方差分析
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过将总方差分解为不同来源的方差，从而判断不同组之间是否存在显著性差异。
方差分析在生物医学、心理学、市场营销等多个领域都得到了广泛的应用。
本文将详细探讨方差分析的基本概念、方法及其实际应用。
一、方差分析的基本概念1.1 什么是方差方差是指数据集中各数据值与其均值之间的离散程度，它衡量了数据分布的变动幅度。
方差越大，数据分布越分散；相反，方差越小，数据分布越集中。
在方差分析中，我们主要关注的是不同样本均值之间的方差。
1.2 方差分析的原理在进行方差分析时，我们首先计算总体样本的总方差。
这一总方差可以分解为组间方差和组内方差。
具体来说：组间方差：代表不同组均值之间的变异程度。
组内方差：代表同一组内部样本之间的变异程度。
根据F检验原理，当组间方差显著大于组内方差时，可以认为至少有一个组的均值与其他组存在显著性差异。
这一过程可以用F统计量来表示，F统计量等于组间平均平方（Mean Square Between）除以组内平均平方（Mean Square Within）。
二、方差分析的类型2.1 单因素方差分析单因素方差分析是最基础的方差分析方法，适用于仅有一个因素对结果变量影响的情况。
例如，研究不同肥料对植物生长高度的影响，我们可以采用单因素方差分析。
在进行单因素分析时，假设我们有n个样本，每个样本在不同处理下进行观察。
通过计算各处理组均值与全局均值的偏离程度，可以判断是否有显著性差异。
2.2 双因素方差分析双因素方差分析则扩展至两个自变量对因变量影响的情况。
例如，研究不同肥料和不同光照条件下植物生长高度的影响。
在这种情况下，不仅要考虑肥料对植物生长高度的影响，还需要考虑光照对植物生长高度以及两者交互作用。
双因素分析可以帮助研究者揭示更复杂的关系，从而提供更加深入的理解。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析（ANOVA）简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在差异。
ANOVA广泛应用于实验设计、医学研究、社会科学等领域，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。
组内变异是指同一组内个体之间的差异，组间变异是指不同组之间的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，就可以认为样本均值之间存在显著差异。
二、方差分析的假设方差分析的假设包括以下几个方面：1. 观测值是独立的。
2. 观测值是正态分布的。
3. 各组的方差是相等的。
三、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 确定研究问题和目标。
2. 收集数据并进行数据清洗。
3. 计算组内平方和、组间平方和和总平方和。
4. 计算均方和。
5. 计算F值。
6. 进行显著性检验。
四、方差分析的类型根据研究设计的不同，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
1. 单因素方差分析：适用于只有一个自变量的情况，用于比较不同水平下的均值差异。
2. 多因素方差分析：适用于有两个或两个以上自变量的情况，用于比较不同因素和不同水平下的均值差异。
五、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，包括实验设计、医学研究、社会科学等。
它可以用于比较不同治疗方法的疗效、不同教学方法的效果、不同产品的质量等。
六、方差分析的优缺点方差分析的优点包括：1. 可以同时比较多个样本均值之间的差异。
2. 可以通过显著性检验来判断差异是否显著。
3. 可以通过计算效应量来评估差异的大小。
方差分析的缺点包括：1. 对数据的正态性和方差齐性有一定要求。
2. 只能用于比较均值差异，不能用于比较其他统计指标的差异。
七、总结方差分析是一种重要的统计方法，通过比较组内变异和组间变异的大小来判断样本均值之间的差异是否显著。
方差分析
Minimum Maximum 125.30 143.10 143.80 162.70 182.80 198.60 212.30 225.80 125.30 225.80
给出了四种饲料分组的样本含量N、平均数Mean、标准差 Std Deviation、
标准误 Std Error、95％的置信区间、最小值和最大值 ；
对照组 10.28 31.35 31.23
去卵巢组 10.01 8.28 6.12
雌激素组 28.88 12.77 27.56
