2011高教社杯数学建模大赛论文A题

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：XXX所属学校（请填写完整的全名）：上海交通大学参赛队员(打印并签名) ：1. XXX2. XXX3. XXX指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数模指导组日期： 2011年9 月 11 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城市表层土壤重金属污染分析摘要：本文是2011年全国大学生数学建模大赛A题参赛论文.本文针对A题附件中提供的数据，通过应用MATLAB插值拟合方法得出了调查地区的地形等高图以及该地区的八种重金属元素污染状况的等浓度图，并与取样点区域分布图进行了整合.评价土壤污染的一般方法是用单项污染指数法得到某一种重金属元素的污染指数，再用内梅罗指数法综合分析总体污染程度.但是这种方法过度体现最高单项因子的影响程度，得到的污染评价过于严重，与事实不符.而地质积累指数法可以有效降低自然成岩作用可能引起背景值的变动的影响，用此方法代替单向污染指数法之后，得到的污染图更加客观、准确.在考察重金属污染物传播规律的方法中，我们采用了基于高斯扩散模型的算法，从理论上定量阐明了重金属污染单点源扩散的特征与规律.证明了在不考虑地形，风力，风向，降雨等干扰因素的理想状况下其浓度分布等值面的分布公式，并且指出此等值面通过对数变化可以成为一组椭圆.椭圆中心即为污染中心.由此得出确定污染中心的方法.为了确定污染中心，即等值面椭圆中心，我们采用了基于最小二乘法的平面任意位置的椭圆拟合算法.由于直接使用MATLAB求参数的精度过低，而且实现时间较长.我们先利用极值时目标函数对各个自变量的偏导值为零的条件，确定了一组线性方程组，从而大大化简了算法，提高了计算精度，而且具有很好的推广价值.在文章的最后部分，我们对模型的修正问题进行了探讨.我们分别从地面反射，风力风向，以及地形等因素的方面对建立的模型提出了修正思路，并针对地面反射和风力风向因素尝试性地提出了修正方案.关键词：重金属污染内梅罗指数地质积累指数高斯扩散模型最小二乘法1问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出.对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点.按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同.现对某城市城区土壤地质环境进行调查.为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置.应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据.另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值.附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值.现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度.(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因.(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置.(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？2问题一的分析2.1八种污染物的分布2.1.1污染物分布的表示方法题目中给出了319个观测点的坐标值和每个观测点的八种污染物的浓度值.为了直观并且准确的表示出8种重金属元素的分布，我们决定绘制图示.而在图中不仅应该有污染物的浓度分布，还要体现出各点所在的功能区，因此我们不是用三维图，而是选择等浓度线图，并在上面叠印各已知点所在的功能区.已知的数据为非网格分布，不能直接使用contour函数作出等高图.同时，为了使各种元素的分布更平滑，我们首先要使用对数据进行插值，MATLA提供的二维插值函数interp2只能处理网格状数据，为了解决这个问题，我们决定使用griddata函数对数据进行插值.