输入-输出反馈线性化
第五章 精确线性化方法
第五章精确线性化方法2012年4月12日星期四5时0非线性控制系统理论与应用本章安排SISO系统输入/输出线性化，SISO非线性系统的标准形，状态反馈精确线性化，系统零动态MIMO系统输入输出精确线性化，状态精确线性化，MIMO系统的动态扩展鲁棒输入/输出线性化问题2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用本章重点精确线性化的含义精确线性化的要精确线性化的主要思想输入输出精确线性化状态反馈精确线性化2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化方法含义在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而且是整体的, 即线性化对变换有定义的整个区域都适用个区域都适用。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化主要思想通过适当的非线性状态和反馈变换,实现状态或输入/输出的精确线性化，将复杂输出的精确线性化将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题综合问题。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用微分几何回顾切空间向量场李括号李导数李括号、李导数分布和协分布定理一个正则分布完全可积的 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的。
----某些类型分布或向量场对于的偏微分方程解的存在性定理。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用SISO 非线性系统的标准形定义()()⎪⎫==x h L x Φx h x Φ152()()()()⎪⎪⎭⎪⎬=−x h L x Φf f 12γγM 结论5.2（部分坐标变换）()()1,,2,1−=U i x d Φi γ中是线性无关的。
在导数L ()()()011 0110≠−=−=+−−−x h L L x h L L j i f g j j f g ad ifγγγ时，当()()⎤⎡⎤⎡−0001x h L x dh g ad γL ()()()()()[]()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣−−−−****001001000102x h L L x h L L x g ad x g ad x g x h dL x h dL f g f g ad f f f f f fγγγγM M L M 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO 非线性系统的标准形结论5.3则向量场定义如下非线性变换为局部微分同胚变换）。
混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化
第22卷第5期Vol.22No.5控 制 与 决 策Cont rolandDecision2007年5月 May 2007收稿日期:2006205209;修回日期:2006208215.基金项目:国家自然科学基金重点项目(50337030).作者简介:康惠骏(1949—),男,上海人,副教授,博士,从事非线性控制理论与应用的研究;谢七月(1980—),男,江西赣州人,博士生,从事非线性控制理论与应用的研究. 文章编号:100120920(2007)0520487207混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化康惠骏1,谢七月2,郑芳博1(1.上海大学机电工程与自动化学院,上海200072;2.上海交通大学电子信息与电气工程学院,上海200030)摘 要:讨论混合励磁电机系统的输入输出解耦和线性化问题.根据机电动力学原理,导出了混合励磁电机系统在与转子同步旋转的d 2q 坐标系中的动态方程.应用非线性系统几何理论,通过非线性状态反馈和坐标变换,实现了混合励磁电机系统的输入输出解耦控制和完全线性化.将原系统分解为3个线性子系统:d 轴磁链子系统、q 轴磁链子系统和转速子系统.仿真结果表明,基于输入输出线性化控制设计的混合励磁电机控制系统具有良好的动态性能.关键词:电机;混合励磁;几何理论;解耦;线性化中图分类号:TM921 文献标识码:AInput 2output decoupling and linearization of hybrid excitationsynchronous m achineKA N G H ui 2j un 1,X I E Qi 2y ue 2,Z H EN G Fang 2bo1(1.School of Mechanical and Electronic Engineering and Automation ,Shanghai University ,Shanghai 200072,China ;2.School of Electronic Information and Electrical Engineering ,Shanghai Jiaotong University ,Shanghai 200030,China.Correspondent :KAN G Hui 2jun ,E 2mail :kanghj @ )Abstract :Based on the principles of electrical and mechanical dynamics ,the dynamical equations of hybrid excitation synchronous machine (H ESM )in the d 2q coordinates rotating synchronously with the rotor are derived.The decoupling control and full linearization of H ESM system are realized with nonlinear state feedback and coordinates transformation.The H ESM is decomposed into three linear subsystems ,d axis flux subsystem ,q axis flux subsystem and rotation speed subsystem.Simulation results show that H ESM control system based on the design of input and output decoupling and linearization achieves high dynamic performance.K ey w ords :Machine ;Hybrid excitation ;G eometric approach ;Decoupling ;Linearization1 引 言 混合励磁电机是在永磁电机的基础上发展起来的一种速度调节性能优良的新型电机.