第七讲定积分习题课
数学《定积分》讲义
第九章 定 积 分1 定积分的定义一、背景1、曲边梯形的面积1()ni i i S f x ξ=≈∆∑2、变力所做的功 1()ni i i W F x ξ=≈∆∑上述问题均可归结为一个特定形式的和式逼近，思想方法：分割、近似求和、取极限.二、定积分的定义定义 1 设闭区间[],a b 内有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，其把[],a b 分成n 个小区间[]1,,1,i i i x x i n -∆==⋅⋅⋅.称这些点或小闭子区间构成[],a b 的一个分割，记为{}01,,n T x x x =⋅⋅⋅或{}12,,n ∆∆⋅⋅⋅∆，小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-，同时记{}1max i i nT x ≤≤=∆，称为分割T 的模(或细度).注1 ||||,1,i x T i n ∆≤=⋅⋅⋅. 因而，||||T 可用来刻画[],a b 被分割的细密程度，同时，若T 给定，则||||T 确定，而对同一细度(模), 相应的分割却有无穷多个.定义 2 设f 为[],a b 上的函数,对[],a b 上的分割{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆,任取点,i i ξ∈∆1,i n =⋅⋅⋅，作和式1()niii f x ξ=∆∑，称为函数f 在[],a b 上的一个积分和，也称为Riemann 和.注2. Riemann 和与分割T 及i ξ的取法有关. 对同一个分割T ，相应的Riemann 和有无穷多个.定义 3 设f 是[],a b 上的函数，J 为一个确定的数. 若对任给正数0ε>，存在正数0δ>，使得对[],a b 上的任何分割T ，以及其上任选的i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称f 在[],a b 上可积(或Riemann 可积) ，数J 称为f 在[],a b 上的定积分(或Riemann 积分) ，记作()baJ f x dx =⎰. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分的下限、上限.注.1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰⇔0,0,,,,i i T T εδδξ∀>∃>∀<∀∈∆1()()nbi i ai f x f x dx ξε=∆-<∑⎰定积分的几何意义(f 可积)(1) 0f ≥时，()ba f x dx ⎰就是以,,x a xb x ==轴及()y f x =围成的曲边梯形的面积.(2) 0f ≤时，()baf x dx ⎰为x 轴下方的曲边梯形面积的相反数(负面积) .(3) ()baf x dx ⎰是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方所有曲边梯形的负面积的代数和. (4) 注.()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰，定积分与积分变量无关.三、举例例 1 已知函数2()f x x =在区间[]0,1上可积，求120x dx ⎰.例 2 已知1()1f x x=+，()sin g x x π=在[]0,1上可积. 利用定积分的定义说明 1) 10111lim()1221n dx n n n x→∞++⋅⋅⋅+=+++⎰. 2) 10012(1)1lim (sin sin sin )sin sin n n xdx x dx n n n n ππππππ→∞-++⋅⋅⋅+==⎰⎰.给出一般公式().......ba f x dx =⎰例 3 讨论Dirichlet 函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数 在[]0,1上的可积性.四、 定积分的计算 定理 (微积分基本定理)设[]:,f a b R →可积，存在可导函数[]:,F a b R →，使F f '=，则()()|()()bx bx a af x dx F x F b F a ====-⎰上式也称为Newton-Leibniz 公式.例 4 求例2中定积分的值.例 5 1) 211(ln )eex dx x⎰;2) 2⎰;3) 求11()f x dx -⎰，其中210()0x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩， ，;4) 0⎰;5) 221lim nn i in i→∞=+∑;6) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+.2 可积性条件一、可积的必要条件定理1 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上有界.注 有界仅是f 可积的必要条件，而非充分条件. 如[]0,1上的()D x . 定理2 设函数f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点. [ 若函数f 在[],a b 上处处不连续，则f 必不可积. ] 二、可积的充要条件设{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆为[],a b 上的一个分割，设f 在[],a b 上有界，则f 在每个i ∆上必有上下确界，记{}sup ()ii x M f x ∈∆=，{}inf ()ii x m f x ∈∆=，1,i n =⋅⋅⋅.作和式1()n i i i S T M x ==∆∑，1()ni i i s T m x ==∆∑，分别称为f 关于T 的上和和下和(Darboux 上下和) , 从而i i ξ∀∈∆，1,i n =⋅⋅⋅，1()()()ni i i s T f x S T ξ=≤∆≤∑. (作图几何意义)注 当分割T 确定后，则上和与下和完全确定.性质1 对同一分割T ,上和()S T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的上确界(相对于i ξ取),下和()s T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的下确界, 即{}1()inf ()i i n i i i s T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑， {}1()sup ()i i n i i i S T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑，且 1()()()()()ni i i m b a s T f x S T M b a ξ=-≤≤∆≤≤-∑，其中,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界.性质2 设T '为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割. 