（详细代码见附录一）griddata函数的插值算法有：linear,cubic,nearest,v4,我们比较了linear与‘v4算法的插值效果，看出v4算法拟合的数据作出的等高线边缘更为光滑，而linear 算法过于粗糙，所以，我们决定使用v4算法.但在v4算法中，左上角和右下角没有数据点的地方也被进行了插值，但这些地方的数据没有说服力，因此不考虑这两个区域的图象.此外，由于插值可能会得出负值，但一个地区的浓度不可能是负值，因此我们将浓度小于0的点改为浓度为0进行绘图.2.1.2污染物分布的等浓度线图图2.1.2-1污染物As分布的等浓度线图图2.1.2-2污染物Cd分布的等浓度线图图2.1.2-3污染物Cr分布的等浓度线图图2.1.2-4污染物Cu分布的等浓度线图图2.1.2-5污染物Hg分布的等浓度线图图2.1.2-6污染物Ni分布的等浓度线图图2.1.2-7污染物Pb分布的等浓度线图图2.1.2-8污染物Zn分布的等浓度线图2.2污染程度的评价2.2.1评价方法一：单项污染指数法结合内梅罗指数法目前，土壤重金属污染评价的方法很多，如单因子指数法、内梅罗指数法、地质累积指数法、模糊贴近度法等.单因子指数法与内梅罗指数法通常结合使用，方法简单，广为使用.相比之下，模糊贴近度法则稍显复杂，应用较少.我们首先使用了单项污染指数法结合内梅罗指数法对这个区域的污染进行评价.首先使用单项污染指数法对单个区域某一种重金属元素的污染情况进行评价.单项污染指数法的计算公式为P i=C i S i式中：P i为区域重金属i的单项污染指数；C i为重金属i含量的实测值(mg ／kg)；S i为重金属i含量的评价起始值(mg／kg).若P i> 1，则表示该区域受到污染.其中，以平均值加2倍标准差所得结果作为区域土壤污染的起始值,计算单项污染指数.然后用内梅罗综合污染指数法评价某一个地区的综合污染指数.内梅罗综合污染指数法的计算公式为P 综=√P平均2+Pmax2式中，P综为综合污染指数(综合反映各污染物对区域土壤的不同作用；P平均为所有单项污染指数的平均值；P max为土壤环境中各单项污染指数中的最大值.用MATLAB处理数据，并且绘制污染指数分布等指数图，得到：图2.2.1-1内梅罗综合污染指数图可以看到，内梅罗指数最大的地方，其内梅罗指数超过180，远远高于标准中最高水平.2.2.2评价方法二：地质积累指数法结合内梅罗指数法地质累积指数(Geoaccumulation Index)通常称为Muller指数，是20世纪6O 年代晚期在欧洲开展起来的.它广泛用于研究沉积物及其他物质中重金属污染程度的定量指标例，不仅考虑了沉积成岩作用等自然地质过程造成的背景值的影响，同时充分注意了人为活动对重金属污染的影响.因此，该指数不仅反映了重金属分布的自然变化特征，而且可以判别人为活动对环境的影响，是区分人为活动影响的重要参数.其表达公式如下：I ij=log2[c ij1.5×BE j]式中，I ij表示第i个样品的元素j的地质积累指数，c ij表示第i个样品中j元素的浓度，BE j表示元素j的背景浓度；1.5为修正指数，通常用来表征沉积特征、岩石地质及其他影响.对内梅罗指数进行改进，将单因子指数换成地质累积指数，得到新的综合指数，公式如下：I 综=√I平均2+Imax2新的综合指数法是在地质累积指数的基础上进行了内梅罗指数的计算，因此对地质累积指数的分级标准加以调整，适用于新的评价分级.地质累积指数可分为几个级别，如Forstner等将其分为7个级别，0-6级表示污染程度由无到极强，最高1级的元素含量可能是背景值的几百倍，不同的级别也代表着不同的重金属污染程度.本评价分级标准在地质累积指数分级标准的基础上进行了调整.表2.2.2-1 修正后的内梅罗综合污染指数分级[2]图2.2.2-1修正后的内梅罗综合污染指数分布等指数图2.2.3两种评价方法的比较单项污染指数法结合内梅罗指数不仅考虑到各种影响参数的平均污染状况，而且特别强调了污染最严重的因子，同时在加权过程中避免了权系数中主观因素的影响，克服了平均值法各种污染物分担的缺陷，是应用较多的一种环境质量指数.此种内梅罗指数法的优点是数学过程简洁，运算方便，物理概念清晰.对于一个评价区，只需计算出它的综合指数，再对照相应的分级标准，便可知道该评价区某环境要素的综合环境质量状况，便于决策者做出综合决策.