16动力学-机械振动基础

36
二、减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围
的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设 计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。
许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以 采用减振或隔振的措施。 减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如，
x2 b sin(t ) 为特解
b
2 n
h
2
,
x2
2 n
h
2
sin(t
)
全解为：
x
Asin(
n
t
)
2 n
h
2
sin(t
)
三、稳态强迫振动的主要特性 稳态强迫振动
1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。
2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的
质量及刚度系数无关。
3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统
2 n
c/
a
则自由振动的微分方程的标准形式：
q n2q 0
解得：
q Asin(nt )
8
设 t = 0 时，q q0 , q q0 则可求得：
A
q02
q02
2 n
,
arctg
n q0
q0
或：
qC1cosnt C2sinnt
C1、C2由初始条件决定为 C1 q0 , C2 q0 /n
q
由
dLA dt
mA (F )，
有
(
3 2
M
m)Rx
4kxR
振动微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有频率：
n
8k 3M 2m
17
解2 ： 用机械能守恒定律
以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 2
(
3 2
M
m) x 2
以平衡位置为计算势能的零位置，
相邻两次振幅之比
Ai Ai1
Ae nti Ae n(ti Td
)
e nTd
对数减缩率
ln
Ai Ai1
lne nTd
nTd
2 2 1 2
2、临界阻尼情形 (n n , 1 )
临界阻尼系数 cc 2 mk
xent [x0 ( x0 nx0 )t]
(at t 0 , x x0 , x x0 )
只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
11
2. 弹簧并联系
并
统和弹簧串联系
联
串 联
统的等效刚度
st
F1 k1
F2 k2
, mg F1 F2
mg (k1 k2 ) st
,
st
mg k1 k
2
keq k1 k2
并联
st st1 st2
mg mg mg( 1 1 )
一、阻尼的概念
阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘
性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称
为粘性阻尼。
R cv
投影式：
Rx cx
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
23
二、有阻尼自由振动微分方程及其解
质量—弹簧系统存在粘性阻尼： mx kx cx
2 n
n
2
2
;
tg
1
x0
2 n
n
x0 nx0
2
25
衰减振动的特点：
(1) 振动周期变大，
频率减小。
Td
2 d
2
2 n
n2
2 2 1 2
n c n 2 mk
——阻尼比
Td
T
1 2
有阻尼自由振动：
fd f 1 2
d n 1 2
当 n n 时， 1
可以认为
d n Td T
26
(2) 振幅按几何级数衰减
13
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达
到最大值。
如：
U max
1 2
k[( A st )2
st 2 ]
mgA
k st mg
27
可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，
不再具备振动的特性。
3、过阻尼（大阻尼）情形 (n n , 1 ) (c cc )
x ent (C1e n2 n2 t C2e ) n2 n2 t
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x0 )
C1
x0
(n 2
n
n2
2
2 n
H—力幅； — 激振力的圆频率 ； — 激振力的初相位。
二、无阻尼强迫振动微分方程及其解
mx kx H sin(t )
令
2 n
k m
,
h
H m
则
x
2 n
x
h
sin(t
)
无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，
二阶常系数非齐次线性微分方程。
30
x x1 x2
x1 A sin(nt ) 为对应齐次方程的通解
的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 31
(1) =0时
b0
h
2 n
H k
(2) n 时，振幅b随 增大而增大；当 n 时，b
(3) n 时，振动相位与激振力相位反相，相差 rad 。
b h
2 n
2
b 随 增大而减小；
2
时
n
, bb0 ;
时b0
— 振幅比或称动力系数
— 频率比
q0
cosnt
q0
n
sin nt
9
三、自由振动的特点
A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 ——初相位，决定振体运动的起始位置。
T f
——周期，每振动一次所经历的时间。T —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1/T
2 。 n
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
0.8 (enTd )20 0.16
ln5
20
nTd
20n 2 n 1 2
由于 很小，ln540
c 2
mk
ln5
40
2
W g
Wst
ln5
40
2
1502 1980
0.122( N s/cm)
29
§16.3 单自由度系统的受迫振动
一、强迫振动的概念
强迫振动：在外加激振力作用下的振动。
简谐激振力：S H sin(t )
临界转速：
nc
30
c
35
当 n 运转时 , 质心C位于O、A之间 OC= x- e
x e
1
k
m
2
1
e
(n
)2
当 n 时 , , x ; 当 n 时 , x e 当转速 非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近，
圆盘接近于绕质心C旋转，于是转动平稳。
为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。
单摆：
ml 2 mgl
, n2 0
(
2 n
g
/
l,
5 )
复摆：
I mga , n2 0
(
2 n
mga
/
I,
5 )
7
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解
对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
aq cq 0
a、c是与系统的物理参数有关的常数。令
2 n
)
x0
;
C2
( n
2
n
2
2 n
)
x0
n
2
2 n
x0
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0， 不具备振动特性。
28
例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm ， A1=0.8cm，
A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。
解：
A1 A1 A2 A20 (enTd )20 A21 A2 A3 A21
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。
4
§16.1 单自由度系统的自由振动
一、自由振动的概念
5
6
运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡 位置附近的振动称为无阻尼自由振动。
质量—弹簧系统：mx kx
,
x
2 n
x
0
(
2 n
k
/
m)
令
2 n
k m
,
n
c 2m
则
x
2 nx
2 n
x
0
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
24
其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形 (n n ) c 2 mk
x Aent sin(d t )
d
2 n
n2
—有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
A
x02
(
x0
nx0 )
20