则()()()()s T s T s T p M m T '≤≤+- ()()()()S T S T S T p M m T '≥≥--即分点增加后，下和不减，上和不增.性质3 若T 与T '为任意两个分割，T ''为T 与T '所有分点合并组成的分割，记为T T T '''=+，则 ()()s T s T ''≥， ()()S T S T ''≤；()()s T s T '''≥， ()()S T S T '''≤.性质4 对任意两个分割T 、T '，总有()()s T S T '≤.即：对任何两个分割，下和总不大于上和. 因而，所有的上和有下界，所有的下和有上界，从而分别有下、上确界，记为S 和s . 即{}inf ()TS S T =，{}sup ()Ts s T =，称S 和s 分别为f 在[],a b 上的上、下积分，记为()ba S f x dx -=⎰，()b a s f x dx -=⎰.性质5 ()()()()bbaa mb a f x dx f x dx M b a ---≤≤≤-⎰⎰性质6. [Darboux 定理] 0lim ()()b a T S T f x dx -→=⎰，0lim ()()ba T s T f x dx →-=⎰.定理 3 (第一充要条件) [],a b 上的有界函数f 可积⇔()()bb a a f x dx f x dx --=⎰⎰定理4 (可积的第二充要条件)[],a b 上的有界函数f 可积⇔ 0ε∀>，存在分割T ，使得()()S T s T ε-<.由于11()()()nni i i i i i i S T s T M m x x ω==-=-∆=∆∑∑，其中i i i M m ω=-称为f 在i ∆上的振幅. 从而有定理4' [],a b 上的有界函数f 可积⇔0ε∀>，存在分割T ，使得1ni i i x ωε=∆<∑.定理4'的几何意义：若f 可积，则曲线()y f x =可用总面积任意小的一系列小矩形覆盖. 反之亦然.三、可积函数类(充分条件)定理 5. 若f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上可积.定理 6. 若f是[],a b上仅有有限个间断点的有界函数，则f在[],a b上可积.注.改变可积性函数在某些点处的值, 不改变可积性, 也不改变积分值. 定理7. 若f为[],a b上的单调函数，则f在[],a b上可积.例1试用两种方法证明函数0 0()1111xf xxn n n=⎧⎪=⎨<≤⎪+⎩，，，1,2n=⋅⋅⋅在[]0,1上可积.例2 设f 在[],a b 上有界，{}[],n a a b ⊂，lim n na c =.证明：若f 仅在{}n a 上间断，则f 在[],a b 上可积.例3 f 在[],a b 上可积，[][],,a b αβ⊂，则f 在[],αβ上可积.例4 证明定理2: 若f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点(从而有无穷多个连续点) .例5 证明: Riemann 函数[]1, ()0 0,10,1p x p q q p q q f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩，和互素,，或中的无理数 在[]0,1上可积，且1()0f x dx =⎰.(第三充要条件)3 定积分的性质一、定积分的性质 1. 线性性质定理 1 设f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[],a b 上可积，且 ()()bbaakf x dx k f x dx =⋅⎰⎰.定理 2 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.推论. 设,f g 在[],a b 上可积，,αβ为常数，则f g αβ+在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰.2. 乘积可积性定理 3 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ⋅在[],a b 上可积. 注 一般情形下，()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ⋅≠⋅⎰⎰⎰.定理 4 有界函数f 在[],a c 和[],c b 上可积f ⇔在[],a b 上可积，且()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰规定 1) ()0aa f x dx =⎰.2)()()baab f x dx f x dx =-⎰⎰，()b a <.则对任何,,a b c 均有 ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.4. 关于函数的单调性定理5 设,f g 在[],a b 上可积，且()()f x g x ≤，[],x a b ∀∈，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.推论 (积分值的估计) 设f 在[],a b 上可积，,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界，则 ()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰.定理6 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积，且|()||()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.注. 定理 6的逆不真.6. 积分第一中值定理定理 7 若函数f 在[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰.几何意义: 称1()ba f x dxb a -⎰为f 在[],a b 上的平均值.定理7' (推广的第一中值定理) 若,f g 在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.[()1g x ≡时，即为定理7.]二、应用举例例 1 求11()f x dx -⎰. 其中2110() 01x x x f x e x ---≤<⎧=⎨≤<⎩， ，.例 2 求()sin f x x =在[]0,π上的平均值.例 3 若f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，则()0ba f x dx >⎰.例 4比较积分1⎰和21x e dx ⎰的大小.例 5证明：22ππ<<⎰.例 6 若f 在[],a b 上可积，()0f x >，则()0ba f x dx >⎰.例 7 若,f g 在[],a b 上可积，则{}()max (),()M x f x g x =在[],a b 上可积.*例 8 设f 在[],a b 上可积，且()0f x m >>，则1f可积.*例 9 证明：若f 在[],a b 上连续，且()()0b baaf x dx xf x dx ==⎰⎰，则在(),a b 内至少存在两点12,x x 使12()()0f x f x ==. 