但是内梅罗指数法同样也存在着许多问题，比如过分突出极大值对水质污染的影响，评价项目中即使只有一项指标值偏高，而其他指标值均较低也会使综合评分值偏高.这种“一票否决”式的方法在评价工作要求日趋严谨和完善的情况下，显然不太客观.[3]单项污染指数法结合内梅罗指数法的这个缺点，导致了图3.2.1-1中部分地区的内梅罗指数高达180，出现了与事实明显不符的极端情况.评价重金属的污染，除必须考虑人为污染因素、环境地质化学背景值外，还应考虑到由于自然成岩作用可能引起背景值的变动因素.地质累积指数法考虑到了此因素，弥补了其他评价方法的不足.[4]修正后的内梅罗指数的等指数图也显示出，污染地区最高的内梅罗综合指数为5左右，属于极强污染，并且整个城市的污染指数基本与事实符合，所以，我们认为修正后的内梅罗指数更加能够反映这个地区的污染状况.综上，我们决定使用地质积累指数法结合内梅罗指数法来评价此地区的污染状况.2.2.4城市不同地区重金属的污染程度从图2.2.2-1中可以看出，重度污染地区主要有三个，如图所示图2.2.4-1污染严重区域图示我们可以看到，污染最严重的分别是点图示的A、B、C三个地区.其中A附近是工业区，它的内梅罗指数达到6.8186，大于5，根据评级标准属于第7级，极强污染.而点B、C附近均为交通区，内梅罗指数分别为5.2261和5.0395，也是第7级的极强污染.污染指数在3至5，即5、6级强污染至极强污染的地区中，它们的中心多为交通区和工业区.山区集中在右上角，这里的污染指数基本在1以下，大多数山区属于轻度污染.生活区在交通区附近的地方受其影响也有达到中污染的程度.而公园绿地区以左下角的重度污染区附近为多，但绿地本身有一定的净化作用，因而污染不是太严重，在中污染以下.综上所述，在这个地区内受污染最严重的是工业区和交通区，污染最少的是山区，而生活区和公园绿地区处在中等水平.3问题二的分析3.1重金属污染物成分分析使用地质积累指数法与内梅罗法，得到这8种重金属污染物的内梅罗综合污可以看出，其中污染最严重的是Hg和Cu其次是Zn，至于其他几种金属，处于中度污染和重度污染之间.故而可以认为，此城市主要的重金属污染为Hg、Cu污染.3.2工业区的污染原因分析许多工业发达国家，大气沉降对土壤重金属累积影响贡献率在各种外源输入因子中排在首位，工业废气的排放是大气中重金属污染的主要来源.因此，在工业项目进行环境影响评价时，做重金属废气污染源对土壤的累积影响评价至关重要.以重庆市为例，就重庆市主城7区比较而言，九龙坡区Cd和Pb含量明显高于其它的区，Zn的含量渝中区最高，Cu和Cr的含量沙坪坝区最高.由于九龙坡区是重庆市的主要工业区，也是整个重庆市耗煤最多的区，而煤中含有相当的Cd，因此燃煤是大气中Cd的主要来源.塑料焚烧的生成物和某些汽车轮胎和润滑油中的Cd，也是大气颗粒物中Cd一种重要来源.沙坪坝区大气中Cu和Cr的含量较其地区高主要是由于沙坪坝区是重庆市冶炼、金属加工、机器制造、有机合成主要生产基地，因此对土壤的污染较为严重，加上自然和人为原因，使得土壤中Cu和Cr进入大气环境.[5] 需要指出的是，人类活动造成水体汞污染，主要来自氯碱、塑料、电池、电子等工业排放的废水.虽然Hg在工业区也很集中，但是Hg的污染途径与其他的重金属元素是有区别的.由图3.2.2－1可以看出，工业区的污染主要来自A区域.而通过8种污染物分布图的比较，可以发现所有的污染物在A区域都有偏大的值，其中又以Cd、Cu、Pb、Ni居多.因此A区域可能是一处金属冶炼厂.工厂排出的废气中含有大量的重金属，成为Cd，Cu、Pb、Ni的主要污染源.而Hg可能主要来自工业区的废液.同时，可以看到的是Cu、Ni、Cr主要集中在工业区的污染，而在交通区较少，也验证了我们的模型.3.3交通区污染原因分析交通区的污染主要来自B、C区域.这两个地方应该是交通要道，来往的车辆对公路周边造成了污染.事实上，机动车辆行驶过程中由于包括排放尾气、轮胎磨损等一系列原因对环境造成的影响是不可忽视的.首先，机动车辆直接排放的颗粒物及车辆行驶引起的二次扬尘，是大气粉尘中Pb、Zn、Cu和Cd含量升高的重要影响因素，同时也是公路灰尘和土壤中重金属含量增加的重要因素.含铅汽油中的Pb会以颗粒态的形式随汽车尾气进入环境.其次，汽车轮胎中通常含有二乙锌盐等抗氧化剂，润滑油中通常含有二硫代磷酸锌盐等抗氧化剂，而镉盐主要作为含锌添加剂的杂质存在于汽车轮胎和润滑油中.