人教版数学高二-人教A版选修4-5练习第二讲复习课

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高中数学第二讲讲明不等式的基本方法复习课学案新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学

第二讲讲明不等式的基本方法复习课学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范．1．比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件．证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号．2．综合法综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论．证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．3．分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．4．反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题．5．放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.类型一比较法证明不等式例1 若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．证明 ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2－2(xy ＋yz ＋zx ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bax 2＋a by 2－2xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c by 2＋b cz 2－2yz ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ax －a b y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c by －b c z 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a cz －c a x 2≥0， ∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立．反思与感悟作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．跟踪训练1 设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2.证明 a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn ≥0，∴a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2. 类型二综合法与分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋，因此只需证(a ＋b ＋c )2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ，由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)可知，原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc，在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1， ∴要证原不等式成立，只需证1abc≥a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca . ∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．反思与感悟证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁．跟踪训练2 已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 证明方法一要证1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0，只需证1a －b ＋1b －c ＞1a －c. ∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c＞0，∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c成立， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0成立．方法二 ∵a ＞b ＞c ， ∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c ＞0， ∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c ， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 类型三反证法证明不等式例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx<2中至少有一个成立．证明假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．反思与感悟反证法的“三步曲”：(1)否定结论．(2)推出矛盾．(3)肯定结论．其核心是在否定结论的前提下推出矛盾．跟踪训练3 已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )＜f (b )＋f (－a )，求证：a ＜b .证明假设a ＜b 不成立，则a ＝b 或a ＞b .当a ＝b 时，－a ＝－b ，则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a ＞b 时，－a ＜－b ，由函数y ＝f (x )的单调性，可得f (a )＞f (b )，f (－b )＞f (－a )，于是有f (a )＋f (－b )＞f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． ∴a ＜b .类型四放缩法证明不等式例4 已知n ∈N ＋，求证：2(n ＋1－1)＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n .证明 ∵对k ∈N ＋，1≤k ≤n ，有 1k ＝22k＞2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )，∴1k＞2(k ＋1－k )． ∴1＋12＋13＋…＋1n＞2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)．又∵对于k ∈N ＋，2≤k ≤n ，有 1k ＝22k＜2k ＋k －1＝2(k －k －1)，∴1＋12＋13＋…＋1n＜1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n －n －1)＝2n －1＜2n . ∴原不等式成立．反思与感悟放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．跟踪训练4 设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]，求证：|f (a )－f (b )|≤|a －b |. 证明 |f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1|， ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1，∴0≤a ＋b ≤2，－1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.1．已知p: ab ＞0，q ：b a ＋a b≥2，则p 与q 的关系是( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．以上答案都不对答案 C解析由ab ＞0，得b a ＞0，a b＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，又b a ＋a b≥2，则b a ，a b必为正数， ∴ab ＞0.2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12答案 D解析假设a ，b ，c 都小于12，则a ＋2b ＋c <2与a ＋2b ＋c ＝2矛盾． 3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96，∵9＞8，∴b ＞a .b 与c 比较：b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315，∵35＞53，∴b ＞c .a 与c 比较：a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510，∵32＞25，∴a ＞c .∴b ＞a ＞c ，故选C.4．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．证明∵(a＋b)(a n＋b n)－2(a n＋1＋b n＋1)＝a n＋1＋ab n＋ba n＋b n＋1－2a n＋1－2b n＋1＝a(b n－a n)＋b(a n－b n)＝(a－b)(b n－a n)．(1)若a＞b＞0，则b n－a n＜0，a－b＞0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(2)若b＞a＞0，则b n－a n＞0，a－b＜0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(3)若a＝b＞0，(b n－a n)(a－b)＝0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．1．比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号．2．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法．3．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab 得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4 (a≥0)，则P与Q的大小关系为( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，即P <Q .4．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤b D ．a ≥b答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n )2≥0， ∴a ≥b .5．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d答案 B解析将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad . 6．若A ，B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R ，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 二、填空题7．lg9·lg11与1的大小关系是________．答案 lg9·lg11＜1 解析 ∵lg9＞0，lg11＞0，∴lg9·lg11＜lg9＋lg112＜lg992＜lg1002＝1.∴lg9·lg11＜1.8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________．答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1， ∴(x －1)(x 2＋1)＞0. ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.9．用反证法证明“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 是锐角”时，应假设________．答案 ∠B 不是锐角解析 “∠B 是锐角”的否定是“∠B 不是锐角”．10．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1760解析设水池底长为x (x ＞0)m ，则宽为82x ＝4x(m)．水池造价y ＝82×120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ×2＋8x ×2×80＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋1 280＝1 760(元)，当且仅当x ＝2时取等号．三、解答题11．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明因为1n2＜1n (n －1)＝1n －1－1n(n ∈N ＋，n ≥2)，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n＜2. 所以原不等式得证．12．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N ＋)，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 证明 ∵n (n ＋1)＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＞1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 又n (n ＋1)＜(n ＋1)＋n 2＝2n ＋12， ∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＜32＋52＋…＋2n ＋12＝n 2＋2n 2＜(n ＋1)22. ∴n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 四、探究与拓展13．已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，若a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，则等号成立的条件为________．答案 ay ＝bx解析 a 2x ＋b 2y －(a ＋b )2x ＋y＝a 2y (x ＋y )＋b 2x (x ＋y )－xy (a ＋b )2xy (x ＋y )＝(ay －bx )2xy (x ＋y )≥0，当且仅当ay ＝bx 时等号成立．14．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13. (1)解令n ＝1，得S 21－(－1)S 1－3×2＝0，即S 21＋S 1－6＝0，所以(S 1＋3)(S 1－2)＝0，因为S 1＞0，所以S 1＝2，即a 1＝2.(2)解由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，得(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0，因为a n ＞0(n ∈N ＋)，S n ＞0，从而S n ＋3＞0，所以S n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n (n ∈N ＋)．(3)证明设k ≥2，则1a k (a k ＋1)＝12k (2k ＋1)＜1(2k －1)(2k ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1，所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋1a 3(a 3＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜12×3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝16＋16－12(2n ＋1)＜13. 所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.。

