中考相似三角形专题复习

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中考专题复习[25]ZZzzl三角形相似

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★ 二、知识点练习
3. 已知D、E、分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE : S四边形DBCE = 1 : 8，那么AE : AC等于（ B ） A. 1 : 9 B. 1 : 3 S△ADE S四边形DBCE C. 1 : 8 1 8 D B D. 1 : 2 A E C
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B E
C
★ 四、提高训练
1. 如图梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF并延长与 AB的延长线相交于点G， D C （1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交 E AD于点E，若AB = 6，EF = 4，求CD的长. （1）证明：∵ AB∥CD 即DC∥BG ∴ △CDF∽△BGF F
A
B
G
∴ △DEF∽△DAG
∴ EF = DF = 1 AG DG 2
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★ 四、提高训练
1. 如图梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF并延长与 AB的延长线相交于点G， D C （1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交 E AD于点E，若AB = 6，EF = 4，求CD的长. （2）解：∴ 4 = 1 AG 2 ∴ AG = 8 ∴ BG = AG - AB = 8 - 6 = 2 F
2. 如图在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE = 3，则△ABC是周长是（ C ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 21 D B A E C
分析：∵ D、E分别是AB、AC的中点 1 ∴ DE = BC 2 ∴ BC = 2DE = 2×3 = 6 又∵ △ABC为等边三角形 ∴ l△ABC = 3BC = 3×6 = 18

相似三角形中考复习

相似三角形中考复习相似三角形是初中数学中的重要内容，在中考中占据着相当重要的地位。

为了帮助同学们更好地复习相似三角形，提高解题能力，我们来一起系统地梳理一下这部分知识。

一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

在实际解题中，我们要根据题目所给的条件，灵活选择合适的判定方法。

三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

这些性质在求解边长、角度、面积等问题时经常用到。

四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

2、“8”字型与“A”字型类似，只不过图形的形状像数字“8”。

3、母子相似型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4、一线三等角型在一条直线上有三个相等的角，往往可以通过角的相等关系证明三角形相似。

五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量建筑物的高度、河流的宽度等。

例如，要测量一座塔的高度，我们可以在塔的旁边立一根已知长度的标杆，然后分别测量出标杆的影长和塔的影长。

由于在同一时刻，太阳光线是平行的，所以标杆和塔与地面形成的三角形是相似的。

根据相似三角形的性质，我们就可以求出塔的高度。

六、中考真题解析例 1：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的点，且DE∥BC，如果 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4，那么 AC 的长是多少？解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。

所以 AD：AB ＝ AE：AC因为 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4所以 2：3 ＝ 4：AC解得 AC ＝ 6例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，BD⊥AC 于点 D，若AB ＝ 3，BC ＝ 4，求 BD 的长。

