【状元之路】2017届高三数学一轮总复习开卷速查 选修4-5-2 不等式的证明 Word版含解析(数理化网)
2017年高考数学(理)一轮总复习课件：选修4-5 不等式选讲
【变式训练】 1.“|x－A|<ε，且|y－A|<ε”是“|x－y|<ε”(x，y，A，ε∈R)的( )
2
2
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
ε
ε
解析：若|x－A|<2，|y－A|<2，
则有|x－y|＝|x－A＋A－y|＝|(x－A)＋(A－y)|
推论：如果 a、b、c∈(0，＋∞)，则a＋3b＋c≥ 3 abc(当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”)． 2．一般形式的平均值不等式
如果 ai∈(0，＋∞)(n＝1，2，…，n)，则a1＋a2＋n …＋an≥ n a1a2…an(当且仅当 a1＝a2 ＝…＝an 时取“＝”)．
3．平均值不等式的变形 如果 ai∈(0，＋∞)(n＝1，2，…，n)，则：
已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不
等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤
第一步：作出与所证不等式_相___反____的假设；
第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而 证明原不等式成立．
第二十五页，编辑于星期六：二点 四十九分。
(5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放__大__或__缩__小____，以利于化简，并使它与不 等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法 设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题 P1(或 P0)成立；(2)在 假设 Pk 成立的前提下，推出 Pk＋1 也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 选修4—5 不等式选讲 第2课时 不等式的证明
< -1,
> 1,
-1
≤
≤
1,
则 f(x)<4 等价于
或
或
2 < 4,
2<4
-2 < 4
解得-2<x<-1或-1≤x≤1或1<x<2,所以集合M为(-2,2).
(2)证明:当a,b∈M时,即-2<a<2,-2<b<2,
∵4(a+b)2-(4+ab)2=4a2+4b2-16-a2b2=(a2-4)(4-b2)<0,
(1)解:由题可知 f(x)= 8-,-2 < < 3,
3-4, ≥ 3,
当x≤-2时,-3x+4≥10,
当-2<x<3时,f(x)=8-x∈(5,10),当x≥3时,f(x)=3x-4≥5,
所以函数f(x)的值域为[5,+∞).若不等式f(x)≥m恒成立,则m≤5.
(2)证明:由(1)可知a+b+c=5,
∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,
上述三式相加,得a2+b2+c2≥ab+ac+bc,
∴4=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥3ab+3ac+3bc,
∴ab+bc+ac≤
4
,当且仅当
3
2-
(2)
=
2
2-
,同理
2-
∴
2-
·
2-
·
2017年高考数学一轮复习课件：选修4-5 不等式选讲2
(2)分析法 证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充 分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定 义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成 立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证 明方法。
第十一页，编辑于星期六：二点 四十四分。
二、必明2●个易误点 1．用分析法证明不等式一定要注意格式规范。 2．运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当。
第四十页，编辑于星期六：二点 四十四分。
证明：∵a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴要证原不等式成立， 即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b ＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]， 也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋ c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b)。① ∵(c＋a)＋(a＋b)≥2 c＋aa＋b>0， (a＋b)＋(b＋c)≥2 a＋bb＋c>0。 (b＋c)＋(c＋a)≥2 b＋cc＋a>0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证。
第二十六页，编辑于星期六：二点 四十四分。
悟·技法 1．综合法证明不等式的方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等 式的左右两端之间的差异与联系。合理进行转换，恰当选择已 知不等式，这是证明的关键。 (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式 是最常用的。在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条 件。
解析：(1)因为(a2＋b2)(a－b)－(a2－b2)(a＋b)＝(a－b)[a2＋ b2－(a＋b)2]＝－2ab(a－b)。
又因为0<a<b，所以－2ab<0，a－b<0， 所以(a2＋b2)(a－b)－(a2－b2)(a＋b)>0， 所以(a2＋b2)(a－b)>(a2－b2)(a＋b)。
2017届高三数学(文)一轮复习选修4-5 不等式选讲4-5-2
微知识❷ 分析法 从所要证明的 结论 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立， 这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法。 微知识❸ 综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 推理、论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的 方法。
微考点
综合法证明不等式
【典例 3】已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： 1 1 1 (1)a＋b＋ab≥8；
[规律方法] 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要 不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用 分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆。
【微练 2】已知 a、b、c 均为正实数，且 a＋b＋c＝1， 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)。
选修部分 选修4－5 不等式选讲
第二节
不等式的证明
微知识
微考点 微考场
小题练
大课堂 新提升
微知识
小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单 微知识❶ 比较法 (1)求差比较法： 知道 a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明 a＞b，只要证明
a－b＞0
即可，这种方法称为求差比较法。
(2)求商比较法： a 由 a＞b＞0⇔b＞1 且 a＞0，b＞0，因此当 a＞0，b＞0 时要证明 a＞b， a ＞1 只要证明 b 即可，这种方法称为求商比较法。
证明：法一：(分析法)a3＋b3＞a2b＋ab2 成立， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立。 又因为 a＞0，b＞0，故只需证 a2－ab＋b2＞ab 成立， 而依题设 a≠b，则(a－b)2＞0 显然成立， 由此命题得证。 法二：(综合法)∵a≠b，∴a－b≠0， ∴a2－2ab＋b2＞0，∴a2－ab＋b2＞ab(*)。 而 a，b 均为正数，∴a＋b＞0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)， ∴a3＋b3＞a2b＋ab2 成立。
高考数学一轮复习全套教案选修4-5第2节不等式的证明方法