又若2()0bax f x dx =⎰，此时，f 在(),a b 内是否至少有三个零点?*例 10 设f 在[],a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明: 1) 1()()2ba ab f f x dx b a+≤-⎰ 2) 又若()0f x ≤，[],x a b ∈，则又有2()()ba f x f x dxb a ≥-⎰，[],x a b ∈.*例11证明：(1)11ln(1)11ln2n nn+<++⋅⋅⋅+<+(2)1112lim1lnnnn→∞++⋅⋅⋅+=*例13若f可积，m f M≤≤，g在[,]m M上连续，则复合函数h g f=可积.由此, 若f可积, 则2f,13,f||f, ()f xe, (0)f≥,1(inf0)ff>可积.4 微积分基本定理 定积分的计算一、微积分基本定理 1. 变限积分的可微性设f 在[],a b 上可积，则任何[],x a b ∈，f 在[],a x 上也可积，从而()()xa x f t dt Φ=⎰，[],x ab ∈定义了一个以x 为积分上限的函数, 称为变上限积分.定理1 若f 在[],a b 上可积，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上连续.定理 2 (原函数存在定理，微积分学基本定理)若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰，[],x a b ∈.注. 1) 当f 在[],a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰为f 的一个原函数，且f 的任一原函数()()xaF x f t dt C =+⎰. 令x a =，则()F a C =. 从而()()()xaf t dt F x F a =-⎰——Newton-Leibniz .2) 定理2. 揭示了导数和定积分之间的深刻联系，同时证明了连续函数必有原函数，并说明变上限积分就是一个原函数. 由于它的重要作用而被称为微积分基本定理.3) 同样可定义变下限积分()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰. 且当f 连续时，有()()bxd f t dt f x dx =-⎰ 4) 变上限积分()xaf t dt ⎰一般不写作()xaf x dx ⎰.例 1 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰例 2 设f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，证明: ()0baf x dx >⎰.例 3 设f 为连续函数，,u v 均为可导函数，且复合f u ，f v 均有意义，证明()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=⋅-⋅⎰.例 4 求1) 230limx x x +→⎰2) 222010cos limx x x t dtx →-⎰二、定积分的换元法定理 3 设f 在[],a b 上连续，Φ满足条件1) ()a αΦ=，()b βΦ=. [](),,a t b t αβ≤Φ≤∈ 2) ()t Φ在[],αβ上有连续导函数，则()(())()baf x dx f t t dt βα'=Φ⋅Φ⎰⎰.例 5 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰3)10x x dx e e -+⎰4)3212(1)dx x x -+⎰5)120ln(1)1x dx x ++⎰6) 已知32()4f x dx =-⎰，求21(1)xf x dx +.注 在换元法计算定积分时，一要注意积分上下限的变化(这里只需要求,a b 的对应值为,αβ，而不计较,αβ的大小) . 二是要注意代入新变量，直接求定积分的值，而无需变量还原. (此与不定积分是不一样的. 这是因为不定积分求的是被积函数的原函数，其变量应一致，而定积分的结果是一个数值，只需求出即可) .注 定理3换元积分条件，f 可减弱为f 可积，ϕ可减弱为()t ϕ'在[],αβ上可积，且除有限个点外()0t ϕ'>(或()0t ϕ'<) . (保证[][]:,,a b ϕαβ→是11-的.) 例 6 设f 为[],a a -(对称区间) 上的连续奇(偶) 函数，则()0aaf x dx -=⎰(0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰) .如求22223(sin3cos 5arctan 1)x x x x x e x dx ππ--⋅+⋅--⎰.例 7 设f 为(,)-∞+∞上以T 为周期的可积函数，证明：对任何实数a R ∈，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰.例 8 设f 为连续函数，则1) 22(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;2)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.由此计算2sin sin cos xdx x x π+⎰和20sin 1cos x x dx xπ⋅+⎰.例 9 设f 在[],a b 上连续，求证：()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.由此计算362cos (2)xdx x x πππ-⎰.三、分部积分定理 4 若(),()u x v x 为[],a b 上的连续可导函数，则有定积分分部积分公式()()()()()()bbb a aau x v x dx u x v x u x v x dx ''⋅=⋅-⋅⎰⎰或()()()()()()bb b a aau x dv x u x v x v x du x =⋅-⎰⎰例 10 1) 10x xe dx ⎰ 2)21ln ex xdx ⎰3) 1ln eexdx ⎰4) 1arcsin xdx ⎰5) 2sin x x e dx π⋅⎰6)4⎰例 11 求20sin nxdx π⎰和2cos n xdx π⎰.注 由前两式可推出著名的Wallis 公式：2(2)!!1lim 2(21)!!21m m m m π→∞⎡⎤=⋅⎢⎥-+⎣⎦.四、Taylor 公式的积分型余项 推广的分部积分公式设(),()u t v t 在[,]a b 上有1n +阶连续导函数，则(1)()(1)()()()()()()()(1)()()bn n n n n baau t v t dt u t v t u t v t u t v t +-'⎡⎤⋅=⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦⎰1(1)(1)()()bn n au t v t dt +++-⋅⎰.设f 在0x 处的某邻域0()U x 有1n +阶连续导函数，0()x U x ∈，则有(1)()1(1)()()()()()()!