2023年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练

2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．（1）若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求CP的长；（提示：过点P作PE⊥OA）（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形，①证明：是定值；②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．2．如图1，在矩形ABCD中，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，若点Q的运动路程x与线段BP的长y满足y＝﹣x+8，BD与PQ交于点E．（1）求AB，BC的长．（2）如图2，当点Q在CD上时，求．（3）将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连接EF，当EF所在直线与△BCD 的一边垂直时，求BP的长．3．如图，已知菱形ABCD的三个顶点A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2），连接AC，P 为AC的中点，点E为AD延长线上（异于点D）一动点，连接EP并延长与CD、AB分别交于G、F两点．（1）P点的坐标为；（2）求+的值；（3）连接EC，若∠CEF＝60°，求ED的长．4．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，那么点P与点A的最短距离是；（2）若点P在BC上时，求证：△ABP∽△PCQ；（3）在点P处设计并安装一个扫描器，按固定角（∠APQ）扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请求出点K被扫描到的总时长．5．【基础巩固】如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；【尝试应用】如图2，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AC上，△AEF∽△ACD，BE＝2，CE＝6，求AF•AC的值．【拓展提高】如图3，在（2）的条件下，连接DF，AB＝AF，已知cos∠ACD＝，求tan∠ACB的值．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点E为CA延长线上一点，且AC ＝2AE＝2，BC＝kCE，延长ED交BC于点F．（1）若AE＝AD，请判断△CDF的形状，并给出证明；（2）若k＝1，求证：＝；（3）若k＝，求ED的长．7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在AB边上，点F在BC边上，且∠EDF＝60°，连接EF，交BD于点G．（1）求证：△ADE≌△BDF．（2）求证：△ADE∽△BEG．（3）当点E在AB边上运动（不包括A，B两个端点），若AB＝4，求BG的取值范围．8．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．①试证明：BF＝CE；②图中线段AE、CE与ME三者之间有何关系？并说明理由；③求证：CF•DM＝BM•DE．9．【问题情境】如图1，将△ADC绕点A旋转到△ABF，且∠BAD+∠BCD＝90°，AC＝2AD，连接BD，BC，CF．（1）①求证：△ACF∽△ADB，∠CBF＝90°；②猜想BC2，CD2，BD2的数量关系，并说明理由；【数学思考】（2）若AC＝nAD，其他条件不变，则BC2，CD2，BD2的数量关系为；（不需要说明理由）【类比探究】（3）如图2，若∠BAD+∠BCD＝120°．AD＝AB，AC＝nAD，则BC，CD，BD的数量关系为．（不需要说明理由）10．如图1，正方形ABCD中，M，N分别是AB、BC上的点，DM，DN分别与对角线AC 相交于点F、E．（1）若DM＝DN，求证：∠AFM＝∠CEN；（2）若∠MDN＝45°，求证：2AE•CF＝AC2；（3）如图2，连接BD交AC于点O，若DN平分∠BDC，直接写出OE：BN：NC的值．11．如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为AB中点，∠EMF＝45°，且∠EMF两边分别于AC，BC的延长线交于点E、点F．（1）若AE＝BF，求证：ME＝MF；（2）如图2，将∠EMF绕点M旋转，∠EMF两边分别于AC，BC交于点G、点H．①求证：△FCM∽△MCE，②若MC＝2，CF＝，求MH的长．12．【阅读】如图1，若△ABD∽△ACE，且点B，D，C在同一直线上，则我们把△ABD与△ACE称为旋转相似三角形．【理解】（1）如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：△ABD与△ACE是旋转相似三角形．【应用】（2）如图3，△ABD与△ACE是旋转相似三角形，AD∥CE，求证：AC＝DE．【拓展】（3）如图4，AC是四边形ABCD的对角线，∠D＝90°，∠B＝∠ACD，BC＝25，AC＝20，AD＝16，试在边BC上确定一点E，使得四边形AECD是矩形，并说明理由．13．已知，BD是菱形ABCD的对角线，△DEF是直角三角形，∠EDF＝90°，∠DEF＝∠A，连接BE，点G是BE的中点，连接CG、BF．【动手操作】（1）当∠A＝90°时，①如图1，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系：②如图2，当△DEF的顶点E落在线段BD上时，①中线段CG与线段BF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．同学们经过讨论，探究出以下解决问题的思路：思路一：连接AC，记AC与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，再利用三角形全等或相似的有关知识来解决问题．思路二：记AD与EF交于点H，易知H是EF的中点，连接CH，将△CDH绕点C顺时针旋转90°，再利用旋转的性质、三角形全等或相似的有关知识来解决问题．请参考上述思路，完成该问题的解答过程（一种方法即可）【类比探究】（2）当∠A＝120°时，如图3，若△DEF的顶点E落在线段CD上时，请直接写出线段CG与线段BF的数量关系．14．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且∠AED＝∠BCF，求证：；（2）如图②，若将（1）中的矩形ABCD改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：；（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．15．（1）问题背景：如图1，已知矩形ABCD，E为线段AD上一点，连接BE，以线段BE 为对称轴，将△ABE翻折；A点的对应点为F点．若F点正好落在线段CD上，求证：△EDF∽△FCB．（2）尝试应用：如图2，已知直角梯形ABCD，∠B＝∠C＝∠AED＝90°，2∠ADE+∠CDE＝180°，过点E作EH⊥AD，若EH＝2，AD＝5，求CE的长．（3）拓展创新：如图3，已知矩形ABCD，AB＝12，AD＝9，E在线段AD上运动，连接BE，以线段BE为对称轴，将△ABE翻折，A点的对称点为P点，连接CP并在线段CP上取一点T，使得PT＝2CT，连接DT，直接写出DT的最小值．16．在△ABC中，D为BC上一点．（1）点E为AC上一点，且∠ADE＝∠B．①如图1，若AB＝AC，求证：AB：BD＝CD：CE；②如图2，若CA＝CB，CF∥AB交DE的延长线于点F，点H在BC的延长线上，且FC＝FH，求证：BD＝CH．（2）如图3，若△ABD∽△F AC，且AB＝CD＝2BD，直接写出的值．17．如图，在菱形ABCD中，点E在射线BC上，点F在线段AC上，连接DF、DE，∠EDF ＝∠BAC，射线DE与射线AC交于点P．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：△FDP∽△FCD；（2）如图2，点E在线段BC上，连接EF，当EF∥AB时，求证：CD2＝CP•CA；（3）如图3，点E在线段BC的延长线上，当AB＝2，sin∠BAC＝，DF＝3时，求线段EC的长．18．如图，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP≤CP），将△ADP沿AP翻折得到△AD'P，PD'的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）若AD2＝DP•PC，①求证∠APB＝90°；②判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（2）若AM＝CN，求tan∠P AD′的值．19．（1）如图1，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，BE⊥AC，垂足为E，P为AB上一点，PD⊥BC于D，交BE于F．求证：PF＝2BD；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，M为AC上一点，连接BM，∠MBC＝∠A，tan ∠ABM＝，AM＝2，请直接写出BC的长．20．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD 翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．①求的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．