人教A版数学选修4-5第2讲 1

Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
即an＋1＝2an＋1
从而an＋1＋1＝2(an＋1).
数学
当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，
选修
∴a1＋a2＝2a1＋6.
人教 A 版
① ②
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4-5 ·
第二讲证明不等式的基本方法
又 a1＝5，故 a2＝11，
从而 a2＋1＝2(a1＋1).
[分析] 由于不等式两边对数的底数不同，故不宜采用作差比较法，解答本题可采用作商比较法.
[解析] ∵a>2，∴a－1>1，
∴loga(a－1)>0，log(a＋1)a>0，
数学选
由于lologgaaa＋－1a1＝loga(a－1)·loga(a＋1)
修
人教
<[logaa－1＋2 logaa＋1]2＝[logaa22－1]2.
2f′(1)与23n2－13n的大小.
数学
[分析] 大比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随
选修
“n”的变化而变化.
人教 A 版
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4-5 ·
4-5 ·
第二讲证明不等式的基本方法
[解析] (1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5， ∴n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4， ①②两式相减，得
(3)运用放缩法证明命题时要注意放缩必须适度，放得过大或缩得过小都不能
够达到证明命题的目的. 放缩时使用的主要方法有：
①舍去或加上一些项，如：(x＋12)2＋34>(x＋12)2.
②将分子或分母放大(或缩小)，如：k12<kk－1 1，k12>kk＋1 1，
数

人教A版数学选修4-5同步指导课件：第二讲参数方程二

证明：|F1P|· |F2P|＝|OP|2.
证明
类型三例4
抛物线的参数方程
2 x＝8t ，已知抛物线C的参数方程为 (t为参数).若斜率为1的直线经过 y＝8t
2 抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝_____.
解析由题意知抛物线的普通方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，
解答
命题角度2 利用参数方程求轨迹方程 x2 y2 例 2 已知 A， B 分别是椭圆36＋ 9 ＝1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该椭
圆上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹方程.
解答
反思与感悟
本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹
方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便.
解答
反思与感悟
利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利
用辅助角公式转化为三角函数求解.
跟踪训练1
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程
x＝2cos φ，已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数)，以坐标 y＝3sin φ
是 ρ ＝ 2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A， B， C， D依逆时针次 π 序排序，点A的极坐标为 . 2， 3
A.2
B.3
C.4
D.5 √
1
2
3
4
5
答案
x＝－1＋cos θ， 3.曲线 (θ为参数)的对称中心 y＝2＋sin θ
A.在直线y＝2x上 C.在直线y＝x－1上解析
B.在直线y＝－2x上 √ D.在直线y＝x＋1上