第二节 不等式的证明方法[考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β(α，β为非零向量)时，等号成立．(3)柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等．(1)比较法：①比差法的依据是：a －b >0⇔a >b ，步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．②比商法：若B >0，欲证A ≥B ，只需证A B ≥1.(2)综合法与分析法：①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论． ( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论． ( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)不等式：①x 2＋3＞3x ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③b a ＋a b ≥2，其中恒成立的是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②D [由①得x 2＋3－3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34＞0，所以x 2＋3＞3x ；对于②，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab ＜0时，b a ＋a b －2＝(a －b )2ab ＜0，即b a ＋a b ＜2，故选D.]3．若a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为( )A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>bA[“分子”有理化得a＝13＋2，b＝16＋5，c＝17＋6，∴a>b>c.]4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是________．4[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴1a＋1b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．]用综合法与分析法证明不等式【例1】设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．[证明](1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得a＋b＞c＋d.②充分性：若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因为|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．[规律方法]分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程.设x≥1，y≥1，求证：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.[证明]由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．用放缩法证明不等式【例2】若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.[证明]当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b | ＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.[规律方法] 1.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如.上面不等式中k ∈N *，k ＞1； (2)利用函数的单调性；(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则.2.在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1. [证明] 由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ； 当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ； …当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n＜1n ， ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1.∴原不等式成立．柯西不等式的应用c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.[证明]由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.[规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝3 3.求证：x2x＋2y＋3z＋y2y＋2z＋3x ＋z2z＋2x＋3y≥32.[证明]由柯西不等式及题意得，x2x＋2y＋3z ＋y2y＋2z＋3x＋z2z＋2x＋3y·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝183，∴x2x＋2y＋3z＋y2y＋2z＋3x＋z2z＋2x＋3y≥27183＝32，当且仅当x＝y＝z＝3时，等号成立.1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2； 当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b|＜|1＋ab |.。
新高考数学一轮总复习课件选修4-5第二节证明不等式的基本方法
【解析】(1)①当 x≥3 时，|x－3|＜x＋1 等价于 x－3＜x＋1，不等式恒成立， 所以 x≥3； 当 x＜3 时，|x－3|＜x＋1 等价于 3－x＜x＋1，即 x＞1，所以 1＜x＜3， 综上可知，不等式 f(x)＜x＋1 的解集为 M＝{x|x＞1}．
②因为(a2＋1)(b2＋1)－(2a2＋2b2) ＝(ab)2＋a2＋b2＋1－2a2－2b2 ＝(ab)2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)， 又因为 a，b∈M，所以 a＞1，b＞1， 因此 a2＞1，b2＞1，a2－1＞0，b2－1＞0， 所以(a2－1)(b2－1)＞0， 所以原不等式(a2＋1)(b2＋1)＞2a2＋2b2 成立．
(2)作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．
【变式训练】 当 p，q 都是正数且 p＋q＝1 时，试比较(px＋qy)2 与 px2＋qy2 的大小．
【解析】(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2) ＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p. 所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2. 因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当 x＝y时，等号成立．
第二节 证明不等式的基本方法
梳理自测 通必备知识
1．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_2_a_b_，当且仅当_a_＝__b_时，等号成立．
定理2：如果a，b＞0，那么 a b ab ，当且仅当a__＝_b__时，等号成立，即两
2
个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．
2017届新课标高考总复习·数学课件：选修4-5 第2节 不等式证明的基本方法
已知 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)·1a＋1b＋1c≥3·3
3 abc·3·
a1bc＝9
当且仅当 a＝b＝c＝13时等号成立．
第二十页，编辑于星期六：点 五十七分。
[典题 3] (2015·陕西高考)已知关于 x 的不等式|x＋a|＜b 的解集为{x|2＜x＜4}．
第二十五页，编辑于星期六：点 五十七分。
[方法技巧] 证明不等式的方法和技巧 (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析 法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、 唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考 虑用数学归纳法等． (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化 对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简 化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝 对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略， 而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．
第十五页，编辑于星期六：点 五十七分。
