2011高考数学单元复习训练13：对数与对数函数
高三数学对数与对数函数试题答案及解析
高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.函数（其中且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .【答案】2【解析】由y＝log（x＋3）－1经过的定点为（－2，－1）a于是－2m－n＋4＝0，得2m＋n＝4，且mn＞0，于是m＞0，n＞0所以＝2当且仅当m＝1，n＝2时等号成立，即的最小值为2.【考点】函数图象过定点，基本不等式(2x－1)的定义域为________________.2.函数f(x)＝log2【答案】(，＋∞)【解析】由2x－1＞0，得x＞.注意写成集合或者区间形式.考点:函数的定义域，对数函数的性质3.计算的结果是（）A．B．2C．D．3【答案】B【解析】，选B【考点】对数基本运算.4.若的最小值是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，且，所以又，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故选D.【考点】1、对数的运算；2、基本不等式.5.若，则＝．【答案】【解析】∵，，∴.【考点】分段函数的函数值、三角函数值的计算、对数式的计算.6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a【答案】B【解析】∵1<e<3，则1<<e<e2<10.∴0<lg e<1.则lg＝lg e<lg e，即c<a.又0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.同时c－b＝lg e－(lg e)2＝lg e(1－2 lg e)＝lg e·lg>0.∴c>b.故应选B.7.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.8.已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．【解析】解：当a>1时，f(x)＝logax在上单调递增，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有解得a≥3.∴此时a的取值范围是a≥3.当0<a<1时，f(x)＝logax在上单调递减，要使x∈都有|f(x)|≤1成立，则有，解得0<a≤.∴此时，a的取值范围是0<a≤.综上可知，a的取值范围是∪[3，＋∞)．9.（5分）（2011•重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】B【解析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C．因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=，因为（log23）2＞2，所以log23＞，所以b＞c，排除D故选B．点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．10.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.11.函数的定义域是A．[1，2]B．C．D．【答案】C【解析】根据函数定义域的要求得：.【考点】（1）函数的定义域；（1）对数函数的性质.12.对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，对任意实数a,b定义运算如下，所以，==，故，选B.【考点】分段函数，对数函数的性质，新定义.13.已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0，若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥14. 若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________． 【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x ＝对称， 而f(x)＝log 2＋log 2|a|，从而＝，所以a ＝2.15. 已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B －x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.16. 设则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a ＜c ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a【答案】B 【解析】因为所以显然，所以的值最大.故排除A,D 选项.又因为，所以.即.综上.故选B.本小题关键是进行对数的运算.【考点】1.对数的运算.2.数的大小比较的方法.17. 函数y=log a (x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 . 【答案】(2,2)【解析】∵log a 1=0,∴x-1=1,即x=2,此时y=2,因此函数恒过定点(2,2).18. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝f，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】c ＞a ＞b【解析】由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a＞b .19. 在ABC 中，若，则A=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由，整理得，又，选C.【考点】对数及其运算，余弦定理的应用.20.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.21.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,则x1+x2=-m,x1x2=，(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=+m+1<0,即∴-m<n<-3m-2,为平面区域D,∴m<-1,n>1,因为的图像上存在区域D内的点，所以，，因为，所以，所以解得.【考点】1.函数的导数；2.对数的性质.22.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-loga （x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：又f（-2）=f（2）=3，则有 loga （2+2）＜3，且loga（6+2）≥3，解得.