【优化探究】人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第一章 1.2 1.2.2 第1课时 函数的表示法
合集下载
人教A版高中数学必修1 课件 ：第一章 1.2 1.2.2 第一课时
∴g(3)－f(－1)＝－3，
∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.
答案：4
题型二 求函数的解析式 角度一：已知函数的类型，求函数的解析式 【例2】 (1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋6，则f(x)的 解析式为________． (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二 次函数的解析式为________．
(2)f( x－1)＝ x－2x＝－2( x－1)2－3( x－1)－1， ∵ x－1≥－1， ∴f(x)＝－2x2－3x－1(x≥－1)． (3)由33ff1xx＋＋22ff1xx＝＝44x，x， 解得f(x)＝152x－58x(x≠0)．
题型三 函数图象的作法及应用 【例5】 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝2x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数的解
析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数的解析式设为
f(x)＝
k x
(k≠0)，二次函数的解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方 程组．
(3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回所设解析式．
2．关注三个易错点——描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作 图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬 托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴 的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
「自测检评」 1．以下形式中，不能表示“y 是 x 的函数”的是( )
新版高一数学必修第一册第一章全部课件
综上可知，a＝0.
解题方法（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）
自主预习，回答问题
阅读课本3-5页，思考并完成以下问题
1.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
2.它们各自有什么特点？
3.它们使用什么符号表示？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
知识清单
C．0
D．0 或 1
5
19
1 2
2
(2)设 ∈ x x －ax－ ＝0 ，则集合 x x － x－a＝0
2
2
2
中所有元素之积为________．
)
[ 解析]
(1)当 a＝0 时，原方程变为 2x＋1＝0，
1
此时 x＝－ ，符合题意；
2
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于 4 的所有偶数．
[ 解]
(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x
＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表
示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
(3)偶数可表示为 2n，n∈Z，又因为大于 4，故 n≥3，从
∴a≠1；
当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合元素的互
异性．∴a＝－1.
[ 答案]
－1
[ 一题多变]
1．[ 变条件] 本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，
求实数 a 的值．
解：若 2∈A，则 a＝2 或 a2＝2，即 a＝2，或 a＝ 2，或 a
解题方法（根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤）
自主预习，回答问题
阅读课本3-5页，思考并完成以下问题
1.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
2.它们各自有什么特点？
3.它们使用什么符号表示？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
知识清单
C．0
D．0 或 1
5
19
1 2
2
(2)设 ∈ x x －ax－ ＝0 ，则集合 x x － x－a＝0
2
2
2
中所有元素之积为________．
)
[ 解析]
(1)当 a＝0 时，原方程变为 2x＋1＝0，
1
此时 x＝－ ，符合题意；
2
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于 4 的所有偶数．
[ 解]
(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x
＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表
示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
(3)偶数可表示为 2n，n∈Z，又因为大于 4，故 n≥3，从
∴a≠1；
当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合元素的互
异性．∴a＝－1.
[ 答案]
－1
[ 一题多变]
1．[ 变条件] 本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，
求实数 a 的值．
解：若 2∈A，则 a＝2 或 a2＝2，即 a＝2，或 a＝ 2，或 a
数学人教A版必修一优化课件：第一章 1.2 1.2.2 第2课时 分段函数及映射
当 a<0 时，1－a>1,1＋a<1， 这时 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由 f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得 a＝－34. 综上可知，a 的值为－34. [答案] －34
求某条件下自变量的值的方法： 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记 代入检验．
[解析] (1)由于 A 中元素 3 在对应关系 f 作用下其与 3 的差的绝对值为 0，而 0∉ B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数 个元素与之对应，故不是映射． (3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯一一个元素与之对应， 符合映射定义，是映射． (4)是映射，因为 A 中每一个元素在 f：x→y＝12x 作用下对应的元素构成的集合 C ＝{y|0≤y≤1}⊆B，符合映射定义．
Hale Waihona Puke 判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义，判断方法为：先看集合 A 中每一 个元素在集合 B 中是否均有对应元素．若没有，则不是映射；若有，再看对应元 素是否唯一，若唯一，则是映射，若不唯一，则不是映射．
4．下列对应是不是从 A 到 B 的映射，为什么？ (1)A＝R＋，B＝R，对应法则是“求平方根”； (2)A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是“平方除以 4”； (3)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是 f：x→y＝(x－2)2，其中 x∈A， y∈B； (4)A＝{x|0°≤x≤180°}，B＝{y|0≤y≤1}，对应法则是“求正弦”．
2x， x≥1， 故 f(x)＝2， －1<x<1，
数学人教A版必修一优化课件：第一章 1.2 1.2.1 函数的概念
1．2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念
考纲定位
重难突破
1.理解函数的概念，了解函数
构成的三要素．
重点：1.函数的概念；
2．会求一些简单函数的定义 2．定义域的求法．
域、值域．
难点：对函数符号y＝f(x)的理解.
