反馈线性化的初等理论
反馈线性化控制器与id=O矢量控制器的比较
的依 赖 性 和 其 变化 的 敏 感 性 均 增 强 。
关键词 ： 永 磁 同步 电动机 ； ｄ ＝ Ｏ 矢 量控 制器 ； 反馈 线 性 化控 制器 ； 仿 真
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｍ３ ４ １ 文献标志码 ： Ａ
Ｃｏ ｍ ｐａ ｒ ｉ ｓ ｏ ｎ Ｂｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ＝ Ｏ Ｖｅ ｃ ｔＦｅ ｅ ｄ ｂａ ｃ ｋ Ｌｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｃｏ ｎｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ
ｔ ｉ ｏ ｎ， ｆ ｅ ｅ ｄ ｂ ａ ｃ ｋ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｌ ｅ ｒ ｐ ａ ｒ ｍ ｅ ａ ｔ ｅ ｓ ｒ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｃ ｅ ｎｄ ａ ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｎ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｅ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ｅ ｎ ｈ ａ ｎ ｃ ｅ ｄ ．
Ｓ Ｏ Ｎ Ｇ Ｘ ｉ ａ ｏ － ｊ ｉ ｎ ｇ
（ Ｚ ｈ ｏ ｎ ｇ ｈ ｕ ａ ｎ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ ３ ０ ０ ３ ８ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
第3章基于Simulink的神经网络
这三种神经网络结构分别是： ．神经网络模型预测控制(NN Predictive Controller) ．反馈线性化控制(NARMA-L2 Controller) ．模型参考控制(Model Reference Controller) 使用神经网络进行控制时，通常有两个步骤：系统辨识和控制设计。
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3.2 基于Simulink的神经网络控制系统 神经网络在系统辨识和动态系统控制中已经得到了非常成功的使用。由于神经网络具有全局逼近能力，使得其在对非线性系统建模和对一般情况下的非线性控制器的实现等方而应用的比较普遍。本节将介绍三种在神经网络工具箱的控制系统模块(Control Systems)中利用Simulink实现的比较普遍的神经网络结构，它们常用于预测和控制，并已在MATLAB对应的神经网络工具箱中给出了实现。
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在系统辨识阶段，主要任务是对需要控制的系统建立神经网络模型；在控制设计阶段，主要使用神经网络模型来设计（训练）控制器。在本节将要介绍的三种控制网络结构中，系统辨识阶段是相同的，而控制设计阶段则各不相同。 对于模型预测控制，系统模型用于预测系统未来的行为，并且找到最优的算法，用于选择控制输入，以优化未来的性能。 对于NARMA-L2（反馈线性化）控制，控制器仅仅是将系统模型进行重整。 对于模型参考控制，控制器是一个神经网络，它被训练以用于控制系统，使得系统跟踪一个参考模型，这个神经网络系统模型在控制器训练中起辅助作用。
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1. 传输函数模块库(Transfer Functions) 用鼠标的左键双击Transfer Functions模块库的图标，便可打开如图3-2所示的传输函数模块库窗口。传输函数模块库中的任意一个模块都能够接受一个网络输入向量，并且相应地产生一个输出向量，这个输出向量的组数和输入向量相同。 图3-2 传输函数模块库窗口
自动控制原理第十章非线性控制系统
自动控制原理第十章非线性控制系统非线性控制系统是指系统动态特性不能用线性数学模型表示或者用线性控制方法解决的控制系统。
非线性控制系统是相对于线性控制系统而言的，在现实工程应用中，许多系统经常具有非线性特性，例如液压系统、电力系统、机械系统等。
非线性控制系统的研究对于实现系统的高效控制和稳定运行具有重要意义。
一、非线性控制系统的特点1.非线性特性：非线性控制系统的动态特性往往不能用线性方程或者线性微分方程描述，经常出现非线性现象，如饱和、死区、干扰等。
2.多变量关联：非线性系统动态关系中存在多个变量之间的相互影响，不同变量之间存在复杂的耦合关系，难以分离分析和解决。
3.滞后响应：非线性系统的响应时间较长，且在过渡过程中存在较大的像后现象，不易预测和控制。
4.不确定性：非线性系统通常存在参数变化、外部扰动和测量误差等不确定性因素，会导致系统性能变差，控制效果下降。
二、非线性控制系统的分类1.反馈线性化控制：将非线性系统通过适当的状态反馈、输出反馈或其它形式的反馈转化为线性系统，然后采用线性控制方法进行设计。
2.优化控制：通过建立非线性系统的数学模型，利用优化理论和方法，使系统达到其中一种性能指标最优。
3.自适应控制：根据非线性系统的参数变化和不确定性，设计自适应控制器，实时调整控制参数，以适应系统的动态变化。
4.非线性校正控制：通过建立非线性系统的映射关系，将测量信号进行修正，以减小系统的非线性误差。
5.非线性反馈控制：根据非线性系统的特性，设计合适的反馈控制策略，使得系统稳定。
三、非线性控制系统设计方法1.线性化方法：通过将非线性系统在其中一工作点上线性化，得到局部的线性模型，然后利用线性控制方法进行设计和分析。
2.动态编程方法：采用动态系统优化的方法，建立非线性系统的动态规划模型，通过求解该模型得到系统的最优控制策略。
