幂等矩阵与另一矩阵的组合的k-幂等性
１ 预 备 知 识 及 引 理
用 Ｃ一 示 复数域Ｃ 上 的所有 ｒ×ｒ矩 阵组成 的集 合 ， 表 示 Ｃ 上 的所有 ｎ维 向量 组 成 的 ｔ 表 ｒ ｔ ｔ Ｃ ／ ， 维 向量 空 间。设 Ａ∈Ｃ ， ｒＡ）表 示 Ａ 的秩 ，用 （ 用 （ Ａ）表 示 Ａ 的谱 ， Ｌ 表示 ｎ阶单 位矩 阵 。 用 如 果 Ａ∈Ｃ ～ 满 足 Ａ Ａ ， ， ＝ 则称 Ａ是 一 个 ｎ阶 幂等 矩 阵 （ 称 Ａ 是 一个 ｎ阶投 影算 子 ） 也 。用符 号 Ｃ： 表示 所 有 ｎ阶幂 等矩阵组 成 的集 合 ， ： 即
ｂ ｃ Ｑ 是幂等阵和 ３一幂等阵的充要 条件。这 个结果推 广了 Ｂ ｎｔ ， ｈ ｍ Ｑ＋ ｅ ｅ ｉｚ Ｔ ｏ ｅＮ在 ２０ ｅＪ ０ ６年的结论。
关键词 ： 幂等 阵； 后一幂等阵 ； 组合 中图分类号 ： １２ ２ Ｏ ５．１ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０９２ １ （０２ ０ ． ０ ６ ０ １０ － ４ ２ １ ）２ ０３ ． ４ ７ ｄ ｉ１ ．９ ９ｊ ｉ ｎ １０ ２ １ ．０ ２０ ．０ ｏ：０ ３ ６／．ｓ ．０ ９— ７ ４ ２ １ ．２０ ８ ｓ
为 了主要结 果 的证 明 ， 面给 出两个需 要 的引理 。 下
引理 １ 设ＰＥ ， Ｃ” ， Ｑ＝ Ｐ ， Ｃ：Ｑ∈ Ｐ Ｑ 那么存在一个可逆阵 Ｓ 使 ，
Ｐ ） Ｑ ） ＝ ｓ （ ＝ （
其 中 ， ， Ｐ）Ａ ∈Ｃ ， ∈Ｃ ‘－ ‘ ． ＝（ ， Ｄ ｒ ） 证 明 因为 Ｐ∈Ｃ： 那么存 在一 个 可逆 阵 Ｓ， 得 ， 使
收 稿 日期 ：０ － １ － １ ２１ １ ０ ２
作者简介 ： 陈敬华（ ９３ １６ 一 ３ ・ ６
）男 ， ， 湖北黄石人， 副教授 ， 主要从事代数学 的教学与研究
・
的ｋ 幂等性 。给出了 Ｔ∈ 时， 一 Ｃ： Ｑ的分类 。利用这些分类 ， 证明了两个可交换幂等矩阵 Ｐ与 Ｑ的 组合 ａ ６ ＋ ｅ 为幂等 阵 和 ３一幂等 阵 的充要 条件 。这个 结果 推广 了［ ］ 的结论 。 Ｐ＋ Ｑ ｃ Ｑ １ 中 １
Ｐ Ｉ ）＝ ， ＝１ ｒ （ ， ｃ ｒＡ
令 ＝１ ）Ａｃｒ ∈ｒ－Ｃｃ＿ 。ｃ－（， 由ＱＱ可 Ｑ Ｉ ∈ ， Ｃ（， ， ∈（ｘｒ 么 Ｐ＝ ， （ ， 曰 ｒ ｎ ｎ 那 ￣）Ｅ ｎ ｒ－ ）） Ｐ推
出 Ｂ： ， ０ 所 以 ０ Ｃ＝ ，
Ｑ－ 三 ＝Ｉ ） Ｓ： （
第３ ２卷
第 ２期
湖北师范学院学报 （ 自然科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ｅ Ｎ ｒ ｌ ｎｖｒｉ Ｎ ｔｒ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｂ ｉ ｏ ｉｅ ｔ ｎ Ｈ ｍａ Ｕ ｓ ｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｃ ） ｕｌ ｅ
Ｖ Ｉ３ ｏ． ２
Ｎｏ ２， ０１ ． ２ ２
［２ 中作者研究 了一个幂等矩阵（ 一幂等阵）Ｐ和一个与 Ｐ 可交换 的矩阵 Ｑ 的线性组合 ａ ６ １］ ３ Ｐ＋ Ｑ 的幂等性（ 幂等性 ） ３一 。在这篇文章中， 我们研究了组合
Ｔ＝ Ｐ＋６ ＋ Ｐ （Ｐ∈Ｃ：Ｐ ＝Ｑ ａ ｂｃ ａ Ｑ ｃＱ ，ｌ Ｑ Ｐ， ，，∈Ｃ ，ｂ ） ａ ≠Ｏ
－
ｃ Ａ可 对角 化且 （ ｛ ｝ ） Ａ） ０ Ｕ
；
ｄ存在可逆矩阵 Ｔ使得 Ａ＝ （ ） ， Ｔ ④ 一 ） 。 ①０ Ｊ
２ 主 要 结果
本部分先给出Ｔ ａ ＋ Ｑ＋ ｅ Ｃ： ＝ Ｐ ６ ｃＱＥ 时， Ｑ的分类。再给出 两个可交换的幂等矩阵Ｐ与Ｑ的
组合 Ｔ＝ａ ６ ＋ｃＱ 为幂等 阵 和 ３一幂 等阵 的充要 条件 。 Ｐ＋ Ｑ ｅ
引理 ２ … 设 Ａ∈Ｃ ， ｋ＞１那 么下 列各 命题 是彼此 等 价 ： ，
ａ ）Ａ ∈Ｃ ｋｐ － ；
ｂ 存 在 一１ ） 个两 两不 同 的幂等 矩阵 ＡｏＡ 一 ， 得 Ａ ： ， Ａ 一使
．
一
。
，
其 中
。ｐ … ｐ （
。 。 ｓ
＋ ｉ ｋ １ ＝ 、 一‘ “—— ， ／ ｉ － ｎ
幂等 矩 阵与 另 一矩 阵的 组合 的 ｋ一幂 等 性
陈敬华 ， 可正 左
（ 湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 ４５０ ） ３０ ２
ห้องสมุดไป่ตู้
摘要 ： 究了一个幂等矩 阵 Ｐ和另一个与 Ｐ可交换的矩 阵 Ｑ 的组合 ＋６ 研 Ｑ＋ｃ Ｑ 的 ｋ Ｐ 一幂等性。给 出了 当 ＋６ ｃ Ｑ 是 ｋ Ｑ＋ Ｐ 一幂等 时， 的分类。利用这个分类给 出了两个 可交换的 幂等阵 Ｐ Ｑ 的组合 ＋ Ｑ 、
Ｃ： Ａ ＥＣ ＝｛ Ｉ ＝ Ａ Ａ｝
对于正整数 ｋ如果Ａ∈ 满足Ａ ＝ ， ， ｃ Ａ 则称Ａ是一个 阶ｋ 幂等阵。用符号ｃ： 一 表示所有
ｎ阶 ｋ 一幂等 矩 阵组成 的集合 ， ： 即 ‘ Ｃ ｋ． Ａ ＥＣ － ＝｛ Ｉ ＝ ａ Ａ Ａ｝ 对 于正整数 ｋ用 ， １表示 所有 的 ｋ次单位 根组成 的集合 ， 即
：
｛ ∈ｃ Ｉ ：ｌ ｃ ｃ ｝
令∞＝ ｐ ）ｃ竽＋ｉ ｅ（ ＝ ｓ ／ 竽， ｘ ｏ ｓ ＝ ｎ
研究两个幂等矩阵的和、 、 差 线性组合和组合的性质 ， 一直是矩阵分析及 Ｈｌ ｒ空间中算子理论 ｉｅ ｂｔ 的重 要课 题之 一 。幂 等矩 阵和 ３一幂 等 矩 阵 的线 性 组合 在 矩 阵理 论 和 统 计 学 中 也具 有 重 要 的作 用 （ 参看［ — ］ 。最近 ， １ ３） 在文章［ １ ］ ， ４— ０ 中 作者研究 了两个幂等矩阵的线性组合及它们 的组合的可逆 性、 、 秩 谱等性质。特别地 ， １ ］ ， 在［ １ 中 作者研究 了两个幂等矩阵的线性 组合 的 ｋ 幂等性 问题 ， 一 而在
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间，即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域，即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域dim V 线性空间V 的维数 1T - 线性变换T 的逆变换TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r =均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,由200001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭ ,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ～0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫⎪⎝⎭02若A ～1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ～1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由2n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠. 