成都华西中学数学一元二次方程单元测试卷附答案

当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
6．已知关于x的二次函数 的图象与x轴有2个交点.
（1）求k的取值范围；
（2）若图象与x轴交点的横坐标为 ，且它们的倒数之和是 ，求k的值.
【答案】（1）k＜- ；（2）k=﹣1
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．
3．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b2-4ac的范围可求解出k的值；
（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k的值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1的图象与x轴有两交点，
∴当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根．
（2）∵B，D的坐标分别为： ， ，
∴ , ,
由勾股定理有： ,
当 为等腰三角形时，
①如图所示，当 时，
,
∴ 点坐标为（ ，0）,
∴
②如图所示，当 时，
∵ ，
∴ ,
∴
③如图所示，当 时，
设P点坐标为：（ ，0）
则有： ， ，
∴ ，解之得：
∴ 点坐标为（ ，0）,
∴
综上所述，当 为1， ，4时， 为等腰三角形；
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用
5．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．
（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的 实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为± ，方程的另一个根是5．
（3）答：存在 ，使得 。
证明：∵A，B两点坐标分别为： ， ，
∴ , ,
又∵
∴
即有： ，
如图示，过D点作 交BP于点F,
∵ ，
∴ ,
设 ，根据勾股定理有： ，
并且 ，
则：
∴ ，
化简得： ，
解之得： （取正值），
即
∴ ．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程得解等知识点，在（2）中懂得分类讨论，在（3）中能做出垂线，利用面积求解是解题的关键．
(2)当 为何值时， 为等腰三角形；
(3) 点在运动过程中，是否存在 ，使得 ，若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由！
【答案】（1）（4，4），（ ，0）；（2）1， ，4；（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）利用平行四边形的性质和根据P点的运动速度，利用路程公式求解即可；
（2）分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，分别讨论求解，即可得出结果；
【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；
（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.
（2）见解析,
（3）AM的解析式为 ．
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式
∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．
解得k＜- ；
（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0．
则x1+x2=2k-1，x1•x2=k2+1，
∵ = = = ，
解得：k=-1或k= （舍去），
∴k=﹣1
7．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数 ，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数 的零点．
4．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，
整理得：x2﹣65x﹣750=0，
（x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x）=84%，
（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC；②FG=GC；分别求解可得．
【详解】
（1）由折叠易知， ，设 ，则有 ，
由勾股定理，得 ，解得 ，即
（2）由折叠易知， ，而当 时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，
当 时，FG的值最小，即此时AF能取得最小值，
当 时，点E与点B重合，
（3）过D点作 交BP于点F，设 ，则可得 ， ， ,利用 ，即可求出 的长，利用路程公式可求得 的值。
【详解】
解：（1）∵ ， ，四边形 为平行四边形，
∴点 坐标为（4，4），
又∵ 为 轴上一动点，点 从原点 出发，沿着 轴正半轴方向以每秒 个单位长度运动， 点运动时间为 ，
∴ 点坐标为（ ，0），
【详解】
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是 ，
，
解得， ， （舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有 （万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是： ，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.
【详解】
（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
此时四边形AEGF是正方形，
折痕 .
（3）由△CFG是以FG为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：
（1）当 时，求AE的长；
（2）当AF取得最小值时，求折痕EF的长；
（3）连接CF，当 是以CG为底的等腰三角形时，直接写出BG的长.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据折叠得出AE=EG，据此设AE=EG=x，则有BE=6-x，由勾股定理求解可得；
（2）由FG⊥BC时FG的值最小，即此时AF能取得最小值，显然四边形AEGF是正方形，从而根据勾股定理可得答案；
【详解】
（1）当 =0时，该函数的零点为 和 ．
（2）令y=0，得△=
∴无论 取何值，方程 总有两个不相等的实数根．
即无论 取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有 ，
由 解得 ．
∴函数的解析式为 ．
令y=0，解得
∴A( )，B(4,0)
作点B关于直线 的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线 的交点就是满足条件的M点．
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解 ：∵方程的一个根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=± ，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m的值为± ，方程的另一个根是5．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】