3.反步控制方法：通过构造适当的反步函数和反步扩散方程，实现系统状态的稳定和输出的跟踪。
无人机飞行控制方法概述
2017-10-08 GaryLiu 于四川绵阳无人机的飞行控制是无人机研究领域主要问题之一。
在飞行过程中会受到各种干扰，如传感器的噪音与漂移、强风与乱气流、载重量变化及倾角过大引起的模型变动等等。
这些都会严重影响飞行器的飞行品质，因此无人机的控制技术便显得尤为重要。
传统的控制方法主要集中于姿态和高度的控制，除此之外还有一些用来控制速度、位置、航向、3D轨迹跟踪控制。
多旋翼无人机的控制方法可以总结为以下三个主要的方面。
1.线性飞行控制方法常规的飞行器控制方法以及早期的对飞行器控制的尝试都是建立在线性飞行控制理论上的，这其中就有诸如PID、H∞、LQR以及增益调度法。
1)PIDPID控制属于传统控制方法，是目前最成功、用的最广泛的控制方法之一。
其控制方法简单，无需前期建模工作，参数物理意义明确，适用于飞行精度要求不高的控制。
2)H∞H∞属于鲁棒控制的方法。
经典的控制理论并不要求被控对象的精确数学模型来解决多输入多输出非线性系统问题。
现代控制理论可以定量地解决多输入多输出非线性系统问题，但完全依赖于描述被控对象的动态特性的数学模型。
鲁棒控制可以很好解决因干扰等因素引起的建模误差问题，但它的计算量非常大，依赖于高性能的处理器，同时，由于是频域设计方法，调参也相对困难。
3)LQRLQR是被运用来控制无人机的比较成功的方法之一，其对象是能用状态空间表达式表示的线性系统，目标函数是状态变量或控制变量的二次函数的积分。
而且Matlab软件的使用为LQR的控制方法提供了良好的仿真条件，更为工程实现提供了便利。
4)增益调度法增益调度（Gain scheduling）即在系统运行时，调度变量的变化导致控制器的参数随着改变，根据调度变量使系统以不同的控制规律在不同的区域内运行，以解决系统非线性的问题。
该算法由两大部分组成，第一部分主要完成事件驱动，实现参数调整。
如果系统的运行情况改变，则可通过该部分来识别并切换模态；第二部分为误差驱动，其控制功能由选定的模态来实现。
自动控制原理反馈线性化知识点总结
自动控制原理反馈线性化知识点总结自动控制原理中，反馈线性化是一种重要的技术手段，用于对非线性系统进行线性化处理，以便于运用线性控制理论进行分析和设计。
本文将对反馈线性化的知识点进行总结。
一、反馈控制的基本原理反馈控制是指系统通过测量输出信号并与期望信号进行比较，从而产生控制信号作用于系统，使其输出信号趋近于期望值。
反馈控制可以提高系统的稳定性、精度和鲁棒性。
二、非线性系统的线性化1. 线性化的概念线性化是指通过近似处理使非线性系统在某一工作点附近表现出线性系统的特性。
线性化可以使非线性系统的分析和设计更加简化。
2. 线性化方法（1）泰勒级数展开法：通过对非线性函数进行泰勒级数展开，并保留一阶或二阶项，得到线性化后的系统模型。
（2）局部仿射变换法：通过适当的仿射变换，将非线性系统线性化为线性系统。
（3）偏微分方程法：对非线性系统的偏微分方程进行线性化处理，得到线性系统的模型。
三、反馈线性化的基本原理1. 概念反馈线性化是指通过设计反馈控制器，将非线性系统转化为线性系统。
2. 反馈线性化的步骤（1）选择工作点：选择一个具有良好控制性能的工作点作为线性化的基准。
（2）线性化建模：使用线性化方法得到系统在工作点附近的线性模型。
（3）设计反馈控制器：设计合适的反馈控制器，使得线性化后的系统具有期望的响应特性。
（4）验证和优化：通过仿真或实验验证线性化的效果，并对控制器进行优化。
四、反馈线性化的应用1. 飞行器控制在飞行器自动控制系统中，应用反馈线性化技术可以将飞行器的动力学模型线性化，从而进行姿态控制、航迹控制等任务。
2. 汽车悬挂系统控制反馈线性化技术可以将汽车悬挂系统的非线性特性线性化，实现对车身姿态的控制，提高汽车行驶的稳定性和舒适性。
3. 机器人控制在机器人的运动控制中，通过反馈线性化技术可以实现对机器人姿态和轨迹的精确控制，提高机器人的定位和导航能力。
五、反馈线性化的优缺点1. 优点（1）能够将非线性系统转化为线性系统，利用线性控制理论进行设计和分析。
反馈线性化原理与应用
第四章 反馈线性化原理的应用在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。
它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。
4.1零动态在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念—“零动态”。
在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点”极其类似的作用。
在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r 能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。
即若任何一个线性系统其相对阶r 严格小于其维数n ，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n ，则传递函数中就没有零点。
所以前节中精确线性化所讨论的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。
在这一节中这种类比将进一步推广。