人教新课标版数学高二-练习2014版高中数学选修4-5练习第二讲证明不等式的基本方法

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单元质量评估(二)第二讲（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设m>n,n∈N+,x>1,a=(lgx)m+(lgx)-m,b=(lgx)n+(lgx)-n,则a与b的大小关系为( )A.a≥bB.a≤bC.与x的值有关,大小不定D.以上都不正确2.已知a>b>c>0,A=a2a b2b c2c,B=a b+c b c+a c a+b,则A与B的大小关系是( )A.A>BB.A<BC.A=BD.不确定3.(2013·威海高二检测)使不等式+>1+成立的正整数a的最大值是( )A.10B.11C.12D.134.(2013·杭州高二检测)已知b>a>0,且a+b=1,则( )A.2ab<<<bB.2ab<<<bC.<2ab<<bD.2ab<<b<5.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是( )A.a>c≥bB.c≥b>aC.c>b>aD.a>c>b6.用反证法证明命题“如果a<b,那么>”时,假设的内容是( )A.=B.<C.=且<D.=或<7.已知正整数a,b满足4a+b=30,则使得+取最小值时的实数对(a,b)是( )A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)8.已知△ABC中,∠C=90°,则的取值范围是( )A.(0,2)B.C. D.9.若实数a,b满足0<a<b且a+b=1,则下列四个数中最大的是( )A. B.a2+b2 C.2ab D.a10.设a,b,c,d∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有( )A.ad=bcB.ad<bcC.ad>bcD.ad≤bc11.在△ABC中,A,B,C分别为a,b,c所对的角,且a,b,c成等差数列,则B满足的条件是( )A.0<B≤B.0<B≤C.0<B≤D.<B<π12.已知a,b为非零实数,则使不等式:+≤-2成立的一个充分而不必要条件是( )A.ab>0B.ab<0C.a>0,b<0D.a>0,b>0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.实数x,y满足=x-y,则x的取值范围是.14.设a,b为正数,α为锐角,M=,N=(+)2,则M,N的大小关系是.15.若a>b>c>0,n1=,n2=,n3=,则n1n2,n2n3,,中的最小的一个是.16.如果a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a,b,c为三角形的三条边,求证:,,也可以构成一个三角形.18.(12分)若a>0,b>0,a3+b3=2,求证:a+b≤2,ab≤1.19.(12分)已知x,y∈R,且<1,<1,求证:+≥.20.(12分)(2013·泰安高二检测)若0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能同时大于1.21.(12分)(能力挑战题)已知数列{a n}满足:a1=,=,a n a n+1<0(n≥1,n∈N+),数列{b n}满足:b n=-(n≥1,n∈N+).(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)证明:数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列.22.(12分)(能力挑战题)已知数列{a n}满足a1=2,a n+1·a n(n ∈N+).(1)求a2,a3,并求数列{a n}的通项公式.(2)设c n=,求证:c1+c2+c3+…+c n<.答案解析1.【解析】选A.a-b=lg m x+lg-m x-lg n x-lg-n x=(lg m x-lg n x)-=(lg m x-lg n x)-=(lg m x-lg n x)=(lg m x-lg n x),因为x>1,所以lgx>0,当0<lgx<1时,a>b.当lgx=1时,a=b.当lgx>1时,a>b.综上a≥b.2.【解析】选A.因为a>b>c>0,所以A>0,B>0,所以==a a-b a a-c b b-c b b-a c c-a c c-b=.因为a>b>0,所以>1,a-b>0,所以>1,同理>1,>1.所以>1,即A>B.【变式备选】已知a>b>0,则下列各式中成立的是( ) A.= B.>C.<D.=【解析】选C.因为-==,因为a>b>0,a2>b2,所以b2-a2<0,即<0,所以<.3.【解析】选C.用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立.4.【解析】选B.(特殊值法)令a=,b=,则2ab=,=,=.5.【解析】选B.(a-2)2≥0⇒c≥b,又b=a2+1,所以b-a=a2-a+1=+>0.所以b>a.所以c≥b>a.6.【解析】选D.由反证法的特点可知D正确.7.【解析】选A.+==≥=,当且仅当=且4a+b=30,即a=5,b=10时,+取最小值.8.【解析】选C.因为∠C=90°,所以c2=a2+b2,即c=.又有a+b>c,所以1<=≤=.9.【解析】选B.因为a+b=1,a+b>2,所以2ab<,a2+b2>2=2×=,又0<a<b,且a+b=1,所以a<,所以a2+b2最大.10.【解析】选 C.|a-d|<|b-c|⇒(a-d)2<(b-c)2⇒a2+d2-2ad<b2+c2-2bc,又因为a+d=b+c⇒(a+d)2=(b+c)2⇒a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4ad<-4bc,所以ad>bc.11.