6反馈线性化
永磁同步电机反馈线性化控制
基于Matlab的永磁同步电机反馈线性化控制的仿真***（江南大学物联网工程学院，江苏无锡214036）摘要：反馈线性化方法的目的是通过对非线性系统进行精确线性化处理后，将系统变换成线性系统，本文基此提出了永磁同步电机的反馈线性化控制方法，并利用Matlab软件进行了仿真。
在Simulink中搭建了反馈线性化控制模块、坐标变换模块、PMSM本体模块等。
通过对这些模块的有机组合，从而构建了PMSM反馈线性化控制系统的仿真模型，通过相应的示波器观测输出波形，并对仿真结果做了相应的分析。
关键词：PMSM;同步电机；反馈线性化；MatlabA Simulation of the Feedback Linearization Control of PermanentMagnet Synchronous Machine Based on Matlab***(College of Institute of Things, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214036，China) Abstract:Feedback linearization method is adopted for dealing with nonlinear systems, and after that it will change nonlinear system to linearization system. This article is based of the proposed, and give a synchronous motor feedback linearization control method, using matlab and software for simulation. In the simulation, we put up the feedback linearization control, coordinate transformation the module of PMSM, etc. Through the organic combination of these modules, we built the simulation model of PMSM feedback linearization control system, and observing the output wave with varied observations, and made an appropriate analysis of the simulation results.Keywords: PMSM; Permanent Magnet Synchronous；Feedback linearization；Matlab引言：同步电机是转子转速与定子旋转磁场的转速相同的交流电动机。
六自由度并联机器人线性化反馈RBF神经滑模控制研究
２２并 联 机器 人 的位 置 反解 及 运 动 学逆 解 ＿
首先在上下平 台各建立一坐标系 ， 如图 ２所示。 动坐标 系 Ｐ —
，
ｄ１ ｌ ｄ ｊｄ２ ｊ ３］ ｛ ｄ 。 Ｐ 。式中的 Ｔ ｊ ． ｄ ，－Ｘ Ｙ ｝ ｄ ，Ｉ 为上平台姿
ｌ３ｄ２ ３ ｊ ｄｆ ３ｄ３
坐标系的原点在 固定坐标系中的位置矢量。 当给定机构的各个结 制量。且假设 。 ，）０ｔ（ ，）０ （ ０ ＝ ，ｏＯ０ ＝ 。则有 ： ０ ｉ 构尺寸后 ， 就可以求出在定坐标下的值。 在此为了更好地表示空间某点所作 的平移变换和旋转变换 ，
利 用 齐次 坐标 来表 示点 的空 问位 置 ， 齐 次变换 矩 阵 来 表示 点 引入
难 以凑 效 ， 在 此 领 域 一 直 是 研 究 的 热 点 ， 此 国 内外 学 者 提 出 故 对
原点分 别位于二者的中心 Ｐ和 ０ 依 据并联机器人位姿描述以及 ，
空 间 变换 理 论 可 以得 到 ：在 动 坐 标 系 中 的 任一 向量 Ｒ 可 以 通过 坐标 变 换 的 方法 变 换 到 固定 坐 标 系 中 的 Ｒ。
第 ２期
２１ ０ ０年 ２月
文 章编 号 ：０ １ ３ ９ （ ００）２ ０ ５ — ３ １０ — ９ ７２ １ ０ — １９ ０
机 械 设 计 与 制 造
Ｍ ａ ｈ ｎ ｒ Ｄｅ ｉ ｎ ｃ ｉｅｙ ｓｇ ＆ Ｍａ ｕ ａ ｔ ｅ ｎ ｆ ｃｕｒ １９ ５
六 自由 并联机器人 线性化反馈 Ｒ Ｆ神经滑模控制研 究 术 度 Ｂ
图 １六 自由度 并联 机 器 人 的实 体 图
２６ Ｄ Ｆ 一 Ｏ 并联机器人运动控制模型
２１并 联 机器 人 的机 械 结构 ．
自动控制原理第十章非线性控制系统
自动控制原理第十章非线性控制系统非线性控制系统是指系统动态特性不能用线性数学模型表示或者用线性控制方法解决的控制系统。