【考点】1.指数函数与对数函数的图象与性质；2.函数的零点与方程根的关系23.对于以下结论：①.对于是奇函数，则；②.已知：事件是对立事件；：事件是互斥事件；则是的必要但不充分条件；③.若，，则在上的投影为；④.(为自然对数的底)；⑤.函数的图像可以由函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位而来.其中，正确结论的序号为__________________.【答案】③④⑤【解析】对①，不一定有意义，所以不正确；对②，是的充分但不必要条件；所以不正确；对③，易得在上的投影为；所以正确；对④，构造函数，则.由此可得在上单调递减，故成立；所以正确；对⑤，原函数可变为：，所以将函数图像先左移2个单位，再向下平移1个单位可得函数的图像.正确.【考点】1、函数的性质；2、随机事件及二项分布；3、向量的投影；4、充分必要条件.24.设，，，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c【答案】D【解析】，，，又，，，，所以，所以.【考点】对数与对数运算25.函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】将题中所给的函数画出如下：，根据图像，易知有2个交点.【考点】1.函数的零点；2.函数的图像画法.26.不等式的解集为_____________.【答案】【解析】原不等式等价于，解得.【考点】对数函数的定义与性质27.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是．【答案】【解析】由得，且，由对数函数的特征得，所以，故.【考点】对数函数性质、基本不等式.28.已知函数．(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【解析】(1)首先根据对数函数的底数，得到为减函数，最小值是，再根据对数函数的真数大于0，得到恒成立，在范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.试题解析：(1)∵，设，则为减函数，时，t最小值为， 2分当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分又，∴ 6分(2)令，则；∵，∴函数为减函数，又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分所以时，最小值为，此时最大值为；9分又的最大值为1，所以， 10分∴，即，所以，故这样的实数a存在． 12分【考点】1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式29.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是 .【答案】【解析】函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得.【考点】1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域.30.已知函数（为常数，为自然对数的底）（1）当时，求的单调区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值；（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）的最小值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数求出的单调递增区间和递减区间；（2）将函数在上无零点的问题转化为直线与曲线在区间上无交点，利用导数确定函数在区间上的图象，进而求出参数的取值范围，从而确定的最小值；（3）先研究函数在上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应的不等式，从而求出的取值范围.试题解析：（1）时，由得得故的减区间为增区间为 3分（2）因为在上恒成立不可能故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分（3）当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当变化时，，的变化情况如下时，，任意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满足下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④当时对任意，在上存在两个不同的使成立【考点】1.函数的单调区间；2.函数的零点；3.函数的存在性问题31.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.【答案】【解析】函数的定义域为，则满足，即对任意实数恒成立，只要比的最大值大即可，而的最大值为，即．【考点】函数的定义域恒成立问题，学生的基本运算能力与逻辑推理能力．32.设，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】是上的增函数，又．【考点】对数值大小的比较．33.，，，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】因为，，即，所以，故选C.【考点】对数的运算34.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数解析式有意义需满足：解得且，即选D.【考点】1.对数函数；2.一元二次不等式.35.若，则（）A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】C【解析】因为所以，而，故，又，而，故，综上，，选C.【考点】对数函数.36.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】一般地，只要涉及3个及以上的数比较大小，应找一中间量来比较，比如0、1.由对数的性质知：，，。
2011高考数学北师大版一轮复习：1.6《对数函数》
归纳拓展
同真数的对数值大小关系如图：
当函数单调递增时，在(1,0)右边图象越靠近x轴，底数越大，即1＜a＜b； 当函数单调递减时，在(1,0)右边图象越靠近x轴，底数越小，即0＜c＜d＜1， 也可以看图象在x轴上方的部分自左向右底数逐渐增大，即0＜c＜d＜1＜a＜b.
4．反函数 ． 对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)互为 反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线y=x对称．
a
(a，b，N的值使式子均有意义)．
②loga
④logamMn＝
logaM.
