2007年高考真题(天津卷)(数学文)

绝密 ★ 启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：·如果时间A ，B 互斥，那么·球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24S R π=.·如果事件A ，B 相互独立，那么其中R 表示球的半径.P （A·B ）=P （A ）·P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合{}12S x R x =∈+≥，{}2,1,0,1,2T =--，则S T =A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2、设变量x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数24z x y =+的最大值为A ．10B ．12C ．13D ．143、“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5、函数2log (4)y x =+（0>x ）的反函数是A ．24x y =+（2>x ）B ．24x y =+（0x >）C ．24x y =-（2>x ）D ．24x y =-（0x >）6、设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是A ．若a ，b 与α所成的角相等，则b a //B ．若α//a ，β//b ，βα//，则b a //C ．若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα//D ．若α⊥a ，β⊥b ，βα⊥，则b a ⊥7、设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为A ．1241222=-y x B ．1964822=-y x C ．132322=-y x D ．16322=-y x 8、设等差数列}{n a 的公差d 不为0，d a 91=．若k a 是1a 与k a 2的等比中项，则=kA ．2B ．4C ．6D ．89、设函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()x R ∈，则()f x A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数10、在)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =．若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()2f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是A ． )+∞B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．1⎡⎤-⎣⎦第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3．本卷共12小题，共100分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.） 11、从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 % . 12、921()x x +的二项展开式中常数项是___________（用数字作答）. 13、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为____________．14、已知两圆1022=+y x 和20)3()1(22=-+-y x 相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是 _________ _____．15、在ABC ∆中， 2=AB ，3AC =，D 是边BC 的中点，则=⋅_________ _____． 16、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．三、解答题（本题共6道大题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知2AC =,3BC =,4cos 5A =-. （1）求sinB 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18、（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球均为红球的概率； （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （2）证明AE ⊥平面PCD ； （3）求二面角C PD A --的大小．在数列}{n a 中，21=a ，1431n n a a n +=-+（*N n ∈）． （1）证明数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S ；（3）证明不等式14n n S S +≤对任意*N n ∈皆成立．21、（本小题满分14分）设函数()2()f x x x a =--（R x ∈），其中R a ∈．（1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）当0≠a 时，求函数)(x f 的极大值和极小值；（3）当3a >时，证明存在[]1,0k ∈-，使得不等式()()22cos cos f k x f k x -≥-对任意的x R ∈恒成立。

已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆上的一点，212F F AF ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为||311OF ． （1）证明b a 2=；（2）求()0,t b ∈使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点()00,M x y 处的切线交椭圆于1Q ,2Q 两点，则12OQ OQ ⊥.参考答案一、选择题 1．B2．C3．C4．A5．C6．D7．D8．B9．A10．A二、填空题11.70 12.84 13.π14 14.03=+y x 15.5216.630 三、解答题17、本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等基础知识，考察基本运算能力.满分12分.（1）解：在ABC ∆中，3sin 5A ===.由正弦定理，sin sin BC AC A B =，所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=. （2）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos B ===22117cos 22cos 1212525B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=.因此，17117sin 2sin 2cos cos2sin 66625225250B B B πππ⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭. 18、本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.（1）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B.由于事件A 、B 相互独立，且23271()7C P A C ==，25295()18C P B C ==.故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=. （2）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒人取出的2个球均为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件 D.由于事件C ，D 互斥，且11234422792()21C C C P C C C ⋅=⋅=，112544227910()63C C C PD C C =⋅=.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=. 19、本小题考查直线与平面垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.（1）解：在四棱锥ABCD P -中，因⊥PA 底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA AB ⊥.又AB AD ⊥，PA AD A = ，从而AB ⊥平面PAD故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角。

在Rt PAB ∆中，AB PA =,故45APB ∠=.所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45.（2）证明：在四棱锥ABCD P -中，因⊥PA 底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥.由条件CD AC ⊥，PA AC A = ，所以CD ⊥平面PAC ， 又AE ⊂平面PAC ，所以AE CD ⊥.由BC AB PA ==，60=∠ABC ，可得PA AC =.因为E 是PC 的中点，所以PC AE ⊥. 又C CD PC = ，综上得⊥AE 平面PCD .（3）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM .由（2）知，⊥AE 平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥.因此AME ∠是二面角C PD A --的平面角. 由已知，得30=∠CAD . 设a AC =，可得a PA =，a AD 332=，a PD 321=，a AE 22=. 在ADP Rt ∆中，因为PD AM ⊥，所以AD PA PD AM ⋅=⋅，则a a aa PDADPA AM 772321332=⋅=⋅=. 在AEM Rt ∆中，414sin ==AM AE AME . 所以二面角C PD A --的大小是414arcsin. 20、本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.满分12分.（1）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得()()114n n a n a n +-+=-，*N n ∈.又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列. （2）解：由（1）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+.所以，数列{}n a 的前n 项和()14132n n n n S +-=+. （3）证明：对任意的*N n ∈，()()()()121121414114434032322n n n n n n n n S S n n +++++⎛⎫---=+-+=-+-≤ ⎪⎝⎭ 所以不等式14n n S S +≤对任意*N n ∈皆成立.21、本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程、函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。