因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：12000000n r J λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式***[2]()AB B A=.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是，*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）从而A 可对角化,且其若尔当标准型为000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000rr r E E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000rr E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌ 性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有：222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======. ▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2()()0()0E A Aa A A a -=⇒-=.由a 的任意性得 2A A =.1)⇔8)必要性: 由2A A =知 ()()N A R E A =-.于是有 dim ()dim ()N A R E A =-即有 rank rank()n A E A -=-亦即 rank rank()A E A n +-=.充分性: 由rank rank()A E A n +-= 易知:dim ()dim ()N A R E A =- (*) 又对()a N A ∀∈,有0Aa =则有()E A a a Aa a -=-=.由()()E A a R E A -∈-知()a R E A ∈-即有 ()()N A R E A ⊂-.据(*)式知()()N A R E A =-.再由6)得2A A =.8)⇔9)必要性: 由rank rank()A E A n +-=.即知:dim ()dim ()R A R E A n +-=.又对n a R ∀∈,有()a Aa E A a =+-,而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+---n =.故有dim[()()]0R A R E A -=. 于是, {}()()0R A R E A -=.充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+=.其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+==.即221212O ΛΛ+ΛΛ=. 因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有rank()rank()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=---.证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=---以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换. 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==.2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知, 对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =. 据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s =.定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈，AB BA =，{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,ic u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件，则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u =且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-.将它们相加得212AB B B u-=--.又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u =-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=- 121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v =-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-.又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u-=-. 结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v =--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v vλ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3ieπε=满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--.从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u =-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v =-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v=-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑴⇒⑵对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑴⇐⑵对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵，1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1 rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数, 所以111,0r r n λλλλ+======,故结论成立. ▌推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了. 定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A E ==∑.则 11rank rank()mmi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