混合励磁电机有永磁体励磁和电励磁两种励磁方式,避免了永磁电机气隙磁场难以调节的缺点,且容易实现气隙磁场的控制,因而具有广阔的发展前景.目前,混合励磁电机还处于试验研究阶段,尚未进入实际应用领域.国内外的相关研究主要集中于电机的设计、制造以及实验分析,有关电机数学模型的研究还很少[126].对于不同结构的混合励磁电机,其对应的数学模型也不相同.定子附加励磁绕组的混合励磁同步电机[7],永磁体安装在转子上,附加励磁绕组安装在定子上,通过改变气隙磁场的路径来改变气隙磁场.励磁绕组通以不同方向的电流,其内部磁路也随之发生改变,进行能量转换的磁场相应地增强或减弱,从而实现对气隙磁场控制的目的.本文以定子附加励磁绕组的混合励磁同步电机为研究对象,并将定子附加励磁绕组的混合励磁同步电机简称为混合励磁电机系统.从非线性系统几何理论的观点看,混合励磁电机系统属于一类仿射非线性系统.为了对混合励磁电机系统进行有效控制,有必要应用非线性控制理论,尤其是非线性系统几何理论对其进行深入研究.文献[8]应用非线性系统几何理论,分析了混合励磁电机系统的结构特性,证明了系统在一定条件下是局部弱能控的、强可接近的和局部弱能观的.文献 控 制 与 决 策第22卷[9]在假设附加励磁绕组的励磁电流处于稳定的条件下,给出了一类混合励磁电机简化模型的解耦控制设计方法.文献[10]应用非线性几何理论研究混合励磁电机系统的可逆性,证明了系统输入输出在一定的约束条件下是可逆的.要对混合励磁电机系统进行转速和转矩的高性能控制,除了需要考虑定子和转子的机电动力学外,还应考虑附加励磁绕组的励磁电流瞬变对系统控制的影响.本文讨论包含定子、转子和附加励磁绕组机电动力学的混合励磁电机系统的解耦控制和线性化设计问题.根据机电动力学原理导出了适合于控制的混合励磁电机系统数学模型,给出了混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化设计方法.最后利用Matlab/Simulink进行仿真实现.2 混合励磁电机系统的数学模型 定子附加励磁绕组混合励磁同步电机的结构与普通永磁电机的结构类似,转子由永磁体和铁心按一定形式组成,定子绕组上仍然通以三相电流,与普通永磁电机相比,只是定子上多了一个附加的励磁绕组.可根据机电动力学原理导出混合励磁电机系统的数学模型,或称动态方程,它包括状态方程和输出方程.在建立数学模型之前,先作如下假设:1)忽略铁心的饱和;2)不计涡流损耗和磁滞损耗;3)转子上没有阻尼绕组;4)永磁材料的电导率为零;5)供电电压、气隙磁场分布和定子电流均为正弦形或准正弦形.采用固定于转子的d2q坐标系来描述和分析电机的性能十分方便,因此取永磁体基波励磁磁场的轴线为d轴(直轴),而q轴(交轴)顺着旋转方向超前d轴90°.d2q坐标系随转子以同步电角速度旋转,其位置由d轴和参考轴a2s之间的电角度θ确定,a2s 轴与三相定子绕组中A相绕组的轴线重合.由于混合励磁电机系统结构及工作原理的特殊性,其直、交轴的等效电感与永磁同步电机直、交轴的等效电感有所不同.同一轴上既有永磁体磁极,又有铁芯磁极,因此直、交轴的等效电感需根据电机的结构参数计算得出.永磁体磁极磁路和铁芯磁极磁路具有相对独立性,可分别计算永磁体磁极磁路和铁芯磁极磁路直、交轴的等效电感,然后进行求和得出.混合励磁电机系统的定子上装有附加励磁绕组,绕组中通以直流电流产生励磁磁通,因而还存在附加励磁绕组与直、交轴绕组之间的互感.从结构上看,附加励磁绕组与电机的定子电枢绕组轴线垂直,但由于电机转子结构的特殊性,转子同一直轴上,一端为高磁导率的铁芯极,另一端为低磁导率的永磁体磁极,附加直流励磁磁势作用于电机直轴的两个极端.不同极端磁势相反,但产生的磁势并不能互相抵消,否则电机就不能实现电机磁场的调节作用.因此电机附加励磁绕组与直轴之间存在互感.另外,由于转子交轴上两端磁性材料的反对称性,使得直流励磁磁势在交轴上产生的磁势为零,从而在附加励磁绕组与定子交轴绕组之间的等效互感为零.因此,附加励磁绕组可看作是直轴上的一个附加励磁绕组.设u d,u q,u f,i d,i q,i f,R d,R q,R f分别为d轴和q轴绕组及附加励磁绕组的电压、电流和电阻,且有R d=R q=R;L d,L q,L f分别为d轴和q轴绕组及附加励磁绕组的自感,M f为附加励磁绕组与电机d轴绕组的互感,Ψα为转子永磁体产生的磁链;ω为d2q 坐标系的旋转角(电角度)速度,下标d和q表示某矢量相对于d2q坐标系上的分量;Ω为转子旋转(机械)角速度,n p为电机极对数,ω=n pΩ;J为转子的转动惯量,FΩ为与转速成正比的阻转矩阻尼系数, T L为负载转矩.根据机电动力学原理,电机在与转子同步旋转的d2q坐标系中的直交轴电压方程为u d=Ri d+dΨd/d t-ωΨq,u q=Ri q+dΨd/d t+ωΨd.(1)附加励磁绕组的电压方程为u f=R f i f+dΨf/d t.(2)直交轴磁链方程为Ψd=L d i d+M f i f+Ψa,Ψq=L q i q.(3)附加励磁绕组磁链方程为Ψf=L f i f+M f i d+Ψa,(4)其中Ψf为附加励磁绕组磁链.将磁链方程(3)和(4)代入电压方程(1)和(2),并考虑到Ψa为常值,可得u d=Ri d+L dd i dd t+M fd i fd t-ωL q i q,u q=Ri q+L qd i qd t+ωL d i d+ω(M f i f+Ψa), u f=R f i f+M fd i dd t+L fd i fd t.(5)电磁转矩方程为T e=n p(Ψd i q-Ψq i d).(6) 将磁链方程(3)和(4)代入电磁转矩方程(6),得T e=n p[(L d i d+M f i f+Ψa)i q-L q i q i q]=n p[(M f i f+Ψa)i q+(L d-L q)i d i q].(7)884第5期康惠骏等:混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化 转子机电动力学方程为T e=J dΩ/d t+RΩΩ+T L.