参考答案1．解：（1）如图1，过点P作PE⊥OA于点E．∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四边形OMPQ为平行四边形，∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60°，∴PE＝PM•sin60°＝，ME＝，∴CE＝OC﹣OM﹣ME＝，由勾股定理得；（2）①证明：设OM＝x，ON＝y，∵四边形OMPQ为菱形，∴OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y﹣x，∵PQ∥OA，∴△NQP∽△NOC，∴，即，∴6y﹣6x＝xy，两边都除以6xy，得，即；②如图2，过点P作PE⊥OA于点E，过点N作NF⊥OA于点F，则S1＝OM•PE，S2＝OC•NF，∴＝，∵PM∥OB，∴△CPM∽△CNO．∴，∴，∵0＜x＜6，∴．2．解：（1）当x＝0时，y＝8，此时P点和A点重合，则AB＝8．当y＝0时，x＝14，则BC＝14﹣8＝6；（2）∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴△BEP∽△DQE，∴＝＝＝；（3）①点Q在BC上时，如图1，EF⊥OC，过点E作EG⊥BC于点G，∵矩形ABCD中，CB⊥OC，∴EF∥BQ，∴∠BQE＝∠FEQ，由翻折可得∠BEQ＝∠FEQ，∴∠BEQ＝∠BQE，∴BE＝BQ，设BE＝BQ＝m，∴△BDC∽△BEG，∴sin∠BEG＝sin∠BDC＝，∴BG＝BE＝，EG＝m，∴QG＝m，∵EG∥BP，∴＝，∴＝，解得：m＝，当m＝时，y＝﹣×+8＝，∴PB＝；②点Q在OC上时，EF⊥BC，如图2，∴EF∥AB，∴∠BPE＝∠FEP，由翻折得∠BEP＝∠FEP，∴∠BPE＝∠BEP，∴BP＝BE＝；③点Q在OC上时，EF⊥BD，如图3，由翻折得∠FEP＝∠BEP＝45°，由题意得，DQ＝14﹣x，BP＝﹣x+8，∴＝＝＝，∴BE＝×10＝，在Rt△ADB中，tan∠ABD＝＝，∴Rt△PMB中，tan∠PBM＝，设PM＝3m，则BM＝4m，EM＝3m，PB＝5m，∴3m+4m＝，解得：m＝，④点Q在DC上时，EF⊥CD，如图4，∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴FE⊥AB，由翻折可得FE＝BE＝，PB＝FP，设PB＝FP＝m，∵EF∥AD，∴△BME∽△BAD，∴，∴BM＝AB＝，ME＝AD＝，∴FM＝，在Rt△FMP中，（）2+（﹣m）2＝m2，解得m＝．如图5中，当EF⊥BD时，过点E作EH⊥CB于点H．则有BH＝x，EH＝x，∴HQ＝x，∴＝，由△EHQ∽△PBQ，∴BP＝7x，∴7x＝﹣x+8，∴x＝，∴PB＝7x＝．综上，PB＝或或或或．3．解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2），∴AB＝4，C（4，2），∵P为AC的中点，设P（x，y），∴x＝＝1，y＝＝，∴P（1，），故答案为：（1，）；（2）∵A（﹣2，0），D（0，2），∴直线AD的解析式为y＝x+2，∵点E为AD延长线上（异于点D）一动点，设点E（m，m+2），∵P（1，），∴直线EP的解析式为y＝x﹣，y＝0时，x＝，∴点F（，0），∴AE＝＝2（m+2），AF＝+2＝，∴+＝+＝；（3）取CD中点Q，以Q为圆心，CD为直径作圆，∵A（﹣2，0），D（0，2），∴∠DAB＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴∠ADC＝120°，∠EDC＝60°，∵P为AC的中点，点Q为CD中点，∴PQ∥AD，∴∠PQC＝120°，∵∠CEF＝60°，∴点E在⊙Q上，∵CD为直径，∴∠CED＝90°，∴∠DCE＝30°，∴DE＝CD，∵AB＝CD＝4，∴ED＝2．4．解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，∴AH＝3，∴当点P在BC上时，P A⊥BC时，点P到A的最短距离为3，故答案为：3；（2）∵∠APQ+∠QPC＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠B，∴∠QPC＝∠BAP，又∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCQ；（3）∵AM＝2＜AK＝，BM＝3，BN＝6，则BM+BN＝9，∴P点的移动速度＝＝，①从Q平移到K，耗时：＝1秒，这1秒K没有被扫描到；②P在BC上时，K与Q重合时，CQ＝CK＝5﹣＝，∵△ABP∽△PCQ，设BP＝y，CP＝8﹣y，，即，整理得y2﹣8y＝，解得y＝或，∵÷＝10秒，÷＝22秒，∴从10秒到22秒，这12秒K也没有被扫描到，∴点K被扫描到的总时长36﹣（22﹣10）﹣1＝23秒．5．（1）证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴△ABD∽△ACE；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝2，CE＝6，∠ACE＝∠DAC，∴BC＝AD＝2+6＝8，又∵△AEF∽△ACD，∴∠EAF＝∠CAD，，∴∠EAF＝∠ACE，∴AE＝CE＝6，∴AF•AC＝AE•AD＝6×8＝48；（3）过点D作DH⊥AC于点H，由（1）可知，△AEF∽△ACD，∴△AEC∽△AFD，由（2）知，EA＝EC，∴FD＝F A＝AB＝CD，设CH＝a，则CD＝4a，∴FH＝CH＝a，AF＝4a，∴AH＝5a，在Rt△DCH中，DH＝＝＝a，∴tan∠ACB＝tan∠CAD＝．6．解：（1）△CDF是等边三角形，证明：∵AC＝2AE＝2，AE＝AD，∴AE＝AD＝1，AC＝2，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠E＝30°，∴∠CDF＝180°﹣∠CDA﹣∠ADE＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴△CDF是等边三角形；（2）过点E作EG⊥CE交CD延长线于点G，∴∠CEG＝∠ACB＝90°，∴∠CEG+∠ACB＝180°，∴EG∥BC，∵BC＝kCE，k＝1，∴BC＝CE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△CEG≌△BCA（ASA），∴EG＝CA，∵EG∥BC，∴△CDF∽△GDE，∴，∴；（3）过点E作EH⊥AB交BA延长线于点H，∵AC＝2AE＝2，k＝，BC＝kCE，∴BC＝（AE+CE）＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵EH⊥AB，∴∠H＝∠ACB＝90°，∵∠HAE＝∠CAB，∴△HAE∽△CAB，∴，∴，∴EH＝，AH＝，∵EH⊥AB，CD⊥AB，∴EH∥CD，∴△HAE∽△DAC，∴＝2，∴AD＝2AH＝，∴DH＝AD+AH＝，∴ED＝＝＝．7．（1）证明：在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD与△BDC为等边三角形，∴∠A＝∠ADB＝∠DBC＝60°，∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝60°，∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA）；（2）证明：由（1）知△ADE≌△BDF，∴DE＝DF，又∵∠EDF＝60°，∴△EDF为等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵△ABD为等边三角形，∴∠EBG＝60°，∵∠AED+∠DEF+∠GEB＝180°，在△EGB中，∠EGB+∠GEB+∠EBG＝180°，∴∠EGB＝∠AED，又∵∠A＝∠GBE＝60°，∴△ADE∽△BEG；（3）∵∠EDF＝60°，点E在AB边上运动（不包括A，B两个端点），∴当E、F分别为AB、BC的中点时BG最大，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，AB＝4，∴△ABD为等边三角形，BD＝AB＝4，此时点E为AB中点，故DE＝2，∠EDB＝30°，由（2）知△EDF为等边三角形，∴DG为△EDF为角平分线，高线，中线，故DG＝DE＝3，∴GB＝DB﹣DG＝4﹣3＝1，当E与A或B重合时GB有最小值为0（根据题意取不到0），∴BG的取值范围为：0＜BG≤1．8．①证明：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE；②解：AE﹣CE＝ME，理由：由①得：△BCF≌△CAE，∴AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，连接FM，CM，∵点M是AB中点，∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，又BM＝CM，BF＝CE，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴EF＝EM，∵AE﹣CE＝EF，∴AE﹣CE＝EM；③证明：连接CM，∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，∴△CDM∽△ADE，∴，∵BM＝CM，AE＝CF，∴，∴CF•DM＝BM•DE．9．（1）①证明：由旋转得△ADC≌△ABF，∴AD＝AB，CE＝FB，AC＝AF，∠DAC＝∠BAF，∠ADC＝∠ABF，∴∠DAB＝∠CAF，∵AC＝2AD，∴＝2，∴△ACF∽△ADB，∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD＝360°，∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝270°，∴∠ADC＝∠ABF，∴∠ABC+∠ABF＝270°，∴∠CBF＝90°；②解：BC2+CD2＝8BD2．