关于“k次幂等矩阵和矩阵的正交性”的注记
关于“k次幂等矩阵和矩阵的正交性”的注记林维;黄玉笙;陈梅香;杨忠鹏【摘要】By applying the orthogonality of - potent matarices over field, this paper proves the relations among the algebraic equivalence, similarity and the equal characteristic polynomial over field are equivalent, then summarizes and generalizes the corresponding conclusions of JIN Hui- ping and WU Miao- xian.%应用数域上k次幂等矩阵和矩阵的正交性质，证明了在数域F上k次幂等矩阵的代数等价、相似和特征多项式相等这三者是等价的。
概括和改进了金慧萍和吴妙仙《k次幂等矩阵和矩阵的正交性》的相应结论。
【期刊名称】《广东石油化工学院学报》【年(卷),期】2011(021)006【总页数】4页(P60-63)【关键词】次幂等矩阵;代数等价;矩阵相似;特征多项式【作者】林维;黄玉笙;陈梅香;杨忠鹏【作者单位】华南理工大学理学院,广东广州510000;莆田学院数学系,福建莆田351100;莆田学院数学系,福建莆田351100;莆田学院数学系,福建莆田351100;莆田学院数学系,福建莆田351100【正文语种】中文【中图分类】O151.211 引言如同文献[1]、文献[2]和文献[3],设R为含幺结合环,F为数域,C为复数域。
Mn(R)、Mn(F)分别为含幺结合环,数域F上n阶矩阵全体。
E为单位矩阵,r(A),mA(x)和f A(λ)|λE-A|分别为A∈Mn(F)的秩,最小多项式和特征多项式。
A～sB代表矩阵A与B相似。
如果Ak=A∈Mn(R),k≥1,称A为k次幂等矩阵,记(R)={A|Ak=A∈Mn(R)};若X,Y∈Mn(R),使得A=XY,B=YX,称A与B代数等价,记作A～aB;若AB=BA=0,称A 与B正交(或垂直),记作A⊥B[1-3]。
幂等矩阵的性质及应用
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix 院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级 A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵 C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵 A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间，即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域，即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域 dim V 线性空间V 的维数1T - 线性变换T 的逆变换 TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r = 均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫⎪λ⎝⎭ ,由20001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ～0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫ ⎪⎝⎭02若A ～1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ～1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，由2n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠.因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：1200000n r J λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式 ***[2]()AB B A =.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是，*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）从而A 可对角化,且其若尔当标准型为 000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000r r rE E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000r r E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有：222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======.▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵)6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -= .10){}()()0N A N E A -= .11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵)6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -= .10){}()()0N A N E A -= .11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2-=⇒-=.E A Aa A A a()()0()0由a的任意性得2A A=.1)⇔8)必要性: 由2A A=知()()=-.N A R E A于是有dim()dim()=-N A R E A即有rank rank()n A E A-=-亦即rank rank()+-=.A E A n充分性: 由rank rank()+-=易知:A E A ndim()dim()=- (*)N A R E A又对()∀∈,有a N AAa=则有-=-=.E A a a Aa a()由()()a R E A∈--∈-知()E A a R E A即有()()⊂-.N A R E A据(*)式知=-.N A R E A()()=.再由6)得2A A8)⇔9)必要性: 由rank rank()+-=.