【解析】选B.因为2b=a+c,所以cosB====-≥-=,因为cosB在上是减函数,所以0<B≤.12.【解题指南】解答本题可先利用基本不等式推出+≤-2成立的充要条件,再依据题意确定选项.【解析】选C.因为与同号,由+≤-2,知<0,<0,即ab<0,又若ab<0,则<0,<0,所以+=-≤-2=-2,综上,ab<0是+≤-2成立的充要条件,所以a>0,b<0是+≤-2成立的一个充分而不必要条件.13.【解析】由=x-y得x===y-1++2,当y>1时,x≥2+2=4,当且仅当y=2时取“=”,当y<1时,x≤-2+2=0,当且仅当y=0时取“=”,而y≠0,所以x<0. 答案:(-∞,0)∪[4,+∞).【拓展提升】求字母的取值范围问题(1)由已知式子求字母的取值范围时,一般情况下是将要求范围的字母用另一个字母表示,得到函数关系式,然后利用求值域的方法求解. (2)本题也可以用下面方法求解:由已知可得:⇒⇒x<0或x≥4.14.【解析】因为a>0,b>0,α为锐角,所以N=ab+2+2,M=ab+++≥ab+2+,又sin2α≤1,所以M≥ab+2+2=N,当且仅当a=b,且α=时,等号成立.答案:M≥N15.【解析】可以利用赋值法比较.令a=3,b=2,c=1,可得n1=,n2=,n3=,所以n 1n2=,n2n3=,=,=,故最小.答案:16.【解析】若a+b>a+b,则a(-)+b(-)>0,即(a-b)(-)=(-)2(+)>0,所以有a≠b,且a≥0,b≥0.答案:a≥0,b≥0且a≠b17.【证明】因为a,b,c为三角形的三条边,于是有a+b>c,a+c>b,b+c>a,又设f(x)==1-,它在上为单调增函数,所以f(c)<f(a+b),即<=+<+,同理<+,<+,所以,,也可以构成一个三角形.18.【证明】方法一:因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0.即(a+b)3≤23,又a+b>0,所以a+b≤2,因为2≤a+b≤2,所以ab≤1.方法二:设a,b为方程x2-mx+n=0的两根,则因为a>0,b>0,所以m>0,n>0,且Δ=m2-4n≥0. ①因为2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m(m2-3n), 所以n=-. ②将②代入①得m2-4≥0,即≥0,所以-m3+8≥0,即m≤2,所以a+b≤2,由2≥m得4≥m2,又m2≥4n,所以4≥4n,即n≤1,所以ab≤1.方法三:因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),于是有6≥3ab(a+b),从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b≤2(以下略). 方法四:因为-==≥0,所以对任意非负实数a,b,有≥.因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以1=≥,所以≤1,即a+b≤2(以下略).方法五:假设a+b>2,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]≥(a+b)ab>2ab,所以ab<1.又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab),且a3+b3=2,所以2>2(4-3ab),因此ab>1,前后矛盾,故a+b≤2(以下略).【拓展提升】不等式证明的一题多证问题关于不等式的证法,方法很灵活.在学习过程中,探究一题多解或一题多证对于开阔思路,提高逻辑思维能力很有帮助.19.【证明】因为<1,<1,所以>0,>0.所以+≥.故要证明结论成立,只需证≥成立,即证1-xy≥成立即可,因为(y-x)2≥0,有-2xy≥-x2-y2,所以(1-xy)2≥(1-x2)(1-y2),所以1-xy≥>0,所以不等式成立.20.【证明】假设(2-a)b>1,(2-b)c>1,(2-c)a>1,由题意知2-a>0,2-b>0,2-c>0,那么≥>1.同理,>1,>1,三式相加,得3>3矛盾,所以假设不成立.所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能同时大于1.21.【解析】(1)由题意知,1-=(1-),令C n=1-,则C n+1=C n,又C1=1-=,则数列{C n}是首项为C1=,公比为的等比数列,即C n=×,故1-=×⇒=1-×,又a1=>0,a n a n+1<0,故a n=(-1)n-1·,b n=-=-=×.(2)假设数列{b n}中存在三项b r,b s,b t(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{b n}是首项为,公比为的等比数列,于是有b r>b s>b t,则只可能有2b s=b r+b t成立.所以2×=+,两边同乘3t-1·21-r化简得2×2s-r·3t-s=3t-r+2t-r,由于r<s<t,所以上式右边为奇数,左边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾,故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列.22.【解题指南】解答第(1)题的关键是根据a n+1=2a n(n∈N+)证明数列为等比数列.第(2)题证明的关键是选准放缩的标准. 【解析】(1)因为a1=2,a n+1=2·a n(n∈N+),所以a2=2×·a1=16,a3=2×·a2=72.又因为=2·,n∈N +,所以为等比数列.所以=·2n-1=2n,所以a n=n2·2n(n∈N+).(2)c n==,所以c1+c2+c3+…+c n=+++…+<+++·=+·<+·=+==<=,所以结论成立.关闭Word文档返回原板块。