注: 利用对数的运算性质时，要注意各个字母的取值范围，只有等式两边 的对数都存在时，等式才成立．例如：log2[(－2)×(－5)]存在，但log2(－2)、 log2(－5)都不存在． 因而log2[(－2)×(－5)]≠log2(－2)＋log2(－5)．
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ 则f(2009)的值为( A．－1 C．1 【解析】 当x＞0时，因为f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， 解析】 ∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)． ∴f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)． ∴f(x＋6)＝f(x)．即当x＞0时，函数f(x)的周期是6. 又∵f(2 009)＝f(334×6＋5)＝f(5)， ∴由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1， f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－ f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1. 【答案】 C 答案】 ) B．0 D．2
3．对数函数图象与性质 ．
高考数学总复习之对数与对数函数
高考数学总复习之对数与对数函数一、知识梳理 1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） （4）对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. ①a b b a log 1log =②b b b b a aa a 1log log 1log log 11-=-== ③b m n b a n a m log log = ④c c b a b a log log log =⋅（5）对数恒等式：N a N a=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 二、点击双基1. （江西文3）若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 的定义域为( )A.)0,21(-B.),21(+∞-C. ),0()0,21(+∞-YD. )2,21(-答案C2.（春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）O x yy= l og x a>O x y<a<a y= l og x a 11110( ( ))3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］ 4.关于函数),0(||1lg)(2R x x x x x f ∈≠+=，有以下命题： ①函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；②当0>x 时，)(x f 是增函数，当0<x 时，)(x f 是减函数；③函数)(x f 的最小值是2lg ；④当1>x 时，)(x f 没有反函数。
高中数学总复习：对数与对数函数
解析：当 a ＞1时，函数 y ＝log ax的图象为选项B，D中的
曲线，此时函数 y ＝－ x ＋ a 的图象与 y 轴的交点的纵坐标 a 应满
足 a ＞1，B、D错误；当0＜ a ＜1时，函数 y ＝log ax的图象为选
项A，C中的曲线，此时函数 y ＝－ x ＋ a 的图象与 y 轴的交点的
3 − 2 > 0，
3 − 2 > 0，
2
即ቊ
解得 ＜ x ≤1，所以
ቊ
3
0.5 （3 − 2） ≥ 0，
0 < 3 − 2 ≤ 1，
函数 y ＝ 0.5 （3 −
2
2） 的定义域是（ ，1］，故选D.
3
目录
高中总复习·数学（提升版）
3. 已知2 a ＝5，log83＝ b ，则4 a －3 b ＝（
高中总复习·数学（提升版）
5.
2
3
已知函数 f （ x ）＝log a （2 x － a ）在区间［ ， ］上恒有 f （ x ）
3
4
1
（ ，1）
2
＞0，则实数 a 的取值范围是
.
> 1，
0 < < 1，
3
4
2
3
1
0
<
2
×
−
<
1，
2
解析：由题意得൝
或
解得 ＜
2
2× −>1
3
0 < 2 × − ，
≠1）.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
4
知识 体系构建
考点 分类突破
对数函数-高考数学复习
解析
当
当
当
1
1
logm7=log ,logn7=log ,
7
7
1
1
1<m<n 时,0<log7m<log7n,所以
>
,即 logm7>logn7;
log7
log7
1
1
0<m<n<1 时,log7m<log7n<0,所以log > log ,即 logm7>logn7;
函数y=loga|x|与y=|logax|(a>0,a≠1)的性质
y=loga|x|
函数
a>1
0<a<1
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)
R
值域
奇偶性 偶函数
在(0,+∞)内单调递增; 在(-∞,0)内单调递增;
单调性
在(-∞,0)内单调递减 在(0,+∞)内单调递减
图象
y=|logax|
a>1
0<a<1
1.函数f(x)=log3(x-1)是对数函数.( × )
2.若logax>1,则x>a.( × )
3.函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在其定义域上是单调递增函数.(
4.函数 y=|lo1 x| 的单调递减区间是(1,+∞).( × )
2
)
题组二 回源教材
5.(人教A版必修第一册习题4.4第1题改编)函数 y= 0.5 (4-3) 的定义域
2011年高考数学一轮复习(共87节)2.6 对数函数与幂函数
（2） ，把函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数 的图象．
8．已知函数 （ 且 ）．
求证：（1）函数 的图象在 轴的一侧；
（2）函数 图象上任意两点连线的斜率都大于 ．
证明：（1）由 得： ，
∴当 时， ，函数 的定义域为 ，此时函数 的图象在 轴右侧；