理由：由①得△ACF∽△ADB，∴＝2，∴FC＝2BD，在Rt△CBF中，BC2+BF2＝FC2，由旋转可得CD＝BF，∴BC2+CD2＝8BD2；（2）解：∵AC＝nAD，∴＝n，由①得△ACF∽△ADB，∴＝n，∴FC＝nBD，在Rt△CBF中，BC2+BF2＝FC2，由旋转可得CD＝BF，∴BC2+CD2＝n2BD2，故答案为：BC2+CD2＝n2BD2；（3）解：∵AD＝AB可得，∴△ADC绕点A旋转到∠DAB的度数得到△ABF，连接CF，∵AC＝nAD，∴＝n，由①得△ACF∽△ADB，∴＝n，∴FC＝nBD，∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD＝360°，∠BAD+∠BCD＝120°，∴∠ABC+∠ADC＝240°，∴∠ADC＝∠ABF，∴∠ABC+∠ABF＝240°，∴∠CBF＝120°，过点F作EF⊥BC交CB的延长线于点E，∴∠EBF＝60°，∠EFB＝30°，∵EF⊥BC，∴BE＝BF＝CD，EF＝BE＝CD，在Rt△CEF中，EC2+EF2＝FC2，∴（BC+CD）2+（CD）2＝（nBD）2，∴BC2+BC•CD+CD2＝n2BD2．故答案为：BC2+BC•CD+CD2＝n2BD2．10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD；∠DAM＝∠DCN＝90°；∠1＝∠2＝45°在Rt△ADM和Rt△CDN中，∴Rt△ADM≌Rt△CDN（HL），∴∠3＝∠4；∵∠AFM＝∠1+∠3，∠CEN＝∠2+∠4，∴∠AFM＝∠CEN；（2）证明：∵∠MDN＝45°，∴∠CDF＝∠4+45°，∵∠2＝45°，∴∠5＝∠4+45°，∴∠CDF＝∠5∴△ADE∽△CFD，∴，∴AD•CD＝AE•CF＝AD2，又∵△ACD为等腰直角三角形，∴AD2＝AC2，∴AE•CF＝AC2，∴2AE•AF＝AC2；（3）过O作OP∥BC交DN于P，过N作NQ⊥BD于Q，在正方形ABCD中，∠DCA＝∠DBC＝45°，OB＝OD，∵OB＝OD，OP∥BC，∴DP＝PN，∴，∵OP∥BC∴∠DOP＝∠DBC＝45°＝∠DCA，又∵DN平分∠BDC，∴∠CDE＝∠BDN，∴∠OEP＝∠OPE，∴OE＝OP，∴，∵DN平分∠BDC，∵NQ⊥BD，NC⊥CD，又∵△BNQ为等腰直角三角形，∴BN＝NQ＝NC，∴OE：BN：NC＝1：2：．11．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，M为AB中点，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，∴∠MCF＝∠MCE＝135°，∵AE＝BF，AC＝BC，∴CF＝CE，在△MCF和△MCE中，，∴△MCF≌△MCE（SAS）∴ME＝MF；（2）①证明：∵∠MCF＝135°，∴∠F+∠CMF＝45°，∵∠EMF＝45°，∴∠CME+∠CMF＝45°，∴∠F＝∠CME，∵∠MCF＝∠ECM，∠F＝∠CME，∴△FCM∽△MCE；②解：过点M作MN⊥BC于N，∵∠MCB＝45°，∴NC＝MN＝CM＝，由（2）可知△FCM∽△MCE，∴CM2＝CE•CF，∴CE＝＝2，∵∠ECH＝∠MNH＝90°，∠EHC＝∠MHN，∴△EHC∽△MHN，∴，即，解得，NH＝，由勾股定理得，MH＝＝＝．12．（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE，∵点D在边BC上，∴点B、D、C在同一直线，∴△ABD和△ACE是旋转相似三角形；（2）证明：△ABD与△ACE是旋转相似三角形，∴△ABD∽△ACE，∴，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACE，∴∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠ADE，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ACE，∵AD∥CE，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠ACE＝∠DEC．∵∠AED＝∠ACB，∴∠ACE+∠ACB＝∠AED+∠DEC，∴∠AEC＝∠DCE，∵CE＝EC，∴△AEC≌△DCE（ASA），∴AC＝DE；（3）解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则四边形AECD是矩形，证明：连接DE，∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴，∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED，∴，即，∴DE＝20，∵△ABE∽△ACD，∴，∴，∵CD＝＝12，∴，设AE＝4k，则BE＝3k，CE＝25﹣3k，在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2，∴（4k）2+（25﹣3K）2＝202，解得k＝3，∴AE＝12，∵AD＝16，DE＝20，∴AE2+AD2＝DE2，∴△ADE是直角三角形，∴∠DAE＝90°，∵∠AEC＝∠ADC＝90°，∴四边形AECD是矩形．13．解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠A＝90°，∴四边形ABCD是正方形，AB＝CD＝CB，∠BCE＝∠A＝90°，∵∠EDF＝90°，∠DEF＝∠A，∴∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE，∴AD﹣DF＝CD﹣DE，即AF＝CE，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF＝BE，在Rt△CBE中，点G是BE的中点，∴CG＝BE，∴CG＝BF，故答案为：CG＝BF；②①中线段CG与线段BF的数量关系仍然成立，证明：思路一：连接AC，记AC与BD相交于点O，AC与BF相交于点M，连接GM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，∴CO⊥BD，CO＝DO＝BO，由①得：DE＝DF，设DE＝DF＝y，OG＝x，OE＝a，∵点G是BE的中点，∴EG＝BG＝a+x，OB＝OG+BG＝a+2x，∵OD＝OB，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即DE＝DF＝2OG，∵AC⊥BD，∠EDF＝90°，∴OA∥DF，∵DO＝BO，∴FM＝BM＝BF，DF＝2OM，∴OM＝x＝OG，∵AC⊥BD，∴∠MOB＝∠GOC＝90°，∵OB＝OC，∴△MOB≌△GOC（SAS），∴CG＝BM＝BF，∴①中线段CG与线段BF的数量关系仍然成立；（2）过点C作CN⊥DB于N，连接GN，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，∴DC＝BC，∠ADC＝60°，∠A＝∠BCD＝120°，∠BDC＝∠CBD＝30°，∴∠DCN＝60°，∴DN＝BN＝BD＝CN，∴，∵点G是BE的中点，∴，NG∥DE，∴∠BNG＝∠BDE，∵∠BDE+∠BDF＝90°，∠BNG+∠CNG＝90°，∴∠BDF＝∠CNG，∵∠DEF＝∠A，∴∠DEF＝60°，∴DF＝DE，∴，∴，∵∠BDF＝∠CNG，∴△BDF∽△CNG，∴，∴BF＝2CG．故答案为：BF＝2CG．14．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝；（2）证明：如图②中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AD∥BC，∴∠BCF＝∠CFD，∵∠AED＝∠BCF，∴∠CFD＝∠AED，∵∠GDF＝∠ADE，∴△DFG∽△DEA，∴＝，∵AB∥CD,∴AED＝∠CDG，∵∠CFD＝∠AED，∴∠CFD＝∠CDG，∵∠DCF＝∠GCD,∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴＝，∴＝；（3）解：＝．理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴＝，∴＝，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣6，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣6）2+（x）2＝62，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴CN＝，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝．15．（1）证明：如图1，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝∠C＝90°，由翻折得∠EFB＝∠A ＝90°．∵∠DEF+∠DFE＝90°，∠CFB+∠DFE＝180°﹣90°＝90°，∴∠DEF＝∠CFB，∴△EDF∽△FCB．（2）如图2，过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F，设CE＝m，CD＝x．