最值与导数在经济领域中的应用
函数极值在经济学中的应用
单位产品销售所获得的总收入的增量．
设 P 为商品价格，Q 为商品的数量，
R 为总收益，R＇ 为边际收益，则需求函数
P＝P（Q）．总收益函数 R＝R（Q），边际收益
函数 R＇＝R（＇ Q）．边际收益的经济意义是：
和收入函数为
C（q）＝ ３０００＋ ２００q＋
１ ５
q２，R
（q）＝ ３５０q＋
１ ２０
q２，
定理指出：若 f 存在偏导数，则其极 值点必是稳定点．但稳定点并不一定都是
极值点．但是在经济学的实际问题中只有
一个稳定点的情况下，该稳定点便是所求
极值点．
例 ２ 设某一行业的垄断者面临的需 求函数和成 本 函 数 分 别 是 P＝１ ００－ ３Q＋
４ 姨A 和 TC＝４Q２＋１ ０Q＋A，其中，A 是厂 商的广告支出费用，求利润极大时的 A，Q 和 P 的值．
４４ 数学教育 SHUXUEJIAOYU
函数极值在经济学中的应用
安徽省蚌埠第五中学 代 峥
关键词：经济学 函数极值 应用
R＝ R（Q）＝ P（Q）Q．
又知 TC＝４Q２＋１ ０Q＋A，
经济学中有很多求最优量的问题，比
例 １ 某公司生产某产品的成本函数
则 MC＝（TC）＇＝（４Q２＋１ ０Q＋Ａ）＇＝８Q＋１ ０，
［Ｍ］． 上 海 ． 复 旦 大 学 出 版 社 ．２００３ 年 ． １ ９７￣ １ ９８ 页．２６４ 页
［３］ 华东师范大学数学系．数学分析． 上册［Ｍ］．北京．高等教育出版社．２００１ 年． ８８ 页
［４］ 华东师范大学数学系． 数学分析． 下册［Ｍ］．北京．高等教育出版社．２００１ 年． １ ３６ 页．１ ６４￣ １ ６５ 页
可以看出在（０，＋ ∞）内只有一个极大
《导数与函数的极值、最值》 知识清单
《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是函数的变化率，它反映了函数在某一点处的瞬时变化速度。
对于函数 y ＝ f(x)，其在 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝ lim₍Δx→0₎ f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
二、函数的极值1、极值的定义若函数 f(x) 在点 x₀附近有定义，且在 x₀处的函数值 f(x₀) 比它在x₀附近其他点的函数值都大（或都小），则称 f(x₀) 是函数 f(x) 的一个极大值（或极小值）。
极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
2、极值的判定设函数 f(x) 在 x₀处可导，且 x₀为极值点，则 f'（x₀) ＝ 0。
但需注意，f'（x₀) ＝ 0 时，x₀不一定是极值点。
例如，函数 f(x) ＝ x³，在 x ＝ 0 处导数为 0，但 x ＝ 0 不是极值点。
判断一个点是否为极值点，还需要考虑该点两侧导数的符号。
若在 x₀的左侧 f'（x) ＞ 0 ，右侧 f'（x) ＜ 0 ，则 x₀为极大值点；若在 x₀的左侧 f'（x) ＜ 0 ，右侧 f'（x) ＞ 0 ，则 x₀为极小值点。
三、函数的最值1、最值的定义函数的最大值是指函数在定义域内取得的最大函数值；最小值是指函数在定义域内取得的最小函数值。
2、求最值的方法（1）若函数在闭区间 a, b 上连续，则函数在 a, b 上一定有最大值和最小值。
（2）求函数在闭区间 a, b 上的最值，需要先求出函数在（a, b) 内的极值，再将极值与端点处的函数值 f(a) 、 f(b) 进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值。
四、利用导数求函数极值与最值的步骤1、求函数的定义域。
2、求导数 f'（x) 。
3、令 f'（x) ＝ 0 ，求出函数的驻点（导数为 0 的点）和不可导点。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
数学3 考研经济应用题(导数和微分在经济学中的简单运用)
导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x x x c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
《导数的概念及应用》课件
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数的概念、导数公式与应用