非线性控制系统是相对于线性控制系统而言的，在现实工程应用中，许多系统经常具有非线性特性，例如液压系统、电力系统、机械系统等。
非线性控制系统的研究对于实现系统的高效控制和稳定运行具有重要意义。
一、非线性控制系统的特点1.非线性特性：非线性控制系统的动态特性往往不能用线性方程或者线性微分方程描述，经常出现非线性现象，如饱和、死区、干扰等。
2.多变量关联：非线性系统动态关系中存在多个变量之间的相互影响，不同变量之间存在复杂的耦合关系，难以分离分析和解决。
3.滞后响应：非线性系统的响应时间较长，且在过渡过程中存在较大的像后现象，不易预测和控制。
4.不确定性：非线性系统通常存在参数变化、外部扰动和测量误差等不确定性因素，会导致系统性能变差，控制效果下降。
二、非线性控制系统的分类1.反馈线性化控制：将非线性系统通过适当的状态反馈、输出反馈或其它形式的反馈转化为线性系统，然后采用线性控制方法进行设计。
2.优化控制：通过建立非线性系统的数学模型，利用优化理论和方法，使系统达到其中一种性能指标最优。
3.自适应控制：根据非线性系统的参数变化和不确定性，设计自适应控制器，实时调整控制参数，以适应系统的动态变化。
4.非线性校正控制：通过建立非线性系统的映射关系，将测量信号进行修正，以减小系统的非线性误差。
5.非线性反馈控制：根据非线性系统的特性，设计合适的反馈控制策略，使得系统稳定。
三、非线性控制系统设计方法1.线性化方法：通过将非线性系统在其中一工作点上线性化，得到局部的线性模型，然后利用线性控制方法进行设计和分析。
2.动态编程方法：采用动态系统优化的方法，建立非线性系统的动态规划模型，通过求解该模型得到系统的最优控制策略。
3.反步控制方法：通过构造适当的反步函数和反步扩散方程，实现系统状态的稳定和输出的跟踪。
自动控制原理反馈线性化知识点总结
自动控制原理反馈线性化知识点总结自动控制原理中，反馈线性化是一种重要的技术手段，用于对非线性系统进行线性化处理，以便于运用线性控制理论进行分析和设计。
本文将对反馈线性化的知识点进行总结。
一、反馈控制的基本原理反馈控制是指系统通过测量输出信号并与期望信号进行比较，从而产生控制信号作用于系统，使其输出信号趋近于期望值。
反馈控制可以提高系统的稳定性、精度和鲁棒性。
二、非线性系统的线性化1. 线性化的概念线性化是指通过近似处理使非线性系统在某一工作点附近表现出线性系统的特性。
线性化可以使非线性系统的分析和设计更加简化。
2. 线性化方法（1）泰勒级数展开法：通过对非线性函数进行泰勒级数展开，并保留一阶或二阶项，得到线性化后的系统模型。
（2）局部仿射变换法：通过适当的仿射变换，将非线性系统线性化为线性系统。
（3）偏微分方程法：对非线性系统的偏微分方程进行线性化处理，得到线性系统的模型。
三、反馈线性化的基本原理1. 概念反馈线性化是指通过设计反馈控制器，将非线性系统转化为线性系统。
2. 反馈线性化的步骤（1）选择工作点：选择一个具有良好控制性能的工作点作为线性化的基准。
（2）线性化建模：使用线性化方法得到系统在工作点附近的线性模型。
（3）设计反馈控制器：设计合适的反馈控制器，使得线性化后的系统具有期望的响应特性。
（4）验证和优化：通过仿真或实验验证线性化的效果，并对控制器进行优化。
四、反馈线性化的应用1. 飞行器控制在飞行器自动控制系统中，应用反馈线性化技术可以将飞行器的动力学模型线性化，从而进行姿态控制、航迹控制等任务。
2. 汽车悬挂系统控制反馈线性化技术可以将汽车悬挂系统的非线性特性线性化，实现对车身姿态的控制，提高汽车行驶的稳定性和舒适性。
3. 机器人控制在机器人的运动控制中，通过反馈线性化技术可以实现对机器人姿态和轨迹的精确控制，提高机器人的定位和导航能力。
五、反馈线性化的优缺点1. 优点（1）能够将非线性系统转化为线性系统，利用线性控制理论进行设计和分析。
基于动平衡状态理论的反馈线性化直接方法的改进
ｆｅ ｂ ｃ ｉ ｅ ｒｚ ｔｏ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｎ ｍｉ ｑ ｉ ｂ ｉｍ ｔ ｔ ｈ ｏ ｙ Ｉｓ ｆｒ ｓａ ｄｍ ｅ ｈ ｄ ｆ ｅ ｄ ａ ｋ ｌ ａ ｉａ ｉｎ ｂ ｓ ｄｏ ｈ ｙ ａ ｃｅ ｕ ｌ ｒｕ ｓａ ｅｔ ｅ ｒ ． ｔ ｏ ｍ ｎ ｔ ｏ ｓｏ ｎ ｉ ｄ ｉｇ ａｃ ｒａｎ ａ ｏ ｎ ｆｉ ｒ ｖ ｍ ｅ ｔ Ｂ ｃ ｕ ｅ ｏ ｈ ｏ ｅｔ ｏｎ ｅ ｔｉ ｍ ｕ ｔｏ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ． ｅ ａ ｓ ｆｔ ｅ ｎ ｖ ｌｙ，ｗｈ ｃ ｘ ｅ ｄ ｄ ｆｏ ｈ ｏ － ｉｈ ｅ ｔ ｎ ｅ ｒ ｍ ｔ ｅｃ ｎ
பைடு நூலகம்