3．能正确使用区间表示数集.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
{x|x≤b} (－∞，b]
{x|x＜b} (－∞，b)
三、函数相等 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由 定义域 和 对 应 关 系 决定的．如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系 完全一致， 我们就称这两个函数相等．
[双基自测]
1．设函数 f(x)＝3x4－1，则 f(a)－f(－a)＝( )
)
A．1
B．－1
3 C.5
D．－35
解析：f(2)＝2222－ ＋11＝44－ ＋11＝35.
f(12)＝121222＋－11＝1414－ ＋11＝－35.
∴f12＝－1. f2
答案：B
3．下列各组函数表示同一函数的是( ) A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3 B．y＝ x2－1 与 y＝x－1 C．y＝x0(x≠0)与 y＝1(x≠0) D．y＝x＋1，x∈Z 与 y＝x－1，x∈Z 解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同． 答案：C
二、区间
1．有界区间
设 a，b 是两个实数，且 a＜b.
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半 闭区间
考纲定位
重难突破
1.理解函数的概念，了解函数
构成的三要素．
重点：1.函数的概念；
2．会求一些简单函数的定义 2．定义域的求法．
域、值域．
难点：对函数符号y＝f(x)的理解.
3．能正确使用区间表示数集.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
{x|x≤b} (－∞，b]
{x|x＜b} (－∞，b)
三、函数相等 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由 定义域 和 对 应 关 系 决定的．如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系 完全一致， 我们就称这两个函数相等．
[双基自测]
1．设函数 f(x)＝3x4－1，则 f(a)－f(－a)＝( )
)
A．1
B．－1
3 C.5
D．－35
解析：f(2)＝2222－ ＋11＝44－ ＋11＝35.
f(12)＝121222＋－11＝1414－ ＋11＝－35.
∴f12＝－1. f2
答案：B
3．下列各组函数表示同一函数的是( ) A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3 B．y＝ x2－1 与 y＝x－1 C．y＝x0(x≠0)与 y＝1(x≠0) D．y＝x＋1，x∈Z 与 y＝x－1，x∈Z 解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同． 答案：C
二、区间
1．有界区间
设 a，b 是两个实数，且 a＜b.
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半 闭区间
人教A版数学必修一1.2.2第1课时.pptx
【解析】1.选C.函数的定义域为{x|x≠0}，故排除A，B；又
当x=-1时，y=-2≠0,排除D，综上知选C.
2.(1)用列表法可将函数y= x+1,x∈［1,5］，x∈Z表示为：
2
x12 345
y
3 2
2
5 2
3
7 2
如图1所示，
(2)y=x2+2x=(x+1)2-1,x∈［-2,2］.图象是抛物线 y=x2+2x在［-2,2］上的部分，如图2所示.
x
2.(1)本题中对应关系f对“ ＋x1”作用得到x＋2 而x，不是直 接对“x”起作用. (2)求函数解析式的实质是寻找或探究对应关系.
【解析】1.设反比例函数f(x)＝(kk≠0)，
x
∵f(3)=-6,则f(3)＝ ＝k －6，解得k＝－18.
3
∴f(x)＝ －18 .
x
答案：f(x)＝ －18
f(x)．
【解题指南】本题关键是设出一次函数的解析式,代入已知关
系式,利用待定系数法求解.
【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,
∴
a 2
4解, 得
ab b 3,
或ab
2, 1
a 2, b 3.