∵EH⊥AD，∴∠EHD＝∠AHE＝90°，∵∠AED＝90°，∴∠EDH＝90°﹣∠DEH＝∠AEH，∴△EDH∽△AEH，∴，∴DH（5﹣DH）＝22，解得DH＝1或DH＝4（不符合题意，舍去），∴AH＝5﹣1＝4，∴DE＝＝，AE＝＝2；∵∠F＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∴AB∥CF；∵2∠ADE+∠CDE＝180°＝∠ADE+∠BAD+∠CDE，∴∠ADE＝∠BAD＝∠ADF，∵∠F＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（AAS），∴BC＝AF＝AE＝，DF＝DE＝，由（1）得△DCE∽△EBA，∴，∴BE＝2CD，CF＝AB＝2CE，∴，解得m＝，∴CE的长为．（3）如图3，过点T作TQ∥PB，交BC于点Q，以Q为圆心，TQ长为半径作⊙Q．由翻折得PB＝AB＝12．∵PT＝2CT，∴PC＝3CT，∵△CTQ∽△CPB，∴，∴TQ＝PB＝×12＝4，∴点T在半径为4的⊙Q的部分圆弧上运动，∵DT+TQ≥DQ，∴DT≥DQ﹣4，∴当点T落在DQ上，即DT＝DQ﹣4时，DT的值最小，∵BC＝AD＝9，∴CQ＝BC＝×9＝3，∵CD＝AB＝12，∠DCQ＝90°，∴DQ＝＝，∴DT最小＝DQ﹣4＝，∴DT的最小值为．16．（1）①证明：如图1．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，∴．②证明：如图2，连结AF.∵CF∥AB，∴∠FCE＝∠CAB，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠B＝∠ADE，∴∠ADE＝∠FCE，∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE∽△FCE，∴，∵∠AEF＝∠DFC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F AC＝∠FDH；∵FC＝FH，∴∠FCH＝∠H，∵∠FCH＝∠B＝∠CAB＝∠ACF，∴∠ACF＝∠H，∴△ACF≌△DHF（AAS），∴CA＝HD，∴CB＝HD，∴CB﹣CD＝HD﹣CD，∴BD＝CH．（2）如图3，作∠AFE＝∠CAB，FE交BA的延长线于点E，设BD＝a，则AB＝CD＝2a，BC＝3a．∵△ABD∽△F AC，∴，∴＝2；∵∠ABC＝∠F AC，∠ABC+∠CAB+∠ACB＝180°，∴∠F AC+∠CAB+∠ACB＝180°，∵∠F AC+∠CAB+∠F AE＝180°，∴∠F AE＝∠ACB，∴△EF A∽△BAC，∴，∴EF＝2AB＝4a，AE＝2BC＝6a，∴BE＝2a+6a＝8a；∵＝2，∴，∵∠E＝∠ABD，∴△BEF∽△ABD，∴＝4．17．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCF，∵∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠DCF，∵∠DFP＝∠CFD，∴△FDP∽△FCD；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠BAC，∴∠EFC＝∠BCA，∴EF＝EC，由（1）得：∠FDE＝∠BAC＝∠BCA，∵∠FPD＝∠EPC，∴△FPD∽△EPC，∴，∵∠FPE＝∠DPC，∴△FPE∽△DPC∴∠PDC＝∠EFC，∵∠EFC＝∠BAC＝∠DAC，∴∠PDC＝∠DAC，∵∠DCP＝∠ACD，∴△DCP∽△ACD，∴，∴CD2＝CP•CA；（3）如图3，连接DB交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DOC＝90°，∵CD＝AD＝AB＝2，sin∠BAC＝，∴OB＝DO＝AB sin∠BAC＝2×＝2，同理可得：AO＝CO＝2，在Rt△DOF中，DF＝3，∴OF＝＝＝，则FC＝OC﹣OF＝2﹣＝，由（1）得：△FDP∽△FCD，∴，∴FD2＝FC•FP，即32＝•FP，解得PF＝，∴CP＝PF﹣FC＝﹣＝，AP＝AC+CP＝4+＝，∵，即＝，解得：CE＝．18．（1）①证明：如图，作PE⊥AB于点E，则∠PEA＝∠PEB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAE＝∠CBE＝∠C＝90°，∴四边形AEPD和四边形BEPC都是矩形，∴AD＝PE，DP＝AE，PC＝EB，∵AD2＝DP•PC，∴PE2＝AE•EB，∴，∵∠AEP＝∠PEB＝90°，∴△AEP∽△PEB，∴∠APE＝∠PBE，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠PBE+∠BPE＝90°．②四边形PMBN是菱形．理由如下：∵PN∥MB，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形；由翻折得∠DP A＝∠D′P A，∵CD∥AB，∴∠DP A＝∠MAP，∴∠D′P A＝∠MAP，∴PM＝AM，∵∠MPB+∠D′P A＝90°，∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠MPB＝∠MBP，∴PM＝BM，∴四边形PMBN是菱形．（2）∵∠C＝∠PEN＝90°，BC＝PE，BN＝PM，∴Rt△BCN≌Rt△PEM（HL），∴CN＝EM，∴AM＝CN＝EM，由（1）②得PM＝AM，∠D′P A＝∠EAP，∵∠AD′P＝∠D＝90°，∠PEA＝90°，∴∠AD′P＝∠PEA，∵AP＝P A，∴△D′AP≌△EP A，∴∠P AD′＝∠APE；设EM＝a（a＞0），则PM＝AM＝a，∴AE＝AM﹣EM＝a﹣a，∵PE＝＝＝2a，∴tan∠P AD′＝tan∠APE＝＝＝．19．解：（1）共有八对，△BDF∽△BEC，△AEF∽△ADC，△BDF∽△AEF，△BEC∽△ADC，△CDE∽△CAB，△DEF∽△BAF，△AEF∽△BEC，△BDF∽△ADC；理由：∵AD⊥BC，∴BE⊥AC，∴∠BDF＝∠AEC＝90°，∵∠DBF＝∠EBC，∴△BDF∽△BEC①；同理：△AEF∽△ADC②；∵∠BDF＝∠AEF，∠BFD＝∠AFE，∴△BDF∽△AEF③；∴∠CBE＝∠CAD，∵∠C＝∠C，∴△BEC∽△ADC④；∴，∴，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB⑤；∵△BDF∽△AEF，∴，∵∠AFB＝∠EFD，∴△DEF∽△BAF⑥；利用相似三角形的传递性得，△AEF∽△BEC，△BDF∽△ADC（2）如图2，过P作PG∥AC，分别交BE、BC于点H、G，∴∠BPG＝∠A＝45°，∠C＝∠PGB，∵BE⊥AC，∴PH⊥BE，∴∠BHP＝90°，∴∠PBH＝90°﹣∠BPG＝45°＝∠BPG，∴HP＝HB，∴△PBH是等腰直角三角形，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠PGB＝∠B，∴PB＝PG，∵PD⊥BC，∴BG＝2BD，∵∠PFH+∠FPH＝90°，∠PFH＝∠BFD，∴∠BFD+∠FPH＝90°，∵∠BFD+∠FBD＝90°，∴∠FPH＝∠FBD，在△PHF和△BHG中，，∴△PHF≌△BHG（ASA），∴PF＝BG，∵BG＝2BD，∴PF＝2BD；（3）如图3，过点M作MP⊥AB于P，∴∠BPM＝90°，在Rt△BPM中，tan∠ABM＝＝，∴设PM＝x（x＞0），则BP＝3x，根据勾股定理得，BM＝＝x，过点A作AQ⊥BM交BM的延长线于Q，∴∠Q＝90°，∴∠MAQ+∠AMQ＝90°，∵∠AMQ＝∠BMC，∴∠MAQ+∠BMC＝90°，∵∠C＝90°，∴∠CBM+∠BMC＝90°，∴∠CBM＝∠MAQ，∵∠MBC＝∠A，∴∠MAP＝∠MAQ，∵MQ⊥AQ，MP⊥AB，∴MQ＝MP＝x，∴BQ＝BM+MQ＝x+x＝（+1）x，在Rt△AQM中，tan∠ABM＝＝，∴＝，∴AQ＝，∵∠Q＝∠C＝90°，∠AMQ＝∠BMC，∴△AMQ∽△BMC，∴＝＝，∴＝＝，∴CM＝x2，BC＝x2，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，BC2+CM2＝BM2，∴[x2]2+（x2）2＝（x）2，∴x2＝，∴BC＝x2＝×＝3．20．解：（1）如图1，设DE与CF交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE＝CF，∴＝1；（2）如图2，设DB与CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°，∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，∴∠ECD＝∠ADB，∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴，故答案为：．（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，∵CG⊥EG，∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCH为矩形，∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，∴△DEA∽△CFH，∴，∴，∴DE•AB＝CF•AD；（4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，∵CF⊥DE，GC⊥AD，∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，∴△DEA∽△CFG，∴，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，∴AB＝3，在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∴，设AH＝a，则DH＝3a，∵AH2+DH2＝AD2，∴a2+（3a）2＝92，∴a＝（负值舍去），∴AH＝，DH＝，∴AC＝2AH＝，。