2020版高中数学高二选修4-5教案及练习归纳整理讲义02巩固练习不得关系与不等式提高

【巩固练习及参考答案解析】一、选择题1.“0ab ≥”是|a －b |＝|a |－|b |的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件2.已知a >b ,c >d ,且c 、d 不为0,那么下列不等式成立的是( )A.a d >b cB.a c >b dC.a －c >b －dD.a ＋c >b ＋d 3.不等式1<|x ＋1|<3的解集为( )A.(0,2)B.(－2,0)∪(2,4)C.(－4,0)D.(－4,－2)∪(0,2) 4.(2016 湖南校级模拟)设二次函数f(x)=ax 2-4x+c 的值域为[)0+∞， ,则19+c a的最小值为( ) A 3 B92C 5D 7( 二、填空题7.(2016 南通模拟)已知x ＞0,y ＞0,且2x+5y=20,则lgx+lgy 的最大值为 . 8.用20 m 长的铁丝折成一个面积最大的矩形,最大面积是__________. 9.不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为___________. 三、解答题10.(2016 武威校级模拟)已知关于x 的不等式22x+7x-1≥ 在x ∈(a,+∞)上恒成立,求实数a 的最小值。

11.已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5},求实数a 的值；(2)在(1)的条件下,若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.13.求证:不等式111a b a b a bab+≤+++++.14.(2016 桂林模拟)已知定义在R 上的函数f(x)=|x+1|+|x ﹣2|的最小值为m.(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若a,b,c 是正实数,且满足a+b+c=m,求证:a 2+b 2+c 2≥3.15.设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n ,用放缩法证明:2)1(2)1(2+<<+n a n n n .【答案与解析】 1.【参考答案】B【试题解析】|a －b |＝|a |－|b |≡a b >0,易知a b ≥0是a ≥b ≥0的必要不充分条件,故选B. 2.【参考答案】D【试题解析】由不等式的性质得到.3.【参考答案】D【试题解析】1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1,∴0<x <2或－4<x <－2.4.【参考答案】A【试题解析】由题意知,a>0,Δ=16-4ac=0,所以ac=4,c>0,则19+c a ≥，当且仅当19=c a 时取等号,则19+c a的最小值为3,故选A 。

【人教A版】高中数学(选修4-5)：全册配套课堂练习题(附答案)

第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1 比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒ab ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的a b＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27348＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C4.2a1＋a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)．答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( )A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3D ．不能确定解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a的大小关系是______________．答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a ＋b . 证明：证法一左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法二左边－右边＝ab＋ba－(a＋b)＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab ＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法三左边右边＝ab＋baa＋b＝（a）3＋（b）3ab（a＋b）＝a＋b－abab＝1＋（a－b）2ab≥1，所以ab＋ba≥a＋b.三层练习12．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得 0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．习题课不等式1．若a ，b ， c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( ) A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c 答案: D2．若1a <1b<0，则下列等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案: C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④ 答案: C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7答案: D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 答案: C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．7 答案: D7．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________．答案: 68．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0，2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0. ∴(xy －32)(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0， ∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案：189．(2014·上海高考文科)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为______．解析：当时x ＞0，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.答案：(－∞，2]．10．(2014·辽宁卷)对于c ＜0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为______．解析：因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值．故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1 答案：－111．(2014·湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时．解析：(1)依题意知，l ＞0，v ＞0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋12l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v ＋18v ＋100≤76 000v ＋100v＋18≤2 000，当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)10012．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1. 求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0. 又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y （x ＋y ＋z ）＝2，即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y （x ＋y ＋z ），xyz （x ＋y ＋z ）＝1时取等号．13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值；(2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值．解析：(1)y ＝x 2x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2（x －1）·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3.∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0.∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋3≤－2（1－2x ）·1（1－2x ）＋3＝1.当且仅当1－2x ＝11－2x ，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.14．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．解法二由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ，∵x ＞0，∴0＜y ＜6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y ，∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272，当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1 不等式1．1.1 不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案:＞0 ＝0 ＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.答案:＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N，且n ＞1)． (6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞nb (n ∈N，且n ＞1)．思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b . 思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b . 答案: 2．思考2：＞思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a－d＞b－c，从而有a d ＜b c.答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2. 答案：＜ 4．“a ＞b ”与“1a＞1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________．答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a |b |；③a 2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a ＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A12．设0<a b 3B.1a <1bC ．a b>1 D ．