故所求的函数为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
【类题试解】1.已知f(2x)= 1 +3，则f( 1 )=( )
2x
2
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.∵f(2x)= 1+3,∴f(x)= +13,
新教材人教A版数学必修第一册课件：第一章1.2集合间的基本关系
（2）集合A：高一全体学生，集合B：高一全体男生
（3）集合M：所有等腰三角形，集合N：所有等边三角形
可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合B中的
每一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A包含集合B，或者说
集合B包含于集合A。像这样，对于两个集合A，B，如果集合B中任意
一个元素都是集合A中的元素，就称集合B为集合A的子集，
也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意
区分大小关系。
即时巩固
A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（
A. ∈
B. ∈
B
A
C. ⊆
D. ⊆
【解】由Venn图易知B是A的子集，即 ⊆ ，选D
D
）
两个集合相等是什么意思？
a∈{ a, b, c }
由上述集合间的基本关系，我们可以得到如下结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 ⊆ ；
（2）对于集合A，B，C，如果 ⊆ ，且 ⊆ ，那么 ⊆
即：包含关系具有传递性
即时巩固
1.用适当的数学符号填空。
∈
∈
(1) _____ {, , }
(2) 0 _____ { 2 = 0}
举例说明，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,5},则有
⊆ ， ⊈ ， ⊉
即时巩固
设集合A={0，1，2}，集合B={ | = + , ∈ , ∈ },求A与B的关系。
【解】由题意易知的情况有如下几种：
= 0+0=0， = 0+1=1， = 0+2=2， = 1+1=2，
（3）集合M：所有等腰三角形，集合N：所有等边三角形
可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合B中的
每一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A包含集合B，或者说
集合B包含于集合A。像这样，对于两个集合A，B，如果集合B中任意
一个元素都是集合A中的元素，就称集合B为集合A的子集，
也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意
区分大小关系。
即时巩固
A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（
A. ∈
B. ∈
B
A
C. ⊆
D. ⊆
【解】由Venn图易知B是A的子集，即 ⊆ ，选D
D
）
两个集合相等是什么意思？
a∈{ a, b, c }
由上述集合间的基本关系，我们可以得到如下结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 ⊆ ；
（2）对于集合A，B，C，如果 ⊆ ，且 ⊆ ，那么 ⊆
即：包含关系具有传递性
即时巩固
1.用适当的数学符号填空。
∈
∈
(1) _____ {, , }
(2) 0 _____ { 2 = 0}
举例说明，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,5},则有
⊆ ， ⊈ ， ⊉
即时巩固
设集合A={0，1，2}，集合B={ | = + , ∈ , ∈ },求A与B的关系。
【解】由题意易知的情况有如下几种：
= 0+0=0， = 0+1=1， = 0+2=2， = 1+1=2，
2020年高中数学人教A版必修一优化课件第一章集合的含义与表示
四、Venn 图 1．定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的 内部 代表集合，这种图称为 Venn 图，这种表示集合的方法叫作图示法． 2．适用范围：元素个数较少的集合． 3．使用方法：把 元素 写在封闭曲线的内部．
[双基自测] 1．下列图形中，表示 M⊆N 的是( )
答案：C
2．已知 A＝{x|x 是菱形}，B＝{x|x 是正方形}，C＝{x|x 是平行四边形}，那么 A，
[易错警示]
错误原因
纠错心得
错解忽略了 N＝∅ 空集是任何集合的子集．解这类问题
这种情况. 时，一定要注意“空集优先”的原则.
[随堂训练] 1．能正确表示集合 M＝{x|x∈R 且 0≤x≤1}和集合 N＝{x∈R|x2＝x}关系的 Venn 图是( )
解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R 且 0≤x≤1}，∴N M. 答案：B
探究二 有限集合子集的确定 [典例 2] 已知集合 M 满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合 M 及其个数． [解析] 当 M 中含有两个元素时，M 为{2,3}； 当 M 中含有三个元素时，M 为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}； 当 M 中含有四个元素时，M 为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}； 当 M 中含有五个元素时，M 为{2,3,1,4,5}． 所以满足条件的集合 M 为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}， {2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合 M 的个数为 8.
解析：(1)用列举法表示集合 B＝{1}，故 B A. (2)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是实数对，故 A 与 B 之间无包含 关系． (3)∵Q 中 n∈Z，∴n－1∈Z，Q 与 P 都表示偶数集，∴P＝Q. (4)等边三角形是三边相等的三角形，故 A B. (5)集合 B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合 A，B 如图所示，由图可发现 A B.
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第一章 集合与函数的概念 1.2.2 第1课时
2.如何求函数的解析式 求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对 自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当 的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：代入法、待定系数 法、换元法、解方程组法(消元法).