即知:A E A n+-=.dim()dim()R A R E A n又对n∀∈,有a R=+-,()a Aa E A a而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+--- n =.故有dim[()()]0R A R E A -= .于是, {}()()0R A R E A -= .充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+= . 其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+== .即221212O ΛΛ+ΛΛ=.因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有r a n k ()r a n k ()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=--- . 证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=--- 以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换.由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==. 2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知,对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =.据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s = .定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈，AB BA =，{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,i c u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈ 若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件，则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u=且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-. 将它们相加得212AB B B u-=--. 又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u=-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=-121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v=-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-. 又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u -=-.结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v=--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v v λ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3i eπε= 满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--. 从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u=-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v=-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v =-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++ 112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑪ A B -可逆.⑫ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑪⇒⑫对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑪⇐⑫对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+ 220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑪ A B -可逆.⑫ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵，1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数,所以111,0r r n λλλλ+====== ,故结论成立. ▌ 推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了.定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又1m i i A E ==∑.则 11rank rank()m mi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
幂等矩阵的性质及其应用
0引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵,不仅在高等代数中有着重要的应用,在其它课程中,如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中,线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质,同时给出了一些相关的应用。
1主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1:若n阶方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1:幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。
证明:设A为任意一个幂等矩阵。
由A2=A,可得λ2=λ其中λ为A的特征值。
于是有λ=1或0,命题得证。
推论:可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明:设A为一可逆的幂等矩阵。
由A2=A可得A2A-1=AA-1即A=E。
此时有λE-E=0即λ=1其中,λ为A的特征值。
命题得证。
