以使学生对知识的理解达到更深刻的程度，同时也体会到数形结合思想在几何中也有广阔的应用背景．第三阶段形成尝试期．以平面几何知识为载体．由于知识深化“数” 与“形”之间的A BCD EFMN(图11)ADEF 因果关系不那么明显，因此学生在解决问题时很难将“数”与“形”有效的结合进行思考．这个阶段的教学可分为两个层次进行：①理解迁移．深刻理解数学知识中蕴含的数形结合思想，找出概念、定理、性质中“数”与“形” 的特征．如勾股定理，代数的特征是是这三个数是某直角三角形的三边．解决相关问题时可以引导学生与已有的知识经验“直角三角形——求线段长——解方程”产生关联，找出解题途径．例9 如图11点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ,4=PD ,求PB 的长．分析 求线段的长度需要有直角三角形，但图中没有现成的直角三角形，故需添辅助线． 解 过P 作EF //BC 交DC AB 、与F D 、,过 P 作MN //AB 交AD 与BC M 、与N ,并设x BN =,y CN =,h PN =，则2222222345x yy h ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩ 即2222718y xy h ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 解得2218y h +=即218PB =PB ∴=②提炼方法．作为第二层次的教学,应该引导学生从解决问题的技巧中提炼出蕴含数、形结合思想且又易于操作的办法．进而理解这些办法的实质．比如在一些问题的解决中,都用到从面积的角度去思考探索证明途径．这一技巧其实质就是利用公式(方程的思想)为问题的解决铺平道路．例10 如图12在等腰ABC ∆中,5==AC AB ,6=BC ,P 是底边上任一点,求P 到两腰的距离的和．解 过P 作AB PD ⊥于D ,作AC PE ⊥于E ,过B 作AC BF ⊥于F ,连接AP ,S S S APC APB ABC ∆∆∆+=，即PE AC PD AB BF AC ⋅+⋅=⋅212121 5AB AC ==ABCD1+x1+x1-y 15（图13）BF BP PE ∴=+222AB AF BF =+,222()BC BF CA AF =+- ∴AF =75 ∴BF =245 ，即PD PE +=245． 第四阶段应用发展期．这个阶段主要以方程、函数和知识为载体,以解决问题为主要教学方式,突出数形结合思想在解题中的指导作用(见例12)．指导学生正确、迅速地找出问题中数形转化的等价关系,展现由“数”思“形”,由“形”定“数”的思维过程．例11 (由“数”思“形”)解方程⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-)2...(..............................521)1(..................................................1y x y x分析 方程(2)可变形为: )3....(..........)15()2()1(222=--+y x ,显然0>0>.由于(3)与勾股定理形式类似,因此可构造(13)ABC Rt ∆,使090=∠C ,并延长CA 至D 使1+==x AB AD ，2-=y CA ,就把题中的数量关系转化为图中的几何关系15=BC ,1+=x AB ,512=++-=x y DC ∴15+-=x AC , 设a x =+1 ∴a AC -=5在ABC Rt ∆中152-=a AC ∴1552-=-a a ∴15102522-=+-a a a ∴4=a ,从而15=x ,3=y ．例12 (由“形”定“数”)若方程2210ax x -+=(0)a >的两根满足: 11x <,203x <<,求a 的取值范围．分析121x x a=0a >,20x > 101x ∴<<原方程化为2210y x x a a=-+=(0)a >设2210y x x a a=-+= 依题意,画示意图(图14)从上看出当1=x 时，0<y ………①当3=x 时，0>y ………②,这样就把图中的几何条件转化为数的条件．① 与②组成不等式组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-<+-01690121aa aa (0)a >解得519a <<． 综上所述，在数学教学中应经常引导学生用图形直观地研究数、式问题，用数、式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨．这对培养学生分析问题、解决问题的能力及用互相联系、互相转化的辩证唯物主义观点分析事物是大有裨益的． 数形结合数形能培养学生哪些方面的能力中学阶段，数形结合中的“形”是数轴、函数图像、几何图形等．“数”是指代数、三角形等．数形结合就是充分利用“形”的直观性和“数”的准确性,培养学生思维的灵活性、广阔性是初中数学中值得探索的方法，那么学好数形结合究竟能提高学生哪些方面的能力呢？下面我将结合实际来谈谈．1．数形结合，培养解题思维的独创性思维的独立创造性是指敢于超越传统习惯的束缚,摆脱原有知识范围和思维定势的禁锢,善于把头脑中已有的知识信息重新组织,产生具有进步意义的新设想和新发现．利用形的直观性,探寻到具有创新意识的简捷妙法,可避开繁琐运算,简捷解题,提高解题速度,达到培养思维的独创性之目的．2．形结合，培养解题思维的准确性正确是指解题结果完全符合预期的设想．在解题过程中,准确是解题的关键．数形结合,可用利用“形”的直观性提高“数”的准确性．3．数形结合，培养解题思维的广阔性思维的广阔性是指思维活动中避开单一狭隘的思维模式，对所学知识融会贯通,多角度、全方位思考问题、解决问题的程度．