导数的概念、导数公式与应用在我们学习数学的过程中，导数是一个极其重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学、经济学等众多学科中发挥着关键作用。
让我们一起来深入了解一下导数的概念、导数公式以及它的各种应用。
首先，我们来谈谈导数的概念。
导数可以简单地理解为函数在某一点的变化率。
想象一下，你正在开车，车速表显示的就是汽车行驶速度的瞬时变化率，而这个变化率在数学中就可以用导数来表示。
假设我们有一个函数 f(x) ，那么函数在点 x₀处的导数记作 f'（x₀) 。
从几何角度来看，导数就是函数图像在该点处切线的斜率。
比如说，对于一个直线函数 y ＝ mx ＋ b ，它的斜率 m 就是其导数。
但对于更复杂的函数，如二次函数、三角函数等，求导数就没那么直观了。
那么，导数是怎么计算的呢？这就涉及到导数公式。
常见的基本导数公式有：1、常数函数的导数为 0 ，即若 f(x) ＝ C （ C 为常数），则 f'（x) ＝ 0 。
2、幂函数的导数，若 f(x) ＝xⁿ ，则 f'（x) ＝n xⁿ⁻¹。
3、指数函数的导数，若 f(x) ＝eˣ ，则 f'（x) ＝eˣ 。
4、对数函数的导数，若 f(x) ＝ ln x ，则 f'（x) ＝ 1 ／ x 。
这些只是导数公式中的一部分，通过这些基本公式，再结合导数的运算规则，如加法法则、乘法法则、链式法则等，我们就能够求出各种复杂函数的导数。
接下来，让我们看看导数在实际中的应用。
在物理学中，导数有着广泛的应用。
比如，位移对时间的导数就是速度，速度对时间的导数就是加速度。
通过对位移函数求导，我们可以得到物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度，这对于研究物体的运动状态至关重要。
在经济学中，导数可以用来分析成本函数、收益函数等。
边际成本和边际收益就是成本函数和收益函数的导数。
通过研究边际成本和边际收益，企业可以做出更合理的生产和销售决策，以实现利润最大化。
导数概念讲解高中数学
导数概念讲解高中数学导数是高中数学中非常重要的概念之一。
它与函数的变化率和切线有着密切的关系，被广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和工程学等。
导数的概念可以通过求函数的斜率来理解。
对于给定函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的斜率。
具体而言，导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)]/h其中，lim代表极限运算，h表示自变量x的增量。
这个公式的意义是，在极限情况下，当h趋近于0时，函数f(x)在x点的变化率可以用斜率来近似表示。
通过导数，我们可以研究函数的变化规律。
导数为正表示函数在该点上升，为负表示函数在该点下降，为零表示函数取得极值。
此外，导数还可以帮助我们求解函数的最大值和最小值，以及确定函数的凹凸性。
导数还与切线密切相关。
对于函数f(x)，在给定点x处的导数就是函数曲线在该点的切线的斜率。
这意味着，通过求导，我们可以得到函数曲线在任意点的切线方程。
这一概念在物理学中尤为重要，因为它可以帮助我们理解物体在运动中的速度和加速度。
在实际应用中，导数有着广泛的用途。
例如，在经济学中，通过求函数的导数，我们可以确定生产函数的边际产出率，从而找到最优的生产方案。
在物理学中，导数可以用来描述物体的运动轨迹和力学性质。
在工程学中，导数可以用来优化设计和预测系统的性能。
总之，导数是高中数学中一个非常重要的概念。
它不仅可以帮助我们理解函数的变化规律和切线性质，还可以应用于各个领域的实际问题中。
因此，对于学习数学的学生来说，深入理解和掌握导数的概念是至关重要的。
高三数学专题复习课件：3.3导数在函数最值及生活实际中的应用
3
解得 a=- ,b=0.
1
3
因此 f(x)=- x3+x2.
考点一
考点二
考点三
考点四
-1212
探究突破
1
3
(2)由(1)知 g(x)=- x3+2x,所以 g'(x)=-x2+2.
令 g'(0)=0,
解得 x1=- 2,x2= 2,则当 x<- 2或 x> 2时,
g'(x)<0,从而 g(x)在区间(-∞,- 2],[ 2,+∞)上是减函数;
边长为(
)
3
3
A.