lg(b －a )<0 答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y(0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以 A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断 C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a clog a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________． A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c.∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．【金版学案】2015-2016学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式讲末检测新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 答案: D2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2解析：由a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ≥2ab 得0＜ab ≤1，令t ＝ab ，则t ∈(0，1]．因为y ＝t ＋1t在(0，1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝2.答案：A 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，∴(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，∴1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －ac＞0 C.b 2c ＞a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0可得b a ＞c a .故A 恒成立．∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －a c＞0.故B 恒成立．∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0.故D 恒成立．当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立．答案：C5．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：依题意知a ＞0，b ＞0，c ＞0，故2a＞1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＜1，∴log 12a ＞1，0＜log 12b ＜1，0＜log 2c ＜1，即0＜a ＜12，12＜b ＜1，1＜c ＜2，从而a ＜b ＜c .答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 答案：C7．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[4，5] 答案：A8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3 D ．k ≤－3 答案：B9．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －b ＋b －c )恒成立，所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [（a －b ）＋（b －c ）]min＝4. 答案：C10．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜1或x ＞2} D ．{x |1＜x ＜2} 解析：方法一当x ＜1时，2x －1＜0，不等式恒成立，故选C. 方法二 |x |＞2x －1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ]，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1，若函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则5－2m ＞1，则m ＜2，.故p ⇒q ，q ⇒ /p . 答案：A12．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |x ＞1} D ．{x |x ＞2}解析：因为|a －b |≤|a |＋|b |，其中等号成立的条件为ab ≤0，所以由原不等式成立得 2x ·log 2x ＞0，所以x ＞1. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝______________．解析：由集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}解出A ＝{x |－4≤x ≤5}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}＝{x |x ≥ －2}；故A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5} 14．已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012＝1，＝且x 1，x 2，…，x 2012都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)的最小值是________．解析：∵x 1是正数，∴1＋x 1≥2x 1，同理：1＋x 2≥2x 2，…，1＋x 2012≥2x 2012，各式相乘，得(1＋x 1)·(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012＝22012.等号成立的条件为x 1＝x 2＝…＝x 2012＝1.答案：2201215．设a ＞b .①ac 2＞bc 2；②2a ＞2b ；③1a ＜1b；④a 3＞b 3；⑤a 2＞b 2.其中正确的结论序号有________．解析：若c ＝0，①错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，则③⑤错．答案：②④16．若a ＋1＞0，则不等式x ≥x 2－2x －ax －1的解集为________．解析：由题意得x －x 2－2x －ax －1≥0∴x ＋ax －1≥0.又a ＋1＞0，∴－a ＜1， ∴x ≤－a 或x ＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a ]∪(1，＋∞)．答案：(－∞，a ]∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1.解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1，∴x －2x ＞1或x －2x ＜－1，∴x 2－x －2x ＞0或x 2＋x －2x＜0，∴－1＜x ＜0或x ＞2或x ＜－2或0＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或－1＜x ＜0或0＜x ＜1或x ＞2}．18．(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R? 解析：(1)当a ＝1时，原不等式可变形为 |x ＋3|＋|x －7|＞10，可解得其解集为 {x |x ＜－3或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|≥lg10＝1对任意x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时对任意x ∈R 都成立．19．(本小题满分12分)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值．解析：∵x ＞3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3＋x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号． ∴当x ＝4时，函数的最小值为5.20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且当x ∈[2，3]时，g (x )＝－x 2＋4x －4.(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|＜2|x 2－x 1|； (3)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|≤1. (1)解析：由题意知f (x ＋1)＝g (1－x )⇔ f (x )＝g (2－x )．当－1≤x ≤0时， 2≤2－x ≤3，∴f (x )＝－(2－x )2＋4(2－x )－4＝－x 2；当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，∴f (－x )＝－x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2（－1≤x ≤0），x 2（0＜x ≤1）.(2)证明：∵当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0＜x 1＋x 2＜2，∴|f (x 2)－f (x 1)＝|x 22－x 21|＝|(x 2－x 1)(x 2＋x 1)|＜2|x 2－x 1|.(3)证明：当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0≤x 21≤1，0≤x 22≤1，∴－1≤x 22－x 21≤1，即|x 22－x 21|≤1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＝|x 22－x 21|≤1.21．(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 的距离的最小值．解析：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立，所以O 点到l 的距离的最小值为2.22．(本小题满分12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析：(1)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64；(2)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时上式等号成立， ∴y max ＝92083(千辆/时)．第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______．答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______．答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．直接法答案：C3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定答案：B4．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1；当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n <13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)，所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾．当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1，此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾．综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾．因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝－3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0，因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14，所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有。