思维越广解决处理的方法越多．利用数形结合，用大树知识解决几何问题,或用几何知识解决代数问题，避免以代数解代数，几何解几何的单一模式．数形结合解题就是根据数量的特征与图形结构，使数与形相互转化,开辟解题新途径．4．数形结合,培养解题思维的灵活性思维的灵活性是指思维活动具有较高的灵活程度，能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多侧面的认识．数形结合思想引导学生多方位思考，审时度势，适时突破常规的思维定势，有利于培养解题思维的灵活性．中学生怎样去形成用数形结合思想解题的能力在中学阶段数形结合思想具体体现在用代数方法解决几何问题或几何方法解决代数问题．代数方法精确深刻，几何方法形象直观，两者的结合开辟了新的解题思路，能促进学生数学思维的发展．现在中学学生在代数中已经学过代数式、方程、函数，在几何中已经学过点、线、三角形、四边形、圆的知识，这两种学科间联系密切，是互相统一的．因此，我们必须重视数形结合的教学．1．加强学生对数形结合概念的理解代数和几何两种学科间的联系、两种知识面的统一是随着数轴、平面直角坐标系与函数的深入学习,才逐渐沟通与深化的．所以在这一段的教学中为使学生形成数形结合的统一意识，教师就要讲清数轴、平面直角坐标系、函数图像等的性质，应在知识领域理凸显数形结合的思想方法．2．坐标系的建立为数形结合开拓了思路数形结合的载体是数轴，数轴能反映出数与点的对应关系，这是学生学习数学的一大飞跃．运用数形结合的思想方法思考问题，能给抽象的数量关系以形象的几何凸显，也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决．通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比较的法则、函数等，可以大大降低学生这些知识的难度．数形结合思想的教学应贯穿于整个数学教学的是始终．3．注意培养学生用数形结合的数学方法分析问题、解决问题的能力不论用代数方法研究几何问题,还是用几何图形研究代数式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想．因此教师应加强对学生的数形结合意识的渗透和能力的培养．我们可通过数量关系的讨论来研究几何图形的性质，比如解析几何这门学科就是建立在这种思想方法的基础上，另一方面是利用几何图形的直观性，揭示数量关系的许多特征,深刻理解这一观点，有利于提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学素养．如列一元一次方程解应用题的关键在于分析题中的数量关系，可以通过画直线形(或圆形)示意图直观地显示出来．一旦学生掌握了这种数形结合的分析方法，对较为复杂的习题就能独立分析和解决了．4．善于观察图形,以揭示图形中蕴含的数量关系观察是人们认识客观事物的开始,直观是图形的基本特征,观察图形的形状、大小和相互位置关系,并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系,是认识、掌握数形结合的重要进程．1） 正确绘制图形,以反映图形中相应的数量关系观察图形,既要定性也要定量,借助图形来完成某些题时,仅画出示意图是不够的,还必须反映出图形中的数量关系．2）切实把握“数”与“形”的对应关系,以图识性以性识图数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系,熟知这些对应关系,深化两者的联系,才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应图形的特征之间的关联,以求相辅相成,相互转化．3）灵活运用“数”与“形”的转化,提高思维的灵活性和创造性在中学数学中,数形结合的思想和方法体现得最充分的是解析几何,此外,函数与图像之间,复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对于关系是实现转化的先决条件,而强化这种转化训练的则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．总之，在教学中教师应充分利用图形、图像,使学生正确理解和掌握所学的概念和知识，通过运用数形结合的思想方法实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观，让学生逐步理解数与形间的相互联系与转化的辩证．3.学好数形结合思想能提高中学生的知识水平数学是研究现实世界的中的数量关系与空间形式的科学．数与形是数学额中最基本的两个概念,二者相辅相成．因此许多代数问题均可根据其题设与结论的特征通过观察、联想构造出相应的几何模型，然后根据图形的性质得到一种简捷的解法．这种以数辅形的方法对解求值问题、恒等式证明、不等式证明等尤为巧妙简捷．构造三角形有些代数问题如题设或结论中出现形如公式222c b a =+,222cos 2c ab b a =-+α,)R c b (+∈、、a 及其变形或三角形的面积公式可联想到构造三角形求解．例13 正数c ,b ,a 满足25322=++b ab a ,9322=+c b ,1622=++a ac c ,计算ac bc ab 32++的值．P Q R Oac0120 (图15) 3b 解 将题设改写为22025)3(150cos )3(2=+-bba a ,2223)3(=+c b,22024120cos 2=+⋅-a ac c ，而222543=+因此联想到构造PQR Rt ∆使4=QR ,5=RP ,并在其内取一点O 使得090=P ∠OQ ,0120QOR =∠,0015ROP =∠且c OQ =, a OR =,3bOP =(如图15)． RPO RQO PQR △△△S S S S QPO ++= ,即00150sin 321120sin 213213421⋅⋅+⋅+⋅⋅=⨯⨯b a ac b c , 整理得32432=++ac bc ab ．