随机误差，例如测量误差造成的差异，称为组 内差异。用变量在各组的均值与该组内变量值 之偏(离均)差平方和的总和表示。记作SS组内。 实验条件, 即不同的处理造成的差异，称为组 间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏 (离均)差平方和的总和表示。记作SS组间。 SS组间、SS组内除以各自的自由度得到其均方 值即组间均方和组内均方。
3.1 因素与处理
因素(Factor)是影响因变量变化的客观条件；例如影 响农作物产量的因素有气温、降雨量、日照时间等； 处理(Treatments)是影响因变量变化的人为条件。也 可以称为因素。如研究不同肥料对不同种系农作物产 量的影响时农作物的不同种系可称为因素，所施肥料 可视为不同的处理。 一般情况下Factors与Treatments在方差分析中可作 相同理解。在要求进行方差分析的数据文件中均作为 分类变量出现。即它们的值只有有限个取值。即使是 气温、降雨量等平常看作是连续变量的，在方差分析 中如果作为影响产量的因素进行研究，就应该将其数 值用分组定义水平的方法事先变为具有有限个取值的 离散变量
N A B C D Total 5 5 5 4 19
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析(ANOVA)是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
它是一种实用而广泛应用的工具，常用于研究实验设计、质量控制、医学研究和社会科学等领域。
在本文中，我们将简要介绍方差分析的基本原理和应用，帮助你了解如何使用这一方法进行数据分析。
什么是方差分析？方差分析是一种通过比较组内差异和组间差异来确定不同组均值之间是否显著不同的统计分析方法。
它基于方差的概念，将总体方差分解为组内变异和组间变异，通过计算F值来判断各组均值是否存在显著差异。
方差分析最常见的形式是单因素方差分析，也就是比较一个因素（自变量）对一个因变量的影响。
然而，方差分析也可以应用于多因素实验设计，比较不同因素及其交互作用对因变量的影响。
方差分析的基本原理方差分析的基本原理是比较组内差异和组间差异，确定组间差异是否由于随机因素引起还是真实存在的。
组内差异是指同一组内个体之间的差异，组间差异是指不同组之间个体均值的差异。
方差分析使用方差比的概念来判断组间差异是否显著。
该概念定义为组间方差与组内方差的比值，当组间方差较大且组内方差较小时，该比值较大，表明组间差异显著；反之，该比值较小，表明组间差异不显著。
方差分析通过计算F值来判断组内差异和组间差异的相对大小。
F值是组间均方与组内均方的比值，如果F值大于给定的临界值，则可以推断组间差异显著，否则差异不显著。
方差分析的应用方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中。
它可以用于比较不同处理组的均值是否存在显著差异，评估实验结果的有效性和可靠性。
在科学研究中，方差分析可以用于比较不同实验组的平均值是否存在显著差异，例如测试新药物的疗效、评估肥料对作物产量的影响等。
在质量管理中，方差分析可以用于比较不同生产线、不同供应商或不同工艺参数对产品质量的影响，帮助确定最优的质量控制策略。
在社会科学研究中，方差分析可以用于比较不同人群、不同地区或不同时间点的数据，例如比较不同教育水平对收入的影响、比较不同性别对心理健康的影响等。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是通过分析样本之间的方差来判断均值是否存在显著差异的一种方法。
方差分析广泛应用于实验设计、社会科学、医学研究等领域。
单因素方差分析单因素方差分析是最简单的一种方差分析方法，适用于只有一个自变量（因素）的情况。
在单因素方差分析中，我们将样本数据按照因素的不同水平进行分类，然后比较各个水平之间的均值是否存在显著差异。
假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要建立以下假设： - 零假设（H0）：各个水平之间的均值没有显著差异。
- 备择假设（H1）：各个水平之间的均值存在显著差异。
方差分解方差分析的核心思想是将总体方差分解为组内方差和组间方差。
组内方差反映了同一水平内个体之间的差异，而组间方差则反映了不同水平之间的差异。
通过比较组内方差和组间方差的大小，我们可以判断均值是否存在显著差异。
统计检验在单因素方差分析中，我们使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
F检验是通过计算组间均方与组内均方的比值来进行的。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各个水平之间的均值存在显著差异。
多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上引入了多个自变量（因素）的一种方法。
它可以同时考虑多个因素对样本均值的影响，并判断这些因素是否存在交互作用。
交互作用交互作用是指两个或多个因素同时对样本均值产生影响时所产生的效应。