返回
x＝±12时，y＝
3 2.
利用以上五点描点连线，即得函数 y＝ 1－x2的图象如右：
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙 所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出
答案
一般地，列表法是指：列出 表格 来表示两个变量之间的对应关系. 函数三种表示法的优缺点：
答案
返回
题型探究
类型一 解析式的求法 例1 根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)f [f (x)]＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
重点难点 个个击破
解析答案
(2)f(x＋1x)＝x2＋x12； 解 f(x＋1x)＝x2＋x12＝(x＋1x)2－2， ∴f(x)＝x2－2. 又 x≠0，∴x＋1x≥2 或 x＋1x≤－2， ∴f(x)中的 x 与 f(x＋1x)中的 x＋1x取值范围相同，
答案
1 23 45
5.著名的 Dirichlet 函数 D(x)＝10， ，xx取 取有 无理 理数 数时 时， ， 则 D[D(x)]等于( B )
A.0
B.1
1，x取无理数时 C.0，x取有理数时
1，x取有理数时 D.0，x取无理数时
答案
规律与方法
1.如何作函数的图象 一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应 先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图 象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问 题等.
人教A版高中数学必修1第一章1.2.2函数的表示法课件
x
2
f
1 x
x 1，求f x.
解:因为f
x
2
f
1 x
x 1，(1)用x替换 1 ，1 xx
替换x，又得f
1 x
2
f
x
1 1，(2) x
将(2)代入(1)消去f
1 x
，得f
x
4
f
x
2
f x 2 x 1 ，又因为x 1， ,
3
3
所以f x 2 x 1， x 1， .
例5 、 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6、某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
2
x 2 x 11
x 1 2 1，
f x x2 1 x 1.
技巧：拆项、添项
三、y f x与y f gx的关系：
4、换元法、配凑法：
已知f g x的解析式，求f u x的解析式.
例5、已知f x 1 x 2 x，求f 2x 3的解析式.
解:f
x 1 x 2 x
(2)对于映射f : A B，我们通常把集合A中的元素叫原象，而 把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象.所以，集合A叫原象 集，集合B叫象所在的集合(集合B中可以有些元素不是象).
(3)映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应”，即对于A中的每一 个原象在B中都有象，至于B中的元素在A中是否有原象， 以及有原象时原象是否唯一等问题是不需要考虑的. (4)用映射刻划函数的定义可以这样叙述:设A，B 都是非2 2 x 0
2020年高中数学人教A版必修一优化课件第一章函数的概念
C．[－3,0]
D．[－3，－1]
解析：函数 y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，所以图象开口向上，对称轴是 x＝－1，最小 值为 1，要使函数值为 5，需 x＝1 或 x＝－3，所以 m 的取值范围是[－3，－1]． 答案：D
2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1＝－ x2＋21x 和 L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售 15 辆，则能获
[点评] 求二次函数中含参数的最值问题，首先注意图象的开口方向，然后讨论 对称轴与区间的关系，所求的结论是在分类的前提下求出的，必须与分类的前提 求交集.
[随堂训练]
1．若函数 y＝x2＋2x＋2 在闭区间 [m,1]上有最大值 5，最小值 1，则 m 的取值范
围是( )
A．[－1,1]
B．[－1，＋∞)
得的最大利润为( )
A．90 万元
B．60 万元
C．120 万元
D．120.25 万元
解析：设公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售 15－x 辆，公司获利为 L＝－x2＋21x＋2(15－x) ＝－x2＋19x＋30 ＝－(x－129)2＋30＋1492， ∴当 x＝9 或 10 时，L 最大为 120 万元．
探究二 二次函数闭区间上的最值问题 [典例 2] 求 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值和最小值． [解析] f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为 x＝a. (1)当 a<0 时，由图可知，
f(x)min＝f(0)＝－1， f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当 0≤a＜1 时，由图可知，
t2－2t－7t＜1， 从而 g(t)＝－81≤t≤2，
t2－4t－4t>2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．2.2 第 1 课时
函数的表示法 函数的表示法
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.掌握函数的三种表示方法．
2．会识别简单的图象.
