江苏省专转本高等数学模拟测试题答案详解

江苏省专转本高等数学模拟测试题一．选择题(每小题4分,共24分)1.当 0x →时, 1cos2x -与2ln(1)ax +是等价无穷小，则常数a 的值为( )A. 1B. 2C.3D. 4解：本题考查无穷小阶的比较，就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比值的极限是1，即有222001(2)1cos 222lim lim 1ln(1)x x x x ax ax a→→-===+ 则2a =，选B 。

2.曲线2(1)(2)x xy x x x -=--的垂直渐近线是( )A.0x = B. 1x = C. 2x = D. 没有垂直渐近线解：所谓垂直渐近线就是若0lim ()x xf x →=∞（也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷大），则称0x x =为垂直渐近线。

一般拿来讨论极限的0x 为函数中无定义的点，本题有三个无定义的点，即0x =，1x =，2x =，但是在求极限时函数经过化简后变成12y x =-，因此只有21lim2x x →=∞-，所以选C 。

3. 设sin 0()ln(1)x x t t dt ϕ=+⎰，则()x ϕ'=( )A. sin cos ln(1sin )x x x +B. sin ln(1sin )x x +C. sin cos ln(1sin )x x x -+D. sin ln(1sin )x x -+ 解：本题考查变上限积分函数求导公式，选A 。

4. 下列级数中条件收敛的是( )A.21(1)n n n ∞=-∑ B.1(1)1n n n ∞=-+∑ C.11(1)21n n n n ∞=+-+∑ D.1(1)2n n n ∞=-∑ 解：本题考查绝对收敛与条件收敛的概念，首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛，只是收敛的“强度”不同罢了。

选项A 与D 都是满足绝对收敛的，选项C 一般项的极限不是零，显然发散，只有选项B 满足条件收敛。

5. 将二重积分22Dx y dxdy +⎰⎰，2{(,)|2,01}D x y x y x x =≤≤-≤≤化成极坐标下的二次积分，则得( )A.2240d r dr πθ⎰⎰B.2240d r dr πθ⎰⎰C.2224d r dr ππθ⎰⎰ D.2224d r dr ππθ⎰⎰解： 本题考查二重积分的极坐标变换，首先关键是画出积分区域来，作图如下： 本题积分区域形如右图阴影部分，显然答案选D 。

6.函数x y xe -=单调递减且其图形为凸的区间是( ) A ．(,2)-∞ B. (1,)+∞ C. (2,1)- D. (1,2) 解： 单调减就是一阶导数小于零，凸就是二阶导数小于零，于是(1),(2)x x y x e y x e --'''=-=-(1)0112(2)02x xx e x x x e x --⎧-<⇒>⇒<<⎨-<⇒<⎩，选D 。

二．填空题（每小题4分,共24分）7.221lim()21xx x x →∞-=+解：本题考查“1∞”型的幂指函数求极限，利用“重要极限的推广公式”24lim 2lim 22222121212122lim()lim()lim(1)212121x x x x x x xx x x x x x x e e e x x x →∞→∞--⋅-++→∞→∞→∞-+--==+===+++ 8.已知()2f x '=，则0(2)(22)limx f x f x x→+--=_______________解：本题考查导数的定义，极限中的x 只是一个字母，一个无穷小而已，如同原始定义中的x ∆一样，从极限分子中可以看出自变量改变了(2)(22)3x x x +--=，于是0(2)(22)(2)(22)lim3lim 3(2)63x x f x f x f x f x f x x→→+--+--'===9.定积分2424sin sin cos x xdx x ππ-+=⎰___________. 解：本题考查定积分化简计算，即利用函数奇偶性2222444442200444240sin sin sin tan 2tan 2(sec 1)cos cos 2(tan )22x x x dx dx xdx xdx x dx x x x x ππππππππππ---+=+==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰10.设(1,2,0),(1,2,1)a b ==-rr则()()a b a b +⨯-=rrrr _________. 解：本题考查向量坐标的加法、减法以及叉乘运算由已知可得()(0,4,1),()(2,0,1)a b a b +=-=-r rr r ，则()()041(4,2,8)201i j ka b a b +⨯-==---r r r r r r r11.设函数(,)z z x y =由方程1z xe yz +=所确定，则zy∂=∂_______. 解：本题考查多元隐函数求偏导，可以选择的方法有很多，比如“公式法”、“全微分法”、“两边求法”，这里我们采用两边求的方法，即对原方程两边同时关于x 求偏导得0zzz z e xe y x x∂∂++=∂∂，解得z z z e x xe y ∂=-∂+。