在多因素方差分析中，我们需要考虑各个因素之间是否存在交互作用，以更准确地判断均值之间的差异。
二元因子设计二元因子设计是多因素方差分析中常用的一种设计方法。
它将两个因素进行组合，得到不同水平的组合，然后比较各个组合之间的均值是否存在显著差异。
统计检验在多因素方差分析中，我们同样使用F检验来判断均值是否存在显著差异。
不同的是，多因素方差分析需要考虑组间方差的来源，包括主效应和交互效应。
方差分析
方差分析方差分析是一种用于比较多个样本之间差异的统计方法。
它通过比较各个样本之间的方差大小来推断它们是否具有显著的差异。
方差分析可以应用于各种领域的研究中，比如教育、医学、经济等。
方差分析的基本思想是将总体的方差分解为不同来源的方差，通过对比它们的大小来判断不同因素（组别）对总体的影响程度。
在进行方差分析之前，需要明确研究的目的和假设，然后选择相应的方差分析模型和计算方法。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析适用于只有一个自变量（组别）的情况，它将数据按照不同的组别分组，然后计算各组之间的方差，并比较它们的大小。
如果各组之间的方差较大，那么可以认为它们之间存在显著差异。
多因素方差分析适用于有多个自变量（组别）的情况，它可以同时考虑多个因素对总体的影响。
方差分析的原假设是各组之间的均值相等，备择假设是各组之间的均值不等。
通过计算统计量F值，可以得到方差分析的结果。
若F值大于临界值，就能拒绝原假设，认为各组之间存在显著差异；反之，无法拒绝原假设，认为各组之间的差异不显著。
在进行方差分析时，还需要注意一些前提条件。
首先，各个样本之间应独立，互不影响；其次，各个样本应满足正态性和方差齐性的假设；最后，应确认所用的统计方法是否适用于样本数据。
方差分析的结果可以为研究者提供一些重要的信息。
比如，研究者可以通过方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响；医学研究者可以通过方差分析来比较不同治疗方法对患者生存率的影响；市场营销研究者可以通过方差分析来比较不同广告策略的销售效果。
总之，方差分析是一种重要的统计方法，可以帮助我们比较多个样本之间的差异。
通过对各个样本之间方差的分析，可以判断它们是否具有显著的差异，从而得出相应的结论。
方差分析可以应用于各个领域的研究中，为我们提供有价值的信息。
当我们在进行方差分析时，应注意选择适当的方法和模型，并满足各个前提条件，以得到准确的结果。
什么是方差分析
什么是方差分析关键信息项：1、方差分析的定义2、方差分析的目的3、方差分析的应用场景4、方差分析的类型5、方差分析的步骤6、方差分析的结果解读7、方差分析的局限性8、方差分析与其他统计方法的比较11 方差分析的定义方差分析（Analysis of Variance，简称 ANOVA）是一种用于比较两个或多个总体均值是否存在显著差异的统计方法。
它通过分析数据的变异来源，来判断不同因素对观测变量的影响程度。
111 基本原理方差分析基于总体方差可以分解为各个因素所引起的方差之和的原理。
通过比较不同因素水平下的组间方差和组内方差，来确定因素对观测变量的影响是否显著。
112 数学模型一般来说，方差分析的数学模型可以表示为：观测值＝总体均值＋因素效应＋随机误差。
12 方差分析的目的其主要目的是检验不同水平的因素对因变量的均值是否有显著影响。
121 探究因素的作用确定哪些因素对观测结果有重要影响，哪些因素的影响可以忽略不计。
122 比较不同处理的效果例如在实验研究中，比较不同实验处理条件下的结果是否存在显著差异。
13 方差分析的应用场景131 农业科学用于比较不同种植方法、施肥量、品种等对农作物产量的影响。
132 医学研究分析不同药物剂量、治疗方案对患者康复效果的差异。
133 工业生产研究不同生产工艺、原材料对产品质量的作用。
134 社会科学例如在心理学、教育学中，比较不同教学方法、教育环境对学生成绩或心理状态的影响。
14 方差分析的类型141 单因素方差分析只考虑一个因素对观测变量的影响。
142 双因素方差分析同时考虑两个因素的交互作用对观测变量的影响。
143 多因素方差分析涉及多个因素及其交互作用对观测变量的综合影响。
15 方差分析的步骤151 提出假设包括零假设（各总体均值相等）和备择假设（至少有两个总体均值不相等）。
152 计算统计量根据数据计算组间平方和、组内平方和等，进而得到 F 统计量。
153 确定显著性水平通常设定为 005 或 001 等。
方差分析
k
nkΒιβλιοθήκη 2总平方和：SST
实验中产生的总变异
组内平方和：SSW
实验误差（包括个体差异）由于不同的实验处理而造 造成的变异 成的变异
组间平方和：SSB
三者之间的关系如下：
SS 总 SS 组间 SS 组内
组间自由度： 组内自由度: 总体自由度： 书266：这样
df B = k-1
df W = k(n-1)