中考数学总复习《二次函数中的相似三角形存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的相似三角形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 的函数表达式为2(0y ax a a =-≠，a 为常数），点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，且2OA OB =，点A 关于x 轴的对称点为C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，以点C 为顶点的抛物线经过点D ．(1)求点,A B 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在（2）中拋物线的对称轴上有一点P ，且以点D O P 、、为顶点的三角形与AOB 相似，求出所有满足条件的点P 的坐标．2．已知在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线4y x =+经过A ，C 两点(1)求抛物线的表达式；(2)如果点P ，Q 在抛物线上，并与对称轴对称，（P 点在对称轴左边），且2PQ AO =，求P ，Q 的坐标；(3)动点M 在直线4y x =+上，且ABC 与COM 相似，求点M 的坐标．3．已知：抛物线2:3L y x bx =+-交x 轴于(),3,0A B 两点，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D 在第四象限的抛物线上，DE BC ⊥于点E ，若12DE BE =，求点D 的坐标； (3)如图2，抛物线L 经过平移后得到抛物线21:4H y x =-，直线OP 交抛物线的其中一个点为P ，直线PQ 与抛物线有且只有一个交点P ，且与y 轴不平行，⊥OQ OP 交PQ 于点Q ，求点Q 的纵坐标．4．如图，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于点G ，抛物线的对称轴为直线=1x -，交x 轴于点E ，交抛物线于点F ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图，点P 是线段BC 上一动点，过点P 作PD x ⊥轴，交抛物线于点D ，问当动点P 运动到什么位置时，四边形CEBD 的面积最大？求出四边形CEBD 的最大面积及此时P 点的坐标．(3)坐标轴上是否存在点G ，使得以A ，C ，G 为顶点的三角形与BCF △相似？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线22y ax bx =-+-经过A （4，0），B （1，0）两点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P 是抛物线在第一象限上的一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线上有一点Q （点Q 不与点B 重合），使得点Q 与点B 到直线AC 的距离相等，请直接写出点Q 坐标．6．如图，已知二次函数的图象与x 轴交于1,0A 和()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C -，直线2y x m =-+经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M 在AE 下方的抛物线上运动，求AME △的面积最大值；(3)如图2，在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与AOD △相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．7．如图1，平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于1,0A ，()3,0B -两点，交y 轴于点()0,3C ，点M 是线段OB 上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线BC 于点F ，交抛物线于点E ．(1)求抛物线的解析式； (2)当BCE 面积最大时，求M 点的坐标；(3)如图2，是否存在以点C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图①，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点A ，()4,0B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点()0,4C ，拋物线的对称轴l 与x 轴交于点N ，长为2的线段PQ （点P 位于点Q 的上方）在x 轴上方的抛物线对称轴上运动．(1)求抛物线的关系式；(2)在线段PQ 运动过程中，当PC PA +的值最小时，求此时点P 的坐标；(3)如图①过点P 作PM y ⊥轴于点M ，当CPM △和QBN 相似时，求点Q 的坐标．9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为()2,1D -，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点M 是直线l 上的动点，当以点M 、B 、D 为顶点的三角形与ABC 相似时，求点M 的坐标． 10．如图，抛物线23y ax bx =++经过点于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，若点E 是第二象限内抛物线上的一点，直线AE 与BC 相交于点F ，连接CE ，BE ，若BCE 的面积3，求点E 的横坐标；(3)如图①，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 交y 轴于点G ，点P 在平面内，以点B ，C ，P 为顶点的三角形与ACG 相似且∠=∠CBP CAG 时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．11．如图，顶点为D 的抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过点B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，CD ，BD ．求证：ACO DBC ∽△△；(3)点P 为抛物线对称轴上的一个动点，点M 是平面直角坐标系内一点，当以点A ，C ，M ，P 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点P 的坐标．12．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ，设该抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标；(2)若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标；(3)连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EF CD ⊥交CD 于点F ，若12=DF CF ，求点E 的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A B C ，，三点．(1)求证：90ACB ∠=︒；(2)点D 是第一象限内抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求255DE BE +的最大值； ①点G 是AC 的中点，若以点C D E ，，为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．14．如图，抛物线2134y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连接AC ，BD ．(1)求点A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点F 为抛物线对称轴上的动点，且BEF △与AOC 相似，请直接写出符合条件的点F 的坐标；(3)点P 为抛物线上的动点，是否存在这样的点P ，使BDP △是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知A （﹣2，0）、B （3，0），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一动点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ①x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ①BC ，垂足为点N ．(1)直接写出抛物线的函数关系式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长；(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得①BCO ＋2①PCN ＝90°？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由；(4)连接AQ ，若△ACQ 为等腰三角形，请直接写出m 的值．参考答案：1．(1)()0,4A ()2,0B(2)抛物线的解析式为24y x =-(3)满足条件的点P 的坐标为()0,4或()0,4-或()0,1或()0,1-2．(1)2142y x x =--+(2)775,,3,22P Q ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)84,33⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,1-3．(1)抛物线解析式为223y x x =--(2)()2,3D -(3)12Q y =-4．(1)223y x x =+-(2)当32m =-，四边形CEBD 的面积最大，最大面积为518，此时点P 的坐标为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，点G 的坐标为()()10,0,0,,9,03⎛⎫- ⎪⎝⎭5．(1)抛物线的解析式为215222y x x =-+- (2)存在，符合条件的点P 的坐标为（2，1）(3)点Q 的坐标为（3，1）或75(27,)22+-或75(27,)22---6．(1)223y x x =+-；(2)27；(3)存在，点P 的坐标为()0,12或290,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．7．(1)223y x x =--+；(2)3,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)存在， 3,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,03M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．8．(1)234y x x =-++(2)35,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)Q 的坐标是35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或3219,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭9．(1)243y x x =-+(2)点M 的坐标是()2,2或12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．(1)223y x x =-++(2)3172- (3)()16,3-P 263,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P ()30,9P 4129,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P11．(1)223y x x =-++(3)()11，或()16，或()16-，或()10，12．(1)243y x x =-+ ()21-，(2)51351322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或51351322⎛⎫++ ⎪⎝⎭， (3)207,99⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(2)①9；①(4,6)D 或25(3,)4D ．14．(1)()()2,0,6,0A B - ()0,3C ()2,4D (2)()2,6或()2,6-或82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或82,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)()2,0-或()6,12--15．(1)222433y x x =-++(2)22655PN m m =-+(3)存在 74 (4)65或125。

