求动点的轨迹方程常用的四种方法

2
Y
2 即： d12 42 d 2 22
所以用直接法
l1 l2
O
设： M ( x, y )
d2 r d1 M
r
X
| x 2y | d1 5
所以
d2
| x 2y | 5
y| 2 | x 2 y| 2 ( |x 2 ) ( ) 12 5 5
化简得
xy
15 2
求动点的轨迹方程常用的四种方法
求动点的轨迹方程常用的四种方法
一、直接法 二、定义法 三、代入法
四、参数法
一、直接法
1、建立适当的直角坐标系，设动点坐标M(x , y)
2、列出命题给出的等量关系（可用集合形式） 3、将上式中的几何量用代数式表示即成方程 4、化简上式方程 5、证明（或排除异点）
常数 ，求点M的轨迹方程，并说明是什么曲线。 分析：
例6
求与圆 x 2 y 2 4 x 0 外切，又与Y轴相切的圆的圆心 的轨迹方程。
分析：已知圆A的圆心（2，0）半径 r1 2 ， 设动圆圆心 M ( x, y ) 半径为 r ；当x > 0时就有： y
| MA | r 2 ，点M到y轴的距离 d r
d
M
把y轴向左平移2个单位得直线 x 2
例3 一动椭圆过点 P(1, 2) ,以x轴为准线，离心率为
求椭圆的下顶点的轨迹方程。
分析： 由于该命题给出条件，利用圆锥曲线统一定义 存在等量关系：| PF 源自 d1 21 2
，
y
d 2
F P M
d
D x
C
设：M ( x, y ) 只需找点F坐标用x , y来表示就行了。 O
c 1 事实上 e a 2
这样就有点M到点A的距离等于点M到 直线 x 2 的距离，这符合抛物线的定 O 义，所以点M的轨迹就是以点A为焦点， x 2 以直线 x 2为准线的抛物线。
A
x
即所求的轨迹方程为： y 2 8x( x 0)
或 y 0( x 0)
三、代入法
当主动点P在某曲线 f ( x, y ) 0 上移动时，与P具备相关 关系的因动点M随其移动而形成曲线，求动点M的轨迹 方程 g ( x, y) 0的方法叫代入法。分析关系如下：
所以，点M的轨迹是以(
a (1 2 ) 1 2
,0)
2 a 为圆心，以 |1 2 |
为半径的圆。
例2 一圆被两直线 x 2 y 0, x 2 y 0 截得的弦长
分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程。
分析： 由于该问题存在
r 2 d12 42
r d 2
2 2 2
例1 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为
Y
1、如图所示建立直角坐标系
2、利用命题所给条件建立等量关系
| MA | | MB |

M ( x, y )
A(a,0)
( x a)2 y 2 ( x a) y
2 2

O
B(a, 0) x
3、把|MA|，|MB|转换代数式
O

x
这个式子说明动点P到定点O , A的距离之差的绝 对值等于2（小于|OA|);所以点P的轨迹是双曲线。
该双曲线的两焦点为O , A(4, 0) ，中心在线段OA的中点 O(2, 0) 此时c = 2 , a = 1，所以 b 3 所以所求的双曲线方程为：
O
2
y
y ( x 2) 1 3
2
O


A
x
例5
2 2 2 2 一动圆与圆 x y 1 外切，而与圆 x y 6 x 8 0 内 切，求动圆圆心的轨迹。
分析：两定圆圆心 O(0, 0), C (3, 0) 半径 r1 r2 1 设动圆圆心M ( x, y ) 半径为r，就有：
| MO | r r1 r 1 | MC | r r2 r 1
y
| MO | | MC | 2
M
这个式子说明了动点M到两定点O,C的距 离之差等于2；这符合双曲线右支的定义。 该双曲线中心 C ( , 0) a 1, c
3 2 3 5 b 2 2
O
C

x
所以点M的轨迹方程是：
3 2 2
4 y2 5 (x ) 1( x ) 5 2
f ( x, y ) 0
其上任一点
g ( x, y) 0
形成轨迹
P( x0 , y0 )
x0 h1 ( x, y)
M ( x, y )
y0 h2 ( x, y)
例7
动点P在圆 x y 1 上移动时，求它与定点 A(3, 0) 的连 线的中点M的轨迹方程。
2 2
解析：设 M ( x, y )，P( x0 , y0 ) 由M为PA中点有：

4、化简并整理这方程
化简并整理得： (1 2 ) x2 (1 2 ) y 2 2a(1 2 ) x (1 2 )a2 0 当
1时，即|MA| = |MB| 时，点M得轨迹方程为x = 0
当 1 时，点M的轨迹方程是：
2 2 a (1 ) 2 x2 y 2 x a 0 2 1
例4
已知圆O方程 x 2 y 2 4 ，定点A(4, 0)，求过点 A且和圆O相切的动圆圆心P的轨迹。
| PO | | PA | 2
y P
分析： 动圆P过点A且与圆O外切时有：
动圆P过点A且与圆O内切时有：
| PA | | PO | 2
所以：
P

A
|| PO | | PA || 2
3 x0 x 2
y
P M A
x0 2 x 3 y0 2 y
a 2 4c 2 a 2c | CD | 4c c c 2 2 3 3 ( x 1) ( y 2) 1 2 F ( x, 2 y) 2 2 4 2 9( y 3 ) 2 ( x 1) 1 化简得: 4
二、定义法
1、熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的第一、第 二定义；以及初三时学习的六种基本轨迹定义。 2、分析命题给出的条件符合那种曲线的定义。 3、解题步骤：①定形——利用定义确定曲线类型 ②定位——利用条件确定曲线位置 （此时可确定曲线的待定系数方程） ③定大小——求方程中的待定系数。