2019-2020学年江苏省盐城中学高二(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省盐城中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知命题p：?x∈N?，2x>x2，则￢p是()

A. ?x∈N?，2x>x2

B. ?x∈N?，2x≤x2

C. ?x∈N?，2x≤x2

D. ?x∈N?，2x

2.已知抛物线y2=2px的准线方程是x=?2，则p的值为()

A. 2

B. 4

C. ?2

D. ?4

3.2+√3和2?√3的等比中项是()

A. 1

B. ?1

C. ±1

D. 2

4.双曲线x2

4?y2

16

=1的渐近线方程为()

A. y=±2x

B. y=±1

2x C. y=±√5x D. y=±√5

2

x

5.已知x、y均为正数，2

x +8

y

=1，则xy有()

A. 最大值64

B. 最大值1

64C. 最小值64 D. 最小值1

64

6.若a，b∈R，则1

a2>1

b2

成立的一个充分不必要的条件是()

A. b>a>0

B. a>b>0

C. b

D. a

7.在等差数列{a n}中，a3+a8=8，则S10=()

A. 20

B. 40

C. 60

D. 80

8.已知函数f(x)=x+4

x ，g(x)=2x+a，若?x1∈[1

2

,3]，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实

数a的取值范围是()

A. a≤1

B. a≥1

C. a≤0

D. a≥0

9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且?11

A. (?1,2]

B. (1,2]

C. [?1,2]

D. [1,2]

10.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则|MP|+|MF|的最小值

为()

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

11.若log2x+log2y=2，则x+2y的最小值为()

A. 2

B. 2√2

C. 4

D. 4√2

12.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且对于任意n>1，n∈N?，满足S n+1+S n?1=

2(S n+1)，则S10的值为()

A. 90

B. 91

C. 96

D. 100

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.方程x2

2?k +y2

2k?1

=1表示焦点在x轴上椭圆，则实数k的取值范围是______．

14.已知正实数a，b，c满足1

a +1

b

=1，1

a+b

+1

c

=1，则c的取值范围是_____．

15.已知数列{a n}中，a1=1，a n

a n+1?a n =n(n∈N?)，则a

2016

=______ ．

16.已知F1，F2是椭圆x2

m2+y2

m2?4

=1(m>2)的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|?|PF2|=2√3m，

则该椭圆离心率的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知m∈R，命题p：对?x∈[0,8]，不等式恒成立；命题q：对?x∈

(?∞,?1)，不等式2x2+x>2+mx恒成立．

(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

18.已知双曲线x2

4?y2

b2

=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线

的距离．

19.已知数列{b n}前n项和为S n，且b1=1，b n+1=1

3

S n．

(1)求b2，b3，b4的值；

(2)求{b n}的通项公式；

(3)求b2+b4+b6+?+b2n的值．

20.某房地产商建有三栋楼宇A,B,C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域

ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．

(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；

(2)当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，

D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元千米，a为常数).记∠BDE=θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的解析式．若θ=60°时，求出具体费用．

21.如图，椭圆E：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，离心率e=√5

3

，长轴与短轴

的长度之和为10．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；

(Ⅱ)在椭圆E 上任取点P(与A 、B 两点不重合)，直线PA 交y 轴于点C ，直线PB 交y 轴于点D ，证明：OC ????? ?OD

?????? 为定值．

22. 已知数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1=1，b n+1=1

3S n ．

(1)求b 2，b 3，b 4的值; (2)求{b n }的通项公式．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：命题p：?x∈N?，2x>x2，则￢p是?x∈N?，2x≤x2，

故选：C．

欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“?”；②：“>”即可，据此分析选项可得答案．

这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>”的否定用“<”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．

2.答案：B

解析：解：抛物线y2=2px的准线方程是x=?2，则p的值：4．

故选：B．

利用抛物线的准线方程求出p，即可．

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．

3.答案：C

解析：

【分析】

本题主要考查等比数列的应用，属于简单题．

【解答】

解：由题意得，(2+√3)(2?√3)=1，

2+√3和2?√3的等比中项是±1，

故选C．

4.答案：A

解析：解：由双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a,b>0)的渐近线方程为：

y=±b

a

x，

双曲线x2

4?y2

16

=1的a=2，b=4，

可得渐近线方程为y=±2x．

由双曲线x2

a2?y2

b2

=1(a,b>0)的渐近线方程为y=±b

a

x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线

方程．

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．

5.答案：C

解析：解：∵x、y均为正数，2

x +8

y

=1，

∴2

x +8

y

=1≥2√2

x

?8

y

，化为xy≥64，当且仅当y=4x=16时取等号．

∴xy有最小值64．

故选：C．

利用基本不等式的性质即可得出．

本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6.答案：A

解析：

【分析】

由于1

a2>1

b2

?a2

判断即可．

本题考查不等式的基本性质，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确理解充分不必要条件的概念是判断的关键，属于中档题．