(8) 将式(5),(7)和(8)综合在一起,并把它们写成状态方程的形式,有d i d d t =-L f RL d L f-M2fi d+L f L qωL d L f-M2fi q+ M f R fL d L f-M2f i f+L fL d L f-M2fu d- M fL d L f-M2fu f,d i q d t =-L dL qωid-RL qi q-M fωL qi f+1L qu q-ΨaL qω,d i f d t =M f R fL d L f-M2fi d-M f L qωL d Lf-M2fi q- L d R fL d L f-M2f i f-M fL d L f-M2fu d+ LdL d L f-M2fu f,dΩd t =n pJ(L d-L q)i q i d+n pΨaJi q+ n p M fJ i q i f-RΩJΩ-1JT L.(9) 选择状态变量x=[x1,x2,x3,x4]T=[i d,i q,i f,Ω]T, 输入u=[u d,u q,u f]T,输出y=[y1,y2,y3]T.并令a=1L d L f-M2f,b=1L q,c=n p/J,d=L d-L q.考虑到ω=n pΩ,则混合励磁电机系统在与转子同步旋转的d2q坐标系中,可表示为如下仿射非线性系统的形式:x=f(x)+∑3i=1g i(x)u i+P(x)T L,y j=h j(x),j=1,2,3.(10)其中x∈R4,u∈R3,y∈R3,f(x)=f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)=-aL f R x1+aL f L q n p x2x4+aM f R f x3 -b L dn p x1x4-bR x2-bM f n p x3x4-bΨa n p x4 aM f R x1-aM f L q n p x2x4-aL d R f x3cd x1x2+cΨa x2+cM f x2x3-(RΩ/J)x4,g1=aL f-aM f,g2=b,g3=-aM faL d,P(x)=-1/J,y1=h1(x)=L d x1+M f x3+Ψa=Ψd,y2=h2(x)=L q x2=Ψq,y3=h3(x)=x4=Ω.3 非线性系统的输入输出解耦和线性化3.1 非线性系统的输入输出解耦控制单输入单输出非线性系统的控制设计相对简单.如能将多输入多输出非线性系统通过某种办法,转化为若干个独立的单输入单输出非线性系统,则可利用单输入单输出非线性系统的设计方法,达到简化原系统的控制目的.这里考虑这样一个综合问题:对于一个多输入多输出的非线性系统,寻找静态状态反馈控制规律,使得对于相应的闭环系统,每个输入通道独立地控制一个且只控制一个输出通道,即通过静态反馈实现输入输出解耦控制.这一问题由Morgan于1964年提出,故称为Morgan问题.本文讨论这种控制方法的控制思想和实现方案.以下讨论的是输入输出个数相同的非线性系统.设仿射非线性系统由下列方程描述:x=f(x)+∑mi=1g i(x)u i,y i=h j(x),j=1,2,…,m.(11)其中:状态x∈M,控制u∈N,输出y∈W;M,N,W分别为n,m,r维微分流形.定义1 如果系统(11)在x0的一个邻域上所有x满足下列条件:[L giL k jfh j(x),…,L giL k jfh j(x)]=0,[L giL r j-1fh j(x),…,L giL r j-1fh j(x)]≠0.1≤i≤m,1≤j≤m,0≤k j<r j-1.(12)则称非线性系统(11)在x0处具有一个向量关系度(r1,r2,…,r m).定理1[11] 如果系统(11)在x0处具有一个向量关系度(r1,r2,…,r m),且由式(13)定义的m×m矩阵(称为Falb2Wolovich矩阵或解耦矩阵)984 控 制 与 决 策第22卷D(x)=L g1L r1-1fh1(x)…L gmL r1-1fh1(x)L g1L r2-1fh2(x)…L gmL r2-1fh2(x)…ω…L g1L r m-1fh m(x)…L gmL r m-1fh m(x)(13)在x0处是非奇异的,则系统(11)在x0的一个邻域上输入输出解耦控制问题是可解的.为了便于讨论,将式(11)简写为x=f(x)+g(x)u,y j=h j(x),j=1,2,…,m.(14)其中g(x)=[g1(x) g2(x) … g m(x)],u=[u1 u2 … u m]T. 如果系统(14)满足定理1,则意味着D(x)在x0处是非奇异的,非线性解耦控制律可由下式构成:u=α(x)+β(x)v=-D-1(x)E(x)+D-1(x)v.(15)其中α(x)=[α1(x) α2(x) … αm(x)]T,β(x)=D-1(x)=β11(x)β12(x)…β1m(x)β21(x)β22(x)…β2m(x)……ω…βm1(x)βm2(x)…βmm(x),E(x)=[L r1f h1(x) … L L mfh m(x)]T,v=[v1 v2 … v m]T.于是可得闭环系统x=f(x)+g(x)α(x)+g(x)β(x)v,y j=h j(x),j=1,2,…,m.(16)在x0的一个邻域上输入输出解耦.3.2 基于非线性解耦控制的完全线性化一个非线性系统经过线性化后,便于对其进行有效的分析和设计,这是因为线性系统已有成熟的理论支持.因此,将非线性系统线性化是非线性控制的核心问题.线性化方法主要有以下两种:1)近似线性化,即用泰勒级数将系统在某一工作点附近进行线性化,取其线性主部得到系统的线性模型.它只是系统在工作点附近的线性近似,不适合大范围应用,因此也称局部线性化.2)完全线性化,即用微分几何理论将非线性系统在大范围内线性化,也称全局线性化或精确线性化,该模型适合于大范围应用.从理论上讲,经全局线性化或精确线性化的模型可在大范围使用,不存在任何误差.由r j的定义和定理1的条件可以证明微分1型:d h j,d L f h j,…,d L r jfh j(j=1,2,…,m)在x0的一个邻域上线性无关[11].当∑mj=1r j=n时,由于x0的一个邻域上的n个微分1型:d h j,d L f h j,…,d L r jfh j(j=1,2,…,m)线性无关,则可定义映射z jkj=L K j-1fh j(x),j=1,2,…,m,k j=1,2,…,r j.(17)为x0的一个邻域上的局部坐标变换.在该局部坐标变换下,闭环系统(16)被完全线性化,其形式由如下m组方程描述:z j1=z j2, z j2=z j3,…, z jrj=v j,y j=z j1,j=1,2,…,m.