法做 了一定 的改进 。由于动平衡状态理论 的新颖性 ， 由此 引 申出来 的控 制系统分 析和设 计方法将 会陆续 出现 ，
论文 也只是做 了简单 的尝试 和补充 ， 此理论还有很大的研究空间 。 关键 词： 动平衡状 态 稳定性 ；非线性
中 图分 类 号 ． Ｐ ３ Ｔ １ 文献 标 识 码 ： Ａ
维普资讯
电 子 测 试
Ｊｎｏ８ ｕ２ｏ
Ｎｏ ６ ．
基 于动 平衡 状 态 理 论 的反 馈 线 性 化直 接方 法 的 改进
唐 洁 ，陈 小惠
南京 ２００ ） １ ０ ３
（ 南京 邮电大学 自动化学 院 摘
要： 基于动平衡状态理论的反馈线性化直接方法 ， 一种建 立在控 制系统 动平衡状 态渐近 稳定概念 上 的新 是
ｔ ｏ ｙ ｔ ｍ ｎ ｌ ｓ ｓａ ｄ ｄ ｓｇ ｔ ｏ ｓｗｉ ｏ ｔ ｕ Ｏ ａ ｐ ａ ．Ｔｈ ｓｐ ｐ ｒ ｌ ｏ ｌ ｏ ａｓｍ － ｒ ｌｓ ｓ ｅ ａ ａ ｙ ｉ ｎ ｅ ｉ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｌ ｃ ｎ ｉ ｅｔ ｐ ｅ ｒ ｌ ｎ ｉ ａ ｅ ｓｗｉ ｎ ｙ ｄ ｉ ｌ
非线性系统系统辨识与控制研究
非线性系统系统辨识与控制研究引言：非线性系统是指系统在其输入与输出之间的关系不符合线性关系的系统。
这种系统具有复杂的动态行为和非线性特性，使得其辨识与控制变得非常具有挑战性。
然而，非线性系统在现实生活中的应用非常广泛，例如电力系统、机械系统和生物系统等。
因此，对非线性系统的系统辨识与控制研究具有重要意义。
一、非线性系统辨识方法研究1. 仿射变换法仿射变换法是一种常用的非线性系统辨识方法之一。
它通过将非线性系统进行仿射变换，将其转化为线性系统的形式，从而利用线性系统辨识的方法进行处理。
该方法适用于具有输入输出非线性关系的系统，但对于参数模型的选择和计算量较大的问题需要进一步研究。
2. 基于神经网络的方法神经网络作为一种强大的表达非线性关系的工具，被广泛应用于非线性系统辨识。
基于神经网络的方法可以通过训练神经网络模型，从大量的输入输出数据中学习非线性系统的映射关系。
该方法的优点是可以逼近任意非线性函数，但对于网络结构的选择和训练过程中的收敛性等问题还需深入研究。
3. 基于系统辨识方法的非线性系统辨识传统的系统辨识方法主要适用于线性系统的辨识，但其在非线性系统辨识中也有应用的价值。
通过对非线性系统进行线性化处理，可以将其转化为线性系统的辨识问题。
同时，利用最小二乘法、频域法等常用的系统辨识方法对线性化后的系统进行辨识。
这种方法的优势在于利用了线性系统辨识的经验和技术，但对于线性化的准确性和辨识结果的合理性需要进行评估。
二、非线性系统控制方法研究1. 反馈线性化控制反馈线性化是一种常用的非线性系统控制方法。
该方法通过在非线性系统中引入反馈控制器，将非线性系统转化为可控性的线性系统。
然后，利用线性系统控制方法设计控制器，并通过反馈线性化控制策略实现对非线性系统的控制。
该方法的优点在于简化了非线性系统控制的设计和分析过程，但对于系统的稳定性和性能等问题还需要进行进一步的研究。
2. 自适应控制自适应控制是一种针对非线性系统的适应性控制方法。
6反馈线性化
的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型不确定性 是模型和实际物理系统之间的差距。
（2）反馈和前馈
反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用 和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显
前馈用来抵消已知干扰的影响，提供预期的动作
全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。
给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?
光滑映射 ( x)定义在R n中的一个区域上，如果雅可比矩阵 在中的一点x x0上是非奇异的，则(x)是定义在x0的一个邻域
上的局部微分同胚
判断\phi(x)是否局部微分同胚？
z1
z2
(x)
2
x1 3
注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_{d}，我们可以将 x-x_{d} 看作状态，将问题化为零点调节问题。
••
例：倒立摆镇定问题 J mgl sin
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置
•
可以选择镇定器为 kd k p mgl sin
••
•
得到全局稳定的闭环系统J kd k p 0