【解答】

解：∵a，b∈R，1

a2>1

b2

?0

∴对于A，若b>a>0，则1

a2>1

b2

，即充分性成立；反之，当|a|<|b|时，不能?b>a>0，即必

要性不成立．

∴b>a>0是1

a2>1

b2

成立的一个充分不必要的条件，即A满足题意；

同理可分析B，C，D，均是1

a >1

b

成立的既不充分也不必要的条件；故可排除B，C，D；

故选A．

7.答案：B

解析：解：∵在等差数列{a n}中，a3+a8=8，

∴S10=10

2(a1+a10)=10

2

(a3+a8)=5×8=40．

由已知利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．

本题考查等差数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

8.答案：C

解析：

【分析】

本题考查指数函数以及对勾函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，属于中档题．

由?x1∈[1

2,3]，都?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，可得f(x)在x1∈[1

2

,3]的最小值不小于g(x)在x2∈

[2,3]的最小值，构造关于a的不等式，可得结论．

【解答】

解：当x1∈[1

2

,3]时，由对勾函数的性质可得：

f(x)在[1

2

,2]上单调递减，在(2,3]上单调递增，

∴f(2)=4是函数的最小值；

当x2∈[2,3]时，g(x)=2x+a为增函数，

∴g(2)=a+4是函数的最小值，

又∵?x1∈[1

2

,3]，都?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，

可得f(x)在x1∈[1

2

,3]的最小值不小于g(x)在x2∈[2,3]的最小值，

即4≥a+4，解得：a≤0．

故选C．

9.答案：A

解析：

【分析】

本题考查等差数列的性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

由等差数列{an}的前n项和公式、通项公式得到?11<=11a6≤22，由此能求出a6的取值范围．【解答】

解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且?11

∴?11<11

2

(a1+a11)=11a6≤22，

解得?1

∴a6的取值范围是(?1,2]．

故选：A．

解析：

【分析】

本题考查了双曲线的几何意义，根据到焦点的距离等于到准线的距离进行解答．

【解答】

解：抛物线y2=4x的准线l的方程为x=?1，焦点坐标为(1,0)，由抛物线几何性质知|MF|为点M 到直线l的距离，则有点P到直线l的距离d=4，如下图所示，则有|MP|+|MF|≥d=4，当点M 为点P到直线l的垂线与抛物线的交点时等号成立．

故选B．

．

11.答案：D

解析：

【分析】

本题考查了对数的运算和基本不等式，属基础题．

根据log2x+log2y=2，求出xy的值，然后直接利用基本不等式求解x+2y．

【解答】

解：∵log2x+log2y=2，∴log2xy=2，∴xy=4，x>0，y>0，

∴x+2y≥2√2xy=4√2，

当且仅当x=2y=2√2，即x=2√2，y=√2时取等号．

∴x+2y的最小值为4√2．

故选D．

12.答案：B

解析：

【分析】

本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

对于任意n>1，n∈N?，满足S n+1+S n?1=2(S n+1)，可得S n+1?S n=S n?S n?1+2，可得a n+1?a n=2.利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

【解答】

解：∵对于任意n>1，n∈N?，满足S n+1+S n?1=2(S n+1)，

∴S n+1?S n=S n?S n?1+2，

∴a n+1?a n=2．

∴数列{a n}在n≥2时是等差数列，公差为2．

则S10=1+9×2+9×8

2

×2=91．

故选：B．

13.答案：(1

2

,1)

解析：解：∵方程x2

2?k +y2

2k?1

=1表示焦点在x轴上的椭圆，

∴2?k>2k?1>0，解得1

2

∴实数k的取值范围是(1

2

,1)．

故答案为：(1

2

,1)．

直接由题意列关于k的不等式组得答案．

本题考查椭圆的简单性质，考查了曲线方程表示椭圆的条件，是基础题．

14.答案：(1,4

3

]

解析：

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．

因为a，b是正实数，且1

a +1

b

=1，则a+b=ab?2√ab，当且仅当a=b=2时等号成立，解得ab≥4.