这些方程组的结构表明,系统(11)通过施加解耦控制律(15)和局部坐标变换(17),可实现输入输出解耦和线性化.4 混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化设计 对于混合励磁电机系统(10),考虑输入输出解耦和线性化设计问题,假设T L=0.根据相对阶r j 的定义,计算可得r1=1,r2=1,r3=2,即满足定理1的前提条件.根据解耦矩阵(13)可得det D(x)=acL q M f x2.当x2≠0时,det D(x)≠0,即满足定理1的条件.于是可得D-1(x)=100010b(M2f-d L f)M f[-b2(d x1+cΨa+M f x3)]aM f x2bacM f x2.由式(15)可得系统(11)的解耦控制律U(t)=-D-1(x)E(x)+D-1(x)v(t),(18)其中E(x)=L d f1+M f f3L q f2ac d x2f1+(c d x1+bn pΨa+cM f x3)f2+cM f x2f3-RΩf4/J.式中:f1=f1(x),f2=f2(x),f3=f3(x),f4= f4(x).对于系统(10),由于∑3j=1r j=4=n,可得局部坐标变换z(x)=[h1(x) h2(x) h3(x) L f h3(x)]T,094第5期康惠骏等:混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化 即z 1=h 1(x )=L d x 1+M f x 3+Ψa ,z 2=h 2(x )=L q x 2,z 3=h 3(x )=x 4,z 4=L f h 3(x )=c d x 1x 2+cΨa x 2+cM f x 2x 3-(R Ω/J )x 4.(19) 由解耦控制律(18)所得形如式(16)的闭环系统,在局部坐标z 下的动态方程为z 11=v 1,y 1=z 11, z 21=v 2,y 2=z 21,z 31 z 32=010z 31z 32+01v 3,y 3=[1 0]z 31z 32.(20) 这表明当x ∈{R 4|x 2≠0}时,混合励磁电机系统(10)可通过非线性状态反馈(18)和坐标变换(19),成为输入输出解耦线性化系统(20),同时分解为3个线性子系统:直轴磁链线性子系统、交轴磁链线性子系统和转速线性子系统.5 仿真设计与分析5.1 调节器设计[12]为使系统输出y 1=ψd ,y 2=ψq 和y 3=Ω分别跟踪期望的给定信号ψdr ,ψqr 和Ωr ,设计如下调节器:v 1=-k 1(z 1-ψdr )+d ψdr /d t ,v 2=-k 2(z 2-ψqr )+d ψqr /d t ,v 3=-k 3(z 31-Ωr )-k 4(z 32- d Ωr /d t )+d 2Ωr /d t 2.(21)其中k 1,k 2,k 3,k 4为待定参数.这些参数应按以下原则选取:使得方程d d t(ψd -ψdr )=-k 1(z 1-ψdr ),d d t(ψq -ψqr )=-k 2(z 2-ψqr ),d 2d t 2(Ω-Ωr )=-k 3(z 31-Ωr )-k 4(z 32-d Ωr /d t ).(22)其原点是渐近稳定的,并且具有良好的响应特性.这里把(ψd -ψdr ),(ψq -ψqr )和(Ω-Ωr )看作方程(22)的变量.方程(22)的原点是渐近稳定的,等价于由调节器(21)和动态方程(20)所组成的系统原点是渐近稳定的.5.2 仿真设计与分析混合励磁电机额定参数如下:额定功率2kW ,额定定子电压380V ,额定定子电流5A ,额定附加励磁电流10A ,额定转速1500r/min ,额定负载3N ・m .特性参数如下:R =2.785Ω,L d =8.5m H ,L q =8.5m H ,R f =2.5Ω,L f =8m H ,M f =2.5m H ,R Ω=0,T L =0,n p =2,Ψa =0.175Wb ,J =8×10-4kg ・m 2.调节器参数如下:k 1=k 2=100,k 3=1000,k 4=52.在仿真分析中,混合励磁电机的模型以及非线性解耦线性化控制律均利用Matlab/Simulink 进行仿真实现.选取x 2=ψq =0.001Wb ,其余状态的初始值均为零.仿真工作包括以下三部分:1)电机在t =0时启动到1300r/min .当t =1.0s 时,给定d 轴磁链ψdr 发生变化,从0.25Wb 变化到0.3Wb .当t =2.0s 时,给定d 轴磁链ψdr 发生变化,从0.3Wb 变化到0.2Wb .图1(a )显示了d 轴磁链ψd 跟踪ψdr 的情况;图1(b )和图1(c )分别显示了d 轴磁链ψd 变化对q 轴磁链ψq 和转速Ω的影响;同时显示了q 轴磁链ψq 跟踪给定q 轴磁链ψqr 和转速Ω跟踪给定转速Ωr 的情况.2)电机在t =0时启动到1300r/min .当t =图1 d 轴磁链变化对q 轴磁链及转速的影响194 控 制 与 决 策第22卷1.0s时,给定q轴磁链信号ψqr发生变化,从0.04Wb变化到0.05Wb;当t=0.2s时,给定q轴磁链信号ψqr发生变化,从0.05Wb变化到0.03Wb.图2(a)显示了q轴磁链ψq跟踪ψqr的情况;图2(b)和图2(c)分别显示了q轴磁链ψq变化对d轴磁链ψq和转速Ω的影响;同时显示了d轴磁链ψd跟踪给定d轴磁链ψdr和转速Ω跟踪给定转速Ωr的情况.图2 q轴磁链变化对d轴磁链及转速的影响3)电机在t=0时启动到1300r/min.当t=1.0s时,给定转速信号Ωr发生变化,从1300r/min变化到1500r/min;当t=2.0s时,给定转速信号Ωr从1500r/min变化到1100r/min.图3(a)显示了转速Ω跟踪给定转速Ωr的情况;图3(b)和图3(c)分别显示了转速Ω变化对d轴磁链ψd和q轴磁链ψq的影响;同时显示了d轴磁链ψd跟踪给定d轴磁链ψdr和q轴磁链ψq跟踪给定q轴磁链ψdr的情况.仿真结果表明,当d轴磁链发生变化时,对q轴磁链和转速几乎没有影响;当q轴磁链发生变化时,对d轴磁链和转速也几乎没有影响;当转速发生变化时,对d轴磁链和q轴磁链同样几乎没有影响.适当选取调节器参数,能较好地实现系统输出对给定图3 转速变化对d轴磁链及q轴磁链的影响输入的跟踪控制.6 结 论 本文根据机电动力学原理,推导出由电压逆变器供电、定子附加励磁绕组的混合励磁同步电机的动态方程,即混合励磁电机系统在与转子同步旋转的d2q坐标系中的动态方程.应用非线性几何理论,导出了混合励磁电机系统输入输出解耦控制规律及其存在条件,实现了混合励磁电机系统的输入输出解耦控制.通过非线性状态反馈解耦控制和非线性坐标变换,将混合励磁电机系统分解为3个线性子系统:d轴磁链线性子系统、q轴磁链线性子系统和转速线性子系统.