➢ 线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形
时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等
➢ 对非线性系统的规定没这么系统化、明显
非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度
③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） ④ 代价
代数变换把系统转变为能控标准形
反馈线性化原理与应用
第四章 反馈线性化原理的应用在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。
它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。
4.1零动态在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念—“零动态”。
在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点”极其类似的作用。
在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r 能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。
即若任何一个线性系统其相对阶r 严格小于其维数n ，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n ，则传递函数中就没有零点。
所以前节中精确线性化所讨论的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。
在这一节中这种类比将进一步推广。
考虑一个相对阶r 严格小于n 的非线性系统()()x f x g x u ⋅=+()y h x =则可通过坐标变换，变成正则形：()()()()()()Z x h x L h x L h x x x f f r r n ==⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-+φφφξη 11， ξ=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥z z r 1 ， η=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+z z r n 1 其中()()φφr n x x +⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1 ，若能使()L x g i φ=0, n i r ≤≤+1则可将系统变成下列形式：z z 12⋅= z z 23⋅=z z r r -⋅=1()()z b z a z u r ⋅=+ ()z q z r r +⋅+=11()z q z n n ⋅=或写成：()()ξξξξηξη⋅⋅=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥200 r b a u ,, ()ηξη⋅=q ,若x 0是使()()f x h x 0000==,的点，则在x 0一定有ξ=0，虽然此时η可以任意选择，但是不失一般性，可以选η=0，如果x 0是系统的一个平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。
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第6章 反馈线性化
• 核心思想：把一个非线性系统代数地转化为一个 （全部或部分）线性系统，以便使用线性系统的 技巧 • 反馈线性化和普通线性化（如雅可比线性化）的 区别：反馈线性化不是通过系统的线性逼近，而 是通过状态变换和反馈得到的。
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本章内容
直观概念 数学工具 单输入-单输出系统的输入-状态线性化
对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度 ③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） ④ 代价
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3 构造非线性控制器的一些问题 非线性控制设计步骤 给定一个需要控制的物理执行器和传感器
可递推定义高阶李导数 L0f h h
Lif h L f ( Lif1h) ( Lif1h) f
