函数的最大值最小值问题
函数的最大值和最小值题解
函数的最大值和最小值例1.设x是正实数，求函数的最小值。
解：先估计y的下界。
又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。
说明本题是利用“配方法”先求出y的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。
“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。
例如，本题我们也可以这样估计：但y是取不到-7的。
即-7不能作为y的最小值。
例2. 求函数的最大值和最小值。
解去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.当时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)³0, y2+3y--4£0,所以-4£y£1又当时，y=-4;x=-2时，y=1.所以y min=-4，y max=1.说明本题求是最值的方法叫做判别式法。
例3.求函数，xÎ[0,1]的最大值解：设，则x=t2-1y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1原函数当t=时取最大值例4求函数的最小值和最大值解：令x-1=t()则y min=例5.已知实数x,y满足1£x2+y2£4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解：∵∴又当时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6又因为∴又当时f(x,y)=，故f(x,y)min=例6.求函数的最大值和最小值解：原函数即令(0<t£1) 则y=5t2-t+1∴当x=±3时，函数有最小值，当x=0时，函数取最大值5例7.求函数的最大值解：设，则f(x)=由于0£a<1,故f(x)£，又当x=(k为整数)时f(x)= ,故f(x)max=例8.求函数的最大值解：原函数即在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则f(x)=|PA|-|PB|£|AB|=又当时，f(x)=故f max(x) =例9.设a是实数,求二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，当0£a2-4a-2£10中变动时，求m的最大值解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a由0£a2-4a-2£10解得：或£a£6故当a=6时，m取最大值18例10.已知函数f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。
高一数学函数的最大(小)值
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的 函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减， 在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
讲授新课
函数最小值概念：
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
是函数f (x)的一个 .
例2 已经知函数y＝
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
例2 已经知函数y＝
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
x
2 1
O
1
2
3
4
5
6 y
例3.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
课1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
思考题：
1.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ (1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1.
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
3.5 函数的极值与最大值最小值
因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值
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例4已知f(x)x3+ax2bx在x=1处有极值-12,试确定常系数a与b 解 因为f(x)x3+ax2bx,所以 f (x)3x2+2ax+b 因为f(1)=-12为极值点,所以,令f (1)0
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三、数学建模——最优化问题
1.数学建模 数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表 刻画客观事物的本质的属性、结构与联系。创建一个 数学模型的全过程称为数学建模。为解决一个实际问 题，建立数学模型是一种有效的重要方法．
2.最优化模型 给定一个函数(称为目标函数)，寻找自变量的一个取值使得 对于定义域中所有的情况中，目标函数取得最小值或者最大 值．
f (x)
f(x)
↗
不可导
极大值0
↘
0
极小值
1 2
↗
(4)函数f(x)在区间( 0)和(1 )单调增加, 在区间 (0 1)单调减少. 在点x0处有极大值0，在点x1处有极小值-1/2
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定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 >>>证明 (2)当f (x0)0时 函数f(x)在x0处取得极小值
M
注意：极值在哪些点处取得？
m
驻点 + 奇点
x1 x2
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x3 x4 x5
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最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这此点
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
求函数的最大值和最小值方法归纳总结
函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。
例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。
3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。
将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。
例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。
通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。
例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。
将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。
函数的最大值和最小值(高一学生适用)
函数的最大值和最小值问题（高一）一．填空题：1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。
1()f x x=，[]1,3x ∈的最小值是 。
2.函数y =的最小值是 ，最大值是3.函数212810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3,2,1y x x x=-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .8.函数()21f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
函数的最大值最小值问题
在( a,b )内可导，且有唯一驻点 x0 ．如果能根据实际 问题的性质可以断定 f (x) 确有最大（小）值，而且一
定在区间内部取得，那么 f (x0 ) 必为最大（小）值．
例 一房地产公司有 50 套公寓要出租.当月租金为 1 000 元时，公寓会全部租出去.当月租金每增加 50 元 时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月 需花费100 元的维修费.试问房租定为多少可获得最 大收入？
令
f
(x)
0 ，解得
x
1 2
；而
f
1 2
0，
f
(1)
1,
f
(0)
1,
f
1 2
1 2 p1
为最小值，故
x [0,1]
，原不等式
1 2 p1
xp
(1
x) p
1
成立。
第四节 函数的最大值 最小值问题
01
02
03
04
在很多学科领域与 实际问题中，
常遇到在一定条件 下
如何用料最省、成本最 低、时间最短、效益最
高等问题，
这类问题我们称为 最优化问题.
05
06
07
在数学上，它们归 结为
求某一个函数（称为目 标函数）在某个范围内
的最大值、
最小值问题（简称 为最值问题）．
y
y
y
oa
我们来看一下下面的几 幅图：
b x COoNaTENTS b x
oa
bx
通过观察可以发现，函数在[ a,b ]上的最大值和最小值， 只可能在区间内的极值点和区间端点处取得．因此，
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§ 4函数的最大值最小值问题
最值与极值的重要区别： 极值是一点X 。
局部的形态;
最值是某区间整体的形态。
先讨论必要
性： X 。
是f (x)在(a b 内的最大(小)值,
=X 。
必是f (x)在(a,b)的极大(小)值点,
=X 。
是f (x)的稳定点或不可导点.
稳定点
f(x)在［a,b ］的可能的最值点：S 不可导点
,区间端点
F 面就两种常见的情形给出判别法，以最大值为例说明.
1 •闭区间情形
设f (x)在a,b 1连续，这时f (x)在l.a, b 1必有最大值.
则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较 (如果可能的 话)，最大者即是最大值.