()0()xxn n n n n n xx x x x t ft dt x t f t n x t f t n f t f t dt +--⎡⎤-=-+-+⋅⋅⋅++⋅⎣⎦⎰⎰()00000()!()![()()()()]!n n f x n f x n f x f x x x x x n '=-+-+⋅⋅⋅+-!()n n R x =(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +⇒=-⎰ ——积分型余项注 1) 由推广的第一积分中值定理((1)()n f t +连续，()n x t -在[]0,x x 或[]0,x x 上保持同号) ，则(1)1()()()!x n n n x R x f x t dt n ξ+=-⎰(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++=-+ ——Lagrange 型余项2) 直接由积分第一中值定理，有(1)01()()()()!n n n R x f x x x n ξξ+=-- (1)10001(())(1)()!n n n f x x x x x n θθ++=+--- 00x =时，(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=-， 01θ≤≤——Cauchy 型余项五、积分第二中值定理 定理 5 设f 在[],a b 上可积,1) 若g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰.2) 若g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰.推论. 设f 在[],a b 上可积，g 为单调函数，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰.例 12 设()f x 为[]0,2π上的单调递减函数，证明：对任何正整数n ，恒有20()sin 0f x nxdx π≥⎰.定理 6 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，函数g 在[],a b 上可导，且导函数()g x '在[],a b 上非负且连续，则存在[],c a b ∈，使得()()()()()()bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx =+⎰⎰⎰.例 13 证明：当0x >时，有不等式21sin x cxt dt x+≤⎰(0)c >.例 14 设()y f x =为[],a b 上严格增的连续曲线，试证：存在(),a b ξ∈使图中阴影部分面积相同.习 题1. 求)0(F '及)4(πF '. 其中⎰-=202sin )(x t tdt e x F2. 求下列极限(1) ⎰→xx dt t x 020cos 1lim (2) dxe dt e x txt x ⎰⎰∞→020222)(lim3. 求下列积分(1) ⎰⋅2042sin cos πxdx x (2)dx x ⎰-224(3) dx xx⎰+202sin 1cos π (4) dx xx ⎰+411(5) dx x x ⎰-1122)2( (6)dx x a x a2202-⎰(7)dx xx ⎰++311 (8)xdx x 3sin][3π⎰4. 求下列积分 (1) dx xe x⎰-2ln 0(2) ⎰210arccos xdx(3) ⎰-adx x a 022 (4) dx x x⎰-1221(5)⎰-2ln 01dx e x(6)dx ax x aa⎰-+222(7)dx xb x a xx ⎰+⋅202222sin cos cos sin π(8)dx x x ee⎰1ln(9)⎰+20cos sin cos πdx xx x(10)⎰+-adx xa xa 0arctan(11)dx e x x ⎰-⋅202sin π(12)dx xa xa x a⎰+-025. 求下列极限 (1) ∑=+∞→nk n nk 123lim (2) 2213lim k n nk nk n -∑=∞→6. 证明 (1)⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m(2) 若f 在R 上连续, 且⎰=x adt t f x f )()(, 则.0)(≡x f (3) 0sin sin ,m n mx nxdx m n N m nπππ-≠⎧=∈⎨=⎩⎰，(4)⎰-=ππ0cos sin nx mx(5) 设f 在],0[π上连续,且⎰⎰⎰===πππ0cos )(sin )()(xdx x f xdx x f dx x f求证f 在),0(π内至少两个零点.定积分1、定积分的定义1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰0,0,,,,di i T T εδδξ⇔∀>∃>∀<∀∈∆1()ni i i f x J ξε=∆-<∑. (())baJ f x dx =⎰2、可积函数(充要) 条件1) f 在[],a b 上可积⇒f 在[],a b 上有界⇒f 在(),a b 内至少有一个连续点2) f 在[],a b 上可积⇔()()b ba a f x dx f x dx --=⎰⎰⇔0,,()()T S T s T εε∀>∃-< ⇔10,,ni i i T w x εε=∀>∃∆<∑3) f 在[],a b 上连续⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上单调⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上仅有限个间断点(或间断点仅有限个聚点) ，则f 在[],a b 上可积. f 在[],a b 上可积，g 与f 仅有限个点处不相等，则g 在[],a b 上可积，且()()bbaag x dx f x dx =⎰⎰4) 可积函数复合未必可积.3、定积分性质1) 线性性质 2) 子区间可积性 3) 乘积可积 4) 区间可加性 5) 单调性 6) 绝对可积性4、微积分基本定理与Newton-Leibniz 公式定理. 若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰. 由此可得()()()baf x dx F b F a =-⎰.注. 若f '可积，则()()()b af x dx f b f a '=-⎰.定理. 若f 在[],a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[],a b 上连续.结论 (变限积分的导数)()()(())(())()(())()h x g x f t dt f h x h x f g x g x '''=⋅-⋅⎰5、定积分的积分方法 1) 换元设()y f x =在[],a b 上可积，()x t ϕ=满足ϕ'在[],αβ上可积，且在[],αβ上至多除有限个点使()0t ϕ'=，其余点()0t ϕ'>，(),()a b ϕαϕβ==，则()(())()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⋅⎰⎰[ 注意：积分上下限只需对应，而不管大小. ] 2) 分部积分 (注意具体被积函数的形式) 设,u v ''为[],a b 上可积函数, 则 bbb a aaudv uv vdu =-⎰⎰.6、Taylor 公式与积分中值定理. 