构造四边形例14 已知正数c ,b ,a ,p n m ,,满足k n c n b m a =+=+=+,求证2k cm bp an <++．证一 由结论联想到矩形面积公式又由题设可构造边长为k 的正方形ABCD (如图17),由图便知2k cm bp an <++．证二 由题目特征还可构造边长为k 的三角形ABC(如图16),易知ABC CFG BEF AEG △△△△S S S S <++,即020060sin 2160sin 2160sin 21⋅<⋅+⋅k an bp , 亦即2k cm bp an <++．B C A 1 B 1 C 1D 1 （图18） A D构造长方形例15 已知正数c ,b ,a 满足1222=++c b a ,求证)(3-1-1-1222c b a c b a ++->++．证 依题设联想到长方体三度平方和等于对角线平方,因而可构造长方体1111D C B A ABCD -(如图18),使a AA =1,b B A =11,c D A =11．由1222=++c b a 得11=AC ,21-1c AB =,21-1b AD =,211-1a C A =,在11C AB △中1111AC C B AB >+,即1-12>+c c ,1-12>+a a , 1-12>+b b ．三式相加即得)(3-1-1-1222c b a c b a ++->++.总结:以上几个方面总结了以形辅数解代数问题的途径，从中可见此法的优越性是直观、简捷．这种方法的基本思想要点是联想、构造、转化．它对于培养学生的求异思维与创造性思维能力是很有益．A B C EF G a bcm n p AB Ca m k（图16） （图17）结束语由于“数形结合”具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的智能，提高学生的数学水平有着独到的作用．这种教学方法能够培养学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展．参考文献：[1]罗洪信．在初中数学中蕴藏着数形结合思想[M].桂林市教育学院学报，2001，15（2）：58-61．[2]九年义务教育初中《数学教学大纲》[M].北京:人民教育出版社，2000．[3]九年义务教育初中数学课本[M].北京:人民教育出版社，2003．[4]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2001．[5]肖鸣.浅谈初中数学中的数形结合思想的教学[M].厦门教育学院学报，1999，2，62-65．[6]陈小菲.初中代数中的数形结合教学[J].丽水师专学报（自然科学版），2001，23：16-18．[7]吴水英.谈初中数学中的数形结合教学[J]. 湖州师范学院学报，2001，23：16-18．[8]冯客诚.何曼青.学生能力培养与训练实用全书[M].北京：人民出版社，1998．[9]贺信淳.数学结合方法的使用.中学数学教学，1996，6．[10]黄刚.初中数形结合思想教学过程探讨.曲靖师专学报，1998，17（5-6），36．[11]叶洪康. “以形辅数”巧解代数问题[M].宁德师专学报（自热科学版），1994，6（1），64-68．。
高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用
《数形结合思想》在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。
代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。
现举例如下：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，求k 的取值范围.解：（代数法）曲线方程可化为)0(122≥=+x y x ，把k x y +=代入)0(122≥=+x y x可得：012222=-++k kx x （0≥x ），由题意可知方程仅有一个非负根①当方程有等根时，即)1(8)2(22--=∆k k =0，可得2±=k ，当2=k 时，方程可化为012222=++x x ，得22-=x 不合题意；当2-=k 时，方程为012222=+-x x 得22=x 符合题意，可知2-=k ； ②当方程根为0=x 时，得012=-k ，1±=k ，当1-=k 时，方程为0222=-x x ，得方程两个根为01=x ，12=x 不合题意应舍去；当1=k 时，方程为0222=+x x ，得方程两个根为01=x ，12-=x 适合题意，可知1=k ； ③当方程根为一正一负时，只需021221<-=k x x ，可得11<<-k 。
综上所述：所求 k 的取值范围为2-=k 或11≤<-k 。
（几何法）曲线21y x -=是单位圆122=+y x 的右半圆（0≥x ），k 是直线k x y +=在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，2-=k ，由图形：可得2-=k 或11≤<-k 。
上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。
二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。
浅谈数形结合思想在解题中的运用
浅谈数形结合思想在解题中的运用王克卓数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，且数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。