如果g是另一个向量场，则 Lg L f h 为 Lg L f h (L f h) g
例如，单输入- 单输出系统 x f ( x), y h( x)
输出的各阶导数为： h y x Lf h x [ L f h] y x L2f h x
Lypunov函数V沿系统轨线的 导数用李导数如何表示？
25
设f和g是R n上的两个向量场。 f和g的李括号是一个新的向 量场， [ f , g ] gf fg 李括号[ f , g ]通常记为ad f g.可递推定义多重李括号 ad 0 gg f ad if g [ f , ad if-1 g ]
例：系统
系统可以写成x f ( x) g ( x)u的形式 f ( x) g ( x) [ f , g] ?
李括号的运算法则：
1) 双线性性 [1 f1 2 f 2 , g ] 1[ f1 , g ] 2 [ f 2 , g ] 2)反对称性[ f , g ] [ g , f ] 3)雅可比恒等式Lad f g h L f Lg h Lg L f h （试加以证明）
将被控对象动态 方程修改为所期 望的形式。
4
1.2 跟踪问题
给定非线性动力系统 x f ( x, u , t )， y h( x ) 和期望的输出轨线 yd , 寻找控制规律 u，使得系统从 中某个区域内的任意点 出发， 整个状态保持有界的同 时，跟踪误差 y (t ) yd (t )趋于零
第二部分 非线性控制系统设计
2
1 非线性控制问题
如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性
影响很重要.
设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得 闭环系统呈现出期望的性态。 控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服) 镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被 镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制 跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输 出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行
J m glsin
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置
可以选择镇定器为 kd k p m glsin 得到全局稳定的闭环系 统J kd k p 0
也可以选择镇定器为 kd 2m glsin 得到稳定的闭环系统 J k d m glsin 0
回到原状态 x_{1} 和 x_{2} ，与该控制规律相对应的原控制输入为
总的闭环系统的方框图为：
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注： ① 控制规律并不是在全局范围内成立。考虑u=1/cos(2x)项
② 状态变换和输入变换都是通过反馈得到的，不同于雅可比线
性化
如何借鉴前面的成功设计，把输入-状态线性化推广到一般非线性系
统中。此时，有两个问题： ① 哪些类型的非线性系统可以转变成线性系统？
事实上, 该微分同胚在如下区域 {( x1 , x2 ),| x2 | / 2} 内都是正确的。在这个 区域之外，反函数不唯 一，所以不是微分同胚
对系统 x f ( x, u )的单输入非线性系统的 控制问题，
用输入-状态线性化解决这个问题需要两步： ① 找到一个状态变换 z=z(x) 和一个输入变换 u=u(x,v)，使非线性 系统转化为一个等价的线性定常系统 ② 利用标准的线性控制方法（如极点配置）去设计v
19
对二阶非线性系统
首先，进行状态变换z=z(x)：
如果对于适当的初值 ,闭环系统跟踪误差为零 : y(t ) yd (t ) t 0
称控制系统有完全跟踪能力。 渐近跟踪意味着渐近地达到完全跟踪 对于非最小相位系统，完全跟踪和渐近跟踪都不能实现。
5
例如，非最小相位线性 系统 y 2 y 2 y u u
假设完全跟踪可以实现 ,即y(t ) yd (t ), t 0.那么输入u满足 u u ( yd 2 yd 2 yd )
则新的状态方程为
而非线性部分就可以被如下的u=u(x,v)消掉：
经过状态变换的线性系统方程为：
z1 2 z1 z 2 z2 v
利用原控制输入u来镇定原非线性系统的问题，已转化为使用新控制输入 v来镇定新系统的问题。
20
适当选取反馈增益，可以对线性系统任意配置极点: 例如，可以选取 得到闭环系统 其极点都为-2，因此是稳定的。
② 对可以线性化的非线性系统如何找出适当的变换？