当然本题用公式法做也很简单。

12.幂级数2)nn x -的收敛域为__________. 解：本题考查利用系数模比值法求幂级数的收敛域因为1n x ρ===，所以1R =于是121x -<-<，所以13x <<； 当1x =时，2)1)n n nn x -=-=（发散-P-级数）； 当3x =时，2)n n n nn x -==-莱布尼茨判别法）； 综上，收敛域为(1,3]三．计算题（每题8分，共64分）13.求极限30sin lim arcsin x x x x→-解：原式=322000233lim lim lim 611arcsin 12x x x x x x x x x x →→→→====--- 注：在本题的求解过程中使用了直接代入，即01x →=；并且利用(1)1x x μμ+-:(0)x →12222111(1())1()22x x x =+---=-:14. 设函数()y y x =由方程1x yexy +-=所确定，求(0),(0)y y '''解：本题考查隐函数求导，而且是求具体点的导数值当0=x 时，代入原方程得0=y方程两边同时关于x 求导得 (1)()0x yey y xy +''+-+= （*）代入0=x ，0=y 得 1)0(-='y 再对（*）式两边同时关于x 求导得 2[(1)][()]0x yx y e y e y y y xy ++'''''''++-++=整理得 2(1)()20x yx y ey e x y y ++''''+++-=代入0=x ，0=y 及1)0(-='y 得 2)0(-=''y15.求不定积分⎰t =，则21,2x t dx tdt =+=，代入得22()2()t t t t te dt td e te e dt ===-⎰⎰⎰⎰2(1)1)t t e C C=-+=+16.求定积分4⎰t =，则242,33t x dx tdt -==；当0x =时2t =，当4x =时4t =；代入得2344424222412221003(1)()399327t t tdt t dt t t -+==-=-=⎰⎰⎰ 17. 设(23,)xz f x y ye =+，其中f 有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂解：121222x x zf f ye f ye f x∂''''=⋅+⋅=+∂2121112221222211122121222221112122(2)2(3)[1(3)]6236(23)x x x x x x x x x x x z f ye f f f e e f y f f e x y ye f f e f ye f ye f e f f y e f ye f f f ∂∂'''''''''''=+=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂'''''''''=+++⋅+'''''''=+++''''+=（　）18. 设直线通过点(-1,2,0)，垂直于直线12231x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩又与平面231x y z -+=平行，求其方程解：设直线12231x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩的方向向量为0s u u r ，平面231x y z -+=的法向量为0n u u r ，则00(2,3,1),(1,2,3)s n =--=-u u r u u r ，设所求直线的方向向量为s r，则00123(11,7,1)231i j ks n s =⨯=-=--r r r r u u r u u r于是所求直线方程为121171x y z+-== 19. 计算二重积分2,{(,)|2,01}Dxdxdy D x y y x y y =≤≤-≤≤⎰⎰解：由已知条件可知积分区域D 是由曲线222,2y x x y =+=所围成，在 第一象限中的交点坐标为（1,1），形如右图阴影部分，所以2221211220001()(2)22y y yyDx xdxdy dy xdx dy y y dy --===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰321011117(2)(2)23223212y y y =--=⋅--= 注：本题有些同学可能会错误的认为阴影部分应该是，这是不正确的这是因为2{(,)|2,01}D x y y x y y =≤≤-≤≤若22{(,)|2,01}D x y x y x x =≤≤-≤≤，则就是第二个图中的阴影部分了。