可使用线性系统的调节器设计理论,分别对3个线性子系统进行输出对给定输入的跟踪控制设计,实现对混合励磁电机系统磁链和转速的高性能控制.仿真结果表明,基于非线性解耦线性化控制设计的混合励磁电机的控制系统,可以达到良好的动态性能.参考文献(R eferences)[1]Spooner E,Khatab S A W,Nicolaou N G.Hybrid294第5期康惠骏等:混合励磁电机系统输入输出解耦和线性化 excitation of AC and DC machine[C].Electrical Machines and Drives:4th Int Conf.London,1989:48252.[2]Naoe Nobuyuki,Fukami Tadashi.Trial production of ahybrid excitation type synchronous machine[C].Electric Machines 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University,2005.)[9]谢七月,康惠骏.混合磁路电动机的非线性解耦控制[J].上海大学学报,2006,12(2):1582161.(Xie Q Y,Kang H J.Nonlinear decoupling control of hybrid excitation permanent magnet synchronous motor [J].J of Shanghai University,2006,12(2):1582161.)[10]康惠骏,谢七月,杨儒珊.混合励磁电动机的可逆性[C].2006中国控制与决策学术年会论文集.天津,2006:131321316.(Kang H J,Xie Q Y,Yang R S.Invertibility of hybrid excitation synchronous machine[C].CDC’2006.Tianjin,2006:131321316.)[11]Isidori A.Nonlinear control systems[M].2nd ed.Birlin:Springer2Verlag,1989.[12]康惠骏.异步电动机非线性系统分析与控制[D].上海:上海大学,1996.(Kang H J.Analysis and control for nonlinear systems of induction motors[D].Shanghai:Shanghai University,1996.) (上接第486页)[45]Leung M F,Santos J R,Haimes Y Y.Risk modeling,assessment and management of lahar flow threat[J].Risk Analysis,2003,23(6):132321335.[46]Yacov Y Haimes,Kaplan S,Lambert J H.Riskfiltering,ranking and management f ramework using hierarchical holographic modeling[J].Risk Analysis, 2002,22(2):3812395.[47]Raz T,Michael e and benefits of tools for projectrisk management[J].Int J of Project Management, 2001,19(1):9217.[48]张珞玲,李师贤.软件项目风险管理方法比较和研究[J].计算机工程,2003,29(3):91294.(Zhang L L,Li S parision and research on models of software project risk management[J].Computer Engineering,2003,29(3):91294.)[49]张李义.信息系统开发的动态风险模糊估测方法[J].系统工程理论与实践,2001,21(10):88292.(Zhang L Y.Approach to dynamic risk estimation for information system development[J].System Engineering Theory and Practice,2001,21(10):88292.)[50]鞠彦兵,冯允成,姚李刚.基于证据理论的软件开发风险评估方法[J].系统工程理论方法应用,2003,12(3):2182223.(J u Y B,Feng Y C,Yao L G.Research on the measure of risk in the course of software development[J].Systems Engneering—Theory Methodology Applications,2003,12(3):2182223.)[51]潘陈勇.基于生命周期的软件开发动态风险管理[D].杭州:浙江大学,2002.(Pan C Y.Dynamic risk management based on the software development life cycle[D].Hangzhou: Zhejiang University,2002.)[52]方德英.IT项目风险管理理论与方法研究[D].天津:天津大学,2003.(Fang D Y.The study on theories and methods of IT project risk management[D].Tianjin:Tianjin University,2003.)[53]焦鹏.软件项目风险评估方法的研究[D].北京:北京工业大学,2003.(Jiao P.The study on software project risk assessment[D].Beijing:Beijing University of Technology,2003.)394。
6反馈线性化
的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型不确定性 是模型和实际物理系统之间的差距。
（2）反馈和前馈
反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用 和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显
前馈用来抵消已知干扰的影响，提供预期的动作
全局微分同胚很少，经常使用局部微分同胚。
给定一个非线性映射，如何判断出它是否是局部微分同胚?