中考一轮复习数学专题16 相似三角形(学生版)

专题16 相似三角形一、单选题1．（2022·甘肃兰州）已知ABC DEF∽△△，12ABDE=，若2BC=，则EF=（）A．4B．6C．8D．162．（2022·广西梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形''''A B C D﹐已知'1 3OAOA，若四边形ABCD的面积是2，则四边形''''A B C D的面积是（）A．4B．6C．16D．183．（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段3AB=，则线段BC的长是（）A．23B．1C．32D．24．（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若6AB=，则A B''的长为（）A．8B．9C．10D．155．（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR6．（2020·甘肃金昌）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米7．（2020·广西贵港）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，若3BC =，2BD =，且BCD A ∠=∠，则线段AD 的长为（）A ．2B ．52C ．3D ．928．（2020·湖南永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（）A ．913B ．25C ．35D ．639．（2020·四川成都）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．10310．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（）A B ．2 C ．4 D ．11．（2020·重庆）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA △OD =1△2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1△2B ．1△3C ．1△4D ．1△512．（2020·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标（）A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣43，﹣1）C ．（﹣1，﹣43）D ．（﹣2，﹣1）13．（2020·贵州遵义）如图，△ABO 的顶点A 在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，△ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（）A ．9B ．12C ．15D ．1814．（2021·辽宁沈阳）如图，ABC 与111A B C △位似，位似中心是点O ，若1:1:2OA OA ，则ABC 与111A B C △的周长比是（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．15．（2021·四川巴中）如图，AB C 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12AD AE DBEC，下列结论正确的是（）A ．DE ：BC ＝1：2B ．ADE 与ABC 的面积比为1：3 C ．ADE 与ABC 的周长比为1：2D ．DE //BC16．（2021·湖南湘西）如图，在ECD ∆中，90C ∠=︒，AB EC ⊥于点B ， 1.2AB =， 1.6EB =，12.4BC =，则CD 的长是（）A ．14B ．12.4C ．10.5D ．9.317．（2021·山东济宁）如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（）A ．510B ．1C ．94D ．418．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（） A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：119．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（）A ．32B ．4C ．92D ．620．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（）A ．65B ．125C ．185D ．24521．（2022·四川雅安）如图，在△AB C 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE △BC ，若AD BD＝21，那么DEBC ＝（）A ．49B ．12C ．13D ．2322．（2022·江苏盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A ．40米B ．60米C ．80米D ．100米23．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB△的周长比是（）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:424．（2022·江苏连云港）如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：△GF △EC ；△AB =AD ；△GE ；△OC ；△△COF △△CEG ．其中正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△25．（2022·重庆）如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC 的周长为4，则DEF 的周长是（）A ．4B ．6C ．9D ．16 本号*资料皆来源于微信：数学26．（2021·山东淄博）如图，在Rt ABC 中，90ACB CE ∠=︒,是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB ⊥交AC 于点F ．若4,BC AEF =△的面积为5，则sin CEF ∠的值为（）A ．35B C ．45D 27．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，x 过点A 作x 轴的垂线，与函数(0)ky x x=->的图象交于点C ，连结BC 交x 轴于点D ．若点A 的横坐标为1，3BC BD =，则点B 的横坐标为（）A ．32B ．2C ．52D ．328．（2021·黑龙江黑龙江）如图，平行四边形ABFC 的对角线AF BC 、相交于点E ，点O 为AC 的中点，连接BO 并延长，交FC 的延长线于点D ，交AF 于点G ，连接AD 、OE ，若平行四边形ABFC 的面积为48，则EOG S ∆的面积为（）A ．4B ．5C ．2D ．329．（2021·黑龙江）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：△2GF =；△OD =；△1tan 2CDE ∠=；△90ODF OCF ∠=∠=︒；△点D 到CF ．其中正确的结论是（）A ．△△△△B ．△△△△C ．△△△△D ．△△△△30．（2021·海南）如图，在菱形ABCD 中，点E F 、分别是边BC CD 、的中点，连接AE AF EF 、、．若菱形ABCD 的面积为8，则AEF 的面积为（）本号资料*皆来源于微信：数学A ．2B ．3C ．4D ．531．（2021·广西来宾）如图，矩形纸片ABCD ，:AD AB =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '并延长交线段CD 于点G ，则EFAG的值为（）A B ．23C ．12D 32．（2021·江苏连云港）如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（）A B C D 33．（2021·浙江绍兴）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（）A ．32 B C D ．2二、填空题34．（2022·湖南邵阳）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．35．（2021·贵州黔西）如图，A B C '''与ABC 是位似图形，点O 为位似中心，若OA A A '='，则A B C '''与ABC 的面积比为__．36．（2020·辽宁盘锦）AOB 三个顶点的坐标分别为()5,0A ，()0,0O ，()3,6B ，以原点O 为位似中心，相似比为23，将AOB 缩小，则点B 的对应点'B 的坐标是__________.37．（2020·辽宁锦州）如图，在ABC 中，D 是AB 中点，//DE BC ，若ADE 的周长为6，则ABC 的周长为______．38．（2020·湖南娄底）若1()2b d a c a c ==≠，则b d a c-=-________． 39．（2020·湖南湘潭）若37y x =，则x y x -=________．40．（2020·贵州黔东南）如图，矩形ABC D 中，AB ＝2，BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ △BC 于点Q ，则PQ ＝_____．41．（2021·的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形，边AB 1，则该矩形的周长为 __________________．42．（2021·贵州黔东南）已知在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点分别为点A （2，1）、点B （2，0）、点O （0，0），若以原点O 为位似中心，相似比为2，将△AOB 放大，则点A 的对应点的坐标为________． 43．（2021·吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．44．（2021·内蒙古）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点B 作BD CB ⊥，垂足为B ，且3BD =，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN CB⊥，垂足为N．若2AC=，则MN的长为__________．45．（2022·广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．46．（2022·浙江杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB△BC，DE△EF，DE=2.47m，则AB=_________m．47．（2022·北京）如图，在矩形ABCD中，若13,5,4AFAB ACFC===，则AE的长为_______．48．（2022·上海）如图，在△AB C中，△A=30°，△B=90°，D为A B中点，E在线段AC上，AD DEAB BC=，则AEAC=_____．49．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．50．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33OA B ，44OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．51．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△AB C 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．52．（2022·辽宁沈阳）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别在E ，F 且点F 在矩形内部，MF 的延长线交BC 与点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 三等分点时，MD 的长为______．53．（2022·湖南常德）如图，已知F 是ABC 内的一点，FD BC ∥，FE AB ∥，若BDFE 的面积为2，13BD BA =，14BE BC =，则ABC 的面积是________．54．（2021·四川内江）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 __．55．（2021·甘肃兰州）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =．△以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；△分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为______．56．（2021·辽宁营口）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC ∠=∠，则CF =_________．57．（2021·江苏无锡）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB =6AC =，点E 在线段AC 上，且1AE =，D 是线段BC 上的一点，连接DE ，将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，得到四边形FGDE ，当点G 恰好落在线段AC 上时，AF =________．58．（2020·四川眉山）如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若ABD △的周长为26，则DE 的长为________．59．（2020·四川宜宾）在直角三角形AB C 中，90,ACB D ︒∠=是AB 的中点，BE 平分ABC ∠交AC 于点E 连接CD 交BE 于点O ，若8,6AC BC ==，则OE 的长是________．60．（2020·山东潍坊）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠=_______．三、解答题61．（2021·江苏南通）如图，利用标杆DE 测量楼高，点A ，D ，B 在同一直线上，DE AC ⊥，BC AC ⊥，垂足分别为E ，C ．若测得1m AE =， 1.5m DE =，5m CE =，楼高BC 是多少？62．（2021·广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC ，且AB ＞A C ．本号资料皆来源于微信公众#号：数学（1）在AB 边上求作点D ，使DB ＝DC ；（2）在AC 边上求作点E ，使ADE △AC B ．63．（2021·广西玉林）如图，在ABC 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △△AED ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．64．（2021·湖北黄冈）如图，在ABC 和DEC 中，A D ∠=∠，BCE ACD ∠=∠．（1）求证：ABC DEC △△；（2）若:4:9ABC DEC S S =，6BC =，求EC 的长．65．（2020·湖北省直辖县级单位）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．66．（2022·上海）如图所示，在等腰三角形AB C中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)△CAE=△BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ67．（2022·吉林长春）如图△、图△、图△均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)网格中ABC 的形状是________；(2)在图△中确定一点D ，连结DB 、DC ，使DBC △与ABC 全等：(3)在图△中ABC 的边BC 上确定一点E ，连结AE ，使ABE CBA △∽△：(4)在图△中ABC 的边AB 上确定一点P ，在边BC 上确定一点Q ，连结PQ ，使PBQ ABC △∽△，且相似比为1：2．68．（2022·湖南常德）在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：△GE GD =；△BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论△的证明．69．（2022·湖北黄冈）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是△ABC 的角平分线，可证AB AC ＝BD CD．小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE △AB ，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB AC ＝BD CD ．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB AC ＝BD CD； (2)应用拓展：如图3，在Rt △AB C 中，△BAC ＝90°，D 是边BC 上一点．连接AD ，将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．△若AC ＝1，AB ＝2，求DE 的长；△若BC ＝m ，△AED ＝α，求DE 的长（用含m ，α的式子表示）．70．（2022·山东泰安）如图，矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ．BE 与AC 相交于点F ．(1)若BE 平分CBD ∠，求证：BF AC ⊥；(2)找出图中与OBF 相似的三角形，并说明理由;(3)若3OF =，2EF =，求DE 的长度．71．（2022·四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝， EF ＝；(2)进一步观察，我们还会发现EF △AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．72．（2021·四川雅安）如图，OAD △为等腰直角三角形，延长OA 至点B 使OB OD =，其对角线AC ，BD 交于点E ．（1）求证：OAF DAB △≌△；（2）求DF AF的值．73．（2021·广西贺州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 上的一点，以AD 为直径的O 与BC 相切于点E ，连接AE ，DE ．（1）求证：AE 平分BAC ∠；（2）若30B ∠=︒，求CE DE的值．74．（2021·湖南永州）如图1，AB 是O 的直径，点E 是O 上一动点，且不与A ，B 两点重合，EAB ∠的平分线交O 于点C ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：22AC AD AO =⋅；（3）如图2，原有条件不变，连接,BE BC ，延长AB 至点M ，EBM ∠的平分线交AC 的延长线于点P ，CAB ∠的平分线交CBM ∠的平分线于点Q ．求证：无论点E 如何运动，总有P Q ∠=∠．75．（2021·湖南益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，延长BD 交ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF CE ⊥于F ，,AE BC 的延长线交于点G ．（1）判断EA 是否平分DEF ∠，并说明理由；（2）求证：△BD CF =；△22BD DE AE EG =+⋅．76．（2021·黑龙江绥化）如图所示，四边形ABCD 为正方形，在ECH 中，90,,ECH CE CH HE ∠=︒=的延长线与CD 的延长线交于点F ，点D B H 、、在同一条直线上．（1）求证：CDE CBH ≌；（2）当15HB HD =时，求FD FC 的值；（3）当3,4HB HG ==时，求sin CFE ∠的值．77．（2021·山西）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：9325F C =+得出，当10C =时，50F ．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式12111R R R =+求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120︒的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：△用公式12111R R R =+计算：当17.5R =，25R =时，R 的值为多少； △如图，在AOB 中，120AOB ∠=︒，OC 是AOB 的角平分线，7.5OA =，5OB =，用你所学的几何知识求线段OC 的长．78．（2022·辽宁大连）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC 中，D 是AB 上一点，ADC ACB ∠=∠．求证ACD ABC ∠=∠．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E ，使CE BD =，BE 与CD 的延长线相交于点F ，点G ，H 分别在,BF BC 上，BG CD =，BGH BCF ∠=∠．在图中找出与BH 相等的线段，并证明．” 本号资料皆来源@于微信：数学问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当90BAC ∠=︒时，若给出ABC 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若90BAC ∠=︒，4AB =，2AC =，求BH 的长．”79．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图△所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交CD 边于G 点．求证：BFG BCG △≌△（2）【类比迁移】如图△，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且8,6,AD AB ==将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交BC 边于点,G 延长BF 交CD 边于点,H 且,FH CH =求AE 的长．（3）【拓展应用】如图△，在菱形ABCD 中，E 为CD 边上的三等分点，60,D ∠=︒将ADE 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点,P 求CP 的长．80．（2022·山东烟台）(1)【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．(2)【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，△ABC ＝△ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，△ABC＝△ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．△求BDCE的值；△延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin△BFC的值．。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）．观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处；第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平．猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想．（3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