定理2:任意的幂等矩阵A都相似于对角阵,即存在可逆阵P,使得:P-1AP=Er0 00 (),其中r=R(A)。
证明:A为任意幂等矩阵,J为其Jordan标准型,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=J=J10⋱0J s (),其中J i=λi1…0⋱┋⋱1 0λi ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟。
由此可得J2=J。
于是有,J i2=J i。
此时,J i只能为数量矩阵λi E。
又因为A2=A,所以λi=0或1,且r=R(A)。
命题得证。
定理3:幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域,特征值为0的特征子空间为其零(核)空间。
证明:(i)A为一n阶幂等矩阵。
α为其特征值1对应的特征向量。
则有,Aα=α。
由此可得α属于A的值域。
反之,对于任意一个A的值域中的向量α,总能找到一个向量β,使得Aβ=α,于是有Aα=A2β=β,即α=β。
综上可知,幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
(ii)A为一n阶幂等矩阵。
幂等变换
摘要幂等变换是一类特殊的线性变换，它不是孤立存在的，而是与其它线性变换紧密相连，在物理、化学等学科中也有着广泛的应用，极大地推动和丰富了它们的发展，许多新的理论、技巧和方法的诞生与发展都是幂等变换理论的应用与推广.本文首先简要叙述了一般线性变换的基本理论，在此基础上给出幂等变换的定义，并指出几类特殊的幂等变换；其次，归纳总结了幂等变换的性质，如幂等矩阵的形式、幂等变换的特征值与特征向量、特征多项式、秩与迹及幂等变换的对角化问题，讨论过程由浅入深，层层推进，对幂等变换的相关知识形成了较为完整的知识体系，对幂等变换的一些特殊的性质理解深刻；最后，结合幂等变换的概念与性质，给出常见的习题及解题技巧，并举例说明幂等变换与其它线性变换的联系与转化.关键词：幂等变换；幂等矩阵；性质；应用AbstractIdempotent transformations are a special type of linear transformation.It's not isolated，but closely connected with other linear transformation.In physics，chemistry，and other disciplines also has a wide range of applications，greatly promote and enrich their development.Birth of many new theories，techniques and methods are idempotent transformations and development application and popularization of the theory.This paper begins with a brief description of the basic theory of linear transformations，on this basis for idempotent transformation defined，the idempotent transformation and pointed out that some kinds of special.Second，discussed the nature of power transform，idempotent matrix of the form，idempotent transformation characteristic value and characteristic vector，characteristic polynomial，diagonalization of rank and track and idempotent transformation problems，discussion easy-to-digest，layers of promoting.For idempotent transformation knowledge formed a relatively complete system of knowledge，some special properties for idempotent transformation understand deep.Finally，with idempotent transformation and the concept of nature，out common problems and problem-solving skills，descriptions and examples of power-link，and other linear transforms and transformation.Key words: Idempotent transformation; Idempotent matrix; Nature; Application目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章幂等变换的基本概念 (2)第2章幂等变换的性质 (3)2.1 幂等变换的运算性质 (3)2.2 幂等变换与幂等矩阵的关系 (4)2.2.1 幂等变换的特征值与特征向量 (10)2.2.2 幂等变换的特征多项式、秩与迹 (15)2.2.3 幂等变换的对角化 (20)第3章幂等变换的应用 (23)3.1 幂等变换性质的应用 (23)3.2 幂等变换与其它线性变换 (25)结论 (32)参考文献 (33)致谢........................................................................................................... 错误!未定义书签。
(m,l)秩幂等矩阵和(m,l)幂等矩阵的特性研究
(m,l)秩幂等矩阵和(m,l)幂等矩阵的特性研究郭文静;杨忠鹏;陈梅香【摘要】如果存在自然数m,l(m>l)使r(Am)=r(Al),称A为(m,l)秩幂等矩阵;当Am=Al时,称A为(m,l)幂等矩阵.依据矩阵的幂等性与秩幂等性不随数域的改变而改变这一基本事实,应用Jordan标准形的性质,得到了这两类既有区别又有密切联系的矩阵类的特性刻画.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(010)001【总页数】5页(P5-9)【关键词】(m,l)秩幂等矩阵;(m,l)幂等矩阵;矩阵秩;Jordan标准形;最小多项式【作者】郭文静;杨忠鹏;陈梅香【作者单位】厦门大学,数学科学学院,福建,厦门361005;莆田学院数学系,福建,莆田351100;莆田学院数学系,福建,莆田351100;莆田学院数学系,福建,莆田351100【正文语种】中文【中图分类】O151.211 引言设F为任意数域，为复数域，*为正整数的集合.约定Fm×n阶为数域F上所有m×n阶矩阵组成的集合，n为n阶单位矩阵.r()表示矩阵的秩，的最小多项式记为m(x).