【课内练习】
1．如果 ， ，那么（C）
A． B． C． D．
提示：当 时， ，答案为C．
2．设 且 那么 等于（B）
A． B． C． D．
提示：∵ ，∴
,答案为B．
3．对于幂函数 ，若 ，则 ， 大小关系是（A）
A． B．
C． D．无法确定
4．下列函数中，在 上为增函数的是（D）
A． B． C． D．
（3）函数 的图像关于（C）
A． 轴对称B． 轴对称C．原点对称D．直线 对称
提示： ，由 得函数的定义域为
∵ ，∴ 为奇函数，答案为C．
（4）函数 的值域是
提示：令 ， ， ．
（5）下列命题中，正确命题的序号是④
①当 时函数 的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；
③若幂函数 是奇函数，则 是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限．
又∵ ，∴ 为奇函数．
6．（1）若 ，试比较 ， ， 的大小；
（2）若 ，且 ， ， 都是正数，试比较 ， ， 的大小．
解：（1）由 得 ，∴ 且
故 ．
（2）令 ，由于 ， ， 都是正数，则 ， ， ， ，
∴ ，∴ ；
同理可得： ，∴ ，∴ ．
高考数学一轮复习对数与对数函数
2．谨防2个失误点 (1)凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略． (2)在解决对数型复合函数时，当底数a的范围没有明确时，必须分0<a<1
和a>1两种情况讨论．
考法一 对数式的化简与求值(自主练通)
1．(2020·全国Ⅰ卷)设 alog34＝2，则 4－a＝
()
1 A.16
B．19
靠近 y 轴，但不会与 y 轴相交． (2)不论 a>1 还是 0<a<1，对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象都经过
点1a，－1，(1,0)，(a,1)，且图象都在 y 轴右侧，据此可以快速画出对 数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的大致图象． (3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象 (C1，C2，C3，C4 对应的底数依次为 a，b，c，d)的相对位 置与底数大小有关．图中 0<c<d<1<a<b.
恒等式
注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用
将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则 拆分
化简
将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数 合并
的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算
考法二 对数函数的图象及其应用 [典例] (1)函数 f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为
答案：D
2．若方程 4x＝logax 在 0，12上有解，则实数 a 的取值范围为________．
解析：构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a>1 时不满
足条件，当 0<a<1 时，画出两个函数在 0，12上的图象，
高考数学复习考点知识讲解课件11 对数与对数函数
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[解析] 由 y＝ln(1－x)可得 ey＝1－x，即 x＝1－ey，因为函数 f(x)与 y＝ln(1－x)的图 象关于直线 y＝x 对称，所以 f(x)＝1－ex.
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核心考点突破
02
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考点一 对数的运算——自主练透
对点训练
1．(2022·浙江卷)已知 2a＝5，log83＝b，则 4a－3b＝( C )
对点训练 1．函数 y＝lo1g3x的图象大致是( D )
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[解析] 当 x＝3 时，y＝1，即函数图象过点(3,1)，排除 A；因为 y＝log3x 为增函数， 所以 y＝lo1g3x在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，排除 B，C.故选 D.
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只需 f1(x)＝(x－1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)＝logax 图象的下方即可．
当 0<a<1 时，显然不成立；
当 a>1 时，如图，要使 x∈(1,2)时 f1(x)＝(x－1)2 的图象在 f2(x)＝logax 的图象下方，
只需 f1(2)≤f2(2)，
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(2)对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
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对数与对数函数-高考数学复习课件
故有ቊ
解得1＜ a ≤3.
6 − 2≥0，
(2)(2024·河南郑州模拟)设函数 f ( x )＝ln｜ x ＋3｜＋ln｜ x －3｜，则
f ( x )( A
)
A. 是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B. 是奇函数，且在(－3，3)上单调递减
C. 是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
因为0＜ a ＜ b ，所以ln a ＜0，ln b ＞0，
所以0＜ a ＜1， b ＞1，
所以－ln a ＝ln b ， 所以ln a ＋ln b ＝ln( ab )＝0，
1
所以 ab ＝1，则 b ＝ ，
2
所以 a ＋2 b ＝ a ＋ .