中考相似三角形复习资料

相似三角形【教学目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；2、会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等3、掌握位似图形【基础演练】1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若13ADAB，DE＝4，则BC=（）A．9 B．10C． 11 D．122．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：13. 如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）Ａ．相似变换Ｂ．平移变换Ｃ．对称变换Ｄ．旋转变换【考点精讲】考点一：相似三角形的概念【例1】判断题两个相似比为1的相似三角形全等吗？【例2】下列能够相似的一组三角形为( )A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形考点二:相似三角形的判定【例2】如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【变式2】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？考点三：相似三角形的性质【例3】△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【变式3】如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.考点四：相似三角形的应用【例4】如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【变式4】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．考点五：相似三角形的周长与面积【例5】已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．考点六：综合探究【例6】如图，AB ∥CD ，∠A=90°，AB=2，AD=5，P 是AD 上一动点(不与A 、D 重合)，PE ⊥BP ，P 为垂足，PE 交DC 于点E ，(1)设AP=x ，DE=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由.【综合演练A 】1、如图，锐角三角形ABC 的高CD 和高BE 相交于O ，则与△DOB 相似的三角形个数是（）。

中考总复习相似三角形

【名师提醒】解相似三角形问题时，要注意相似三角形中的对应关系，可根据相似三角形对应的字母写对应边，这样可避免对应关系混乱.
命题点3 相似三角形的实际应用
例（’15兰州24题8分）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆 CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米.依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度. (1)该小组的同学在这里利用的是_____投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程.
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1:4，∴这两个相似三角形的相似比是1:2， ∴它们的周长比是1:2.
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理
AD AE = ，又∵AD=6， DB=3， DB EC AE=4，∴ 6 = 4 ，解得EC=2. 3 EC
6.某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是____m. 20
【解析】根据题意可得
1.6 = 0.4 ，解得h=20m. h 5
7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E. 求证： △BDE～ △ABE. 证明：∵AD是∠CAB的角平分线， ∴ ∠CAD= ∠BAD ， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°, ∵ BE⊥AE, ∴∠E=90°, ∴∠DBE+∠BDE=90°, ∵∠ADC= ∠BDE, ∴∠CAD= ∠BAD = ∠DBE ， ∴ △BDE～ △ABE.

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中考相似三角形专题复习 1、比例对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cb d =(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若a c bd =, 则a c b d =； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ．a c bd =，a c b d =，a c b d =，a cb d = 3．若ac bd =∶3 =a c b d =∶4 =a c b d =∶5 , 且a c b d =, 则a c b d =； 4．：若a c bd =, 则a c b d = 5、已知，求代数式的值．2、平行线分线段成比例、定理：推论：练习1、如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。

3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证：（1）AF ︰FD ＝AD ︰DB ；（2）AD 2＝AF ·AB 。

3 、相似三角形的判定方法判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________．判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________．判定4.斜边和对应成比例的两个直角三角形相似常见的相似形式：1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2.子母三角形（1）射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．E A D CBEA DCBAD CB练习1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （）A a c bd = B a c b d = C a c b d = D a c b d = 5.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（）6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个4 、相似三角形的性质与应用1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．第3题第2题第1题OAC BACBA BE CDE E DDABCD练习1、如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．3、如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为( )．(A) a cb d=(B)a cb d=(C)a cb d=(D)a cb d=3、如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（）A ．a cb d=B．a cb d=C．a cb d=D．a cb d=4、如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且a cb d=，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．5、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．6.如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．7.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A ．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：28、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A ．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.55、相似多边形（1）对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．（2）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等（3）相似多边形对应边的比称为相似比．相似多边形面积的比等于相似比的平方．练习1.如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm22.（2011.潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．B． C．D．24、将一个长为a，宽为b的矩形，（1）分为相同的两个矩形，且与原矩形相似，求a:b(2)分为相同的三个矩形，且与原矩形相似，求a:b(3)割掉一个正方形，剩余的矩形与原矩形相似，求a:b5、如图，AB∥EF∥CD，（1）AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长。

（2）AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求EF的长。

（3）若上下两个梯形相似AB＝4，CD＝8，求EF的长6、位似位似图形：如果两个多边形不仅，而且对应顶点的连线，对应边或，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做，这时的相似比又称为．①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是图形，而相似图形不一定是图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于．（5）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．（6）关于原点位似的特征作位似图形的几种可能：放大缩小同侧正像异侧倒像1、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度（）A．变短3.5米 B．变长1.5米 C．变长3.5米 D．变短1.5米2、小芳同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1m长的标杆测得其影长为 1.2m，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6m和2m，你能帮助小芳同学算出学校旗杆的高度？综合练习1.如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD DE21=。

若△DEF的面积为2，则□ABCD的面积是。

2、如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB=4，CD=7，AD=10，则AP=（）A．a cb d=B．a cb d=C．a cb d=D．a cb d=3、已知平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，求△AEF与△CDF的周长比，如果S△AEF=6cm2,求S△CDF.4、E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延长线交CD的延长线于G，交A D于F，求证：BF∶FG=1∶2.5、已知如图，在平行四边形ABCD中，DE=BF,求证：a cb d==a cb d=.6、如果四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G ，求证：OG2=GE·GF.7、ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB延长线上一点，OE交BC于点F，AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．AB C D E F基本方法1、（做平行线构造成比例线段）如图，已知⊿ABC 中，D 为 AC 上的一点，AD ∶DC= 3∶2， E 为 CB 延长线上的一点，ED 和 AB 相交于点 F ，EF=FD 。

求：EB ∶BC 的值。

2、已知a c bd =，延长BC 到D ，使a c b d =．取a c b d =的中点a c b d =，连结a c b d =交a c b d =于点a c b d =．（1）求a c bd =的值；（2）若a c b d =，求a c b d =的长．3、在△ABC 中，D 、E 分别为BC 的三等分点，CM 为AB 上的中线，CM 分别交AE 、AD 于F 、G ，则CF ∶FG ∶GM=5∶3∶21.【等线段代换法】在△ABC中，AB=AC,直线DEF与AB交于D，与BC交于E，与AC的因此线交于F。

求证：a cb d=。

2、已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BE·CE. 【中间比例过渡法】已知△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点N、M，求证：a cb d=。

中考题荟萃1、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于【】A.a cb d=B.a cb d=C.a cb d=D.a cb d=2、如图，a cb d=中，a cb d=是中线，a cb d=,则线段a cb d=的长为( )A．4 B．a cb d=C．6 D．a cb d=3、如图27－65所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长4、如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．25、已知ΔABC ，AB=AC,D 在AB 上，E 在AC 上，且∠AED=∠B=600,若CE:DE:BC=1：2：3，设AD=m ，DB=n ，（1）填空：AB AE的值是。