光滑映射 ( x)定义在R n中的一个区域上，如果雅可比矩阵 在中的一点x x0上是非奇异的，则(x)是定义在x0的一个邻域
上的局部微分同胚
判断\phi(x)是否局部微分同胚？
z1
z2
(x)
2
x1 3
注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_{d}，我们可以将 x-x_{d} 看作状态，将问题化为零点调节问题。
••
例：倒立摆镇定问题 J mgl sin
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置
•
可以选择镇定器为 kd k p mgl sin
••
•
得到全局稳定的闭环系统J kd k p 0
➢ 线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形
时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等
➢ 对非线性系统的规定没这么系统化、明显
非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度
③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） ④ 代价
代数变换把系统转变为能控标准形
第4章-非线性系统线性化(1)
其中 xd 为模型的状态向量；Ad
0
0
1
，bd
0
，
C 1 0 0 为常数。
1
2
n
单变量输入输出反馈线性化直接方法及 鲁棒设计
根据动平衡状态理论，我们可以将xd 作为被控系统的动平衡状态，通过设
计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态x 对动平衡状态xd 在大范围 内渐近稳定。从而实x现 x对d ，亦y即 yd对 的渐近逼近，使被控系统具有所希
非线性系统反馈线性化绪论
为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态 按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡 状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动 态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲 突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设 计提供了一条新的思路。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
xd Ad xd Bd v
（1.2）
其中 xd Rn为状态向量，v Rm 为控制向量，Ad Rnn ,Bd Rnm 为常数矩 阵，并且 Ad 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
第六章非线性系统的反馈线性化
第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是：（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过程可以微分几何方法；（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态，f(x)是光滑向量场，u是控制输入，B是输入矩阵且可逆。
设跟踪轨迹为x d 。
=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&（6.1）5其中，[]12,Tq q =q 为关节角，[]12,Tττ=τ为关节输入。
12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −，可变成仿射非线性系统（6.1）。
华东师范大学系统分析与集成博士研究生课程
华东师范大学系统分析与集成博士研究生课程专业名称：系统分析与集成课程编号：B0112010711003 课程名称：非线性控制系统理论与应用课程英文名称：Nonlinear Control-System Theory and Application学分: 3 周学时总学时：54课程性质：博士学位专业课适用专业：系统理论、系统分析与集成教学内容及基本要求:教学内容：1. 反馈系统分析（包括绝对稳定性，小增益定理，描写函数方法）2. 反馈线性化（包括输入-状态线性化，输入-输出线性化，状态反馈控制）、3. 微分几何方法（包括微分几何工具，输入-输出线性化，输入-状态线性化4. Lyapunov设计方法5. Backstepping方法6. 滑模控制7. 自适应控制。
基本要求：要求掌握解决问题的思想方法和技巧。
考核方式及要求：笔试。
学习本课程的前期课程要求：线性系统教材及主要参考书目、文献与资料：1. Hassan K. Khalil：《Nonlinear System (Second edition)》。
填写人：陈树中教授审核人：顾国庆教授课程编号：B0112010711004 课程名称：分布计算与分布式系统课程英文名称：Systems and Architecture of Distributed Databases学分: 3 周学时总学时：54课程性质：博士学位专业课适用专业：系统理论、系统分析与集成教学内容及基本要求:教学内容：本课程主要讨论分布式数据库系统的原理，技术和系统结构。
在第一部分，介绍DBMS的主要成分。
第二部分介绍经典的分布数据库系统理论和系统。
第三部分主要讨论Internet/Intranet时代的分布数据库理论和系统。
基本要求：学生在理解讲课内容的基础上，阅读大量相关论文，从而对基本知识有深入理解和对前沿技术有全面的了解。
考核方式及要求：考试。
学习本课程的前期课程要求：数据库系统基础，计算机网络基础教材及主要参考书目、文献与资料：1.周龙骧等：《分布式数据库管理系统实现技术》，科学出版社，1998。
基于自适应模糊与输入输出线性化的卫星姿态控制
过程中由不确定性 ∃ f 和 ∃ g 产生的 . 用 T - 1 (Ν , Γ) 代 替式 ( 7) 中的 x , 即为式 ( 8) 中的矩阵 A 和 B .
第7期
管 萍等: 基于自适应模糊与输入输出线性化的卫星姿态控制
z i = A i z i + B i v f i + B i E i ( x , t).
收稿日期: 2003206202; 修回日期: 2003208218. 基金项目: 国防预研基金资助项目 ( 5140908020).
馈控制律中引入误差积分项, 以增加对卫星参数不 确定性的鲁棒性, 但仅将其应用于卫星俯仰轴姿态 控制, 不能对卫星运行中的某一位置进行有效的控 制 . 文献 [ 2 ～ 4 ] 将 I O 线性化技术与变结构控制相 结合, 构成混合控制器, 在要求不确定性严格满足匹 配 条件和有界条件的基础上 , 有效地提高了 I O 线 性化控制的鲁棒性, 然而变结构控制中控制输入的 抖颤问题没有得到有效的解决 . 本文首先借助于 I O 线性化方法 , 使系统的输
1 引 言
卫星姿态控制系统是多输入多输出 (M I MO )且 具有不确定性的非线性系统, 而输入 输出 ( I O ) 线 性化方法是处理非线性系统的常用方法之一. 该方 法通过构造 I O 的非线性变换使系统线性化, 但要 求实现非线性项精确抵消, 对于具有不确定性的非 线性系统很难确保控制器的鲁棒性. 为此, 一些学者 尝 试改进 I O 线性化方法, 或将 I O 线性化方法与 其他鲁棒非线性方法相结合[ 1～ 4 ]. 文献 [ 1 ] 在线性反
作者简介: 管萍 ( 1968—) , 女, 上海人, 博士生, 从事智能控制及其在卫星中应用的研究; 陈家斌 ( 1964—) , 男, 江西武 宁人, 教授, 博士生导师, 从事导航及运动体控制技术等研究.