2
令 g ( x )＝ x ＋ (0＜ x ＜1)，
a ＞1
0＜ a ＜1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
性质
R
过定点 (1，0)
，即 x ＝ 1
时， y ＝ 0
a ＞1
0＜ a ＜1
当 x ＞1时， y ＞0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＜0
性质
在(0，＋∞)上是 增
数
函
当 x ＞1时， y ＜0 ；
当0＜ x ＜1时， y ＞0
在(0，＋∞)上是 减
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 对数与对数运算
1. 对数的概念
如果 ax ＝ N ( a ＞0，且 a ≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
2011河北高考数学一轮复习知识点攻破习题对数与对数函数
解析：由 Iog 2a<0? 0<a<1，由 >1? b<0，故选 D.3个单位长度，再向上平移 3个单位长度，再向上平移 3个单位长度，再向下平移 3个单位长度，再向下平移x + 3答案：A- 1 b5. (2009 湖南高考)若 log 2a<0, £) >1，则() B . a>1, b<0 D . 0<a<1, b<0对数与对数函数 分值：100分 时间：45分钟 、选择题(每小题5分，共30分) 1.若函数y = f(x)的图象与函数y = Iog 2.x — 1的图象关于直线y = x 对称，则f(x — 1)=( ) B . 4x + A . 4x C . 2x 1 解析： 答案： 2. (2010深圳调研)若函数f(x)= log a (x + b)的图象如图1，其中 致图象是 函数 y = Iog 2 x — 1 的反函数为 y = f(x)= 4x + 二贝U f(x — 1)= 4x ,故选 A. A a , b 为常数，则函数g(x)= a x + b 的大 由题意得0<a<1,0<b<1，则函数g(x) = a x + b 的大致图象是 D. 答案：D 3. (2009北京高考)为了得到函数y = lg x + 3 盍的图象，只需把函数y = Igx 的图象上所有的点 解析：由 y = lg 石得 y = lg(x + 3)— 1, F 平移一个单位得 y = lg(x + 3) — 1的图象.故选 C. 答案：C4. (2009 全国卷 n )设 a = Iog 3 n b = Iog^/3, c = log^2，则 A . a>b>c B . a>c>b C . b>a>c D . b>c>a 1 由y = Igx 图象向左平移3个单位，得y = lg(x + 3)的图象，再向 1 q 解析：a = |og 3 n >1, b = Iog 2 .3 = ?log 23 € ?，1 c = log s ,2 = *log 32 € 0,12，故有 a>b>c.A .向左平移B .向右平移C .向左平移D .向右平移 1个单位长度1个单位长度1个单位长度1个单位长度 A . a>1 , b>0C . 0<a<1, b>0答案：D6. 函数f(x)= log a (x 1 2 — ax + 2)在区间(1 ,+^ )上恒为正值，则实数 a 的取值范围为() A . (1,2)B . (1,2] 5C . (0,1) U (1,2)D . (1 , 2) 2 2 解析：当 a>1 时，x — ax + 2>1，即 x — ax + 1>0 在 x € (1 , + ^ )上恒成立 /• 1— a + 1 > 0二 a < 2./• 1<a < 2;2 2 2当 0<a<1 时，0<x — ax + 2< 1，即 x — ax + 2>0 且 x — ax +1 < 0 在 x € (1, +)上恒成立，无解.综上，1<a < 2,故选 B.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)2 7. 方程 Iog 3(x — 10)=34 + |og 3X 的解是 _____________ .解析：log 3(x — 10)= log 33x ,3x>02x — 10>0 ，解得 x = 5 或 x =— 2(舍去).—10= 3xx = 5a>0, a 丰1,函数f(x) = log a (x 2— 2x + 3)有最小值，则不等式log a (x — 1)>0的解集为 ••• x 2— 2x + 3= (x — 1)2 + 2>0 恒成立.