B. 2
3
3
C. 4
D.2
h=
设底面边长为 x,则高为
3
4
∴表面积 S(x)= x2×2+x·
3 2
4
关闭
3 2
4
,
3
2
×3= x2+
1
3
4 3V
,
3
令 S'(x)= 3x-4 3V· 2 =0,得 x= 4,∴S(x)在( 4,+∞)上是单调递增的,
3
值;
f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,
梳理自测
4-4-
想一想你能说出函数的最值与极值的联系和区别吗?
答案:(1)“最值”是整体概念,是比较整个定义域或区间内的函数
值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近
函数值得出的,具有相对性.
(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数往往帮助我们了解函数的趋势、寻找最值以及解决各种实际问题。
本文将介绍导数的定义和性质，并探讨导数在不同领域的应用。
首先，我们来定义导数。
对于一个函数f(x)，其在点x处的导数可以用极限的概念表示为：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$其中h为趋近于0的实数，表示两个点在x轴上的距离。
导数表示函数在该点处的瞬时变化率，即函数曲线在该点处的切线的斜率。
接下来，我们来讨论导数的性质。
导数具有以下几个基本性质：1. 可导性：如果函数f(x)在某一点x处可导，那么该点必须存在极限$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$同时，如果函数在某一区间内的每一个点都可导，那么函数在这个区间内是可导的。
2. 关于导函数的连续性：在某一点x处可导等价于该点处的导函数f'(x)存在。
3. 导数的加减法规则：设函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和、差和常数倍均可导，且有如下公式：$$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$$$$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$$其中c为常数。
4. 导数的乘法法则：设函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积也可导，且有如下公式：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$5. 导数的链式法则：设函数f(x)和g(x)都可导，则复合函数h(x) = f(g(x))也可导，且有如下公式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这条法则非常重要，可以用来求复合函数的导数。
多元函数的极值与最大值最小值
多元函数的极值与最大值最小值多元函数的极值与最大值最小值是数学分析领域中重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要确定一个函数在给定条件下的最大值或最小值，这对于优化问题求解、经济学建模、物理学模型等都具有重要的应用价值。
本文将介绍多元函数的极值和最大最小值的概念、求解方法以及一些实际应用。
一、多元函数的极值多元函数是指含有两个或多个自变量的函数，通常表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn为自变量。
对于多元函数来说，极值的概念与一元函数类似，都是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
1.1 局部极值多元函数的局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
对于局部极值点(x1,x2,...,xn)，满足以下条件：1) 在(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内，函数值在该点处达到极值；2) 对于(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内的任一点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)，函数值均小于(或大于)在(x1,x2,...,xn)点处的函数值。
寻找多元函数的局部极值需要使用偏导数的概念。
偏导数是指将多元函数对某一个变量求导时，将其他变量视为常数进行求导。
具体计算方法为在函数中对每个自变量分别求偏导数，然后令偏导数等于零，解方程组找到所有偏导数为零的点，即为可能的极值点。
再通过二阶偏导数的符号确定每个极值点的极值类型。
1.2 全局极值多元函数的全局极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
与一元函数的全局极值类似，全局极值点是指函数在整个定义域中取得最大值或最小值的点。