若有m，l∈*(m>l)，使m=l成立，则称∈Fn×n为(m，l)幂等矩阵.当l=1时，(m，1)幂等矩阵就是周知的m幂等矩阵.m幂等矩阵的研究引起很多人的关注.文献[1-4]讨论了m幂等矩阵的线性组合的幂等性，文献[5]得到了2幂等矩阵的一系列秩恒等式，文献[6-10]涉及的是用矩阵秩的恒等式来判定幂等性.文献[11-12]研究了一般的(m，l)幂等矩阵性质，其中文献[11]得到：命题1.1(见[11，定理5]) 设λ为(m，l)幂等矩阵的特征值，则λ=0，或为m-l次单位根.最近文献[13]定义：若有m，l∈*(m>l)，使r(m)=r(l)成立，称∈Fn×n为(m，l)秩幂等矩阵.文献[13]得到：命题1.2(见[13，定理1]) 如果∈Fn×n，那么下列条件等价：1) 是秩幂等矩阵；2) r()=r(m)，∀m∈*.本文依据矩阵的幂等性与秩幂等性与数域的改变无关的基本事实，应用矩阵Jordan标准形的性质，得到了这两类既有区别又有密切联系的矩阵类的特性刻画.2 预备知识引理2.1 设∈Fn×n，若有可逆矩阵和使=-1，则与有相同的幂等性和秩幂等性，这里数域满足F⊆证明当∈Fn×n为(m，l)幂等矩阵时，必有m=-1m=-1l=l.当为(m，l)幂等矩阵时，从=-1有m=m-1=l-1=l.秩幂等矩阵的相关性质的证明是类似的.注意到任意数域F都是复数域的子域的简单事实：∈Fn×n⊆n×n都与复数域上的唯一Jordan标准形相似，则从引理2.1可知∈Fn×n的秩幂等与幂等性质都可归结到复数域与其相似的Jordan标准形的秩幂等与幂等性研究.这样不失一般性，总设A∈n×n，满足-1==diag(1，2，…，t，t+1，…，s)，∈n×n可逆，(2.1)其中，(2.2)(2.3)引理2.2 设∈Fn×n满足式(2.1)～(2.3)，则r()=r(证明由式(2.2)～(2.3)知r(i)=ni-1，i=1，2，…，t和r(j)=nj，j=t+1，t+2，…，s，这样应用式(2.1)有r()=r(引理2.3 设∈n×n且满足式(2.1)～(2.3)，如果k∈*，则(2.4)j)， j=t+1，t+2，…，s.(2.5)证明由幂零矩阵的方幂的性质和式(2.2)可得到式(2.4)；因为式(2.3)中的Jordan 块都是可逆的，所以式(2.5)成立.引理2.4(见[14，定理3.3.6]) 设∈n×n的所有不同的特征值为λ1，λ2，…，λm，则的最小多项式m其中ri为的相应特征值λi的Jordan块的最高阶数.引理2.5(见[15]) 设∈Fn×n，f(x)为的特征多项式，则m(x)|f(x).由文献[16，引理1]可有：引理2.6 设n×n，则其中，当k>m时，3 主要结果仿引理2.2的证明，从式(2.1)～(2.3)可有∈n×n，k∈*.(3.1)定理3.1 设∈n×n，满足式(2.1)～(2.3)，m，m0，l∈*，则下列条件等价：1) 存在m0>l使得r(m0)=r(l)；2) ni≤l， i=1，2，…，t；3) 任意m>l使得r(m)=r(l)；4) r(l)=r(l+1).证明 1)⟹2).若有i0(1≤i0≤t)使 ni0>l，由式(2.4) 知由式(2.4)知当m0≥ni0时，若m0<ni0，则因为m0>l，故且这样由式(3.1)有l)=r(l).这与此时为(m，l)秩幂等矩阵的题设矛盾，因此ni≤l，i=1，2，…，t.2)⟹3).由ni≤l<m(i=1，2，…，t)，从式(2.4)～(2.5)可得且j)=nj，j=t+1，t+2，…，s.再由式(3.1)有3)⟹4).此时取m=l+1即可.4)⟹1).此时取m0=l+1即可.定理3.1及其证明说明(m，l)秩幂等矩阵的本质是(l+1，l)秩幂等矩阵，即是由数l 来确定的，其中l为矩阵的Jordan标准形中的幂零的Jordan块的最高阶数.当l=1时可得：推论3.1 设∈n×n满足式(2.1) ～(2.3)，则下列命题等价：1)存在m0>1，使得r(m0)=r()；2) 0≤ni≤1，i=1，2，…，t；3)任意m>1，使得r(m)=r()；4) r(2)=r().推论3.1不仅可得到文献[13]的基本结论(命题2)，而且说明m秩幂等矩阵与2秩幂等矩阵是相同的，所以讨论m秩幂等矩阵，只需讨论2秩幂等矩阵即可.由于我们总规定0=，所以当l=0时，即满足r(0)=r(l)时，就是可逆矩阵.定理3.2 设∈n×n且满足式(2.1) ～(2.3)，且为(m，l)秩幂等矩阵，则为(m，l)幂等矩阵⟹nj=1且λj为m-l次单位根，j=t+1，t+2，…，s.证明必要性.由m=l(m>l)知f(x)=xm-xl=xl(xm-l-1)是的化零多项式，从引理2.5知的最小多项式m(x)|f(x).注意到由于f(x)的非零根都是m-l次单位根且都是单根，应用引理2.4知的每个非零特征值λj所确定的Jordan块都是一阶的，即nj=1且λm-l=1，j=t+1，t+2，…，s.充分性.由定理3.1知对(m，l)秩幂等矩阵来说，在式(2.1) ～(2.3)中ni≤l，i=1，2，…，t，再从式(2.4)得(3.2)从已知的nj=1，λm-l=1 可得(3.3)这样由式(2.1) ～(2.3)，式(3.2) ～(3.3)可得进而由引理2.1 知m=l，即为(m，l)幂等矩阵.显然(m，l)幂等矩阵一定是(m，l)秩幂等矩阵，定理3.1说明为(m，l)秩幂等矩阵(在m>l的前提下)是与m无关的，本质为(l+1，l)秩幂等矩阵.而定理3.2说明，对于(m，l)幂等矩阵来说，自然数m与l的作用都是本质的.从这个角度上讲(m，l)秩幂等矩阵和(m，l)幂等矩阵又是有着本质差别的矩阵类.应用这两类矩阵的联系与区别可得：定理3.3 设∈n×n满足式(2.1) ～(2.3)，则为(m，l)幂等矩阵⟹ni≤l，i=1，2，…，t，同时的每个非零特征值皆为m-l次单位根且确定的Jordan块都是一阶的.证明必要性.当为(m，l)幂等矩阵时，m=l，从r(m)=r(l)和定理3.1知ni≤l，再由定理3.2知nj=1，且充分性.由定理3.1知r(m)=r(l)，再从定理3.2可知为(m，l)幂等矩阵.例3.1 设=diag(1，2，3)∈F8×8，其中，则的非零特征值是1和-1，且都是m-l=2次单位根.由式(2.4)知；从引理2.6知，2≠4.这说明不是(4，2)幂等矩阵.此例说明文献[13]所得的命题1，对(m，l)幂等矩阵类来说，仅是必要的而非充分的.当然由定理3.1知此例中为(4，2)秩幂等矩阵.4 m秩幂等矩阵与m幂等矩阵当l=1时，本文讨论的(m，l)秩幂等矩阵和(m，l)幂等矩阵，即为文献[13]所讨论的m秩幂等矩阵和文献[1-10]所研究的m幂等矩阵.这样由定理3.1～3.3可得：定理4.1 设∈n×n，m(>0)∈*，则下述等价：(1) r(m)=r()；(2) r(2)=r()；(3) 可逆或的由零特征值所确定的Jordan 块都是1阶的.定理4.5 设∈n×n，m(>0)∈*，则为m幂等矩阵⟹的每个Jordan块都是一阶的且每个非零特征值λj满足⟹可对角化且每个非零特征值都是m-1次单位根.【相关文献】[1]Jerjy K Baksalary，Oskar Maria Backsalary，George P H Styan.Idempotency of Linear Combinations of an Idempotent Matrix and Tripotent Matrix[J].Linear Algebra and Its Applications，2003，354(291)：21-34.