又由1

a+b +1

c

=1得1

ab

+1

c

=1，可得c的取值范围．

【解答】

解：因为a，b是正实数，且1

a +1

b

=1，

则a+b=ab?2√ab，

当且仅当a=b=2时等号成立，解得ab≥4．

又由1a+b +1c =1得1ab +1

c =1， c =ab

ab?1=1+1

ab?1∈(1,4

3]． ∴c 的取值范围为(1,4

3]. 故答案为(1,4

3].

15.答案：2016

解析： 【分析】

本题考查了递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由a

n a n+1?a n =n(n ∈N ?

)，可得：na n+1=(n +1)a n ，又a 1=1，可得a n =n.即可得出．

【解答】

解：∵a

n a n+1?a n =n(n ∈N ?

)，∴na n+1=(n +1)a n ，

化为：

a n+1a n

=

n+1n

，

∴n ≥2时，a n =a n

a n?1

·

a n?1a n?2

?

a 2a 1

·a 1=

n

n?1·

n?1

n?2

?2

1

·1，

∴a n =n ． ∴a 2016=2016．

故答案为：2016．

16.答案：[√7?√32,√3

3

]

解析：解：由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2m ， ∴2m =|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1||PF 2|=2√2√3m ， 化为m 2≥2√3m ，又m >2， 解得m ≥2√3．

另一方面：设∠F 1PF 2=θ，

由余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2?2|PF 1||PF 2|cosθ=(2c)2=16． |PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4m 2． 相减可得：1+cosθ=2√3m

．

∵θ∈[0,π)，

∴0<

2√3m

≤2.m ≥2√3

∴2≤m ≤√3+√7．

∴e =

c a

=√1?

m 2?4m 2

=

2m

∈[

√7?√32,√3

3]， ∴该椭圆离心率的取值范围为[√7?√32

,√3

3]， 故答案为：[√

7?√32

,√3

3]． 由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2m ，利用基本不等式的性质可得：|PF 1|+|PF 2|≥2√|PF 1||PF 2|，化简整理即可得出．另一方面：设∠F 1PF 2=θ，由余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2?2|PF 1||PF 2|cosθ=(2c)2=16．

|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=4m 2.相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出． 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17.答案：解：(1)令

，则f (x )在

上为减函数，

因为x ∈[0,8]，所以当x =8时，，

不等式

恒成立，等价于?2≥m 2?3m ，

解得1≤m ≤2，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[1,2]； (2)若命题q 为真，则，对

上恒成立，

令，因为g(x)在

上为单调增函数，

则

，故m ≥1，即命题q 为真，m ≥1，

若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则命题p ，q 中一真一假， ①若p 为真，q 为假，那么{

1

m <1，则无解， ②若p 为假，q 为真，那么{m <1或m >2m ≥1，则m >2．

综上m 的取值范围为

．

解析：本题主要考查全称量词命题，存在量词命题的真假判定，复合命题真假的判定． (1)令

，则f(x)在

上为减函数，

，结合已知条件，

问题等价于?2≥m 2?3m ，即可解得实数m 的取值范围；

(2)由已知可得命题p ，q 中一真一假，然后分类讨论即可解得实数m 的取值范围．

18.答案：解：∵抛物线y 2=12x 的p =6，开口方向向右，∴焦点是(3,0)，

∵双曲线

x 24

?y 2

b 2=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，

∴4+b 2=9，∴b 2=5

∴双曲线的渐近线方程为y =±√52

x ，即√5x ±2y =0

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为

|3√5?0|

3

=√5．

解析：先求出抛物线y 2=12x 的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出b 的值，进而得到该双曲线的离心率与渐近线方程，从而可求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．． 本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于中档题．

19.答案：解：(1)b 2=13S 1=13b 1=1

3，

b 3=1

3S 2=1

3(b 1+b 2)=4

9，

b 4=1

3

S 3=1

3

(b 1+b 2+b 3)=

1627

;