重点：函数的解析法和图象法．
难点：函数解析式的求法.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
函数的表示法
表示法 定义 用 数学表达式 表示两个变量之间的对应关 解析法 系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式 叫作函数的解析式
[解析](1)列表： 1 源自 x 0 1 2 2 2 y 1 2 3 4 5
当 x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x 2 3 4 5 … y 1 2 1 2 … 3 2 5
2 当 x∈[2， ＋ ∞ )， 图象是反比例函数 y＝x的一部分， 观察图象可知其值域为(0,1]．
答案：C
3．函数 f(x)＝|x－1|的图象为(
)
答案：B
4．若 f(x)＝x2，则 f(2x－1)＝________. 答案：4x2－4x＋1
探究一 [典例 1]
函数图象的作法及应用
作出下列函数的图象并求出值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； 2 (2)y＝x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
(1)已知 f(x)的解析式，求 f[g(x)]的解析式： 解决此类问题的方法为“直接代入法”，直接代入法主要解决已知 f(x)的解析式， 求 f[g(x)]的解析式的问题，其解法为用 g(x)替换 f(x)解析式中的所有自变量 x，即遇 到 x 就用 g(x)来代替． (2)已知 f[g(x)]的解析式，求 f(x)的解析式： 解决此类问题常见的方法有 “ 整体代入法 ” 和 “ 换元法 ”．“ 整体代入法 ” 是把 g(x)视为一个整体，将 f[g(x)]的解析式转化为含 g(x)的表达式，然后直接整体代换 g(x)，即可求出解析式，此种方法不必求出 x，可以减少运算量．“换元法”是通过 引入参数 t 进行式子的变形，从而得到 f(x)的表达式，这是解此类型题的通法．
二次函数解析式的求法： 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
2．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求 f(x)的解析式．
解析：由题意，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝0，∴c＝0， 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x，
2a＝2， ∴ a＋b＝0，
∴a＝1，b＝－1，
从而 f(x)＝x2－x.
[典例 3]
(1)已知 f(x)＝2x＋1，求 f(x＋1)的表达式；
(2)已知 g(x－1)＝2x＋6，求 g(3)．
[解析] (1)∵f(x)＝2x＋1，
∴f(x＋1)＝2(x＋1)＋1＝2x＋3 (2)解法一：∵g(x－1)＝2x＋6， 令 x－1＝t，则 x＝t＋1， ∴g(t)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，即 g(x)＝2x＋8， ∴g(3)＝2×3＋8＝14. 解法二：∵g(x－1)＝2x＋6， ∴g(3)＝g(4－1)＝2×4＋6＝14.
表示两个变量之间对应关系的方法叫作列表法
[双基自测] 1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，且过点(0,0)，则此二次 函数的解析式可以是( A．f(x)＝x2－1 C．f(x)＝(x－1)2＋1 ) B．f(x)＝－(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
)
答案：D
2．下列函数中，不满足 f(2x)＝2f(x)的是( A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x
解法二(利用顶点式)： 设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， 2＋－1 1 ∴抛物线的对称轴为 x＝ ＝ . 2 2 1 ∴m＝ .又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8. 2 12 ∴y＝f(x)＝a(x－ ) ＋8. 2 12 ∵f(2)＝－1，∴a(2－ ) ＋8＝－1，解得 a＝－4， 2 12 ∴f(x)＝－4(x－ ) ＋8＝－4x2＋4x＋7. 2
解法三(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 4a－2a－1－a2 又函数有最大值 ymax＝8，即 ＝8. 4a 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
(3)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线 y＝x2＋2x 在－2≤x≤2 之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
作函数图象时应注意的事项： (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些 关键点是实心点还是空心点．
试确定此二次函数的解析式．
[解析] 解法一(利用一般式)：
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 由题意得 2 4ac－b ＝8， 4 a a＝－4， 解得b＝4， c＝7.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
表示法
定义 以自变量 x 的取值为横坐标，对应的函数值 y 为
图象法
纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些 点构成了函数 y＝f(x)的图象，这种用 图象 表示 两个变量之间对应关系的方法叫作图象法 列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取
列表法 值， 第二行是对应的函数值， 这种列出 表格
来
1．作出 y＝ x(x∈[0,16])的图象．
解析：选择容易计算的几个数值，列表如下： x 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 16 y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 根据表中数据，在平面直角坐标系中描点连线，如图所示．
探究二 [典例 2]
函数解析式的求法
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，
函数的表示法 函数的表示法
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.掌握函数的三种表示方法．
2．会识别简单的图象.
