对数函数图像及其性质

《对数函数及其性质》人教A版第二章第2.2.2节学校：广西师大学院系：数学科学学院作者：学号：对数函数及其性质一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。

首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。

其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。

遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计：第一、在课堂活动过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

二、学情分析（一）学习的知识起点学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。

（二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。

但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a的对数函数的性质不能很好地进行区分。

从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。

三、教材分析（一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质,掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。

作为重要的基本初等函数之一,对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。

它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。

（二）重难点及突破方法教学重点：理解并掌握对数函数的定义、图像与性质。

突破方法：结合前面指数函数的学习方法，数形结合，通过让学生动手画图、观察、猜想、归纳与概括、举证与评价等方法，建立对数函数模形，并将对数函数与指数函数联系起来从而得出其定义。

运用数形结合与特殊到一般、分类讨论的数学研究方法以及变式练习，让学生掌握其图像和性质拓展与应用，达到熟练对数函数图像与性质的运用。

教学难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的探究。

突破方法：对于不同底数的对数函数，教师引导学生用“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”等思想方法来探究，让学生动手画图、观察图象，启发学生思考、实验、分析、归纳，从而深刻掌握底数a对图象的影响及对数函数的性质。

四、目标设计（一）知识与技能：1、理解对数函数的定义；掌握对数函数的图象和性质及其简单应用。

2、通过具体实例，直观感受对数函数模型所刻画的数量关系；通过具体的函数图像的画法以及类比法逐步认识对数函数的特征；（二）过程与方法：1、学导法：通过实例创设问题情境，引导学生对对数函数解析式的理解；引导学生类比指数函数的研究思路，从图像特征分析对数函数的性质。

2、师生共同讨论法：指在调动学生参与的积极性，突出学生主体地位，通过教师必要指导，调动学生思维的积极性；（三）情感态度与价值观：1、渗透由特殊到一般的思想，培养学生探索研究数学问题的素养，渗透数形结合、分类讨论的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力、数形结合的能力。

2、通过学习对数函数与指数函数的图像特征和性质，让学生欣赏它们各具特点的位置关系，感悟数学世界的奇异美，培养学生的美学意识。

3、通过本节容学习，培养学生不断探索发现新知的精神，渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

五、教法学法分析（一）教法分析新课标的建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究发现式”教学方法。

让学生动手操作、发现规律、自行总结等几个环节，学生经历知识的形成过程，从而在心中形成概念。

然而老师的辅佐提示、系统归纳似的知识在学生的脑中清晰起来，并为学生所掌握。

整个课堂教法充分地体现了“学生为主体，教师为主导”的“两为主”的教学思想。

（二）学法分析新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

引导学生运用类比指数函数学习的方法来探究对数函数，因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历复习引入→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。

六、教学过程设计教学流程设计：→复习引入，形成概念→尝试画图、形成感知→理性认识、发现性质→趁热打铁，拓展深化→自我提升的过程， （一）复习引入，形成概念引例1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? 分析:(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得321215=⎪⎭⎫⎝⎛ (2)可设取x 次,则有 125.021=⎪⎭⎫⎝⎛x抽象出: 125.021=⎪⎭⎫⎝⎛x?=⇒x引例2：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示。

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数。

根据2.2.1节指数函数与对数函数的关系b N N a a b =⇔=log ，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =。

如果用x表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =。

引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1？（2）为什么对数函数log a y x=（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）？组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。

【教师总结】①根据对数与指数式的关系，知log a y x=可化为y a x =，由指数的概念，要使ya x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x=可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．例题1：求下列函数的定义域 （1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1）分析：由对数函数的定义知：2x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域。

解：（1）因为2x ＞0，即x ≠0，所以函数2log x a y =的定义域为{}|0x x ≠. （2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数(4)log x ay -=的定义域为{|x x＜}4.教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？ 学生：对数函数的图象和性质。

接着引出下一环节。

【设计意图】复习旧知导入新知是一个不可或缺的环节，通过回顾旧知识，使知识得到联系，只有从学生已所学的指数函数出发，才能让学生在脑中形成对数函数的概念。

学生只有弄清了知识的来源，才会“顺其自然”地接受知识，这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点。

（二）尝试画图、形成感知教师：学习指数函数是我们从哪着手去讨论指数函数的性质了呢？ 学生：先画图象，再根据图象得出性质。

x121 2 4 6 8 12 16 y －1 0122.583 3.584图一师：同学们现在我们来观察图一，看看这些函数图像有什么特征呢？学生分组讨论，并派代表进行发言，教师整合学生的答案，并适时补充。

教师引导学生先观察以2和1/2为底的对数函数图像的异同得出如下初步结讨论：相同点：①两个对数函数的图像都过点（1，0）；②函数图像都在y 轴的右侧；不同点在（0，+∞）上是递增函数，而在（0，+∞）上是减函数。

在此过程中，教师通过让学生抢答的形式，增加课堂气氛，提高学生学习的积极性。

拓展探究：1、对数函数4log y x= 与14log y x=、x y 3log = 与 x y 31log =的图象有怎样的对称关系？2、对数函数y = log a x （a>1），当a 值增大，图象的上升“程度”怎样？教师用运用多媒体演示作图的全过程并展示结果如图二；图二提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？学生讨论、交流。

有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y = log a x （a>1）、y = log a x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。

【设计意图】所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。

学生动手画图，形成感知。

学生合作探究，交流成果，再脑中初步建立对数模型。

学生只有经历了知识的形成过程才能做好的接受新知识的准备，如此一来便水到渠成。

师生互动的形式更增加了课堂气氛，使得知识在快乐中得到吸收。

（三）理性认识、发现性质教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。

同学们，通常研究函数的性质时主要研究哪些方面？学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。