因此，汽车轮胎磨损及润滑油燃烧是公路Zn和Cd污染的主要来源.再次，刹车里衬的磨损不仅造成公路Cd和Pb污染，而且会导致Cu污染.[6]同样以重庆为例，渝中区大气中Zn含量较高主要是由于渝中区的汽车比其它区的密度大的多，特别是橡胶轮胎的磨损以及煤的燃烧，是导致大气中锌污染主要原因.[5]所以，交通区中汽车及其他交通工具排放的尾气，成为Hg、Pb、Zn、Cd 的主要污染源.从Zn的污染图可以看出，Zn的污染主要集中在两个交通区中，而Cd的污染在三个污染区都很密集，这与以上资料中的分析基本相符.4问题三的分析4.1符号说明4.2模型假设1、重金属污染物的主要传播途径是通过污染气体排放（如工业废气，汽车尾气）从而污染周边地区.所以重金属污染物的扩散主要使用气体扩散模型.2、忽略污染源的高度和体积，认为是一个点污染源.重金属污染物的扩散看作是空间某一连续点源向四周等强度地释放重金属污染物，并且重金属污染物在扩散过程中不发生性质变化.3、假设重金属污染物扩散服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比.[7]4、不考虑地面对于重金属污染物的反射作用，即地面全部吸收重金属污染物.5、不考虑地面因为海拔不同造成污染物扩散的影响. 4.3模型概述重金属污染源是连续均匀稳定的，污染气体的扩散应该服从Fick 扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比.为了简化模型，我们首先只考虑介质各向异性对扩散系数的影响.由扩散定律、质量守恒定律和气体扩散的连续性可得出无界区域的抛物线型偏微分方程，再通过假设条件建立模型，从而得出污染周边不同距离地区、不同时段重金属污染物浓度的预测模型. 4.4模型的建立与求解4.4.1确定重金属污染物的扩散规律以垂直高度为H 污染源正下方地表为坐标原点(0,0,0)，则污染源坐标(0,0,H )铅直方向为Z 轴，取扩散速率差异最明显的两个正交方向为X 轴和Y 轴，建立空间坐标系.令污染源开始排放气体的时刻t =0，并记时刻t 坐标为(x,y,z )的点的浓度为C(x,y,z,t).根据假设3，单位时间通过单位法向面积的污染流向量q =(q x ,q y ,q z )与浓度梯度有如下关系：q x =−k x ðCðxq y =−k y ðCðyq z =−k z ðCðz以上三式可合写为 ， q =−K ⋅∇C (1)k x , k y , k z >0是扩散系数，定义K 为扩散系数张量，∇C 表示梯度，负号表示由浓度高向浓度低的地方扩散.考察任意包含O 点的空间域Ω，其体积为V ，并记表面为S .考虑(t,t +∆t)的一个时间段.在这段时间内通过S 的流量为：1t t tsQ d dt σ+∆=⋅⎰⎰⎰q n （2）Ω内重金属污染物的增量为：2[(,,,)(,,,)]VQ C x y z t t C x y z t dV =+∆-⎰⎰⎰ （3）从污染源排放的重金属污染物的总量为：00t t tVQ C dVdt +∆=⎰⎰⎰⎰（4）根据质量守恒和气体扩散的连续性，在这段时间内通过表面S 向外扩散的重金属污染物的量与Ω内重金属污染物增量之和，等于污染源在这段时间内排放的重金属污染物的量.即：012Q Q Q =+ （5）即：0[(,,,)(,,,)]t tt tt tVsC x y z t t C x y z t dV d dt C dVdt σ+∆+∆Ω+∆-+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰q n （6） 根据曲面积分的Gauss 公式有：sVd dV σ⋅=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰ q n q （7）并利用积分中值定理得：0V V CdV t dV t C dV t t Ω∂⋅∆+∇⋅⋅∆=⋅∆∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰q 于是有：0V V VCdV dV C dV t ∂+∇⋅=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰q （8） 根据假设2，由污染源的点源性质，源分布函数为作用在污染源点的点源函数，即00(,,)(,,)C