2020版人教A版数学选修4-5同步配套__第二讲参数方程2本讲整合

�� = cos��,
�� = 2 ��- 2,
C1':
�� = 1 sin�� (��为参数),C2':
2
2
�� = 2 ��
(��为参数).
4
化为普通方程
C1':x2+4y2=1,C2':y=
1 2
��
+
2,
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
应用1 求方程4x2+y2=16的参数方程.
(1)设y=4sin θ,以θ为参数;
(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数.
提示:对于(1),可直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x即可;
对于(2),可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解.
2
�� = 2 ��
2,
2
(��为参数).
(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2交点的个数; (2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半(横坐标不变), 分别得到曲线C1',C2'.写出C1',C2'的参数方程,C1'与C2'交点的个数和 C1与C2交点的个数是否相同?说明你的理由.
��
=
-1 +
2 2
��,
(��为参数)与该圆相交于��, ��两点, 则△ABC 的面积
��
=
3-
2 2
��
为
.

人教版数学高二-人教A版选修4-5练习 2.2综合法与分析法

第二讲证明不等式的基本方法2.2 综合法与分析法A级基础巩固一、选择题1．若a＞0，b＞0，则必有()A.b2a＞2b－a B.b2a＜2b－aC.b2a≥2b－a D.b2a≤2b－a解析：因为a2＋b2≥2ab，a＞0，所以a＋b2a≥2b，即b2a≥2b－a.答案：C2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则()A．x＋y≥2(2＋1) B．xy≤2＋1C．x＋y≤2(2＋1)2D．xy≥2(2＋1)解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，所以(x＋y)＋1＝xy≤⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋y22.所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，解得x＋y≥2(2＋1)．答案：A3．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( )A.2a ＋b a ＋2b ＞a bB.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b －1b D ．a a ＞a b解析：因为a ＞b ＞0，所以a 2＞b 2，所以b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2. 答案：B4．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ac ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2B ．(a ＋b ＋c )2≥3C.1a ＋1b ＋1c≥2 3 D ．abc (a ＋b ＋c )≤13解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，将三式相加，得2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac ，即a 2＋b 2＋c 2≥1.又因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ，所以(a ＋b ＋c )2≥1＋2×1＝3，故选项B 成立．答案：B5．已知a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞1，b ＞1时，两式相加得a ＋b ＞2，两式相乘得ab ＞1.反之，当a ＋b ＞2，ab ＞1时，a ＞1，b ＞1不一定成立．如：a ＝12，b ＝4也满足a ＋b ＞2，ab ＝2＞1，但不满足a ＞1，b ＞1.答案：B二、填空题6．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a ＋b )(a －b )2＞0⇔a ≥0，b ≥0，且a ≠b .答案：a ≥0，b ≥0，且a ≠b7．若1a ＜1b＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b＞2. 其中正确的不等式的序号为________．解析：因为1a ＜1b＜0，所以b ＜a ＜0，故②③错．答案：①④8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c 为斜边，则a ＋b c的取值范围是________．解析：因为a 2＋b 2＝c 2，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝2c 2，所以a ＋b c ≤2，又因为a ＋b ＞c ，所以a ＋b c＞1. 所以a ＋b c的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]三、解答题9．求证：7＜25－ 3.证明：21＜25⇒21＜5⇒221＜10⇒10＋221＜20⇒(7＋3)2＜(25)2⇒7＋3＜25⇒7＜25－ 3.所以原不等式成立．10．已知：a ，b 是不相等的正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1＜a ＋b ＜43. 证明：因为a ，b 是不相等的正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2.所以a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b .所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b .所以a ＋b ＞1.要证a ＋b ＜43，只需证3(a ＋b )＜4，只需证3(a ＋b )2＜4(a ＋b )，即3(a 2＋2ab ＋b 2)＜4(a 2＋ab ＋b 2)，只需证a 2－2ab ＋b 2＞0，只需证(a －b )2＞0，而a ，b 为不相等的正数，所以(a －b )2＞0一定成立．故a ＋b ＜43成立．综上所述，1＜a ＋b ＜43. B 级能力提升1．设a ＞0，b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4 B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b解析：因为a ＞0，b ＞0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 恒成立；a 3＋b 3≥2ab 2，取a ＝12，b ＝23，则B 不成立； a 2＋b 2＋2－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故C 恒成立；若a ＜b ，则|a －b |≥a －b 恒成立；若a ≥b ，则(|a －b |)2－(a －b )2＝2(ab －b )≥0，所以|a －b |≥a －b ，故D 恒成立．答案：B2．若n 为正整数，则2n ＋1与2n ＋1n的大小关系是________．解析：要比较2n ＋1与2n ＋1n 的大小，只需比较(2n ＋1)2与⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2的大小，即4n ＋4与4n ＋4＋1n 的大小．因为n 为正整数，所以4n ＋4＋1n＞4n ＋4. 所以2n ＋1＜2n ＋1n. 答案：2n ＋1＜2n ＋1n3．(2015·课标全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2即a＋b＋2ab>c ＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，因此|a－b|<|c－d|，综上所述a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。