寻找多元函数的全局极值需要通过计算函数的驻点和边界上的函数值，并比较它们的大小。
驻点是指函数的偏导数为零的点，边界上的函数值可以通过限制条件将多元函数转化为一元函数，然后使用求一元函数的最大值或最小值的方法进行求解。
根据驻点和边界上的函数值，比较它们的大小即可确定全局极值。
二、多元函数的最大值与最小值在实际问题中，我们经常需要求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值，这可以通过求解最优化问题来实现。
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，
求价格为100时的需求弹性并解释其 求价格为 时的需求弹性并解释其 经济含义． 经济含义．
实训9[供给弹性 实训 供给弹性] 供给弹性 设某商品的供给函数为 S ( p ) = −2 + 2 p ， 求价格为 p = 5 时的供给价格弹性并 解释其经济含义． 解释其经济含义．
2、弹性分析 、
∆y / y x ' 可导， 可导，则称 ∆xlim 0 ∆x / x = y y →
设函数 y = f (x) 为函数
f (x )在点 x
处的弹性，记作 处的弹性，
x dy E= y dx
实训6【产品的利润】 实训 【产品的利润】设某产品产量 单位： 时的总成本函数 时的总成本函数(单 为 q (单位：吨)时的总成本函数 单 单位 位：元)为 C (q) = 1 000 + 7q + 50 q 为 产量为100吨时的总成本； 吨时的总成本； 求 (1)产量为 产量为 吨时的总成本 (2)产量为 产量为100吨时的平均成本； 吨时的平均成本； 产量为 吨时的平均成本 (3)产量从 产量从100吨增加到 吨增加到225吨时，总 吨时， 产量从 吨增加到 吨时 成本的平均变化率； 成本的平均变化率； (4)产量为 产量为100吨时，总成本的变化率 吨时， 产量为 吨时 (边际成本 边际成本). 边际成本
三、导数在经济分析中的应用
1．边际分析 ． 在经济学中， 在经济学中，函数 的导数 的边际函数．相应地， 为 f ( x) 的边际函数．相应地，f ( x ) 就被称 处的边际值（简称边际） 为在 x0 处的边际值（简称边际）
f ( x)
' 0
f ' ( x) 也被称
经济学中常用的边际有：边际成本、 经济学中常用的边际有：边际成本、 边际收入、 边际收入、边际利润
实训4【公寓租金】某公司有 套公寓 实训 【公寓租金】某公司有50套公寓 要出租，当租金定为每月180元时，公 元时， 要出租，当租金定为每月 元时 寓会全部租出去，当租金每月增加10元 寓会全部租出去，当租金每月增加 元 就有一套租不出去， 时，就有一套租不出去，而租出去的房 子每月需花费20元的维修费 元的维修费， 子每月需花费 元的维修费，问房租定 为多少时可获得最大收入？ 为多少时可获得最大收入？
实训7【产品收入】 实训 【产品收入】设某产品的 需求函数为 q = 100 − 5 p ,求边际 求边际 收入函数， 收入函数，以及当 q = 20 、50和 和 70时的边际收入． 时的边际收入． 时的边际收入
实训8[需求弹性 实训 需求弹性] 需求弹性 设某商品的需求函数为
Q = 3 000e − 0.02 p
实训5【产品的最大利润】 实训 【产品的最大利润】 设某产品的价格与需求的关系 为 p = 250 − 0.3q ，总成本函 ），求当 数 C (q ) = 100q + 1800（元），求当 产量和价格分别是多少时， 产量和价格分别是多少时，该 产品的利润最大， 产品的利润最大，并求最大利 润。
2.8最值与导数在经济领 最值与导数在经济领 域中的应用
一、最值的Leabharlann 念函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的最大值 或最小值在函数的极大（小）值 点处达到，或在 x = a 、 x = b 区间的端点、处取得，而函数的 极值点可能出现在驻点或导数不 存在的点．
∆x
二、求函数最值实训
实训1求函数 实训 在 [−3,3] 上的最大值和最小值.
q = 27 − 3 x
其中表示某种产品市场消费量的税率的百分 数，为市场消费量合价（单位：万元），求 消费量为多少时税收最多？并求出最大税收
实训3【产品的产量】设某产品的总成本 实训 【产品的产量】 C (q ) = q 3 − 9q 2 + 30q + 25 ， 其中 C 函数为 为成本(单元 千元)， 为产量(单位 单元： 单位： 为成本 单元：千元 ，q 为产量 单位： 单位： 吨)，求平均可变成本 y (单位：千元 的 ， 单位 千元)的 最小值． 最小值．
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 1
实训2［合理税率］ 实训 ［合理税率］为了合理征收营业税，税务部 门税收多少时才是合理的，如果税率高了，可能使 产品需求量下降到零，结果是无税可收．另一方面 如果不征收税，则一点税收没有．因此，需要研究 最大税率问题使税收最优化．税务部门聘请数学教 师经过长时间的市场调研得出某种产品市场消费和 税率之间关系是： 2