—2x + 3开口向上有最小值. • log a (x — 1)>log a 1 , x — 1>0 等价于，• x>2.x — 1>1•••不等式的解集{x|x>2}.1解析：•/ 2x w 256,且 log 2x > 寸，• 2< x < 8, • gxW 3,• f(x) = (log 2x — 1)(log 2X — 2)2=(log 2x) — 3log 2x + 23 2 1=(log 2X — 2) — 4，.1— =1 3-2三 l°g 2x w 3，而 2<2<3,Q•当 log 2x = 2，即卩 x = 2 一2时，1f(x)取得最小值为一4；当log 2x = 3,即x = 8时，f(x)取得最大值为2.1答案：2 —-4答案： &设 解析： 2 y = x•答案：{x|x>2}9 •已知x满足2x w 256，且log2x>扌，则函数f(x)= log z^log 2；的最大值和最小值分别为10. (2009南昌调研)已知函数y= f(x)的图象与函数y= a x(a>0, a丰1)的图象关于y = x对称，记g(x) =1f(x)［f(x) + f(2) - 1］.若y= g(x)在区间［q, 2］上是增函数，则实数a的取值范围为_________ .解析：g(x)变形化归为二次函数在区间上的单调性讨论求解.2由已知条件切入,g(x)= log a X(log a X+ log a2 —1) = (log a x) + (log a2 - 1)log a X.1①当0<a<1时，y= u= log a x为减函数，则g(u) = u2+ (log a2- 1)u在［Iog a2, log a?］上也为减函数，于是亠log a2— 1 1 1有- -- 2 ----- 》log a^? °<a W ^.2 1②当a>1时，y= u= log a x为增函数，则g(u)= u + (log a2 —1)u在［log a^, log a2］上也为增函数，于是有log a2 —1 1 1——2 w loga1? a€ ?，由①②得 a € (0, 2］.1答案：(0,才三、解答题洪50分)11. (15分)设P :关于x的不等式2|x|<a的解集为？，Q:函数y= lg(ax2—x+ a)的定义域为R.如果P 和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围.解：P: •/ 2x|> 1,且不等式2M<a的解集为？，••• a w 1.Q: ax —x+ a>0 恒成立.①若a= 0，则—x>0(不符合题意，舍去)；a>0, 1②若0，则？ a>》△= 1 —4a2<0 2••• P和Q有且仅有一个正确，• P真Q假或者P假Q真.1若P真Q假，则a w 1;若P假Q真，贝U a>1.1综上可得，所求a的取值范围为(一a, 2］U (1 ,+^).12. (15 分)已知函数f(x)= 3x+ k(k为常数)，A( —2k,2)是函数y = f—1(x)图象上的点.一1(1) 求实数k的值及函数f (x)的解析式；⑵将y= f—1(x)的图象按向量a = (3,0)平移，得到函数y= g(x)的图象，若2f—1(x^. m—3) —g(x)> 1恒成立，试求实数m的取值范围.解：(1) •/ A( —2k,2)是函数y= f— 1(x)图象上的点，• B(2, —2k)是函数y= f(x)上的点.•- —2k= 32+ k, • k= —3, • f(x) = 3x—3.•- y= f- (x)= Iog3(x+ 3)(x>—3).1(2) 将y= f-(x)的图象按向量a= (3,0)平移，得到函数y= g(x)= log3x(x>0),要使2f—1 (x+ . m—3) —g(x)> 1 恒成立，即使2log3(x+ .m) —log3x> 1 恒成立.•••有x+ m+ 2 m> 3在x>0时恒成立，x只要(x+ m + 2 - m) min》3.又x + mm>2 m(当且仅当x= m，即x= 时等号成立)，「.(x+ —+ 2 m)min = 4 m, x x x即4 m》3. ■/ m>磊.q•••实数m的取值范围为【16，+ s)•13. (20分)(2010衡水模拟)已知集合P= ［1, 2］,函数y= Iog2(ax2—2x+ 2)的定义域为Q.(1)若P A Q M ?，求实数a的取值范围；1⑵若方程Iog2(ax2—2x+ 2) = 2在［?, 2］内有解，求实数a的取值范围.解：(1)若P A Q M ?，则在x€ ［1, 2］内，至少有一个值x使得ax2—2x+ 2>0成立，1 —2 2、即在x€ ［-, 2］内，至少有一个值x使得a>—厂+ 2成立.2 x x、九 2 2 112 1设尸—x2+厂—2(x —2) +2，1 1当x€【2, 2］时，让［—4, 2】• • a> — 4.所以实数a的取值范围是{a|a> —4}.2 1⑵方程Iog2(ax2—2x+ 2) = 2在転,2］内有解,2 1则ax2—2x— 2 = 0在纭，2］内有解.1 2 2即在x€ ［-, 2］内有值x使得a = -2+ 2成立，2 x x尸x2+2= 2(-+ 2)2— 2.“XX x 2 213 3当x € 転,2］时，让［2，12］, • a € 転,12］.3所以实数a的取值范围为a€纭,12］.。