df T = nk-1
在方差分析中，比较组间变异与组内变异时，不 能直接比较各自的平方和。因为平方和的大小与 项数有关，应该将项数的影响去掉。因此用平方 和除以各自自由度得到均方，再进行比较。
SS B MS B df B
书266
MSW
SSW df W
方差分析就是通过比较组内均方MS组内 和组间均方 MS组间 的大小关系来判断处 理因素有无效应。
变异分解
SS 总(T) SS 组间(B) SS 区组(R) SS 误差(E)
SS R
1 n
( R ) 2 k
( R ) 2 nk
总自由度也被分为三部分： dfT = nk-1
df B k 1
dfE=(k-1)(n-1)
dfR=n-1
例4：5名被试在四种不同的环境条件下参加某一心理测验， 结果如下。问不同的测验环境是否对这一测验成绩有显著影 响。
SSB n ( X j X t ) 2
j 1 k
SSw ( X ij X j ) n s j
2 j 1
k
2
1、求平方和
Xt
X1 X 2 X 3 X 4 6.4 4
k
SSB n ( X j X t ) 2 30.08
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n-1
SS区组/v区组 MS区组/ MS误差
误 差 SS总- SS处理- SS配伍 v总- v处理- v配伍 SS误差/v误差 2 SS总 X 总 2 X
N
N－1
N－1
33
表9-9
变异来源
例9-2的方差分析表
SS df MS F P
组间（处理组间）
区组间 误 差
13.7080
1.5577 3.7790
ni Xi
10 2.9850
10 2.9320
10 2.0320
10 3.8850
一、单独效应、主效应和交互效应
表9-12 例9-3大鼠的吞噬指数均数的差别 B因素 用(b1) 不用(b2) 平均 b1-b2 单独效应 A因素 平均 1.9840 3.8800 2.9320 -1.8960 2.0320 3.8850 a1-a2 0.0960 0.0100 0.0530
方差分析
（analysis of variance，ANOVA）
1
多个均数比较时为什么不能直 接两两之间作t 检验？
• 以五个样本均数的比较为例：
• 进行t 检验时，α=0.05，则5个均数的两两比 较将发生10次，这时，10次比较都不犯（Ⅰ 类）错误的概率为0.9510=0.599，有（Ⅰ类） 错误发生的概率则为1-0.599=0.401。 • 远大于设定的检验水准（α=0.05）!
Xi
63.42
X
)
28
四种药物用于控制大鼠的体重（g）
Family 1 2 3 9 10
A 80.5 78.4 88.3 …… 60.7 77.7 79.51
B 79.2 85.7 99.4 …… 86.7 86.0 85.42
C 92.4 97.5 91.2 …… 98.8 102.7 97.97
D 102.7 111.8 114.6 …… 106.7 121.8 112.48
88.70 93.35 98.38 …… 88.23 97.05 87.63 ( X )
Xj
Xi
29
例9.2 为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，将 30只纯种新西兰实验用大白兔，按窝别相同、体重相 近划分为10个区组。每个区组间3只大白兔随机采用A、 B、C三种处理方案即在松止血带前分别给予丹参 2ml/kg、 1ml/kg、生理盐水2ml/kg在松止血带前及松 后1小时分别测定血中白蛋白含量（g/L)，算出白蛋白 减少量如下表9－7，问A、B两方案分别与C方案的处 理效果是否不同？
i 1 j 1 k ni
W
12
变异分解
• 总变异 N个观察值与总均数的差异， 由组内变异和组间变异构成； • 组内变异（误差变异）每组内ni个观察 值与该组均数的差异，由随机误差所 致； • 组间变异 各组的样本均数与总均数的 差异，除随机误差影响外，可能存在 处理因素的作用。
13
组间变异
总变异
以分子的自由度ν区组 =9为ν1，分母的自由度ν误差 =18为ν2，查附表3，方差分析用F 界值表，F0.05(9， 18)=2.00，F处理=0.825< F0.05(9,18)=2.00， P >0.05。 在α=0.05水准上不拒绝H0，还不能认为十个区组间平 均水平不同。
36
第三节 析因设计资料的方差分析 方差分析中，影响观察指标的因素称为因 子（factor);因子所处的状态称为因子的一个 水平（level of factor);各因子水平的组合称为 处理（treatment)。
二、离均差平方和与自由度的分解： 析因设计是将两个或多个实验因素的各 水平进行排列组合、交叉分组进行实验，因 此其方差分析的总变异可以分为处理和误差 两部分。2×2析因设计处理变异包含了A因 素、B因素的主效应及A、B两因素间的交互 效应。
Xj