1) 可积函数未必有原函数.1, 01;() 1 , 1 2.x f x x -≤≤⎧=⎨<<⎩ 2) 有原函数的函数也未必可积.22211cos 2sin , 0;()0, 0.x x f x x x xx ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在[1,1]-上有原函数220, 0;()1sin , 0.x x F x x x =⎧⎪=⎨⋅≠⎪⎩ 但f 在[0,1]上不可积.3) 可积不连续的函数也可能有原函数.习 题 课一、定积分的计算 例 1 1)20πθ⎰2) 1t x t dt -⎰, (1,0,01)x x x ><≤≤3)arctana⎰4) 10(1)xdx x α+⎰5)10ln(1dx ⎰6)0⎰7)121⎰8)2-⎰9) 21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨>⎪⎩ , 求31(2)f x dx -⎰.10) 1(2)2f =，(2)0f '=，20()1f x dx =⎰. 求120(2)x f x dx ''⎰.二、利用定积分定义求和式极限11111()lim ()lim ()nn i i T n i i f x dx f x f n n ξ→→∞===∆=∑∑⎰1()lim ()n ban i b a b af x dx f a i n n→∞=--=+∑⎰例 2 1) 221lim nn i i n i→∞=+∑2) 11lim[(1)]n n n k k n -→∞=+∏3) 12lim 1knnn k n k→∞=+∑4) 444333124lim (12)5n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+三、变限积分的导数例 3 1)2sin b a d x dx dx⎰ 2) 2sin x a d tdt dx ⎰3) 10(arctan )t x e tdt '⋅⎰4)23ln t t d dxdt x⎰ 例 4 1) 设0x ≥时，()f x 连续，且230()x f t dt x =⎰，求()f x .2) 设f 连续，31()x f t dt x c -=+⎰，求c 与(7)f .例 5 1) 设f 在[],a b 上连续，0()()()xF x f t x t dt =-⎰，[],x a b ∈.求证：()()F x f x ''=.2) 设f 在[)0,+∞上连续，且()0f x >，00()()()xx tf t dt x f t dtϕ=⎰⎰.试证：ϕ在()0,+∞上严格增.3) f 为连续可导函数. 试求：()()xa d x t f t dt dx'-⎰.四、求含变限积分未定型极限 例 6 1) 20cos limsin xx x x t dttdt→⎰⎰2) 222020()limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰例 7 1) 设f 在[],a b 上连续，求证：(),x a b ∈时，1lim ()()()()xa h f t h f t dt f x f a n+→+-=-⎰.2) ()f x 在R 上连续，且以T 为周期，求证：0011lim ()()x Tx f t dt f t dt x T→∞=⎰⎰.3)1lim bb -→⎰，(01)b << 存在.4) 设f 在[]0,A (0)A ∀>上可积，lim ()x f x a →+∞=，则01lim()xx f t dt a x →+∞=⎰.五、定积分的极限例 8 1) 求证: 1) 10lim 1nnx dx x +⎰ 2) 120lim (1)n n x dx →∞-⎰3) 2lim sin n n xdx π→∞⎰2) 设f 在[]0,2π上单调，求证：20lim ()sin 0f x xdx πλλ→∞⋅=⎰.六、某些积分不等式1、利用积分关于被积函数的单调性证明不等式.例 9 证明不等式 11201413n x dx n x x n-≤≤-+⎰，n ∈.例 10 证明:1) 211<⋅⋅⋅+< 2) 11ln(1)11ln 2n n n+<++⋅⋅⋅+<+[由此证明11lim(1ln )2n n n ++⋅⋅⋅+-存在，一般称此极限为Euler 常数，记为C ]2、某些不等式的积分形式设函数,f g 在[],a b 上可积，对[],a b 上n 等分, 取[]1,i i i x x ξ-∈，若对任何n ，1i n ≤≤，有11()()nn i i i i b a b af g n n ξξ==--⋅≤⋅∑∑，则有()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰. 例 11 1) 证明Schwarz 不等式.设,f g 在[],a b 上可积, 则222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.而当,f g 连续时, 等号成立⇔c ∃，g cf =.2) 设f 在[],a b 上连续，且0f >，则21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上可积，证明：21120()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.4) 设,f g 在[],a b 上可积，则有Minkowski 不等式()111222222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.例 12 若ϕ在[]0,a 上连续，f 二阶可导，且()0f x ''≥, 则有Jesen 不等式0011(())(())a af t dt f t dt a a ϕϕ≥⎰⎰.3、其它不等式例13 1) 设f 在[]0,1上连续可导，证明：10()()()f x f t f t dt '≤+⎰，[]0,1x ∈.2) 设0a >，f 在[]0,a 上连续可导，则01(0)()()aa f f x dx f x dx a '≤+⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上连续可导, 且(0)0,(1)1f f ==, 求证：110()()f x f x dx e -'-≥⎰.4) 设f 二阶可导, 求证：3()()()()224baa b Mf x dx b a f b a +--≤-⎰. 其中[],sup ()x a b M f x ∈''=.。
顺序定积分的积分法.pptx
n n2 5 3
如：2 sin10 0
xdx
9 10
7 8
5 6
3 4
1
22
2 cos7 xdx 6 4 2
0
753
第22页/共29页
【补例】设
f
(
x)
x2
1
sin t
t
dt ,
求
1
xf ( x)dx.