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课时训练13 对数与对数函数【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.已知log 7［log 3(log 2x)］=0,那么21-x 等于（ ） A.31B.321C.221D.331答案：C解析：log 7［log 3(log 2x)］=0⇒log 3(log 2x)=1,log 2x=3.∴x=23=8,22182121==--x .2.若2.5x =1 000,(0.25)y =1 000,那么y x 11-等于（ ） A.21B.31C.41D.51答案：B解析：2.5x =1 000⇒x ·lg2.5=3, ∴311=x lg2.5. 同理311=y lg0.25. ∴3111=-y x (lg2.5-lg0.25)=3113lg10=31.3.函数f(x)=)1(log 221-x 的定义域是（ ）A.［-2，-1)∪（1，2]B.（-2，-1）∪（1，2）C.［-2，1)∪（1，2]D.（-2，-1）∪（1，2）答案：A解析：由21log (x 2-1)≥0得0<x 2-1≤1,1<x 2≤2,∴-2≤x<-1或1<x ≤2.4.若1<a<2,则函数y=log a (x+2)-1的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：当x>0时，y=log a (x+2)-1>log a a-1=0,故不经过第四象限.5.(2010北京西城区一模，4)若函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈],1,0[,4),0,1[,)41(x x x x 则f(log 43)等于…( ) A.31 B.3 C.41 D.4 答案：B解析：∵log 43∈［0，1］.∴f(x)=4log 43=3.故选B.6.当a>1,在同一坐标系中，函数y=a -x 和y=log a x 的图象是（ ）答案：A解析：∵a>1,∴0<a 1<1,故y=a -x =(a1)x 单调递减.故选A. 7.(2010江苏金陵中学模拟，5)设函数f(x)=1-x 2+21log (x-1),则下列说法正确的是（ ） A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值答案：D解析：∵x>1，∴y 1=1-x 2在(1,+∞)递减.y 2=21log (x-1)在（1，+∞）上递减，∴f(x)在（1，+∞）上是减函数，且f(x)无最值.二、填空题（每小题5分，共15分）8.设方程lg 2x+(lg2+lg3)·lgx+lg2·lg3=0的两根为x 1、x 2,那么x 1·x 2的值是________________.答案：-61 解析：lgx 1+lgx 2=-(lg2+lg3)lgx 1x 2=-lg6,x 1·x 2=-61. 9.函数f(x)= 31log (x 2-5x-6)的单调递减区间为________________.答案：（6，+∞）解析：∵y=31log t 递减，即求t=x 2-5x-6的递增区间且t>0,故f(x)的递减区间为（6，+∞）.10.关于函数f(x)=lg ||12x x +(x ≠0，x ∈R ),有下列命题,其中正确命题的序号是__________（把你认为都正确的序号都填上）.①函数y=f(x)的图象关于y 轴对称；②当 x>0时，f(x)是增函数；当x<0时, f(x)是减函数； ③函数f(x)的最小值是lg2；④当-1<x<0或x>1时，f(x)是增函数答案：①③④解析：设t=||12x x +,则t ≥||||2x x =2, ∴f(x)=lg2.易证函数t=||12x x +为偶函数,且x>0,t=x+x 1在（0，1）上递减，(1, +∞)递增.故f(x)在（-1,0）或（1，+∞）递增.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.设函数f(x)=log a (1-xa ),其中0<a<1. (1)证明f(x)是（a,+∞）上的减函数；（2）解不等式f(x)>1.