方程有解问题的常用处理办法

方程有解问题的常用处理办法方程0)(=x f 有解的问题实际上是求函数)(x f y =零点的问题，判断方程0)(=x f 有几个解的问题实际上就是判断函数)(x f y =有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理办法： 一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程0)(=x f 的根，此法一般适合于含有一元二次（三次）的整式函数，或由此组合的分式函数。

例1（2010年福建理4）函数⎩⎨⎧>+-≤-+=)0(ln 2)0(32)(2x xx x x x f 的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3解：当0≤x 时，由32)(2-+=x x x f 得1=x （舍去），3-=x ；当0>x 时，由x x f ln 2)(+-=0=得2e x =，所以函数)(x f 的零点个数为2，故选C 。

二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程0)()(=-x g x f ，能够先转化为方程)()(x g x f =，再在同一坐标系中分别画出函数)(x f y =和)(x g y =的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。

次法一般适合于函数解析式中既含有二次（三次）函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。

例2（2008年湖北高考题）方程322=+-x x的实数解的个数是解析：在同一坐标系中分别作出函数xx f -=2)(和3)(2+-=x x g的图象，从图中可得它们有两个交点，即方程有两个实数解。

三、导数法在考查函数零点时，需要结合函数的单调性，并且适合用求导来求的函数，常用导数法来判定有无零点。

例3（2009年天津高考题）设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ） A. 在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B. 在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C. 在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D. 在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点解析：令3033131)(>⇒>-=-='x x x x x f ，令30033)(<<⇒<-='x xx x f 所以函数)(x f 在区间)3,0(上是减函数，在区间),3(+∞上是增函数，在3=x 处取得极小值03ln 1<-，又0131)1(,013)(,031)1(>+=<-=>=ee f e e f f ，故选D 。

四、利用零点存有性定理利用该定理不但要求函数)(x f 在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f ，还必须结合函数的图象与性质（如单调性）才能确定函数有几个零点。

例4 设{}{}12,8,4,2,4,3,2,1∈∈b a ，求函数b ax x x f -+=3)(在区间)2,1(上有零点的概率。

解：{}4,3,2,1∈a ，易知函数b ax x x f -+=3)(在区间)2,1(上单调递增，若函数b ax x x f -+=3)(在区间)2,1(上有零点，则0)2()1(<⋅f f ，即0)28)(1(<-+-+b a b a 。

所以当1=a 时，4=b 或8=b ；当2=a 时，4=b 或8=b ；当3=a 时，8=b 或12=b ；当1=a 时，8=b 或12=b ，故满足条件的事件有8个，其中基本事件有161414=C C 个，故所求事件的概率为21168==p 五、分离参数法例5（2007广东卷理20）已知a 是实数，函数(),3222a x ax x f --+=如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围。

解法1：0=a 时，()]1,1[233222-∉=⇒--+=x a x ax x f ，故0≠a()03222=--+=∴a x ax x f 在区间[]1,1-上有解 x a x 23)12(2-=-⇔在区间[]1,1-上有解xx a 231212--=⇔在区间[]1,1-上有解⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈--=∈⇔]1,1[,231212x x x y y a问题转化为求函数=y xx 23122--在区间[]1,1-上的值域。

法一：设]1,1[,2312)(2-∈--=x x x x g ，令2730)23(2124)(2±=⇒=--+-='x x x x x g )(),(x g x g '随变化的情况如下表：]1,1[,2312)(2-∈--=x xx x g 的值域为1)(37≤≤-x g其图象如图所示： 由此可知可知：1137≤≤-a，即273+-≤a 或1≥a 法二：3)23(47)23()23(227)23(6)23(22--+-=--+-+-=x x x x x y令)2521(23≤≤-=t x t 则347-+=tt y利用对勾函数性质可得137≤≤-y 即1137≤≤-a，故273+-≤a 或1≥a . 解法2：()03222=--+=a x ax x f 在区间[]1,1-上有解12232--=⇔x xa 在区间[]1,1-上有解 a y =⇔与1223)(2--=x xx h ∈x []1,1- 且22±≠x 的图象有交点由0)12(2124)12()23(4)12(2)(222222=-+-=-----='x x x x x x x x h 273±=⇒x y '、y 随x 变化的情况如下表：1a函数1223)(2--=x xx g 的草图如下： 由图可知：273+-≤a 或1≥a .评注：利用函数处理方程解的问题，方法如下：（1）方程a x f =)(在区间I 上有解{x f y y a =∈⇔(⇔)(x f y =与a y =的图象在区间I 上有交点（2）方程a x f =)(在区间I 上有几个解⇔)(x f y =与a y =的图象在区间I 上有几个交点 例6 设函数R a a ax x x x f ∈+-+=,2ln )(22（1）若函数)(x f 在]2,21[上存有单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （2）求函数的极值点。