20.求微分方程32x y y y e '''-+=的通解解：原方程对应齐次线性微分方程的特征方程为2320r r -+=，解得121,2r r ==所以对应齐次线性微分方程的通解为212x xY C e C e =+；又1λ=为其中的一个特征根，所以原方程的一个特解为*xy Axe =， 则*(1)x y A x e '=+，*(2)x y A x e ''=+，代入原方程得(2)3(1)2x x x x A x e A x e Axe e +-++=，化简得1A =-所以*xy xe =-，所以通解为212x x xy C e C e xe =+-四．证明题（每小题9分，共18分）21.证明：当01x <<时，2sin 12xx e x -+<+证明：令2()sin 12xx f x e x -=+--，则()cos xf x ex x -'=-+-()sin 1x f x e x -''=--，()cos 0(01)x f x e x x -'''=--<<<，所以()f x ''单调递减，又(0)0f ''=，所以()0f x ''<，所以()f x '单调递减，又(0)0f '=，所以()0f x '<，所以()f x 单调递减，又(0)0f =，所以()0f x <，即当01x <<时，2sin 12xx e x -+<+注：本题是利用三阶导数相关信息一次次反推到原来的函数，即连续使用了三次利用导数证明不等式的方法，具体的关系图如下：()0()()0()()(0)0()0(0)0(0)0f x f x f x f x f x f f x f f ⎫⎫'''''⎫<⇒'''⇒<⇒⎪⎬⎪⇒''=⎬⎪⎭⇒<⎬⎪'=⎭⎪⎪=⎭]]] 22.设函数1,0()32,0x e x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，证明()f x 在0x =处连续但不可导证明：显然()f x 在0x =的函数值为(0)2f =因为0lim ()lim(1)2,lim ()lim(32)2xx x x x f x e f x x --+-→→→→=+==+=，所以0lim ()2x f x →= 所以0lim ()(0)x f x f →=，即()f x 在0x =处连续 因为0000000()(0)121lim lim lim lim 10()(0)3223lim lim lim 30x x x x x x x x x f x f e e x x x x xf x f x x x x x----+--→→→→→→→-+--====--+-===-所以(0)(0)f f -+''≠，即左导数不等于右导数，所以()f x 在0x =处不可导 综上所述()f x 在0x =处连续但不可导五．综合题（每题10分，共20分）23.设函数3233y x ax bx c =+++在1x =-处取得极大值，且点(0,3)是其图形的拐点，求常数,,a b c 的值解：因为函数3233y x ax bx c =+++显然满足一阶和二阶可导，所以它的极值点1x =-是驻点（一阶导数等于零的点），它的拐点(0,3)是二阶导数等于零的点 因为2363,66y x ax b y x a '''=++=+，且(0,3)在曲线上，所以综上可得(0)33(1)03630(0)060f c f a b f a ==⎧⎧⎪⎪'-=⇒-+=⎨⎨⎪⎪''==⎩⎩ ，解得013a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩24.求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使曲线()y y x =于直线1,2x x ==及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小解：将上述微分方程变形为2220101dy dy dy x x y y y dx dx x dx x+-=⇒+-=⇒-=- 即21y y x '-=-，这是一个一阶非齐次线性微分方程，其中2(),()1P x Q x x=-=-通解为22()()222211[](())()dxdx xx y e e dx C x dx C x C Cx x x x---⎰⎰=-+=-+=+=+⎰⎰2543222224322111()(2)()523x C x Cx x V Cx x dx C x Cx x dx πππ=+=++=++⎰⎰231157()523C C π=++即231157()523V C C π=++，显然此时的体积V 是一个关于参数C 的一元二次函数，是一条抛物线，由中学数学可知抛物线的顶点是最小值点，顶点坐标公式为24(,)24b ac b a a --，即当1575231212425b C a =-=-=-⋅时取得最小值 因此所求函数为275124y x x =-+ 注：本题涉及到画图的问题，对于抛物线2y Cx x =+，我们知道它一定过原点（0,0），但是常数C 的正负性不知道，也就是不知道抛物线开口向上还是向下。