重点：函数的解析法和图象法．
难点：函数解析式的求法.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
函数的表示法
表示法 定义 用 数学表达式 表示两个变量之间的对应关 解析法 系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式 叫作函数的解析式
[解析](1)列表： 1 源自 x 0 1 2 2 2 y 1 2 3 4 5
当 x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x 2 3 4 5 … y 1 2 1 2 … 3 2 5
2 当 x∈[2， ＋ ∞ )， 图象是反比例函数 y＝x的一部分， 观察图象可知其值域为(0,1]．
答案：C
3．函数 f(x)＝|x－1|的图象为(
)
答案：B
4．若 f(x)＝x2，则 f(2x－1)＝________. 答案：4x2－4x＋1
探究一 [典例 1]
函数图象的作法及应用
作出下列函数的图象并求出值域：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； 2 (2)y＝x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
(1)已知 f(x)的解析式，求 f[g(x)]的解析式： 解决此类问题的方法为“直接代入法”，直接代入法主要解决已知 f(x)的解析式， 求 f[g(x)]的解析式的问题，其解法为用 g(x)替换 f(x)解析式中的所有自变量 x，即遇 到 x 就用 g(x)来代替． (2)已知 f[g(x)]的解析式，求 f(x)的解析式： 解决此类问题常见的方法有 “ 整体代入法 ” 和 “ 换元法 ”．“ 整体代入法 ” 是把 g(x)视为一个整体，将 f[g(x)]的解析式转化为含 g(x)的表达式，然后直接整体代换 g(x)，即可求出解析式，此种方法不必求出 x，可以减少运算量．“换元法”是通过 引入参数 t 进行式子的变形，从而得到 f(x)的表达式，这是解此类型题的通法．
二次函数解析式的求法： 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
2．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求 f(x)的解析式．
解析：由题意，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝0，∴c＝0， 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x，
2a＝2， ∴ a＋b＝0，
∴a＝1，b＝－1，
从而 f(x)＝x2－x.
[典例 3]
(1)已知 f(x)＝2x＋1，求 f(x＋1)的表达式；
(2)已知 g(x－1)＝2x＋6，求 g(3)．
[解析] (1)∵f(x)＝2x＋1，
∴f(x＋1)＝2(x＋1)＋1＝2x＋3 (2)解法一：∵g(x－1)＝2x＋6， 令 x－1＝t，则 x＝t＋1， ∴g(t)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，即 g(x)＝2x＋8， ∴g(3)＝2×3＋8＝14. 解法二：∵g(x－1)＝2x＋6， ∴g(3)＝g(4－1)＝2×4＋6＝14.
表示两个变量之间对应关系的方法叫作列表法
[双基自测] 1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，且过点(0,0)，则此二次 函数的解析式可以是( A．f(x)＝x2－1 C．f(x)＝(x－1)2＋1 ) B．f(x)＝－(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
)
答案：D
2．下列函数中，不满足 f(2x)＝2f(x)的是( A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x
解法二(利用顶点式)： 设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， 2＋－1 1 ∴抛物线的对称轴为 x＝ ＝ . 2 2 1 ∴m＝ .又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8. 2 12 ∴y＝f(x)＝a(x－ ) ＋8. 2 12 ∵f(2)＝－1，∴a(2－ ) ＋8＝－1，解得 a＝－4， 2 12 ∴f(x)＝－4(x－ ) ＋8＝－4x2＋4x＋7. 2
解法三(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 4a－2a－1－a2 又函数有最大值 ymax＝8，即 ＝8. 4a 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
(3)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线 y＝x2＋2x 在－2≤x≤2 之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
作函数图象时应注意的事项： (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些 关键点是实心点还是空心点．
试确定此二次函数的解析式．
[解析] 解法一(利用一般式)：
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 由题意得 2 4ac－b ＝8， 4 a a＝－4， 解得b＝4， c＝7.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
表示法
定义 以自变量 x 的取值为横坐标，对应的函数值 y 为
图象法
纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些 点构成了函数 y＝f(x)的图象，这种用 图象 表示 两个变量之间对应关系的方法叫作图象法 列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取
列表法 值， 第二行是对应的函数值， 这种列出 表格
来
1．作出 y＝ x(x∈[0,16])的图象．
解析：选择容易计算的几个数值，列表如下： x 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 16 y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 根据表中数据，在平面直角坐标系中描点连线，如图所示．
探究二 [典例 2]
函数解析式的求法
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，