微分方程的经典求解方法

G(
j )

m ( j) X ( j)

(
j )[(VJ
/
d p p / dm KBCdm )( j)2 ] (LJ
/
Cdm )(
j )
1]
注意，一个新词，频率传递函数G(j) ，出现了。
4
稳态响应：多项式输入
稳态响应
➢ 微分方程的一般形式为 Av Dvc Av1Dv1c A0 D0c A1D1c AwDwc r
求解 C
边消去 e jt
C
Av ( j)v Av1( j)v1 L
B
A0 A1( j)1 L
Aw ( j)w
时间响应为：
w为积分的最高阶次
c(t)ss Re(Ce jt ) C cos(t )
3
稳态响应：正弦输入
稳态响应
➢ 例: 考虑
VJ KBC
在任意时刻均不为零
特征方程
Q(m) bv mv bv1mv1 b0 bwmw 0
如果所有的根 mi 均为单根
i =1, 2, …, v+w
ct
A1em1t
A2em2t

Ak emk t


A e mvwt vw
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暂态响应：经典方法
暂态响应
稳态响应： r(t)

R0

R1t

R2t 2多项 式 输Rkt入k
2!
k!
(**)
c(t ) ss

b0

b1t

b2t 2 2!

bqt q q!
输入信号与假设的解
微分方程
➢ 系数 b0, b1, ……, bq 可以通过令方程左右两端具有关于 t 的相同阶次 项的相应系数相等而计算得到
➢ c(t)ss 的 n 阶微分为
D nc(t)ss Re[( j)n Ce jt ]
2
稳态响应：正弦输入
Dnc(t )ss Re[( j)n Ce jt ]
稳态响应
Av Dvc Av1Dv1c L 方 程A0两D0c A1D1c L AwDwc Re(B e jt )
对于特征方程
Q(m) bvmv bv1mv1 b0 bwmw 0
当w=0，q=k=1时
k 1
c(t)ss b0 b1t
Av Dvcss Av1Dv1css A0 D0css t
t0: A1b1 A0b0 0
b0

A1b1 A0

A1 A02
t1: A0b1 1
b1

1 A0
c(t ) ss

A1 A02

1 A0
第二节 微分方程的经典求法
稳态响应
✓ 正弦输入 ✓ 多项式输入
稳态响应：正弦输入
➢ 输入量 r 假设为： ➢ 待解的微分方程具有如下形式
r B cos(t )
Av Dvc Av1Dv1c A0 D0c A1D 1c Aw D wc r
cos t 1 (e jt e jt );
2
➢ 利用欧拉恒等式，可得
seinjtt 21cjo(sejtt ej jsti)n t
r B cos(t ) Re(Be j e jt ) Re(B e jt )
响应函数 c(t) 将具有如下形式
矢量
c(t)ss C cos(t ) Re(Ce j e jt ) Re(Ce jt )
特解
+
解的稳态分量：与输入有同样的形式
通解
暂态响应
解的暂态分量：相应齐次方程的解
暂态响应的形式仅仅取决于特征方程 的根
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微分方程的解：经典方法
暂态响应
➢ 线性微分方程的全解（响应）：
c(t) c(t)ss c(t)t
➢ 非线性微分方程的响应形式也取决于初始条件或边界 条件、特征方程的根、以及稳态分量的瞬时值
r (t ) R0u1 (t ) k 0 r(t)
R0
当w=0，q=k=0时
c(t )ss b0
0
t
阶跃
Av Dvc Av1Dv1c A0 D0c R0
0
c(t ) ss
b0

R0 A0
7
稳态响应：斜坡函数输入
稳态响应
➢ 斜坡函数输入信号：
r(t) tu1(t)
D 3 m

LJ C
D 2m
dm D m
d p p x
当输入为正弦信号时，x=Xsint，则矢量方程为
VJ KBC
(
j ) 3m (
j)
LJ C
(
j )2m (
j ) dm
j m (
j )

d p p x(
j )
矢量输出与矢量输入之比称为频率传递函数，通常用G(j)表示。考察
多项式输入信号具有幂级数形式：
r(t) R0 R1t
来自百度文库
R2t 2 2!


Rk t k k!
t<0, r(t)=0
假设解与输入信号有相同的形式
输入信号的最高 阶项
c(t ) ss
b0
b1t

b2t 2 2!

bqt q q!
5
稳态响应
Av Dvc Av1Dv1c A0 D0c A1D1c AwDwc r (*)
t
8
暂态响应
• 经典方法 • 拉普拉斯变换方法
微分方程的解
暂态响应
➢ 有两种方法求解线性微分方程的解（时间响应）
➢ 第一，直接求解微分方程，分别得到方程的特 解和通解，然后将两部分解相加，得到方程的 全解
➢ 另一种方法是利用拉普拉斯变换
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微分方程的解：经典方法 ➢ 线性微分方程的一般解（响应）：
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暂态响应：经典方法
暂态响应
➢ 考察一般微分方程所对应的齐次方程：
bv Dvc bv1Dv1c b0 D0c b1D1c bw D wc 0 假设方程的解有如下形式 c(t )t Ame mt
Amemt (bv mv bv1mv1 b0 bwmw ) 0
➢ 方程(*)右端，t 的最高阶数是 k，因此，t k 肯定也出现在方程的左
端
➢ 方程左端 t 的最高阶数取决于最低阶微分项 D-wc，并等于 q 加上最低阶
微分项的阶数。在假设的解中，t 的最高阶项的阶数是
当方程(*)中的w=0时
qk w q0
qk
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稳态响应：阶跃函数输入
稳态响应
➢ 阶跃函数输入信号：