0
【分析】sin t 没有初等形式的原函数，“积不出”
t
【解】
1
0 xf
( x)dx
11
. ln x(1 ln x)
1 2x2 x cos x
【练习2】 1
1
1 x2
dx.
第16页/共29页
3
e4
dx
【练习1】 e
x
. ln x(1 ln x)
3
e4
e
d (ln x) ln x(1 ln x)
3
e4
d(ln x)
2 e 2 ln x 1 ln x
3
e4 d ln x
0
0
【分析】sin x cos( x) cosu cos x 积分限变化
2
【证1】左=
2
f [cos(
x)]dx
0
2
类似第一类换元法 --------凑微分法
2
f [cos(
x )]d (
x)
0
2
2
0
f [cos u]du
2 f [cos x]dx
0
2
【再分析】sin x sin( x) cos x
【例4】计算
解: 令 t
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
定积分习题
2(sin x cos x)dx.
4
2( 2 1).
就不必用公式了.
a
例1 计算 a2 x2 dx (a 0)
解
设x
0
a
si
nt
,
则dx
a
cos
tdt
当x 0时, t 0; 当x a时t
2
a
2
于是 a2 x2 dx a 2 cos 2 tdt
0
0
a2 2
2
(1 cos 2t)dt
dx
ba
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0
(a b)
定理 3（微积分基本公式） 如果F ( x)是连续函数
f ( x)在区间[a, b]上的一个原函数，则
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
也可写成
b a
f
(
x)dx
[F
(
x )]ba
.
牛顿—莱布尼茨公式
一、平面图形的面积
4 (sin x cos x)dx
0
2(sin x cos x)dx
4
[cos
x
sin
x] 4 0
[cos
x
sin x]
2
4
2( 2 1).
也可以先 作出该平面图 形的草图，如图，
y 1 y = cos x
y = sinx
则直接可得
O
π
πx
4
2
A
4 (cos x sin x)dx
定积分习题
y
x
确定 y 是 x 的函数 , 求f(x)。 解：方程两端对 x 求导, 得
f ( x y ) ⋅ ( y + x y′) = ∫ f (t ) d t + x ⋅ f ( y ) ⋅ y′
1
y
令 x = 1, 得
f ( y ) y = ∫ f (t ) d t + y f (1)
1
y
+ y ′ ∫ f (t ) d t + y ⋅ f ( x)
例12. 求 lim
x →0
= cot t 。
4
∫ ⎢∫ ⎣
0
x2 0
x ⎡ u2 0
⎤ arctan(1 + t ) dt ⎥ du ⎦ = lim x →0 x ⋅ (1 − cos x )
∫
x
0
⎡ u arctan 1 + t dt ⎤ du ( ) ⎥ ⎢ ∫0 ⎣ ⎦ x2 x⋅ 2
2
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎝0⎠
解: 等式两边对 x 求导, 得 不妨设 f (x)≠0, 则
sin x 1 ) 2 f (x) f ′(x) = f (x⋅ 2 2 + cos x
∴ f ( x) = ∫ 1 sin x dx f ′( x) dx = ∫ 2 2 + cos x
1 = − ln (2 + cos x ) + C 2
习题课
定积分及其相关问题
一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积
问题1: 问题1:
变速直线运动的路程 变速直线运动的路程
问题2: 问题2:
定积分 定积分 的的 定定 性性 积积 质质 分分 定定 计计 积 算算 分积 法法 的分 的
定积分习题课带部分解答
a
a
➢换元积分法
b
a f ( x)dx f ((t))dt
特点:
变量不必回代 换元必换限
注意积分限 不换元不换限
➢分部积分法
b udv uvb
b
vdu
a
a
a
特点: 边积边代限
一、内容小结 （一）定积分概念 （二）定积分性质 （三）定积分计算 （四）反常积分
一、内容小结 （一）定积分概念 （二）定积分性质 （三）定积分计算 （四）反常积分
第五讲 定积分习题课
定积分习题课
一、内容小结 二、题型练习
定积分习题课
一、内容小结 二、题型练习
一、内容小结 （一）定积分概念 （二）定积分性质 （三）定积分计算 （四）反常积分
一、内容小结 （一）定积分概念 （二）定积分性质 （三）定积分计算 （四）反常积分
➢背景
曲边梯形的面积 变速直线运动的路程
一、内容小结 （一）定积分概念 （二）定积分性质 （三）定积分计算 （四）反常积分
➢线性
b
b
b
a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
➢可加性
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
➢不等式
f (x) 0 (a x b) f (x) g(x) (a x b)
➢思想
化整为零 积零为整
➢定义
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
➢注意
定积分是一个数!