反馈线性化设计方法_1(6)
g3
=0
如果它的解 h(x1, x2 , x3 ) 存在，我们称这组矢量场 {f , g}为
完全可积的。
Frobenius定理提供了一个比较简单确定这些方程可解的
条件：
[f , g] = a1f + a2g
反馈线性化设计方法
这个条件称为矢量场 {f , g }的对合条件。
Frobenius定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件 时是完全可积的。 定义1：线性无关的矢量场的可积性定义
0 k IJ 0 −k J2
−
k IJ
⎤ ⎥ ⎥
0⎥
⎥ k⎥
J2 ⎥
⎥
0 ⎥⎦
{ } g,
ad
f
g,
ad
2 f
g
,
ad
3 f
g
为常量，它构成一个对合集。
∇z1ad
i f
g
=
0, i
=
0,1,2
⇒
∇z1
⋅
g
=
0, ∇z1
⋅
ad
f
g
=
0, ∇z1
⋅
ad
2 f
g
=
0
∇z1ad
g n−1
f
≠
0
⇒
∇z1
⋅
ad
其中： 令：
f1 (x) = (x15 + x3 )(x3 + cos x2 ) + (x2 + 1)x12
u
=
1 (v − x2 +1
f1 )
有：
&y& = v
反馈线性化设计方法
利用线性控制方法对这个二重积分关系设计跟踪控制器：
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非线性控制：输入—输出反馈线性化1课前测验一、分析以下非线性系统的原点是否稳定、是否渐近稳定、是否全局渐近稳定。
1、21122221,xx x x x x x =++=- ； 2、1221sin ,5x x x x ==- ； 3、312212sin ,x x x x x =-=- ； 4、1122121,1x x x x x x =-=-+ 。
第13章 反馈线性化考虑这样一类非线性系统非线性控制：输入—输出反馈线性化2)()()(x h y u x G x f x =+= 是否存在一个状态反馈控制v x x u )()(βα+=及变量代换)(x T z =把非线性系统转换为等效的线性系统。
13.1节通过几个简单例子引入全状态线性化（full-state linearization ）和输入-输出线性化两个概念，并给出其表示方法。
所谓全状态线性化是指把状态方程完全线性化，输入-输出线性化则是把输入-输出映射线性化，而状态方程只非线性控制：输入—输出反馈线性化是部分线性化。
13.2节将研究输入-输出线性化，介绍相对阶、零动态和最小相位系统。
13.3节将给出一类可反馈线性化的非线性系统的特征。
有关可反馈（或可部分反馈）线性化系统的状态反馈控制在13.4节讨论，其中涉及到稳定性和跟踪问题。
13.1 引言为了引入反馈线性化的感念，首先讨论稳定单摆方程3非线性控制：输入—输出反馈线性化4cu bx x a xx x +--+-==21221]sin )[sin(δδ 的原点问题。
通过观察上面的系统状态方程，可以选择cv x c a u +-)+=]sin sin(1δδ 以消去非线性项]sin )[sin(1δδα-+x ，从而得到线性系统v bx xx x +-==2221 这样非线性系统的稳定性问题就简化为一个可控线性系统的稳定性问题，我们可以设计一个稳定的线性状态反馈控制非线性控制：输入—输出反馈线性化52211x k x k v --=使闭环系统2211221)(x b k x k xx x +--== 的特征值在左半开平面，则整个状态反馈控制律为)(1]sin )[sin(22111x k x k c x c a u +--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=δδ 消去非线性项的方法普遍适用吗？显然不能希望每个非线性系统都能消去非线性项，但一定存在具有某种结构特性的系统，允许消去非线性项。
不难看出，如果通过相减消去非线性项)(x α，则控制器u 和非线性项)(x γ必须以非线性控制：输入—输出反馈线性化6乘积形式u x )(γ出现。
如果矩阵)(x γ在所讨论的区域是非奇异矩阵，则可以通过v x u )(β=消去，其中)()(1x x -=γβ是矩阵)(x γ的逆矩阵。
因此，如果能利用反馈消去非线性项，就可以将非线性状态方程转变成一个可控的线性状态方程。
考虑如下结构的非线性状态方程：)]()[(x u x B Ax xαγ-+= (13.1) 其中，A 为n n ⨯矩阵，B 为p n ⨯矩阵，矩阵对),(B A 是可控矩阵，函数p n R R →:α和p p n R R ⨯→:γ定义在包含原点的定义域n R D ⊂上，且矩阵)(x γ对于每个D x ∈都是非奇非线性控制：输入—输出反馈线性化7异矩阵。
对于系统（13.1），可以通过状态反馈v x x u )()(βα+= (13.2)将其线性化，其中)()(1x x -=γβ，得到线性状态方程：Bv Ax x+= (13.3) 为了实现稳定，可设计Kx v -=，使得BK A -为Hurwitz 矩阵。
整个非线性稳定状态反馈控制为Kx x x u )()(βα-= (13.4)假设非线性状态方程不具有形如式(13.1)的结构，是否意味着就不能通过反馈对系统线性化呢？回答是否定的。
非线性控制：输入—输出反馈线性化8回顾前面的内容，系统的状态模型并不是惟一的，它取决于状态变量的选择，即使所选择的一种状态变量不能使系统状态方程具有形如式(13.1)的结构，还可以选择其他状态变量。
例如，对于系统u x xx a x +-==21221sin 不能简单选取u 消去非线性项2sin x a 。
但是，如果先通过变换12211sin xx a z x z === 改变状态变量，则1z 和2z 满足非线性控制：输入—输出反馈线性化9)(cos 212221u x x a zz z +-== 非线性项可以通过控制v x a x u 221cos 1+= 消去，当2/2/2ππ<<-x 时，上式有明确定义。
要求出新坐标系),(21z z 中的状态方程，可通过逆变换，即用),(21z z 表示),(21x x⎪⎭⎫ ⎝⎛==-a z x z x 21211sin非线性控制：输入—输出反馈线性化10 上式当a z a <<-2时有定义。