显然数形结合，不是两者简单的堆砌，而是有机的结合，“数”具有精确性定特征，它可以阐明“形”的某些属性，并且可以通过运算法则、公式进行运算，比较具体（虽然有时却比较繁复），“形”具有几何的直观性，它也可以表示数之间的某些关系，“形”可以通过逻辑推理得到一些结果，其推理过程较简捷（但可能有时比较抽象）。
但两者结合，各取所长，则往往威力巨大，因此华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一,高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的问题形式出现，能很好地培养和发展学生的数形结合思想。
新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。
下面举例说明数形结合思想在各模块中的应用。
一、利用数形结合解决集合问题对于集合中各种概念、运算的理解，直接从自然语言和符号语言上理解，往往难以搞清其本质；若借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、具体，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题。
这就是数形结合思想的应用，显然准确地将集合问题转化为图形关系是关键。
解题时常借助韦恩图或用数轴、简单函数的图像等形来集合问题，往往可以把问题中的条件直观化、形象化，从而使原题灵活、简捷、准确地获解。
毕业设计(论文)-数形结合思想在解题中的应用[管理资料]
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数形结合思想在解题中的应用摘要数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数量关系与直观的图形的相互转化来解决数学问题。
数形结合方法是数学解题中常用的思想方法。
它被广泛地应用于解决数学问题之中。
数形结合方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到解决问题的目的。
本文阐述数形结合在中学数学中的应用，并结合适当的例题来加以说明。
关键词数形结合思想解题应用抽象直观Several form combining the application in problem solving thinkingAbstract Several form combining, is according to the fractal number and the corresponding relation between the quantity relationship, with intuitive graphic conversion to solve mathematics problems. Several form combining method is used in mathematics problem-solving thought method .It is widely used in solving mathematical problems. Several form combining method can make complex problem is simplified, abstract problem specific, achieve the purpose of solving problems. This paper describes Shuoxingjiege Mathematics in secondary schools, combined with appropriate examples to illustrate.Keywords Several form combining ideas problem-solving application目录一、前言 (5)二、正文 (6)（一）解决实数比较大小问题 (6)（二）解决集合问题 (6)（三）解决函数问题 (7)（四）解决方程与不等式的问题 (9)（五）解决三角函数问题 (11)（六）解决线性规划问题 (12)（七）解决数列问题 (14)（八）解决解析几何问题 (14)（九）解决立体几何问题 (16)三、结束语 (18)四、参考文献 (19)五、致谢 (20)数与形是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
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勾股定理
（外文翻译从原文第一段开始翻译，翻译了约 2000字）
勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。
这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家
毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。
虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。
毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡 献。
据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。
后 来又发现2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的
追随者。
他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。