考虑一个相对阶r 严格小于n 的非线性系统()()x f x g x u ⋅=+()y h x =则可通过坐标变换，变成正则形：()()()()()()Z x h x L h x L h x x x f f r r n ==⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-+φφφξη 11， ξ=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥z z r 1 ， η=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+z z r n 1 其中()()φφr n x x +⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1 ，若能使()L x g i φ=0, n i r ≤≤+1则可将系统变成下列形式：z z 12⋅= z z 23⋅=z z r r -⋅=1()()z b z a z u r ⋅=+ ()z q z r r +⋅+=11()z q z n n ⋅=或写成：()()ξξξξηξη⋅⋅=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥200 r b a u ,, ()ηξη⋅=q ,若x 0是使()()f x h x 0000==,的点，则在x 0一定有ξ=0，虽然此时η可以任意选择，但是不失一般性，可以选η=0，如果x 0是系统的一个平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。
6反馈线性化解析
2
1 非线性控制问题
如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性
影响很重要.
设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得 闭环系统呈现出期望的性态。 控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服) 镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被 镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制 跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输 出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行
s 2 2s 2 u yd s 1
系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散 即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。
所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐
近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪
6
2 期望性态的规定
线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形 时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等 对非线性系统的规定没这么系统化、明显 非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
12
6.1 直观概念
6.1.1 反馈线性化及其标准形
基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成 为一个线性系统。
例：控制水槽液位
考查控制一个水槽液面的高度h到一个特 定高度h_{d}.控制输入是水槽的输入流 量u,初始高度为h_{0}
水槽的系统模型为：
其中，A_{h}是水槽的横截面，a是出水管横截面
将被控对象动态 方程修改为所期 望的形式。
4
1.2 跟踪问题
给定非线性动力系统 x f ( x, u , t )， y h( x ) 和期望的输出轨线 yd , 寻找控制规律 u，使得系统从 中某个区域内的任意点 出发， 整个状态保持有界的同 时，跟踪误差 y (t ) yd (t )趋于零
第六章非线性系统的反馈线性化
第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是：（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过程可以微分几何方法；（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态，f(x)是光滑向量场，u是控制输入，B是输入矩阵且可逆。
设跟踪轨迹为x d 。
=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&（6.1）5其中，[]12,Tq q =q 为关节角，[]12,Tττ=τ为关节输入。
12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −，可变成仿射非线性系统（6.1）。
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第三章 反馈线性化的初等理论3.1 局部坐标变换我们将按照循序渐进的方式来研究有关于非线性系统的反馈控制规律的一系列问题。
首先我们在本章讨论单输入单输出系统，然后在后面的章节中将其大多数结果推广到多输入多输出系统。
1·相对阶（或相对度）定义单输入单输出系统若写成下列形式(称仿射非线性系统)()()u x g x f x+= （1·1a ） ()y h x = （1·1b ）则系统在点x 0上，说他具有相对阶r ，若下面两个条件成立 (对所有x 0的邻域上的x 及所有k<r-1)()()()()i L L h x ii L L h x g f k g f r =≠-0010注意在某些情况下相对阶不能被确定，事实上，当()L h x g ，()L L h x g f ，……函数序列的首函数不是一致为零（在x 0的邻域上），而在x=x 0点上又精确为零时就出现这种情况。
然而很清楚地，相对阶能够被确定的点的集合是系统（1·1）被定义的集合U 的一个稠密的开子集。