定积分仅与
被积函数 有关，与 积分区间
区间分法 ξi的取法
无关
积分变量记法
定积分习题课共67页文档
13
6、定积分的计算法
（1）换元法
a bf(x)d x f[(t)](t)dt
换元公式
（2）分部积分法
abud[vu]b a vabvdu
分部积分公式
14
７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
则 a b f ( x ) d a b g x ( x ) d( x a b )
（2） a bf(x )d x a bf(x )dx(ab)
10
性质6 设 M 及 m 分 别 是 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]
上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
则 m ( b a ) a b f ( x ) d M x ( b a ) .
定理1 如 果f(x)在 [a,b]上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
(x)axf(t)d在 t[a,b]上 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数 是(x)ddxaxf(t)d t f(x) (axb)
定理2（原函数存在定理）如 果 f(x)在 [a,b]上
连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数 (x)axf(t)d就 t是
定积分习题课
一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理 定积分 广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
af(x )d x F (b ) F (a )
计 算 法
定 积 分 的
3
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y f(x )(f(x ) 0 )、
定积分应用经典例题课件
例5. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
垂直相交的直线方程.
提示: 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线
的平面的法向量为
故其方程为
①
化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交 点
最后利用两点式得所求直线方程
x 2 y 1 z 3 2 1 4
(2,1,3)
P (3,2,1) (1,1,0)
n P 14
7
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例5. 设函数
(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数;
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
2. 求函数 u x2 y2 z2 在椭球面 x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
且垂直于直线L1
:
x 1 3
y 2
z
1, 1
相交,求此直线方程 .
解： 方法1 利用叉积.
设直线 Li 的方向向量为 si (i 1, 2),过 A 点及 L2 的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s s1 n , n
因原点 O 在 L2 上, 所以
A
i jk
n s2 OA 2 1 1 3 i 3 j 3k O 121
(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
2.
u
2x0
2x0 a2
2 y0
2 y0 b2
2z0
2z0 c2
n M0
2
x02 a4
定积分习题课
公式
f (u)du u (x)
即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
4x)
dx
3 2
dx
cos 2x d(2x)
1 8
cos
4
x
d(4x)
例 9 cos x cos 2xdx
原式=
1 2
(cos
x
cos
3x)dx
1 sin x 1 sin 3x C
2
6
例10 tan3 x sec2 xdx
原式= tan2 xsec x(tan xsec x)dx (sec2 x 1)sec xd(sec x)
例8. 求
含sin 2k xcos2l x 二倍角公式
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2
x
cos
2
2
x)
1 4
(1
2
cos
2x
1cos 2
4x
)
1 4
(23
2
cos
2x
1 2
cos
4x)
cos4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
F(b) F(a),
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 .
《定积分复习》PPT课件
定积分表示下面各平面图形的面积值:
图1.曲边梯形
y y f (x)
图y3.如图
a
b
0
x
oa
bx
y f (x)
b
A1 a f ( x)dx
b
A3 a f ( x)dx
15
用定积分表示下面各平面图形的面积值:
图y2.如图
y f2(x)
图4.如图
y
y f2(x)
y f1( x)
a
oa
1 ln a
a
x
b a
(6)
b a e
x
dx
ex
b
b
ab
(7) a cos xdx sin x
(8)
b a sin
xdx
ab cos x12
a
(1)
sin
0
xdx
( cos x) |0
2
(2)
2
sin
xdx
(
cos
x)
|2
2
(3)
2
sin xdx
0
( cos x) |02
0
13
14
bx
0
bx
b
y f1( x)
A2 a [ f2( x) f1( x)]dx
b
b
A4 a f2( x)dx a f1( x)dx
b
b
b
A4 a f2( x)dx a f1( x)dx a [ f2( x) f1( x)]dx
16
2．