(2)∵b n+1=1

3

S n ．

∴b n =1

3

S n?1(n ≥2)，

两式相减可得，b n+1?b n =1

3b n ， ∴b n+1=4

3b n ， ∵b 2=13

， ∴b n =1

3

?(43)n?2(n ≥2)，

∴b n ={1,n =1

13?(43

)n?2

,n ≥2 ; (3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为1

3，公比(4

3)2的等比数列，

∴b 2+b 4+b 6+?+b 2n =13

[1?(43)2n

]1?(43)2

=3

7[(4

3)2n ?1]．

解析：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质的应用，数列的递推公式的应用是解答本题的关键．

(1)由b 1=1，b n+1=1

3S n .分别令n =1，2，3可求;

(2)由题意可得b n+1=1

3S n .b n =1

3S n?1(n ≥2)，两式相减，结合等比数列的通项公式可求; (3)由(2)可得b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为1

3，公比(4

3)2的等比数列，结合等比数列的求和公式可求．

20.答案：解：(1)由题意，AB =AC =BC =2，∠BDC =120°，

由余弦定理得，BC 2=BD 2+DC 2?2BD ·DC ·cos120°， 即4=BD 2+DC 2+BD ·DC ，

即4?BD ·DC =BD 2+DC 2≥2BD ·DC ，(当且仅当BD =DC =2

3√3时取等号)

所以，BD·DC≤4

3

，所以，

≤√3+1

2×4

3

×√3

2

=4

3

√3，

即四边形区域ABCD面积的最大值为4

3

√3平方千米．

(2)当楼宇D与楼宇B、C间距离相等时，

由(1)得：BD=DC=2

3

√3，则∠DBC=∠DCB，

又∠BDC=120°，所以∠DBC=30°，

由等边三角形ABC得∠ABC=60°，所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°，

在RtΔEBD中，∠BDE=θ，

所以，

，则，

所以铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为：

，

当时，．

答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的解析式为；

当时，铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用为8√3

3

a元.

解析：本题考查解三角形的实际应用、余弦定理和利用基本不等式求最值，属较难题型．

(1)根据题意，结合余弦定理求得4=BD2+DC2+BD·DC，结合基本不等式得BD·DC≤4

3

，即可求得；(2)由题意可得∠DBC=30°，∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°，从而在RtΔEBD中得铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为

，代入即可得出结果．

21.答案：解：(Ⅰ)由题可知e =c a =√5

3

，2a +2b =10，解得a =3，b =2．

故椭圆E 的标准方程为E ：

x 29

+

y 24

=1

证明(Ⅱ)：设P(x 0,y 0)，直线PA 交y 轴于点C(0,y 1)，直线PB 交y 轴于点D(0,y 2). 则

x 0

29

+

y 0

24

=1，即9y 0

29?x 0

2=4．

易知OC ????? 与OD ?????? 同向，故OC ????? ?OD ?????? =y 1y 2． 因为A(?3,0)，B(3,0)，

所以得直线PA 的方程为y?y 0?y 0=x?x 0?3?x 0，令x =0，则y 1=3y

3+x 0

；

直线PB 的方程为为y?y 0?y 0=x?x 03?x 0，令x =0，则y 2=3y

3?x 0

所以故OC ?????

?OD ?????? =y 1y 2=9y 0

29?x 0

2=4，为定值．

解析：(Ⅰ)由e =c a

=√5

3

，2a +2b =10，解得a =3，b =2.，进而得到椭圆方程；

(Ⅱ)设P(x 0,y 0)，直线PA 交y 轴于点C(0,y 1)，直线PB 交y 轴于点D(0,y 2)，求得直线PA ，PB 的方程，分别求出y 1，y 2，再根据向量的数量积即可证明

本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线求交点，考查向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

22.答案：解：(1)∵b 1=1，b n+1=1

3S n ，

∴b 2=1

3b 1=1

3，b 3=1

3(b 1+b 2)=4

9，b 4=1

3(b 1+b 2+b 3)=16

27．

(2)当n ≥2时，b n+1?b n =1

3S n ?1

3S n?1=1

3b n ，可得b n+1=4

3b n ， ∴b n =1

3×(4

3)n?2． ∴b n ={1,n =1

13×(43

)n?2,n ≥2．

解析：本题主要考查数列通项公式b n 与前n 项和S n 的关系，以及数列通项公式的求法，属于基础题． (1)根据b 1=1，b n+1=1

3S n ，可求出b 2，b 3，b 4的值；

(2)利用b n 与前n 项和S n 的关系b n ={S 1,n =1

S n ?S n?1,n ≥2

可求出通项公式．