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复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．比较法的一个易错点．忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类讨论．2．分析法和综合法的易错点．对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误．3．反证法与放缩法的注意点．(1)反证法中对结论否定不全．(2)应用放缩法时放缩不恰当．专题一比较法证明不等式比较法证明不等式的大致步骤是：作差(或商)—恒等变形—判断差的符号(或商与1的大小)，其中，恒等变形是关键，目的在于判断差的符号或商与1的大小．[例1]已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：因为2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又因为a≥b>0，所以a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，所以(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，所以2a3－b3－(2ab2－a2b)≥0，所以2a3－b3≥2ab2－a2b.归纳升华变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方、因式分解，可运用一切恒等变形的方法．[变式训练]已知a＞0，b＞0，a≠b，求证：a6＋b6＞a4b2＋a2b4.证明：因为a6＋b6－(a4b2＋a2b4)＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2)＝(a2－b2)(a4－b4)＝(a2－b2)(a2－b2)(a2＋b2)＝(a＋b)2(a－b)2(a2＋b2)．因为a＞0，b＞0，a≠b，所以(a＋b)2＞0，(a－b)2＞0，a2＋b2＞0，所以(a6＋b6)－(a4b2＋a2b4)＞0，所以a6＋b6＞a4b2＋a2b4.专题二综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误． [例2] 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，则a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 归纳升华用综合法证明不等式，可利用已经证过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式．[变式训练] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，所以1ab ≥4. 所以1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab＋4＝8，所以1a ＋1b ＋1ab≥8，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．专题三用分析法证明不等式分析法证明不等式的思维方法是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更为有效．[例3]求证：3＋6＜4＋ 5.证明：欲证3＋6＜4＋5，只需证(3＋6)2＜(4＋5)2，只需证9＋62＜9＋45，即证62＜4 5.只需证(62)2＜(45)2，即证72＜80.上式明显成立，所以原不等式成立．归纳升华1．分析法的格式是固定的，但是必须注意推演过程中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件．2．分析法是“执果索因”，逐步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[变式训练]已知a＞b＞0，求证：a－b＜a－b.证明：要证a－b＜a－b，即证a＜b＋a－b，只需证a＜b＋2（a－b）b＋a－b，只需证0＜2（a－b）b.由a＞b＞0知最后一个不等式成立，故原不等式成立．专题四用反证法证明不等式反证法常用于直接证明困难或结论以否定形式出现的命题，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题．[例4]若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.证明：法一：假设a＋b＞2，则a＞2－b，故2＝a3＋b3＞(2－b)3＋b3，即2＞8－12b＋6b2，即(b－1)2＜0，这不可能，假设不成立，从而a＋b≤2.法二：假设a＋b＞2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)＞8.由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)＞6.故ab(a＋b)＞2.又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，所以ab(a＋b)＞(a＋b)(a2－ab＋b2)，所以a2－ab＋b2＜ab，即(a－b)2＜0，这不可能，假设不成立，故a ＋b ≤2.归纳升华反证法是从否定结论出发，经过推理论证，得出矛盾，从而肯定原命题正确的证明方法，其步骤为：(1)分清命题的条件和结论，作出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论)．(2)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾．(3)断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不正确，于是原命题成立，从而间接证明了原命题为真命题．[变式训练] 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0. 证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则有a ＋b ＋c ≤0.因为a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)，所以a ＋b ＋c ＞0.这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故假设不成立．所以a ，b ，c 中至少有一个大于0.专题五用放缩法证明不等式在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些项，有时需要拆项、添项，使不等式的一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性达到证明的目的．运用放缩法证明的关键是放缩要适当，既不能太大，也不能太小． [例5] 设a ，b ，c ∈R ＋且abc ＝1，求证：11＋a ＋b ＋11＋b ＋c ＋11＋c ＋a≤1. 证明：设a ＝x 3，b ＝y 3，c ＝z 3且x ，y ，z ∈R ＋.由题意得：xyz ＝1，所以1＋a ＋b ＝xyz ＋x 3＋y 3.所以x 3＋y 3－(x 2y ＋xy 2)＝x 2(x －y )＋y 2(y －x )＝(x －y )2(x ＋y )≥0. 所以x 3＋y 3≥x 2y ＋xy 2.所以1＋a ＋b ＝xyz ＋x 3＋y 3≥xyz ＋xy (x ＋y )＝xy (x ＋y ＋z )．所以11＋a ＋b ≤1xy （x ＋y ＋z ）＝z x ＋y ＋z. 同理，可得11＋b ＋c ≤x x ＋y ＋z ，11＋c ＋a ≤y x ＋y ＋z，三式相加得11＋a ＋b ＋11＋b ＋c ＋11＋c ＋a ≤x ＋y ＋z x ＋y ＋z＝1. 所以命题得证．归纳升华用放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性．缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不小于部分；每次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．同时，放缩有时需便于求和．[变式训练] 若n 是大于1的自然数，求证112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1k 2＜1k （k －1）＝1k －1－1k(k ＝2，3，4，…，n )，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜11＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2，故112＋122＋132＋…＋1n 2＜2. 专题六函数与方程思想函数与方程思想是先构造辅助函数，将所给问题转化为函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)问题．运用此方法要能够根据问题的结构特征恰当地构造函数，准确地利用函数的性质解决问题．[例6] 已知a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，求证1ab ＋ab ≥174. 证明：因为a ，b 都是正实数，a ＋b ＝1，所以0＜ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14. 令f (x )＝x ＋1x(0＜x ＜1)，设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1＋x 1－1x 2－x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2＜1，所以x 1－x 2＜0，0＜x 1x 2＜1.所以1－1x 1x 2＜0. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)．因此函数f (x )在(0，1)上单调递减．所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝174，令x ＝ab ，得1ab ＋ab ≥174. [变式训练] 已知a ，b ，c 为三角形的三条边，求证a 1＋a ，b 1＋b，c 1＋c也可以构成一个三角形．证明：设f (x )＝x 1＋x，x ∈[0，＋∞)，0≤x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1（1＋x 1）（1＋x 2）＞0. 故f (x )在[0，＋∞)上为单调增函数．因为a ，b ，c 为三角形的三条边，所以a ＋b ＞c .因为c 1＋c ＜a ＋b 1＋（a ＋b ）＝a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b ＜a 1＋a ＋b 1＋b，所以c 1＋c ＜a 1＋a ＋b 1＋b，同理可证a 1＋a ＜b 1＋b ＋c 1＋c ，b 1＋b ＜c 1＋c ＋a 1＋a，所以以a 1＋a ，b 1＋b ，c 1＋c为边可以构成一个三角形．。

人教版数学高二-人教A版选修4-5练习 第二讲 复 习 课

高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法复习课学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学