2.开区间情形
设f(x)在(a,b)可导，且在(a,b)有最大值.若在(a,b)内有唯一的 稳定点X 。
，则X 。
是最大值点.
注意强调最值的存在性
例1 一块边长为a 的正方形，在四个角上截去同样大小的正方形, 做成无盖的盒，问截去多大的小方块能使盒的容积最大？
图5-13
解设x为截去的小方块的边长，则盒的容积为
V(x)二x(a 2,) ,x 100,)
显然，V(x)在(0,a)可导，且
2
' 2
V (x) =(a _2x) _4x(a _2x) =(a_2x)(a _6x)
令V (x) = 0得x =—或x =—。
因此在(0,—)中有唯一一的稳定点—o
2 6 2 6
由实际问题本身知V(x)在(0,-)中必有最大值，故知最大值为
2
V(—) -a3。
即截去的小的方块边长为-时，盒的容积最大。
6 2
7 6
例2求函数f (x) = 2x3 -9x2 +12x在1-1,3】的最大值和最小值
解2x3-9x212x =x 2(x-9)2 15，
IL 4 8
因此f(x) =(2x3-9x2 12x)sgnx,x 〔-1,3 1，
f (x) =(6x2-18x 12)sgn x = 6(x-1)(x -2)sgn x, x (T,0) _• (0,3) 故f (x)的稳定
点为x=1,x=2，不可导为x=0。
比较所有可能的最值点的函数值：
f(-1)= 2 3f, (0) f 0, =(1f) 5〒(f2) =4,
即得最大值为f(-1) = 23，最小值为f(0)=0。
例3 在正午时，甲船恰在乙船正南82处，以速度V1=20km h向正东开出；乙船也正以速度v =16km h向正南开去(图5—15).已知两船航向不变，试证：下午二时，两船相距最近.
图5-15 证明设t小时后，两船相距y(t)公里，则显然有
y(t) »(20t)2(82-16t)2，t 0
求y(t)的最小值等价于求y2(t) ? f (t)的最小值。
f (t) =800t -32(82 -16t)二
令f (t) 0的唯一稳定点t = 2 o
比较t =0和t = 2点的值：
2
f (0)=82 =6724，f (2) =4100，lim f(t)二二
故t =2时函数达到最小值，即下午二时，两船相距最近y(2)=10 .. 41 .
例4做一个圆柱形无盖铁桶，容积一定，设为 V 0 .问铁桶的底半径与 高的比例应为多少，才能最省铁皮？
图 5~14
解 设铁桶底半径为r ，高为h (见图5—14)，则所需铁皮面积为 s = 2 二 rh 二 r 2
利用巳知条件V 。
二二r 2h ，得h 二竺.贝U 面积s 可化为r 的函数
兀r
s(r)二 2V ^ 二 r 2,0 ::: r ::
r
于是问题化为求函数s 在(0j ：：)内的最小值问题.
2 二 r ‘ -2V 0
2 r
令s(r) =0,得到唯一的稳定点 O 乂，又由实际问题本身知s(r)在 I
s(r)= 2V o (0,匸：)必有最小值，从而唯一的稳定点 r 。
必是最小值点，此时有
即当底半径r与高h相等，均为3 时，最省铁皮
例4根据物理学的费马原理，光线沿着所需时间为最少的路线传播.今有I 两种介质，以L为分界线.光在介质I与介质U中的传播速度分别为v1和v2。
问：光线由介质I中的点A到介质U中的点B，应走哪一条路线?
解取分界线L所在直线为Ox轴.过A，B作L的垂线，设垂足为A , B i，设AA, =a,BB i =b,A B i =c,并选定A为坐标原点0(图5-16)。
光线在同一介质中的传播途径应当是直线。
设想光线从点A到点B 所走的路线通过L上的点M , M的坐标为X。
于是问题化为，当x取何值时，折线AMB才是光线所有的路线。
光线从点A到达点B所需的时间为
图5-16
丄AM BM ' a2|J x2，b2©(c-x)2, 一
t (-：-：：： x ”Q) v, v2v(v2
根据费马原理，我们要求的是上述函数t = f (x)的最小值.
「'(x)—X=
dx g. a2 x2 V2 b2 (c - x)2
可写为 1 A,M 1 B,M
V| AM v2 BM
即sin t sin -v1v2
或
s i n v1
sin： v2
c- X
2
2
2\2
b2薯f"(x)二
¥(a2+x2)2V2 b2+
因为f(X)恒为正，所以f(X)在(-：：,-:: 3
2 (c-x厂
)上严格单调上升，从而方程f (x) =0至多有一个根，即函数t=f(x)至多有一个稳定点.又因为
f (x)是X的连续函数，且
f g V2_b^c2：：0，
c
f (c)
0 ，
所以方程f (x) =0的根位于区间(0,c)内，记作x0.这就是函数t = f (x)
的唯一稳定点.已知f"(x)恒为正，因此f"(x。
).0，于是由极值第二充
分条件，f (人)为函数t = f(x)的极小值.又lim f (x) ±•：-，x_^oc
驭f(x)=P
因而连续函数t二f(X)的最小值必在(-匕，•：：)内部达到.于是可以断定,
唯一的极小值f(x°)就是最小值.这表明，当点M的横坐标x=x°时,
折线就是AMB光线所走的路线.
上面的时沦只告诉我们：X^ (0,c)，并不知道X0的具体数值.求出
X。
X。
的值比较困难，不过实际上并不需要，我们可以从几何上作如下说明:
X)所满足的方程f'(x)二
X
v^ a2x2
c -x
v2 . b2(c _ x)2。