幂等矩阵与另一矩阵的组合的k-幂等性
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为 了主要结 果 的证 明 ， 面给 出两个需 要 的引理 。 下
引理 １ 设ＰＥ ， Ｃ” ， Ｑ＝ Ｐ ， Ｃ：Ｑ∈ Ｐ Ｑ 那么存在一个可逆阵 Ｓ 使 ，
Ｐ ） Ｑ ） ＝ ｓ （ ＝ （
其 中 ， ， Ｐ）Ａ ∈Ｃ ， ∈Ｃ ‘－ ‘ ． ＝（ ， Ｄ ｒ ） 证 明 因为 Ｐ∈Ｃ： 那么存 在一 个 可逆 阵 Ｓ， 得 ， 使
第３ ２卷
第 ２期
湖北师范学院学报 （ 自然科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ｅ Ｎ ｒ ｌ ｎｖｒｉ Ｎ ｔｒ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｂ ｉ ｏ ｉｅ ｔ ｎ Ｈ ｍａ Ｕ ｓ ｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｃ ） ｕｌ ｅ
Ｖ Ｉ３ ｏ． ２
Ｎｏ ２， ０１ ． ２ ２
ｂ ｃ Ｑ 是幂等阵和 ３一幂等阵的充要 条件。这 个结果推 广了 Ｂ ｎｔ ， ｈ ｍ Ｑ＋ ｅ ｅ ｉｚ Ｔ ｏ ｅＮ在 ２０ ｅＪ ０ ６年的结论。
关键词 ： 幂等 阵； 后一幂等阵 ； 组合 中图分类号 ： １２ ２ Ｏ ５．１ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０９２ １ （０２ ０ ． ０ ６ ０ １０ － ４ ２ １ ）２ ０３ ． ４ ７ ｄ ｉ１ ．９ ９ｊ ｉ ｎ １０ ２ １ ．０ ２０ ．０ ｏ：０ ３ ６／．ｓ ．０ ９— ７ ４ ２ １ ．２０ ８ ｓ
１ 预 备 知 识 及 引 理
用 Ｃ一 示 复数域Ｃ 上 的所有 ｒ×ｒ矩 阵组成 的集 合 ， 表 示 Ｃ 上 的所有 ｎ维 向量 组 成 的 ｔ 表 ｒ ｔ ｔ Ｃ ／ ， 维 向量 空 间。设 Ａ∈Ｃ ， ｒＡ）表 示 Ａ 的秩 ，用 （ 用 （ Ａ）表 示 Ａ 的谱 ， Ｌ 表示 ｎ阶单 位矩 阵 。 用 如 果 Ａ∈Ｃ ～ 满 足 Ａ Ａ ， ， ＝ 则称 Ａ是 一 个 ｎ阶 幂等 矩 阵 （ 称 Ａ 是 一个 ｎ阶投 影算 子 ） 也 。用符 号 Ｃ： 表示 所 有 ｎ阶幂 等矩阵组 成 的集 合 ， ： 即
收 稿 日期 ：０ － １ － １ ２１ １ ０ ２
作者简介 ： 陈敬华（ ９３ １６ 一 ３ ・ ６
）男 ， ， 湖北黄石人， 副教授 ， 主要从事代数学 的教学与研究
・
的ｋ 幂等性 。给出了 Ｔ∈ 时， 一 Ｃ： Ｑ的分类 。利用这些分类 ， 证明了两个可交换幂等矩阵 Ｐ与 Ｑ的 组合 ａ ６ ＋ ｅ 为幂等 阵 和 ３一幂等 阵 的充要 条件 。这个 结果 推广 了［ ］ 的结论 。 Ｐ＋ Ｑ ｃ Ｑ １ 中 １