17
18
19
1
求曲边梯形面积的方法
（1）分割 （2）近似代替
把这些矩形面积相加 y
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三、课堂练习（学生先独立做，然后根据具体情况进行讲评，给出解答）
ò 1．设 f ( x) 在[a, b]上连续，在（a, b）内可导且 f ¢(x) £ 0 ，记 F (x) = 1 x f (t)dt 。 x-a a 证明在（a, b）内有 F¢( x) £ 0 。 证：Q f ( x) 在[a, b]上连续，故 F (x) 在（a, b）内可导，且由积分中值定理，存在x Î[a, x] ，
2
I (-1) = e + e-1 ，所以 a = -1 时， I (a) 取得最大值 I (-1) = e + e-1 。
1
ò 4．设 f ( x) 在[0，1]上可微，且满足 f (1) = 2 2 xf ( x)dx ，证明在[0，1]内至少有一点q ， 0
使 f ¢(q ) = - f (q ) 。 q
第七讲 定积分习题课
教学目的与要求：使学生在前几课时新授的基础上，进一步理解与定积分有关的概念与 性质，掌握进行定积分计算的各种方法和技巧以及定积分在几何和物理中的应用。
知识点：有关定积分的所有概念、性质、方法、广义积分知识，定积分的应用。 教学重点：定积分的概念、性质、计算方法及几何应用；微积分基本定理。 教学难点：定积分的概念、定积分求体积，物理应用。 教学方式：复习，练习 教学思路：先进行本章有关知识的复习，然后进行一定量的练习。 教学过程：
一、复习 1．定积分的概念、性质、几何意义，积分上限函数，微积分基本定理； 2．定积分的换元积分法； 3．定积分的分部积分法； 4．广义积分的定义及计算方法； 5．定积分的几何应用（平面图形面积、特殊体积、平面曲线弧长）； 6．定积分的物理应用（引力、功、压力、平均值等）。
二、纠错 针对本章学习过程中学生作业中出现的普遍性问题进行讲解，分析出现错误的原因。
证明：Q f ( x) 在[0，1]上可微，从而连续
ò ∴
必存在 a Î[0, 1 ] ，使 f (1) = 2
1 2
xf
( x)dx
=
2
×
af
(a) ×
1
=
af
(a )2Fra bibliotek02
令 F (x) = xf (x) ，则 F (a) = af (a) ， F (1) = f (1) = af (a) ，则由罗尔定理知，必存在
原极限 =
lim
x ®0
1 x2
×
x2 = lim a + x x®0
2= a+ x
2 = 1 ，即 a = 4 a
2
综合上述推导知： a = 4,b = 1
ò 7．设 f ( x) 在闭区间[a, b]上可导，且 f ¢(x) £ M ， f (a) = 0 ，证： b f (x)dx £ M (b - a)2
1 1+t t
1
t
ò= x ln td ln t = ln2 x
1
2
ò 6．已知 lim 1
x t2 dt = 1 ，试求 a, b 。
x®0 bx - sin x 0 a + t
ò 解：显然， x ® 0 时， 1
x t 2 dt 为 0 型，由罗比塔法则得
bx - sin x 0 a + t 0
ò 使 x f (t)dt = f (x )( x - a) ，从而 a
x
ò (x - a) f ( x) -
F ¢( x) =
a
(x - a)2
f (t)dt
=
(x
-
a)
f
(x) - (x (x - a)2
a)
f
(x
)
=
f ( x) - f (x ) x-a
由于 f ¢(x) £ 0 ，故当 a £ x £ x 时， f ( x) - f (x ) £ 0 ，而 x - a > 0 ，所以 F¢( x) £ 0 ，证
q Î[a,1] ，使 F ¢(q ) = 0 ，而 F¢( x) = xf ¢(x) + f ( x) ，故有q f ¢(q ) + f (q ) = 0 ，此即要证的等
式。
ò 5．设 f ( x) =
1 x
ln t
dt
，试求
f
(x) +
f
(1)
1 1+t
x
ò 解： f ( 1 ) = x ln t dt ， 令 t = 1 ，则
ò lim 1
x t2 dt = lim 1 × x2 = 1
x®0 bx - sin x 0 a + t x®0 b - cos x a + x
由于 x ® 0 时， x2 ® 0 ，故应有 b - cos x ® 0 ，即 b = 1
又由于 1 - cos x ~ x2 （ x ® 0 ），所以有 2
x 1 1+t
u
ò ò ò f (x) =
1 x
ln t dt
=
x
ln 1 u
(-
1
) du
=
x ln u 1 × du
1 1+t
1 1+ 1 u2
1 1+u u
u
ò ò f ( x) + f ( 1 ) = x ln t × 1 dt + x ln t dt
x 1 1+t t
1 1+t
ò ò = x ln t (1 + 1)dt = x ln t × 1 dt
ex2
×2x
1 = lim = 0
x x ® +¥
ò 3．设 I (a) = 1 x - a exdx ， a £ 1 ，求 I (a) 的最大值 -1
ò ò 解： I (a) =
a (a - x)exdx +
1
(x
-
a)exdx
=
2ea
-
a(e
+
e-1)
-
2e-1
-1
a
I ¢(a) = 2e a -(e + e-1)
毕。
( x et2 dt)2
ò 2．求 lim x ® +¥
0
x e2t2 dt
ò0
解：显然此极限为 ¥ 型，应用 L¢Hospital 法则得
¥
ò ò 2
原极限 = lim x®+¥
x et2 dt × ex2
0
e2 x2
2 = lim
x®+¥
x et2 dt
0
e x2
2e x2
=
lim
x®+¥
a
2
证：由于 f ( x) 在闭区间[a, b]上可导，则由中值定理知，对 "x Î[a, b] ，总存在x Î[a, x] ，
使 f ( x) = f ( x) - f (a) = f ¢(x )( x - a) £ M ( x - a) ，从而
令 I ¢(a) = 0 ，得 a = ln e + e-1 ，当 a Î[-1,ln e + e-1 ] 时， I ¢(a) < 0 ；当 a Î (ln e + e-1 ,1]
2
2
2
时，I ¢(a) > 0 。所以 I (a) 在 a = ln e + e-1 取得最小值。而 I (1) = 2e - (e + e-1) - 2e-1 = e - 3e-1 ，