因此 理的，他们就尝试了知识压制。
它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。
毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。
毕达哥拉斯定理指出,
对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和
根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和 A 和B ,等于蓝色的正方形面积，正方形三区
他在数学上有许多贡献,
2的平方根被认为是不合
2
Area Square B =b
Area Square C = /
的数字显示。
在广场的地方就可以表现在两个不同的方式: 1。
由于两个长方形和正方形面积的总和:
2。
作为一个正方形的面积之和四个三角形:
2 2 /ab\ 2 (a +b) = c 1= c + 2ab
因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是:
2 2 2 a +b = c
对于一个直角三角形的边长 a ，b 和c . 其中c 是斜边长度。
虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理, 但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉
斯早一千年。
现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。
如果用欧几里德的算法使用,
很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容: "一个大广场边a+ b 是分成两个较小的正方形的边
a 和
b 分别与两个矩形 A 和B ,这两个矩形各 可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线
c 。
四个三角形可安排在另一侧广场
a+b 中
该公式将产生所有勾股数最早出现在书欧几里德的元素 X ：
现在，建立上面2个方程，求解得
2 2 2 a +b +2ab = c +2ab
因此，对c 的平方等于a 和b 的平方和（伯顿1991） 有许多的勾股定理其他证明方法。
一位来自当代中国人在中国现存最古老的含正式数学理论能找 到对Gnoman 和天
坛圆路径算法的经典文本。
被列入书Vijaganita ，（根计算），由印度数学家卜 哈斯卡瑞。
卜哈斯卡瑞的唯一解释是他的证明，简单地说，“看”。
这些发现证明和周围的几何定理的毕达哥拉斯是导致在作为 之一。
毕达哥拉斯问题:
方案:
2 2 2 I +y =E
有三个整数（X , y ，z ）满足这个方程，则称为勾股数。
部分勾股数:
5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61
这勾股定理证明是一个鼓舞人心的数字证明,
Pythgorean 数论问题的最早的问题
找到所有的边的长度为直角三角形边长的组成,
从而找到在毕达哥拉斯方程的正整数所有的解决
I = 2miL
其中n 和m 是.正整数，且不同为奇数或偶数 在他的书中算术，丢番图证实，他能利用这个公式直角三角形，虽然他给了一个不同的论证。
勾股定理可在初中向学生介绍。
在高中这个定理变得越来越重要。
仅仅这样还不够，为勾股定理 代数公式，学生需要看到的几何连接以及在教学和学习中的勾股定理，可丰富和通过使用增强点
纸，geoboards ，折纸，和计算机技术，以及许多其他的教学材料。
通过对教具和其他教育资源 的使用，毕达哥拉斯定理可能意味着更多的学生不仅仅是插上数字的公式。
以下是对勾股定理的证明包括欧几里德一个品种。
这些证明，随着教具和技术提高，可以大 大提高学生对勾股定理的理解。
F 面是一个由欧几里德其中最有名的数学家之一证明的总结。
这个证明可以在书欧几里德的《元 素》中找到。
2 2 2 a +b = c
欧几里德开始在上面图 2所示的毕达哥拉斯配置。
然后，他建造了一个垂直线，从 C 做DJ 就关
于斜边垂线。
这点 H 和G 是本与斜边上的正方形的边垂足。
它位于的三角形 ABC 的高。
见图3。
命题：直角三角形上斜边的平方等于在直角边的平方和。
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下一步，欧几里德表明，矩形HBDGT积等于BC上正方形的和与矩形的HAJG正方形的面积关系。
他证明了这些等式利用相似的概念，三角形ABC AHC和CHB相似，HAJG面积=(HA)(AG),AJ=AB, HAJG面积=(HA)(AB),三角形ABC与三角形AHC相似，即:
AB AC AC" " HA o
因此,
以同样的方式，三角形ABC的和CHG是相似的。
所以
AB BC
B T =丽
(BC)^ = (BHXAB) = (BHXBD)
矩形的AHGJ 面积是三角形JAC 面积的两倍，以及 ACLE 面积是三角形 BAE 面积的两倍。
这两个三 角形全等采用SAS 在同样的结果如下，为其他类似的方式长方形和正方形。
点击这里，普惠制动画来说明这方面的证据。
接下来的三个证据更容易看到了毕达哥拉斯定理证明，将高中数学学生的理想选择。
其实，这些 都是可以证明，学生可以自己在某个时候兴建。
由于这两个矩形的面积之和，是对斜边正方形的面积，这样就完成了证明。
欧几里德急于把这个结果在他的工作尽快得出结果。
然而, 由于他的工作与相似联系不大，直至 图书第五和第六，他必须与另一种方式来证明了勾股定理。
因此，他采用平行四边形的结果是相
同的基础上翻一番，并在同一平行线之间的三角形。
连接
CJ 和 BE
（卡茨，1993年）。