3.1233 3.1733 3.7167 3.0133 2.9300 3.1133 3.4100 3.2933 3.1433 3.5033
ni Si
10 2.5800 0.2743
10 2.9760 0.1581
10 4.1700 0.16065 (S2)
31
处理组间变异： A、B、C不同方案的影响及机测量误差。
2
应用方差分析的条件:
1. 各样本是相互独立的随机样本； 2. 各样本都来自正态总体； 3. 各个总体方差相等。
3
第一节
完全随机设计资料的方差分析
一、方差分析的基本思想
4
方差分析的基本思想是首先将总 变异分解为组间变异和误差变异，然 后比较平均变异MSB和MSE，比较时 采用两者的比值F值，即
总变异
区组间变异：
既反映了十个区组不同的影响同时又包括 了随机测量误差。
误差变异： 个体差异及血白蛋白的随机测定误差。
32
表9-10 随机区组设计方差分析的计算公式
变异来源 处理间 区组间 SS
v
2
MS
F
ni xi x
i
j
k-1
2
SS处理/v处理 MS处理/MS误差
n j x j x
26
第二节
随机区组设计资料的方差分析
一、基本思想
27
四种药物用于控制大鼠的体重（g）
A 66.8 64.7 67.9 …… 62.0 51.8
B 81.4 87.2 90.8 …… 91.4 92.7 88.05
C 64.1 62.8 64.9 …… 63.7 62.4 62.87
D 91.5 93.4 97.4 …… 92.7 93.8 94.07 76.58 (
F
MSB
MSE
5
30位跳高的“苗苗” —— 2000年9月1日进入广东省体校
1.1m
6
A
X A 1.36m
2年后A组的跳高成绩
7
C B A
X C 1.58m
X 1.47m
X B 1.45m X A 1.36m
2002年9月1日，三组各自的情形
8
广西的情形
X 1.47m
组内变异
14
单因素方差分析
MS B
SS B
B
SSW MSW W
15
单因素方差分析
• 检验统计量F：
MS B F MSW
16
表9-5 成组设计方差分析的计算公式
变异来源
SS
ν
N-1
MS
F
总 组间
K-1 SS组间/组间
SS总-SS组间
MS组间 MS组内
组内
N-K SS组内/ 组内
3.80 4.90 4.06 3.85 3.84 5 3.8900 0.0103
1.85 2.01 2.10 1.92 2.04 5 1.9840
nj Xj
3.88 3.84 3.96 3.92 3.80 5 3.88 0.0098
nij X ij
2 S ij
20
2.9585
0.9126
38
0.0098
22
f(F)
1.0
F分布曲线特征： （1）具有平均数 F =1
0.8 0.6
1 5, 2 4
1 2, 2 5
（2）取值区间为[0，∞]；
0.4
（3）某一特定曲线的形
0.2
1 1, 2 5
状则仅决定于参数 v1和 v2 。
0.0
在 v1=1或 v1=2时，F分布 曲线是严重倾斜成反向J型；
例9-3 某研究人员为了解升白细胞药物(A)和纯苯(B) 对大鼠吞噬指数的影响，以及两者同时使用作用。将 20只性别相同、体重相近的大鼠，按A、B两因素有 无分为四个处理组，A因素有两个水平即用升白细胞 药物和不用升白细胞药物，B因素也分为两个水平即 用0.3ml/kg纯苯给大鼠皮下注射染毒和未用纯苯染毒。 测得其吞噬指数结果见表9-11。
17
二、完全随机设计资料方差分析的基本步骤
18
（1） 建立假设并确定检验水准 H0： 三个总体均数相等， 即μ1= μ2= μ3 H1： 三个总体均数不等或不全相等 α=0.05
（2） 计算检验统计量F值
19
表9-6
变异来源 组间（处理组间） 组内（误差） 总
例9-1的方差分析表
SS df 2 57 59 MS 88.3806 15.9627 F 5.537 P <0.01
均方，则F<1；此时不必查F表即可确定P>0.05，应接受 H0。
24
3）确定P值并作出推断结论 以分子的自由度ν组间 =2为ν1，分母的自由度 ν组内 =57为ν2，查附表3.1，方差分析用F界 值表，F0.05(2,60)=3.15 F0.01(2,60)=4.98,
F=5.537＞ F0.01(2,60)=4.98，P ＜0.01。
用(a1)
不用(a2)
2.0800 3.8900 2.9850 -1.8100
2.9585
-1.8530
二者差值为交互效应
主效应
39
总 处理＋ 误差 A＋ B A B ＋ 误差
ss总 s
2 总
ss总 ss 处理＋ss 误差 ss A＋ss B ss A B ＋ss 误差
37
表9-11
用升白细胞药物(ai, i=1) 用纯苯 (bi, j=1) 不用纯苯 (bi, j=2)
20只大鼠的吞噬指数
不用升白细胞药物(ai, i=2) 用纯苯 (bi, j=1) 不用纯苯 (bi, j=2)
合计
X ijm
1.94 2.25 2.03 2.10 2.08 5 2.0800 0.0129