引理 ２ … 设 Ａ∈Ｃ ， ｋ＞１那 么下 列各 命题 是彼此 等 价 ： ，
ａ ）Ａ ∈Ｃ ｋｐ － ；
ｂ 存 在 一１ ） 个两 两不 同 的幂等 矩阵 ＡｏＡ 一 ， 得 Ａ ： ， Ａ 一使
．
一
。
，
其 中
。ｐ … ｐ （
。 。 ｓ
＋ ｉ ｋ １ ＝ 、 一‘ “—— ， ／ ｉ － ｎ
Ｐ Ｉ ）＝ ， ＝１ ｒ （ ， ｃ ｒＡ
令 ＝１ ）Ａｃｒ ∈ｒ－Ｃｃ＿ 。ｃ－（， 由ＱＱ可 Ｑ Ｉ ∈ ， Ｃ（， ， ∈（ｘｒ 么 Ｐ＝ ， （ ， 曰 ｒ ｎ ｎ 那 ￣）Ｅ ｎ ｒ－ ）） Ｐ推
出 Ｂ： ， ０ 所 以 ０ Ｃ＝ ，
Ｑ－ 三 ＝Ｉ ） Ｓ： （
：
｛ ∈ｃ Ｉ ：ｌ ｃ ｃ ｝
令∞＝ ｐ ）ｃ竽＋ｉ ｅ（ ＝ ｓ ／ 竽， ｘ ｏ ｓ ＝ ｎ
研究两个幂等矩阵的和、 、 差 线性组合和组合的性质 ， 一直是矩阵分析及 Ｈｌ ｒ空间中算子理论 ｉｅ ｂｔ 的重 要课 题之 一 。幂 等矩 阵和 ３一幂 等 矩 阵 的线 性 组合 在 矩 阵理 论 和 统 计 学 中 也具 有 重 要 的作 用 （ 参看［ — ］ 。最近 ， １ ３） 在文章［ １ ］ ， ４— ０ 中 作者研究 了两个幂等矩阵的线性组合及它们 的组合的可逆 性、 、 秩 谱等性质。特别地 ， １ ］ ， 在［ １ 中 作者研究 了两个幂等矩阵的线性 组合 的 ｋ 幂等性 问题 ， 一 而在
Ｃ： Ａ ＥＣ ＝｛ Ｉ ＝ Ａ Ａ｝
对于正整数 ｋ如果Ａ∈ 满足Ａ ＝ ， ， ｃ Ａ 则称Ａ是一个 阶ｋ 幂等阵。用符号ｃ： 一 表示所有
ｎ阶 ｋ 一幂等 矩 阵组成 的集合 ， ： 即 ‘ Ｃ ｋ． Ａ ＥＣ － ＝｛ Ｉ ＝ ａ Ａ Ａ｝ 对 于正整数 ｋ用 ， １表示 百度文库有 的 ｋ次单位 根组成 的集合 ， 即
幂等 矩 阵与 另 一矩 阵的 组合 的 ｋ一幂 等 性
陈敬华 ， 可正 左
（ 湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 ４５０ ） ３０ ２
摘要 ： 究了一个幂等矩 阵 Ｐ和另一个与 Ｐ可交换的矩 阵 Ｑ 的组合 ＋６ 研 Ｑ＋ｃ Ｑ 的 ｋ Ｐ 一幂等性。给 出了 当 ＋６ ｃ Ｑ 是 ｋ Ｑ＋ Ｐ 一幂等 时， 的分类。利用这个分类给 出了两个 可交换的 幂等阵 Ｐ Ｑ 的组合 ＋ Ｑ 、
［２ 中作者研究 了一个幂等矩阵（ 一幂等阵）Ｐ和一个与 Ｐ 可交换 的矩阵 Ｑ 的线性组合 ａ ６ １］ ３ Ｐ＋ Ｑ 的幂等性（ 幂等性 ） ３一 。在这篇文章中， 我们研究了组合
Ｔ＝ Ｐ＋６ ＋ Ｐ （Ｐ∈Ｃ：Ｐ ＝Ｑ ａ ｂｃ ａ Ｑ ｃＱ ，ｌ Ｑ Ｐ， ，，∈Ｃ ，ｂ ） ａ ≠Ｏ
－
ｃ Ａ可 对角 化且 （ ｛ ｝ ） Ａ） ０ Ｕ
；
ｄ存在可逆矩阵 Ｔ使得 Ａ＝ （ ） ， Ｔ ④ 一 ） 。 ①０ Ｊ
２ 主 要 结果
本部分先给出Ｔ ａ ＋ Ｑ＋ ｅ Ｃ： ＝ Ｐ ６ ｃＱＥ 时， Ｑ的分类。再给出 两个可交换的幂等矩阵Ｐ与Ｑ的