x y z Q x y z H δ=- （9）其中(,,)x y z δ为单位点源函数，定义为 3(,,)0,(,,)(0,0,0)(,,)1R x y z x y z x y z dV δδ=≠⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰ 由空间域Ω的任意性，得到微分方程： 0()(,,)C Q x y z tH Cδ-∇⋅⋅∇=∂-∂K（10） 方程（10）满足假设2的解为：0(,,,)C x y z t Q = （11）不考虑地形因素，即认为z=Const .可以得到浓度的平面分布表达式0(,,)C x y t Q = （12）A 为常数.在任一时间t 有：01(,)()(())4C x y G R Q P RErf P R Rπ-==>== ,0, 其中Erf (x )为误差函数 （13）令(,).C x y Const =立即得22.0y z x z x y k k k k Const +>= （14） 知其等值面为一族椭圆.4.4.2拟合椭圆确定污染中心由上面的分析可以看出，在不考虑风速、污染源高度的情况下，相同污染物浓度的点构成的曲线通过对数变换可以构成一个椭圆，下面使用最小二乘法确定此椭圆的中心，即污染源位置.由式（13）看出扩散达到稳定即t →∞ 时，有0(,)()4QC x y G RR π==即(,)4Q x y R C π== （15）202222(,)16y z x z Q k k k k C x y A x y π+=-说明，通过运算之后，原方程变成了一个椭圆表达式（x k ，y k 均为正值）.而且，椭圆的中心为污染源.考虑到原坐标建立的时候有特殊性，为了让这个方程符合一般模型的要求，改写方程为一般椭圆方程.：22(,)0Ax By Cxy Dx Ey F K x y ++++++= （16）其中20221(6,)(,)K A Q x y C x y π-=，由于可将常数A 与F 合并，并简化系数，可取21(,)(,)K x y C x y =-找到某个污染较为集中的地区，从中取若干个点，使用最小二乘法拟合椭圆. 目标函数为：221(,,,,,)(,)ni i i i i i i i i A B C D E F Ax By Cx y Dx Ey F K x y =Φ=++++++∑，通过求目标函数的最小值来确定参数A ，B ，C ，D ，E ，F 的值.由极值条件0A B C D E F ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ======∂∂∂∂∂∂得到线性方程组：4223322111111224323211111133********11312121n nnn nni i ii ii i iii i i i i i n n nnnn i i ii iiiii i i i i i i n nnnnn i i i ii ii ii ii i i i i i i i n i iii n i i i n i i x xyx yx xyx x y yx yx y yy x y x y xyxyx yx y x x y x y x =====================∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2121222111113221111121111n i i i ni i i i nnnnn i ii i iii i i i i nnnnniiiiiii i i i i i nnnnii iiii i i i k x k y A B k C D x yx x yx E F yx yx y y y yx yxyn ================⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑1111n i i i n i i i n i i i n i i x y k x k y k ====⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭∑∑∑∑式中记k i =K (x i ,y i ).此方程为满秩的线性方程组，两边都乘以系数矩阵的逆矩阵即得结果.