解：（1）函数)(x f 在]2,21[上存有单调递增区间⇔不等式0)(>'x f 在]2,21[上有解 x x a 21+<⇔在]2,21[上有解max )21(x x a +<⇔ 令]2,21[,21)(∈+=x x x x g ，结合对勾函数性质知49)(max =x g ，所以49<a（2）令012201220)(22=+-⇒=+-⇒='ax x xax x x f 于是问题转化为求一元二次方程01222=+-ax x 在),0(+∞上的解！ 解法一：用直接法直接求解 因为842-=∆a ，所以①当0842<-=∆a ，即22<<-a 时，方程无解，所以没有极值点；② 当0842=-=∆a ，即2±=a 时，对应的22±=x ，但在22±=x 的左右两侧导数值)(x f '均大于0，所以没有极值点；③当2-<a 时，0842>-=∆a ，但02221<--=a a x ，02222<-+=a a x 所以方程在),0(+∞无解，没有极值点；当2>a 时，0842>-=∆a ，且02221>--=a a x ，02222>-+=a a x其中2221--=a a x 是极大值点，2222-+=a a x 是极小值点。

综上所述，2≤a 时，没有极值点；2>a 时，有极大值点2221--=a a x ，极小值点2222-+=a a x 。

解法二：用零点存有性定理求解方程01222=+-ax x 在),0(+∞上要有解，要么有一正根，一负根；要么有两个正根， 令122)(2+-=ax x x g①若方程有一正根，一负根，则应有0)0(<g ，但事实上01)0(>=g ，所以矛盾！②若方程有两个正根，则2002220)0(>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>∆>⨯-->a ag 所以，当2>a 时方程有两个正根，即2221--=a a x 和2222-+=a a x 为函数)(x f 的极值点；当2≤a 时，方程没有正根，所以没有极值点。

解法三：图象法由),0(,2101222+∞∈+=⇒=+-x xx a ax x 分别画出a y =和),0(,21+∞∈+=x xx y 的图象 由图可知当2>a 时图象有两个交点，对应的方程有两个正根，即2221--=a a x 和2222-+=a a x 为函数)(x f 的极值点；当2=a 时，22=x 的左右两侧导数值)(x f '均大于0，所以没有极值点；当2<a 时，两图象没有交点，方程没有正根，所以没有极值点。

评注：本题第（1）问是不等式有解问题，而第（2） 问是方程有解问题，采用了三种不同的方法来处理。

例7 已知],0[),6sin()(ππ∈+=x x x f 及0,2cos )(≠+=a x a x g ，若R x x ∈∃∈∀10],,0[π，使)()(10x g x f =成立，求实数a 的取值范围。

解：易知)(x f 的值域为]1,21[-，)(x g 的值域为]2,2[++-a a由]1,21[-⊆]2,2[++-a a 得a 的取值范围是25-≤a 或25≥a 。

例8 已知函数mx x f x mx x f -=+=)21()(,164)(221， 其中R m ∈且0≠m （1）判断函数)(1x f 的单调性；（2）若2-<m ，求函数])2,2[()()()(21-∈+=x x f x f x f 的最值；（3）设函数⎩⎨⎧<≥=2),(2),()(21x x f x x f x g ，当2≥m 时，若对于任意的),2[1+∞∈x ，总存有唯一的)2,(2-∞∈x ，使得)()(21x g x g =成立，试求m 的取值范围。

解：（1）2221)164()4(4)(+-='x x m x f ①当0>m 时，)(1x f 在)2,(--∞和),2(+∞上是减函数，在)2,2(-上是增函数； ②当0<m 时，)(1x f 在)2,(--∞和),2(+∞上是增函数，在)2,2(-上是减函数。

（2）0,2,22>-∴-<≤≤-m x m x ，所以=)(x f =+)()(21x f x f =++-m x x mx )21(1642m x x mx -++)21(1642x mx mx )21(21642⋅++= 由（1）知)(1x f 在)2,2(-上是减函数且)(2x f 在)2,2(-上也是减函数 所以)(x f 在]2,2[-上是减函数 当2-=x 时，162)2()(2max m f x f m -=-=+；当2=x 时，162)2()(2min m f x f m +==- （3）=∴≥)(,211x g x 164)(21111+=x mx x f ， 由（1）知)(1x g 在),2[+∞上是减函数，所以)]2(,0()(11f x g ∈，即]16,0()(1m x g ∈ 又0,222<-∴<m x x ，=∴)(2x g 222)21()21()21()(22x m x m mx x f ⋅===-- )(2x g ∴在)2,(-∞上是增函数，所以))2(,0()(22f x g ∈，即))21(,0()(22-∈m x g对任意),2[1+∞∈x ，总存有唯一的)2,(2-∞∈x ，使得)()(21x g x g =成立，⊆⇔]16,0(m ))21(,0(2-m ，故只需<16m 2)21(-m ，即-16m0)21(2<-m ， 为此令-=16)(m m h 2)21(-m ，则)(m h 在),2[+∞上是增函数，而且有087181)2(<-=-=h ，0)4(=h ，所以0)(<m h 时，42<≤m故所求m 的取值范围是)4,2[。