组合 Ｔ＝ａ ６ ＋ｃＱ 为幂等 阵 和 ３一幂 等阵 的充要 条件 。 Ｐ＋ Ｑ ｅ
引理 １ 设ＰＥ ， Ｃ” ， Ｑ＝ Ｐ ， Ｃ：Ｑ∈ Ｐ Ｑ 那么存在一个可逆阵 Ｓ 使 ，
Ｐ ） Ｑ ） ＝ ｓ （ ＝ （
其 中 ， ， Ｐ）Ａ ∈Ｃ ， ∈Ｃ ‘－ ‘ ． ＝（ ， Ｄ ｒ ） 证 明 因为 Ｐ∈Ｃ： 那么存 在一 个 可逆 阵 Ｓ， 得 ， 使
第３ ２卷
第 ２期
湖北师范学院学报 （ 自然科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ｅ Ｎ ｒ ｌ ｎｖｒｉ Ｎ ｔｒ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｂ ｉ ｏ ｉｅ ｔ ｎ Ｈ ｍａ Ｕ ｓ ｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｃ ） ｕｌ ｅ
Ｖ Ｉ３ ｏ． ２
Ｎｏ ２， ０１ ． ２ ２
ｂ ｃ Ｑ 是幂等阵和 ３一幂等阵的充要 条件。这 个结果推 广了 Ｂ ｎｔ ， ｈ ｍ Ｑ＋ ｅ ｅ ｉｚ Ｔ ｏ ｅＮ在 ２０ ｅＪ ０ ６年的结论。
关键词 ： 幂等 阵； 后一幂等阵 ； 组合 中图分类号 ： １２ ２ Ｏ ５．１ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０９２ １ （０２ ０ ． ０ ６ ０ １０ － ４ ２ １ ）２ ０３ ． ４ ７ ｄ ｉ１ ．９ ９ｊ ｉ ｎ １０ ２ １ ．０ ２０ ．０ ｏ：０ ３ ６／．ｓ ．０ ９— ７ ４ ２ １ ．２０ ８ ｓ
１ 预 备 知 识 及 引 理
用 Ｃ一 示 复数域Ｃ 上 的所有 ｒ×ｒ矩 阵组成 的集 合 ， 表 示 Ｃ 上 的所有 ｎ维 向量 组 成 的 ｔ 表 ｒ ｔ ｔ Ｃ ／ ， 维 向量 空 间。设 Ａ∈Ｃ ， ｒＡ）表 示 Ａ 的秩 ，用 （ 用 （ Ａ）表 示 Ａ 的谱 ， Ｌ 表示 ｎ阶单 位矩 阵 。 用 如 果 Ａ∈Ｃ ～ 满 足 Ａ Ａ ， ， ＝ 则称 Ａ是 一 个 ｎ阶 幂等 矩 阵 （ 称 Ａ 是 一个 ｎ阶投 影算 子 ） 也 。用符 号 Ｃ： 表示 所 有 ｎ阶幂 等矩阵组 成 的集 合 ， ： 即
收 稿 日期 ：０ － １ － １ ２１ １ ０ ２
作者简介 ： 陈敬华（ ９３ １６ 一 ３ ・ ６
）男 ， ， 湖北黄石人， 副教授 ， 主要从事代数学 的教学与研究
・
的ｋ 幂等性 。给出了 Ｔ∈ 时， 一 Ｃ： Ｑ的分类 。利用这些分类 ， 证明了两个可交换幂等矩阵 Ｐ与 Ｑ的 组合 ａ ６ ＋ ｅ 为幂等 阵 和 ３一幂等 阵 的充要 条件 。这个 结果 推广 了［ ］ 的结论 。 Ｐ＋ Ｑ ｃ Ｑ １ 中 １
引理 ２ … 设 Ａ∈Ｃ ， ｋ＞１那 么下 列各 命题 是彼此 等 价 ： ，
ａ ）Ａ ∈Ｃ ｋｐ － ；