2·举例考虑状态空间的范德波尔振荡方程：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+=∙11222121012x x h y u x x x x u x g x f x ωμως 则：()()()[]()()()[]()()()()[]L L h x L h x hx g x L h x h x x f x x x L L h x L h x x g x g f g f g f f 02211001010010110==⋅=⎡⎣⎢⎤⎦⎥===*⎡⎣⎢⎤⎦⎥==⋅=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=≠∂∂∂∂∂∂∴我们可以看到在x 0为任意值时，其邻域上均有：()()()()i L L h x ii L L h x g f g f 0010==≠可得出 r-1=1 ，则即 r=2因此系统在任何点x 0上均有相对阶为2,然而若输出函数为 ()y h x x ==sin 2,那么()L h x x g =cos 2。
则当()21220π+≠k x ，则c os x 200≠，则系统的相对阶为1，否则若()21220π+=k x ，则c os x 200=，则系统的相对阶不能被确定。
3·关于相对阶的几点讨论：（1）对于线性系统，相对阶是其传递函数的分母阶次与分子阶次的差值。
对线性系统x Ax Bu y Cx∙=+=⎧⎨⎪⎩⎪ ，则：()()()()()()()()f x Ax g x B h x CxL h x h x x f x CAxL h x CA x L L h x CA Bf f k kg f k k ====⋅===∂∂则确定相对阶的条件变成：()()i CA B ii CA B k r =≠-001对所有 k<r-1 而传递函数为：()()H s C sI A B =--1由 Faddeev 公式：()()()()()01111132122111a s a s a s CB a B CA s CB a CAB a B CA s CB a CAB CBs BA sI C s H n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++++=-=---------- 则：若CAB 00≠，r-1=0，r=1，而此时分母与分子阶次差 1 阶若CAB 00=，而CAB ≠0，r-1=1，r=2，此时分母与分子阶次差2阶· · ·若()CA B CA B k r k 0001=⋅⋅⋅=<-,,，而CA B r -≠10，相对阶为r ，此时分母与分子阶次差 ()()n n r r ----=11 阶。
因此对于单输入单输出线性系统相对阶等于其传递函数分母阶次与分子阶次之差。
（2）在t t =0时刻，为了从输出()y t 得到()u t 0的显式表示，必需对()y t 进行微分的次数正好等于系统的相对阶r 。
若系统在t 0时刻，处于状态()x x t 00=，则()()()()y t h x t h x 00==以 ()()y t k k ,,,=⋅⋅⋅12 表示在t t =0时刻，()y t 对时间的各阶导数。
()()()()()()()()y t h x x dx dt h xf xg x u Lh x L h x uf g 1=⋅=+=+⋅∂∂∂∂ 若相对阶r=1，则()L h x g 00≠，所以对y 作一次微分就可以得到()u t 0的显式表示：()()()()()()u t L h x y t L h x gt f 00101=-若相对阶 r>1 则()L h x g 00=,所以()()()y t L h x f 1=，于是：()()()()()()()()()y t L h x x dxdt L h x xf xg x u Lh x L L h x uf f fg f 22=⋅=+=+⋅∂∂∂∂若相对阶r>2，则在t 接近于t 0的邻域上，()L L h x g f =0，而()()()y t L h x f 22=。
若相对阶为r ，则如此继续进行微分，可得()()()()y t L h x L L h x u r f r g f r =+⋅-1因为()L L h x g f r -≠100 ，所以()()()()()()()()()()()y t L h x L L h x u t u t L L h x y t L h x r tf rg f r g f r rtfro=+⋅=---01000101这就说明当系统的相对阶为 r 时，()u t 0可以用()y t 的 r 阶导数显式表示。
（3）r 是最大线性无关的下列行向量的数目：()()()dh x dL h x dL h x f f k 000,,,⋅⋅⋅即：若r 是系统的相对阶，则行向量组 ()()()dh x dL h x dL h x f f r 0010,,,⋅⋅⋅- 是线性无关的。
由此可见相对阶一定≤n ，因为（用反证法）若 r>n ， 则上述行向量组一定是线性相关的，所以 r 不可能大于 n 。
为了证明这一点需要进行一些数学推导，我们将这一推导分几个步骤，并且在本讲义中仅列出其要点：第一步 先来证明一个今后有用的定理：定理：令Φ是实值函数，f 和g 是向量场(均定义在n R 的开集上), 则对于任选的s,k,r>0,下列式子成立:∑=+-+Φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φri kf i s f i r f i r k f s f xg ad x dL L i r x g ad x dL 0)(),()1()(),( 其中*,*表示向量的内积,)!(!!i r i r i r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛表示从r 个不同的元素中取i 个的组合数。