证明：由 a，b 是非负实数，作差得 a3＋b3－ ab(a2＋b2) ＝a2 a( a－ b)＋b2 b( b－ a) ＝( a－ b)(( a)5－( b)5)． 当 a≥b 时， a≥ b，从而( a)5≥( b)5， 得( a－ b)(( a)5－( b)5)≥0； 当 a<b 时， a< b，从而( a)5<( b)5， 得( a－ b)(( a)5－( b)5)>0. 所以 a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
第七页，编辑于星期六：点 五十七分。
2017高考数学一轮总复习(文理科)配套课件：选修4-5 不等式选讲 第一节
第十五页，编辑于星期六：二十点 四十三分。
第一节
选修4-5
绝对值不等式
主干知识回顾
名师考点精讲
-16-
【变式训练】
(2015·
河西五市联考)已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.
(1)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x);
(2)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围.
名师考点精讲
-15-
与绝对值不等式有关的参数取值
范围的几类问题以及解法
与绝对值不等式有关的参数的取值范围问题常见的是不等式有解、不等式恒成立这两类,解决方法一般是两
种,一是分离参数,二是函数最值,一般利用函数最值较多,如不等式 f(x)>a 有解,则 f(x)max>a,若 f(x)>a 恒成立,
则 f(x)min >a.
【解题思路】(1)利用零点分区间讨论法去掉绝对值;(2)去绝对值后利用分离参数法将问题转化为函数最值,
再利用导数、数形结合法等求解最值.
第十三页，编辑于星期六：二十点 四十三分。
第一节
选修4-5
绝对值不等式
主干知识回顾
名师考点精讲
-14-
【参考答案】(1)当 a=2 时,不等式 f(x)<x,即 x|x-2|<x,显然 x≠0.
.
3.(-∞,-1]∪[4,+∞) 【解析】
解不等式|x-a|≥2 得 x≥a+2 或 x≤a-2,所以 a+2≤1 或 a-2≥2,解得 a≤-1 或 a≥4.
第六页，编辑于星期六：二十点 四十三分。
选修4-5
第一节
绝对值不等式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
开卷速查(选修4－5－2) 不等式的证明
1．[2014·江苏]已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy 。
证明：因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0,1＋x 2＋
y ≥33x 2y ＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33
x 2y ＝9xy 。
2．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：
(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；
(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1。
证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 。
由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，
即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，
所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13。
(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，
故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，
即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c 。
所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1。
3．[2015·课标Ⅱ]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：
(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件。
证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，
由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2。
因此a ＋b ＞c ＋d 。
(2)(ⅰ)若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd 。
因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd 。
由(1)得a ＋b ＞c ＋d 。
(ⅱ)若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，
即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd ，
因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd 。
于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2，因此|a －b |＜|c －d |。
综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件。
4．[2015·湖南]设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b 。
证明：
(1)a ＋b ≥2；
(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立。
证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1。
(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立。
(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾。
故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立。
5．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1。
记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N 。
(1)求M ；
(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2
≤14。
解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1)。
当x ≥1时，
由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；
当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1，
所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫0≤x ≤43。
(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4， 解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫－14≤x ≤34， 故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34。
当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，
于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2
＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14。
6．[2016·张掖一诊]已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]。
(1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9。
解析：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，
所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，
由|x |≤m 有解，得m ≥0，
且其解集为{x |－m ≤x ≤m }。
又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1。
(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，
又a ，b ，c ∈R ＋，
所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9，
所以a＋2b＋3c≥9。