变换后的状态方程为)(sin cos 2121221u z a z a z z z+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 当用变量代换)(x T z =将状态方程从x 坐标系变换到z 坐标系时，映射T 必须是可逆的，即必须存在逆映射)(1⋅-T ，使得对于所有)(D T z ∈，有)(1z T x -=，这里D 是T 的定义域。
此外，由于z 和x 的导数应该是连续的，因此要求)(⋅T 和)(1⋅-T 必须连续可微。
具有连续可微逆映射的连续可微映射称为微分同胚。
如果雅可比矩阵]/[x T ∂∂在点D x ∈0是非奇异矩阵，则根非线性控制：输入—输出反馈线性化11据反函数定理①，存在一个0x 的邻域N ，使得限定在N 内的T 是N 上的微分同胚。
如果映射T 是n R 上的微分同胚，且n n R R T =)(，则称T 为全局微分同胚映射②。
至此我们可以给出可反馈线性化系统的定义。
定义13.1 一个非线性系统u x G x f x)()(+= (13.5) 其中n R D f →:和p n R D G ⨯→:在定义域n R D ⊂上足够光① 参见文献[10]的定理7.5。
②当且仅当对所有nR x ∈，]/[x T∂∂是非奇异矩阵，且T 是正则的，即当∞=∞→)(lim x T x 时，T 是全局微分同胚映射（证明参见文献[165]或文献[212]）。
非线性控制：输入—输出反馈线性化12滑①。
如果存在一个微分同胚映射n R D T →:，使得)(D T D x =包含原点，且可以通过变量代换)(x T z =将系统(13.5)转化为下形式：)]()[(x u x B Az zαγ-+= (13.6) 其中，),(B A 是可控的，且对于所有D x ∈，)x (γ为非奇异矩阵，则称系统(13.5)是可反馈线性化的（或可输入/状态线性化）。
当我们要关注某些输出变量时，例如在跟踪控制问题①所谓“足够光滑”是指后面出现的所有偏导数都有定义且是连续的。
非线性控制：输入—输出反馈线性化13中，则可用状态方程和输出方程描述状态模型。
对状态方程线性化，没有必要对输出方程也线性化。
例如，如果系统u x xx a x+-==21221sin的输出为2x y =，则变量代换和状态反馈控制为11x z =，22sin x a z =，v x a x u 221cos 1+=可得非线性控制：输入—输出反馈线性化14⎪⎭⎫ ⎝⎛===-a z y v zz z 21221sin虽然状态方程是线性的，但由于输出方程是非线性的，因此求解关于y 的跟踪控制问题仍然很复杂。
观察x 坐标系中的状态方程和输出方程可以发现，如果状态反馈控制采用v x u +=21，就能够将u 到y 的输入-输出映射线性化，此时线性模型为22x y v x==非线性控制：输入—输出反馈线性化15现在就可以用线性控制理论求解这个跟踪控制问题了。
上述讨论表明，有时对输入-输出映射进行线性化更有意义，即使以保留一部分状态方程的非线性为代价。
这种情况称系统为可输入—输出线性化的。
注意应用输入-输出线性化，线性化的输入-输出映射并不能说明系统的全部动态特性。
在前面例子中，整个系统表示为2221sin x y v x x a x=== 注意，状态变量1x 和输出y 没有联系，换句话说就是线性非线性控制：输入—输出反馈线性化16化反馈控制使得1x 由y 是不可观测的。
在设计跟踪控制时，应该保证变量1x 具有良好性能，即在某种意义上是稳定或有界的。
一个仅采用线性输入-输出映射的简单控制设计，可能会导致信号)(1t x 不断增长。
例如，假设设计一个线性控制器，使输出y 稳定在常数值r 上，则r ta x t x sin )0()(11+=，当0sin ≠r 时，)(1t x 会变得无界，这类内部稳定问题可以用零动态概念解释。
13.2 输入-输出线性化考虑单输入—单输出系统非线性控制：输入—输出反馈线性化17()()xf xg x u =+ (13.7) ()yh x = (13.8)其中f ，g 和h 在定义域n R D ⊂上足够光滑。
映射n R D f →:和n R D g →:称为D 上的向量场。
导数y为 [()()]()()f g hyf xg x u Lh x L h x u x∂=++∂ 其中)()(x f xhx h L f ∂∂=称为h 关于f 或沿f 的Lie 导数，这种表示方法类似于h 沿系统)(x f x= 轨迹的导数。
当重复计算关于同一向量场或非线性控制：输入—输出反馈线性化18一新向量场的导数时，这种新表示法较为方便。
例如，要用到以下表示：2110()()(),()()()(),()()()(),()()f g f f ff f k f k k f f f f L h L L h xg x xL h L h x L L h x f x x L h L h x L L h x f x xL h x h x --∂=∂∂==∂∂==∂= 如果的0)(=x h L g ，则)(x h L yf = ，与u 无关。
如果继续计算y 的二阶导数，记为)2(y ，得非线性控制：输入—输出反馈线性化19(2)2()[()()]()()f f g f L h yf xg x u Lh x L L h x u x∂=+=+∂同样，如果()0g f L L h x =，则(2)2()f y L h x =，且与u 无关。
重复这一过程可看出，如果()h x 满足1()0i g f L L h x -=，1,2,,1i ρ=- ；1()0g f L L h x ρ-≠则u 不会出现在(1),,,y y y ρ- 的方程中，但出现在()y ρ的方程中，带一个非零系数，即()1()()f g f y L h x L L h x u ρρρ-=+上述方程清楚地表明系统是可输入-输出线性化的，因为由状态反馈控制非线性控制：输入—输出反馈线性化201()()f g f L h x v u L L h x ρρ--+=把输入-输出映射简化为()y v ρ=这是一个ρ积分器链。