该定理的证明是容易的，只要对r 进行归纳法即可,并且注意到下列事实:)](,[),()(),(1x g ad f x dL x g ad x dL rk fs f r k f s f +++Φ=Φ )(),()(),(1x g ad x dL x g ad x dL L rk fs f r k f s f f +++Φ-Φ=第二步 作为上述定理的直接推论,可得出下列两组条件是等价的:()()()()()i L x L L x L L x L L x g g f g f g f k φφφφ=====20 对于所有 x U ∈()()()()()ii L x L x L x L x g ad g ad g ad g f ffk φφφφ=====20 对于所有x U ∈第三步 根据相对阶的定义，再应用上述定理，可以得出对所有 i ，j 只要i j r +≤-2则：()()dL h x ad g x f j f i ,=0 对所有x 0的邻域上的x ；以及()()()()()dL h x ad g x L L h x f j f i r j g f r 0011010,=-≠---（只要i+j=r-1）因此下列矩阵： ()()()()()()[]()()()()dh x dL h x dL h x g x ad g x ad g xdh x ad g xdL h x g x f f r f f r f r f r 001000100101000----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=****⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥,,的秩是 r ，所以行向量组()()()dh x dL h x dL h x f f r 0010,,, -是线性无关的。
4·局部坐标变换及正则形（可以看作是相对阶的一种应用） 为了使系统的数学描述简化或便于应用，有时需要将原来用x 作为状态变量的系统方程通过坐标变换变成用Z 作为新的状态变量的系统方程。
若系统在x 0处有相对阶r ，则r n ≤ （i ）若r=n ，则我们可以选择：()()()()()()()z x h x z x L h x z x L h x L h x f n n f n f r 112211=======--φφφ()→=Z φx ，()()()()φφφφx x x x n =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥12 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()dz dt x x dx dt h x xf xg x uh x x f x h x xg x u L h x L h x u L h x z dz dt x x dx dt L h x xf xg x u Lh x L L h x u L h x z dz dt x x dx dt L h x xf xg x u L f g f f f g f f n n f n f n 112222231121=⋅=+=+⋅=+⋅===⋅=+=+===⋅=+=----∂φ∂∂∂∂∂∂∂∂φ∂∂∂∂φ∂∂∂()()()()()()()()()()()()()()h x L L h x uL h x L L h x u L h x z dz dt x x dx dt L h x xf xg x u Lh x L L h x uL h x L L h x ug f n f r g f r f r nn n f n f n g f n f r g f r +⋅=+⋅===⋅=+=+=+-------2121111∂φ∂∂∂其中因为r=n ，所以根据相对阶的定义：()()()L h x L L h x L L h x g g f g f r ====- 20 而()L L h x g f r -≠10又因 ()()Z =∴=-φφx x z 1令()()()()()()()()L h x L h z b z L L h x L L h z a z f r f r g f r g f r ====≠----φφ1111所以方程变换成：()()z z z z z z z b z a z un nn 12231∙∙∙-∙====+写成矩阵形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∙⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=1)(000)(32z y n u z a z b z z z Z(ii ）若r<n ，则选择：()()()()()()()()z x h x z x L h x z x L h x z x z x f r r f r r r n n 1122111========-++φφφφφ()()()()φφφφx x x x n =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥12这后面的 n-r 个函数在满足在x 0处有一个非奇异的雅可比矩阵的条件下（这样才有资格在x 0的邻域上成为局部坐标变换的变换矩阵）可以自由选择，但根据Frobenius 定理总有可能选择()()φφr n x x +1,, 使得：n i r x L i g ≤≤+=Φ1,0)(，x 在x 0的邻域上（证明见后面定理1·4）这样一来，新的状态方程就可写成：()())())(()()())(()(11111113221z q z L x L z z q z L x L z uz a z b z z z z z z z n n f n f n r r f r f r r rr =ΦΦ=Φ=⋅⋅=ΦΦ=Φ=+====-∙+-++∙+∙-∙∙∙写成矩阵形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∙⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅=100)(00)()()(132z y z n z r r u z a q q z b z z z Z这种形式的系统方程称为正则形，可用方块图表示：∙∙∙定理1.4: 假设系统在x o 处有相对阶r ，且r 是严格小于n 的，则取：()()()()()()φφφ121x h x x L h x x L h x f r f r ===-且总有可能找到另外n-r 个函数()()φφr n x x +1,, 使得映射()()()φφφx x x n =⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1 在x 0处有非奇异的雅可比矩阵，因而在x 0的邻域上有资格作为一个局部坐标变换阵，且这些附加函数在x 0处的值能够被任意确定。