22
本章内容
直观概念 数学工具 单输入-单输出系统的输入-状态线性化
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6.2 数学工具
向量函数 f : Rn Rn是Rn空间的向量场
一个向量场是光滑的是指函数f(x)有任意阶连续偏导数
h 状态 x的一个光滑标量函数 h( x), 记h的梯度为 h x
例：双连杆机械手的反馈线性化
控制设计目标是让关节所在位置q_{1}和 q_{2}按照预先规划好的路径q_{d1}(t) 和q_{d2}(t)运动（跟踪问题）
机械手的动态方程为： （q为关节角，\te为输入）
＋
其中，
17
状态方程可以简化成： H (q) q C (q, q) q g (q) 方程两边同乘以H的逆阵，很容易将方程变为 x( n) f ( x) b( x)u的形式
梯度是一个行向量 , 第j个元素为 (h) j h / x j
对一个向量场 f ( x), f的雅可比矩阵为 f f x 这是一个n n矩阵，且(f )ij f i / x j
24
1 李导数 和 李括号
h : R n R是一个光滑的标量函数 , f : R n R n是R n上的一个光滑向量场， 则h关于f的李导数是一个定义为 L f h h f的标量函数。即李导数 L f h是 h沿向量f方向的方向导数
s 2 2s 2 u yd s 1
系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散 即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。
所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐
近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪
6
2 期望性态的规定
线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形 时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等 对非线性系统的规定没这么系统化、明显 非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
9
4 非线性控制设计方法
（1）试探法 利用分析工具来指导对可以根据分析和仿真结果来证实的控制器的研究 相平面法、描述函数法、Lyapunov方法都可用 依赖于经验和直觉 对复杂系统，经常失效
（2）反馈线性化方法 将非线性系统（完全或部分地）化为线性系统，然后利用线性系统设计 方法完成控制设计。
（3）鲁棒控制 在鲁棒非线性控制（如滑模控制）中，控制器同时考虑了标称模型 和一些模型不确定性 （4）自适应控制 目前自适应控制主要用于动态结构已知，但有未知常数或时变参数的系 统
3
1.1 镇定问题
给定由方程x f ( x, u, t )描述的非线性动力系统 ， 寻找控制规律，使得系 统从中某个区域内的任意点 出发， 当t 时，状态x 0
注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_{d}，我们可以 将 x-x_{d} 看作状态，将问题化为零点调节问题。
例：倒立摆镇定问题
对于这类可表示成能控标准型的系统，通过控制输入 可以消去非线性部分，得到简单的单输入-单输出关系
选择ki，使多项式 s n kn1s n1 k0的所有根都严格落在左 半开复平面上，
则系统 此时，求得控制规律为
而 却可以实现跟踪控制
是指数稳定的
16
使用类似的方法，对能控标准形的非线性系统，设计控制律
26
2 微分同胚 和 状态变换
映射 : R n R n , 定义域是, 如果是光滑的，并且 -1存在且光滑， 则称为微分同胚
如果定义域 是全空间Rn，则称 ( x)为全局微分同胚
全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。 给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?
光滑映射 ( x)定义在R n中的一个区域 上，如果雅可比矩阵 在中的一点x x0上是非奇异的，则 ( x)是定义在x0的一个邻域 上的局部微分同胚
仍然有t 时， h(t ) 0
~
14
补充:
线性系统的能控概念、能控标准形 N阶齐次常系数线性微分方程的解的形式，及其稳定性
15
反馈线性化的思想可以简单地应用于一类能控标准型的非线性系统中 系统
x( n) f ( x) b( x)u
其中,u是标量控制输入，f(x)和b(x)是状态的非线性函数 能控标准形的状态方程可表示为：