ｂ 存 在 一１ ） 个两 两不 同 的幂等 矩阵 ＡｏＡ 一 ， 得 Ａ ： ， Ａ 一使
．
一
。
，
其 中
。ｐ … ｐ （
。 。 ｓ
＋ ｉ ｋ １ ＝ 、 一‘ “—— ， ／ ｉ － ｎ
Ｐ Ｉ ）＝ ， ＝１ ｒ （ ， ｃ ｒＡ
令 ＝１ ）Ａｃｒ ∈ｒ－Ｃｃ＿ 。ｃ－（， 由ＱＱ可 Ｑ Ｉ ∈ ， Ｃ（， ， ∈（ｘｒ 么 Ｐ＝ ， （ ， 曰 ｒ ｎ ｎ 那 ￣）Ｅ ｎ ｒ－ ）） Ｐ推
出 Ｂ： ， ０ 所 以 ０ Ｃ＝ ，
Ｑ－ 三 ＝Ｉ ） Ｓ： （
：
｛ ∈ｃ Ｉ ：ｌ ｃ ｃ ｝
令∞＝ ｐ ）ｃ竽＋ｉ ｅ（ ＝ ｓ ／ 竽， ｘ ｏ ｓ ＝ ｎ
研究两个幂等矩阵的和、 、 差 线性组合和组合的性质 ， 一直是矩阵分析及 Ｈｌ ｒ空间中算子理论 ｉｅ ｂｔ 的重 要课 题之 一 。幂 等矩 阵和 ３一幂 等 矩 阵 的线 性 组合 在 矩 阵理 论 和 统 计 学 中 也具 有 重 要 的作 用 （ 参看［ — ］ 。最近 ， １ ３） 在文章［ １ ］ ， ４— ０ 中 作者研究 了两个幂等矩阵的线性组合及它们 的组合的可逆 性、 、 秩 谱等性质。特别地 ， １ ］ ， 在［ １ 中 作者研究 了两个幂等矩阵的线性 组合 的 ｋ 幂等性 问题 ， 一 而在
Ｃ： Ａ ＥＣ ＝｛ Ｉ ＝ Ａ Ａ｝
对于正整数 ｋ如果Ａ∈ 满足Ａ ＝ ， ， ｃ Ａ 则称Ａ是一个 阶ｋ 幂等阵。用符号ｃ： 一 表示所有
ｎ阶 ｋ 一幂等 矩 阵组成 的集合 ， ： 即 ‘ Ｃ ｋ． Ａ ＥＣ － ＝｛ Ｉ ＝ ａ Ａ Ａ｝ 对 于正整数 ｋ用 ， １表示 百度文库有 的 ｋ次单位 根组成 的集合 ， 即
幂等 矩 阵与 另 一矩 阵的 组合 的 ｋ一幂 等 性
陈敬华 ， 可正 左
（ 湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 ４５０ ） ３０ ２
摘要 ： 究了一个幂等矩 阵 Ｐ和另一个与 Ｐ可交换的矩 阵 Ｑ 的组合 ＋６ 研 Ｑ＋ｃ Ｑ 的 ｋ Ｐ 一幂等性。给 出了 当 ＋６ ｃ Ｑ 是 ｋ Ｑ＋ Ｐ 一幂等 时， 的分类。利用这个分类给 出了两个 可交换的 幂等阵 Ｐ Ｑ 的组合 ＋ Ｑ 、
［２ 中作者研究 了一个幂等矩阵（ 一幂等阵）Ｐ和一个与 Ｐ 可交换 的矩阵 Ｑ 的线性组合 ａ ６ １］ ３ Ｐ＋ Ｑ 的幂等性（ 幂等性 ） ３一 。在这篇文章中， 我们研究了组合
Ｔ＝ Ｐ＋６ ＋ Ｐ （Ｐ∈Ｃ：Ｐ ＝Ｑ ａ ｂｃ ａ Ｑ ｃＱ ，ｌ Ｑ Ｐ， ，，∈Ｃ ，ｂ ） ａ ≠Ｏ
－
ｃ Ａ可 对角 化且 （ ｛ ｝ ） Ａ） ０ Ｕ
；
ｄ存在可逆矩阵 Ｔ使得 Ａ＝ （ ） ， Ｔ ④ 一 ） 。 ①０ Ｊ
２ 主 要 结果
本部分先给出Ｔ ａ ＋ Ｑ＋ ｅ Ｃ： ＝ Ｐ ６ ｃＱＥ 时， Ｑ的分类。再给出 两个可交换的幂等矩阵Ｐ与Ｑ的
组合 Ｔ＝ａ ６ ＋ｃＱ 为幂等 阵 和 ３一幂 等阵 的充要 条件 。 Ｐ＋ Ｑ ｅ