(1)证明：任取x 1、x 2∈(a+∞),且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=log a (1-1x a )-log a (1-2x a )=log a )()(2112a x x a x x --. ∵)()(2112a x x a x x ---1=)()()()()(2121212112a x x x x a a x x a x x a x x --=----, ∵0<a<1,a<x 1<x 2, ∴)()(2112a x x a x x -->0,且)()(2112a x x a x x ---1<0， 即0<)()(2112a x x a x x --<1, ∴log a)()(211a x x a x -->0. ∴f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.（2）解析：解法一：∵0<a<1,∴f(x)>1⇔log a (1-x a )>log a a ⎪⎩⎪⎨⎧<->-⇔)2(.1)1(,01a xa x a解不等式①得，x>a 或x<0.解不等式②得，0<x<a a-1.∵0<a<1,∴a<a a-1,∴原不等式解集为{x|a<x<a a-1}.解法二：函数f(x)的定义域为{x|x>a 或x<0}.∵0<a<1,∴当x<0时，1-x a>1.∴f(x)=log a (1-x a)<0,不合题意.当x>a 时,解方程f(x)=1,得x=a a-1.由(1)知f(x)是(a,+∞)上的减函数,∴f(x)>1时,x<a a-1.∵a<a a-1,∴原不等式解集为{x|a<x<a a-1}.12.已知x 满足2(21log x)2+721log x+3≤0,求f(x)=(log 22x)·（log 24x ）的最小值和最大值.解析：∵2（21log x ）2+721log x+3=(221log x+1)(21log x+3)≤0,∴-3≤21log x ≤-21,21≤log 2x ≤3.令t=log 2x,则t ∈［21，3］，∴f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t-23)2-41.∵t ∈［21，3］，∴f(x)∈［-41，2］.∴f(x)的最小值和最大值分别为-41,2.13.已知函数f(x)=)1ln(e e x -+e x .(1)求证：f(x)>34; (2)设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)是f(x)的图象上任意两点.求证：直线AB 的斜率大于零.证明：（1）先求f(x)的定义域.由ln （e x -e 1）≥0得e x -e 1≥1即e x ≥e1+1, ∴x ≥ln(e 1+1).求得f(x)的定义域为［ln （e1+1）,+∞）. 由于ln(e x -e1)及e x 都是增函数，故f(x)在定义域内是增函数. ∴f(x)≥f ［ln(e 1+1)］=e 1+1=34131171828.21=+>+ . ∴f(x)>34. (2)设ln(e 1+1)<x 1<x 2, ∵y=f(x)在定义域内是增函数，∴y 1<y 2,故直线AB 的斜率k=1212x x y y -->0. 14.是否存在实数a ，使得f(x)=log a (ax-x )在［2，4］上是增函数？若存在，求出a 的取值范围. 解析：设t=x ,由ax-x >0⇒at 2-t>0, 即at(t-a1)>0. ∵a>0,t>0,∴t>a1时原式有意义. 又u(t)=at 2-t=a(t-a 21)2-a 41(t>a 1)是以t=a 21为对称轴的抛物线，且t=a 1>a 21,即定义区间（a1,+∞）在对称轴t=a 21的右侧. 故u(t)在定义区间上单调递增，要使原函数在［2，4］上单调递增，应满足：a>1,且a1≤2,解得a>1. ∴存在实数a, 只需a ∈(1,+∞)即可满足要求.轻松阅读放大你的优点一个穷困潦倒的青年，流浪到巴黎，期望父亲的朋友能帮自己找一份谋生的差事.“数学精通吗？”父亲的朋友问他.青年羞涩地摇头.“历史、地理怎么样？”青年还是不好意思地摇头.“那法律呢？”青年窘迫地垂下头.“会计怎么样？”父亲的朋友接连地发问.青年都只能摇头告诉对方——自己似乎一无所长，连丝毫的优点也找不出来. “那你先把自己的住址写下来吧，我总得帮你找一份事做呀.”青年羞愧地写下了自己的地址，急忙转身要走，却被父亲的朋友一把拉住了：“年轻人，你的名字写得很漂亮嘛，这就是你的优点啊，你不该只满足找一份糊口的工作.”把名字写好也算一个优点？青年在对方眼里看到了肯定的答案.数年后，青年果然写出享誉世界的经典作品.他就是家喻户晓的法国18世纪著名作家大仲马.世间许多平凡之辈，都拥着一些诸如“能把名字写好”这类小小的优点，但由于自卑等原因常常被忽略了，更不要说是一点点地放大它了.每个平淡无奇的生命中，都蕴藏着一座丰富的金矿，只要肯挖掘，沿着它也会挖出令自己都惊讶不已的宝藏……特困生今天我们班上有一个同学在制图课上睡觉，校长来到教室问：“这里有没有特困生.”只见这位同学站起来，迷迷糊糊地说：“我是特困生，我现在只想好好睡一觉！”。