[2]Benitez J ，Thome N .Idempotency of Linear Combinations of an Idempotent Matrix and T-potentMatrix That Commeute [J].Linear Algebra and Its Applications，2005，403：414-418.[3]Peng Chunyuan，Li qihui，Du Hongke.Generalized n-idempotents and Hyper-generalized n-idempotents[J].Northeast Math J，2006，22(4)：387-394.[4]Leila lebtahi，Nestor Thome.A Note on K-generalized Projections[J].Linear Algebra and Its Applications，2007，420(2-3)：572-575.[5]Yongge Tian，George P H Styan.Rank Equalities for Idempotent and Involutory Matrices [J].Linear Algebra and Its Applications，2001，335(1)：101-117.[6]史及民.关于Schur补应用的一点注记[J].应用数学学报，2002，25(2)：318-321.[7]鲍文娣，李维国.关于任意三矩阵秩的一点注记[J].苏州科技学院学报：自然科学版，2005，22(2)：39-41.[8]杨忠鹏，林志兴.矩阵方幂的秩的一个恒等式及应用[J].北华大学学报：自然科学版，2007，8(4)：294-298.[9]杨忠鹏，陈梅香，林国钦.关于三幂等矩阵的秩特征的研究[J].数学研究，2008，41(3)：311-315.[10]林国钦，杨忠鹏，陈梅香.矩阵多项式秩的一个恒等式及应用[J].北华大学学报：自然科学版，2008，9(1)：5-8.[11]张伟.方阵的幂及具有幂条件的矩阵类[J].青岛化工学院学报，1999，20(3)：292-295.[12]杨忠鹏，陈梅香，林国钦.关于矩阵方幂的秩恒等式的注记[J].福州大学学报：自然科学版，2009，37(1)：1-5[13]谢涛，左可正.秩幂等矩阵的特征[J].黄石理工学院学报，2007，23(5)：58-59.[14]Horn R A，Johnson C R.Matrix Analysis[M].New York：Cambridge University Press，1985：145.[15]李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京：高等教育出版社，2004：263.[16]吴有为.若当标准形计算简化及在解线性递推式中的应用[J].江西师范大学学报：自然科学版，2003，27(1)：51-55.。
正文部分
幂等矩阵的性质数学与应用数学专业2009级王素云摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系.关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵Properties of Idempotent MatrixSuyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied MathematicsAbstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix1 引言矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。
幂等和k+1次幂等矩阵线性组合的立方幂等性
幂等和k+1次幂等矩阵线性组合的立方幂等性赵艳红【摘要】应用矩阵分析方法,研究了幂等矩阵和k+1(k≥1,k∈(N)条件下其线性组合为立方幂等矩阵的所有情形.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(012)002【总页数】6页(P166-171)【关键词】幂等矩阵;k+1次幂等矩阵;线性组合;立方幂等矩阵【作者】赵艳红【作者单位】北华大学数学学院,吉林吉林132033【正文语种】中文【中图分类】O151.211 引言本文中以表复数域，n×n表所有n×n阶复数阵，I表相应阶数的单位矩阵.对A=(aij)∈n×n，若A2=A，则称A为幂等阵；若A3=A，则称A为立方幂等阵；若Ak+1=A(k≥1，k∈*)，则称A为k+1次幂等阵.若A2=I，则称A为对合矩阵. 幂等矩阵、立方幂等矩阵和对合矩阵在统计学中有重要应用.幂等矩阵与立方幂等矩阵或对合矩阵线性组合的研究，立方幂等矩阵与对合矩阵线性组合的研究，以及其自身线性组合的研究是矩阵理论和统计学中研究的活跃问题.在代数中，刻画两个相互独立的实对称幂等矩阵，其线性组合是幂等的充分必要条件的问题，就相当于在统计学中，两个服从χ2-分布的二次型，其线性组合也服从χ2-分布的问题；刻画两个相互独立的实对称立方幂等矩阵，其线性组合是立方幂等的充分必要条件的问题，就相当于两个分别服从两个相互独立的χ2-变元差分的二次型，其线性组合也服从两个相互独立的χ2-变元差分的问题.像这样，在代数中的一系列的线性组合问题在统计学中都有了一定的应用.关于此类问题的研究文献很多，如文献[1]给出了两个幂等矩阵线性组合为立方幂等的充分条件； J.Benftez和N.Thome在文献[2]中研究了复数域上两个不相等的、可交换的幂等阵和t(t∈*，t≥2)次幂等阵的线性组合的幂等性；文献[3]刻画了域上两个幂等阵的线性组合仍然是幂等阵的所有情形；Jerzy K.Baksalary等在文献[4]中研究了幂等阵和立方幂等阵的线性组合仍然是幂等阵的所有情况.文献[3-4]对于所考虑的问题给出了在统计学中的解释.本文将进一步研究满足一定条件的幂等阵和k+1(k∈*，k≥1)次幂等阵的线性组合的立方幂等性.2 主要结果定理2.1 设A，B∈n×n为两个非零复矩阵，c1A+c2B=C满足A2=A，Bk+1=B(k∈*，k≥1)，AB=BA且C3=C.设A和B不同时相似于A′⊕0和B′⊕0，B有至少两个不同的非零特征值.则存在一个非奇异矩阵S使得c1S-1AS+c2S-1BS=S-1CS成立必有如下情形(其中，(2.1)k，(2.2)k，(2.3)(2.4)(2.5)k，(2.6)k，(2.7)(2.8)(2.9)k，(2.10)证明由A2=A，不妨令A=Ir⊕0，r≤n.又因AB=BA，则有B=B1⊕B2，B1∈r×r，B2∈(n-r)×(n-r).因为Bk+1=B，故B1,B2都是可对角化的，因此可通过相同的相似变换使得A,B同时对角化，不妨令B=diag(β1，…，βn)，这里也即或者βi=0.因为A,B是对角的，故C=diag(γ1，…，γn)，并且由C3=C知γ1，…，γn∈{-1，0，1}.因此有(2.11)因A,B不同时相似于A′⊕0，B′⊕0，故βr+1，…，βn非零，又c2≠0，所以γr+1…γn≠0.