《三维设计》2020高三数学 第三单元 三角函数与解三角形21.倍角、半角的三角函数课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1.sin 180°＋2α1＋cos2α·cos 2αcos 90°＋α等于( ) A ．－sin α B ．－cos α
C ．sin α
D ．cos α
解析：原式＝－sin2α·cos 2α1＋cos2α·－sin α
＝2sin α·cos α·cos 2
α2cos 2α·sin α
＝cos α.
答案：D
2．若cos(x ＋y )cos(x －y )＝13
，则cos 2x －sin 2y 等于( ) A ．－13
B.13 C ．－23 D.23 解析：由cos(x ＋y )·cos(x －y )＝13
，得 (cos x cos y －sin x sin y )·(cos x cos y ＋sin x sin y )＝13
. ∴cos 2x ·cos 2y －sin 2x ·sin 2y ＝13
. ∴cos 2x ·(1－sin 2y )－(1－cos 2x )·sin 2y ＝13
. 整理得cos 2x －sin 2y ＝13
. 答案：B
3．定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2
，则β等于( )
A.
π12 B.π6 C.π4 D.π3
解析：依题设得：
sin α·cos β－cos α·sin β＝sin(α－β)＝3314. ∵0<β<α<π2，∴cos(α－β)＝1314. 又∵cos α＝17，∴sin α＝437
. sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cos α·sin(α－β)
＝437×1314－17×3314＝32
， ∴β＝π3
. 答案：D
4．已知tan α和tan(π4
－α)是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是( ) A ．b ＝a ＋c
B ．2b ＝a ＋c
C ．c ＝b ＋a
D ．c ＝ab
解析：⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan π4－α＝－b a ，tan αtan π4－α＝c a
， ∴tan π4＝tan[(π4－α)＋α]＝－b
a 1－c a
＝1， ∴－b a ＝1－c a
，∴－b ＝a －c ，∴c ＝a ＋b .
答案：C
5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝
62，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a <b <c
B ．b <c <a
C ．a <c <b
D ．b <a <c 解析：a ＝2sin59°，c ＝2sin60°，b ＝2sin61°，
∴a <c <b .
或a 2＝1＋si n28°<1＋12＝32，b 2＝1＋sin32°>1＋12＝32，c 2＝32
，∴a <c <b .[来源:学科网ZXXK]
答案：C
6．化简sin 235°－12cos10°cos80°＝( ) A ．－2
B ．－12
C ．－1
D ．1
解析：sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°·sin10°＝－12cos70°12
sin20°＝－1. 答案：C
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，
可得tan α＋tan β1－tan αtan β
＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3
. 答案：π3
8．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.
解析：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°
＝16cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°16cos6° ＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116
. 答案：116
9．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12
，若|α－β|的最小值为3π4
，则正数ω的值为________． 解析：f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12
， 又由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4可知T ＝3π，于是ω＝13
. 答案：13
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b|＝255. (1)求cos(α－β)的值； (2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513
，求sin α. 解：(1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，
∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．
∵|a －b |＝255， ∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255
， 即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35
. (2)∵0<α<π2，－π2
<β<0，∴0<α－β<π， ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45
. ∵sin β＝－513，∴c os β＝1213
， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45·1213＋35·(－513)＝3365
. 11．已知0<α<π4，β为f (x )＝cos(2x ＋π8)的最小正周期，a ＝(tan(α＋14
β)，－1)，b ＝(cos α，2)，且a·b ＝m ，求2cos 2
α＋sin2α＋βcos α－sin α
的值． 解：因为β为f (x )＝cos(2x ＋π8
)的最小正周期， 所以β＝π.
因为a·b ＝m ，又a·b ＝cos αtan(α＋14
β)－2， 故cos αtan(α＋14
π)＝m ＋2. 由于0<α<π4，
所以2cos 2α＋sin2α＋βcos α－sin α＝2cos 2α＋sin 2α＋2πcos α－sin α
＝2cos 2α＋sin2αcos α－sin α＝2cos αcos α＋sin αcos α－sin α
＝2cos α·1＋tan α1－tan α＝2cos αta n(α＋π4
)＝2(2＋m )． 12．已知锐角△ABC 中，三个内角为A ，B ，C ，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，若p 与q 是共线向量．
(1)求角A 的大小；
(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(C －3B
2)取最大值时角B 的大小．
解：(1)p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1
＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，化简得：sin 2A ＝34
， ∵△ABC 为锐角三角形，∴sin A ＝
32，∴A ＝60°. (2)y ＝2sin 2B ＋cos(C －3B
2)
＝2sin 2B ＋cos(180°－B －A －3B 2
) ＝2sin 2B ＋cos(2B －60°)＝1－cos2B ＋cos(2B －60°)
＝1＋sin(2B －30°)，当B ＝60°时函数取得最大值2.。