求出椭圆方程：22210(,)Ax By Cxy Dx Ey F C x y +++++-= 由于此时有(,)C x y =所以当22(,)F x y Ax By Cxy Dx Ey F =+++++取最小时，(,)C x y 取得最大值.这同污染中心浓度取极大值的物理事实相符.由多元函数极值条件(,)0(,)0F x y xF x y y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得2020Ax Cy D By Cx E ++=⎧⎨++=⎩解得222424BD CE x C AB AE CD y C AB -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩（17）即为所求污染中心.4.3.3用所给数据拟合椭圆求Hg 的一个污染源通过观察各种重金属的污染图像可以看出，每种重金属的污染源都不一样.鉴于篇幅所限，不给出所有污染物的污染源的坐标，仅以Hg 为例，使用最小二乘法拟合椭圆求解污染源坐标.图4.3.3-1污染物Hg 的局部分布图从图中得到的点为：x=[13797 14000 14325 15467 16428 14207 15198 16289]';%横坐标 y=[9621 8970 8666 8658 9069 9980 10100 10072]';%纵坐标 k=[63.21 23 30 24.64 84 14 27 31];%污染物浓度 通过MATLAB 拟合，求出椭圆中心为：（16155 9318.9）基本与图示相符.5问题四的分析5.1模型评价这个模型认为重金属的传播途径主要是在气体的传播，利用气体的扩散定律建立方程，可以在一定程度上体现不均匀的大气中重金属污染物的传播.它的优点是考虑到了介质的各向异性，而且得出来的方程比较简洁，可以从中清楚地看到污染物是以椭圆的形状进行传播的.通过这个模型，可以比较方便地由已知的样本点确定污染源的位置，既简洁又实用.缺点在于此模型只考虑了除扩散介质各向异性对扩散系数的影响而忽略了风的作用、地面的反射和吸附作用、降雨、重金属的沉降作用等其他因素，从而与实际的重金属传播情况有一定的出入.为了得出更精确的模型，下面我们将考虑污染源的地面反射和风力风向等因素对浓度分布的影响，对模型进行完善.5.2模型改进一：地面反射对模型的完善为了简化模型，我们不妨假设地面对扩散气体完全反射，因此可以认为地面在这里起着镜子的全反射作用，从而用“像源法”来处理.其中污染源在一定的高度上，是高架连续点源.如图2，p是空间域上的任意一点，而图上左边两点分别是污染源（实源）及其关于地面的对称点（像源）.p点的重金属污染物气体浓度可以看成实源和像源两部分的作用之和.为此我们建立三个坐标系，一是以实源为坐标原点；二是以污染源在地面的投影点为原点；三是以像源为原点.图5.2-1：高架连续点源扩散示意图[9]p点重金属污染物气体的浓度为实源和像源的气体分别扩散至此时的浓度的叠加.而实源对p 点的浓度贡献可用22()z z H k e --来表示；由对称性，像源对p 点的浓度贡献用22()z z H k e+-表示.由此（11）式可修正为：0(,,,)C x y z t Q = （18）5.3模型改进二：风作用对模型的完善重金属污染物核素云团在大气中迁移和扩散的数值计算基本上可分为二步.第一步根据大气动力学理论进行所关心区域中风场的计算，其理论基础是大气运动方程、连续性方程、状态方程、热力学方程和水汽方程构成的基本方程组.在大气科学研究领域中，已有多个实用的大气环流模式.第二步进行已知风场中重金属污染物核素云团迁移和扩散的计算，可采用类似于处理大气污染的方法，假设重金属污染物核素云团不影响大气流体速度和温度，求解重金属污染物核素的连续性方程.图5.3-1：高斯烟羽模型坐标[10]当风速为/u m s 时，利用连续点源高斯扩散模型分析污染源周边重金属污染物浓度的变化情况.此污染源源是有边界点源，污染源源的实际高度为H .如图3以污染源源在地面的投影点为坐标原点，以风向方向为x 轴，铅直方向为z 轴，与x 轴水平面垂直方向为y 轴建立三维坐标系，由于扩散过程中浓度在y 、z 轴上的变化分布符合高斯分布，所以下风向的任意一点(,,)C x y z 的浓度函数为：22(,,)()ay bz C x y z A x e e --= （19）根据概率统计我们可以得出方差的表达式为：。