我们把式(2.11)看做是关于c1,c2的线性方程组，因为方程组有解，这里至多有两个独立的线性方程.因为A≠0并且B至少有两个非零特征值，所以式(2.11)独立方程的个数等于2.我们固定两个线性方程，分以下几种情况：1)c1+c2u=0，c1+c2v=0(u≠v)，则c2=0，这种情况不成立.2)c1+c2u=1，c1+c2v=0，则必u≠v，故由式(2.11)得到和因此，βi=v或βi=u 或βi=2v-u和βj=u-v或βj=v-u.如果r=n,重新排列B的特征值，得到从而得式(2.1).如果r<n，则有：当u=βj+v时，由有βj=εu，v=ε-1u，6k；当v=βj+u时，由有βj=-εu，v=ε-1u，6k重新排列B的特征值可得从而得式(2.2).3)c1+c2u=1，c1+c2v=-1，同2)类似可证得式(2.3)、(2.4).4)c1+c2u=1，c1+c2v=1(u≠v)，则c2=0，这种情况不成立.5)c1+c2u=0，c2v=1，则c1=-uv-1，c2=v-1.由式(2.11)得到和因此，βi=u或βi=u+v或βi=u-v和βj=-v或βj=v.ⅰ)如果βi=u，i=1，…，r，重新排列B的特征值当βj=v或βj=-v时，有从而得式(2.5).ⅱ)假设存在i∈{1，…，r}使得βi=u+v.分以下情况讨论：如果βi≠0，由有u=ε-1βi，v=εβi，6k.情况1 当βj=v时，有且情况2 当βj=-v时，有且情况3 当βi=0时，有u=-v，c1=1，c2=v-1，且k是偶数.重新排列B的特征值得从而得式(2.6).ⅲ)假设存在i∈{1，…，r}使得u=βi+v.分以下情况讨论：如果βi≠0，由有u=ε-1βi，v=-εβi，6k.情况1 当βj=v时，有且情况2 当βj=-v时，有且情况3 当βi=0时，有u=v，c1=-1，c2=v-1，且k是偶数.重新排列B的特征值得从而亦得式(2.6).综合ⅱ)、ⅲ)的情况1、2并重新排列B的特征值得从而得式(2.7).6)c1+c2u=1，c2v=1，同2)类似可得式(2.6)、(2.8).7)c1+c2u=-1，c2v=1，同2)类似可得式(2.9)、(2.10).8)c2u=1，c2v=1(u≠v)，无解.9)c2u=0，c2v=1，则c2=0.与c2≠0矛盾.10)c2u=-1，c2v=1，得矩阵A为零阵与定理条件不符.显然，若C2=C则必有C3=C，重新整理定理2.1的证明则有：推论2.1[2] 设A，B是非零的复矩阵，c1A+c2B=C满足A2=A，Bk+1=B，AB=BA且C2=C.设A和B不同时相似于A′⊕0和B′⊕0，且B有至少两个不同的非零特征值，则存在一个非奇异矩阵S，使得c1S-1AS+c2S-1BS=S-1CS成立必有如下线性组合(其中并且3 讨论本文研究了在复数域上两个不相等的、可交换的幂等矩阵和k+1(k≥1，k∈*)次幂等阵的线性组合的立方幂等性，讨论了在给定条件下的所有可能情形.如果对A∈n×n有u∈，u≠0，1，满足Bk+1=μB，则称B为k+1次数量幂等矩阵[5-6].若令则有(B′)k+1=B′，那么显然可以讨论定理2.1在A，B，C为给定次数的数量幂等阵并满足定理2.1假设条件的对应结果.【相关文献】[1] 张俊敏，成立花，李祚.幂等矩阵线性组合的可逆性[J].纯粹数学与应用数学，2007，23(2)：231-234，238.[2] J Benftez，N Thome.Idempotency of Linear Combinations of an Idempotent Matrix and a t-potent Matrix that Commute[J].Linear Algebra and Its Applications，2005，403：414-418.[3] J K Basksalary，O M Basksalary.Idempotency of Linear Combinations of Two Idempotent Matrices[J].Linear Algebra and Its Applications，2000，321：3-7.[4] Jerzy K Baksalary，Oskar Maria Baksalary，Halim Ozdemir.A Note on Linear，Combinations of Commuting Tripotent Matrices[J].Linear Algebra and Its Applications，2004，388：45-51.[5] Tian Y，Styan G P H.Ranl Equalities for Idempotent and Involutory Matrices[J].Linear Algebra and Its Applications，2001，335：101-117.[6] 杨忠鹏，傅丹娟，陈梅香.m次数量幂等矩阵线性组合的可逆性[J].数学研究，2010，43(2)：178-184.。
幂等矩阵的性质及证明
幂等矩阵的性质及证明定义：若$AA=A$，则称$A$为幂等矩阵。
1.幂等矩阵的特征值只取1和0两个数值证明：设$\lambda$是幂等矩阵$A$的特征值，$\bold{v}$是与$\lambda$对应的特征向量，则$\lambda \bold{v}=A\bold{v}=A^2 \bold{v}=\lambda^2 \bold{v}$即$(\lambda^2-\lambda)\bold{v}=\bold{0}$因为 $\bold{v}\not=\bold{0}$，所以$(\lambda^2-\lambda)=0$，故$\lambda=0$或$1$.2.幂等矩阵⼀定可以对⾓化证明：证明此性质需⽤到两个引理：引理1：$r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ (这⾥$r$表⽰矩阵的秩)引理2：$A_{m \times n} B_{n \times k} \leq n$现假设A为$n \times n$的幂等矩阵，且$r(A)=r$因为$A(E-A)=A-AA=A-A=0$所以$n=r(E)=r(A+(E-A)) \leq r(A)+r(E-A) \leq n$故有$r(A)+r(E-A) = n$设$\lambda$是矩阵$A$的特征值，根据上⾯的性质1，$\lambda=0$或$1$对应于$\lambda=0$的有$n-r(0 \times E-A)$个线性⽆关的特征向量(即⽅程$(0 \times E-A)x=0$基础解系有$n-r(0 \times E-A)$个基向量)对应于$\lambda=1$的有$n-r(1 \times E-A)$个线性⽆关的特征向量由于$r(0 \times E-A) + r(1 \times E-A) = r(A)+r(E-A) = n$所以$A$有$[n-r(0 \times E-A)] + [n-r(1 \times E-A)] = n$个线性⽆关的特征向量，所以$A$⼀定可以对⾓化，其对⾓化之后的形式可表⽰为3.所有幂等矩阵的秩与迹相等，即$r(A)=tr(A)$证明：由性质2容易导出该性质。
幂等矩阵的概念及性质
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收稿日期： %&&’ 0&" 0!$ 作者简介： 肖润梅 （!">’—） ， 女， 山西怀仁人， 讲师# 研究
向： 高等