有理数及其运算常考题型(数轴与绝对值)(北师版)(含答案)
北师版七年级数学上册 第二章 有理数及运算 2.3 绝对值 同步练习(含答案)
北师版七年级上册第二章有理数及其运算2.3 绝对值同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1. A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是()2．下列说法：①a 与－a 互为相反数；②0的相反数是0；③一个数的相反数必是负数；④负数的相反数是正数；⑤相反数等于本身的数是0.其中正确的说法有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是( )A ．一个数的相反数一定是负数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．一个数的绝对值的相反数一定是负数D ．一个数的绝对值一定是正数4．一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是( )A ．正数B ．负数C ．正数或0D ．负数或05．在有理数中，绝对值等于它本身的数在数轴上的对应点一定在( )A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧6．下列比较大小错误的是( )A ．－2＞－5B ．－23＞－34C ．－3＞－227D ．－π＞－3.14 7．下列四个数中，在－4到0之间的数是( )A ．－1B ．1C ．－6D ．38．下列说法正确的是( )A ．－|a|一定是负数B ．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C ．若|a|＝|b|，则a 与b 相等D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数9．下列结论正确的是( )A ．若m ＞n ，则|m|＞|n|B ．若|m|＝|n|，则m ＝nC ．若|m|＞|n|，则m ＞nD ．若m ＜n ＜0，则|m|＞|n|10．有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是( )A ．|b|＞－aB ．|a|＞－bC ．b ＞aD ．|a|＞|b|二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 12的相反数是( ) 12．数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的 __________ ，记作____，读作a 的绝对值．13. |24|＝____；|－3.1|＝____；|0|＝____．14. －2，0，1，－3四个数中，最小的数是____．15. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数是____．16．填“＞”或“＜”．(1)0____－0.01; (2)－12____13；(3)512____23. 17．若|－a|＝|－2|，a ＝__________.18. 已知点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是_________.三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 18．计算：(1)|－5|＋|－17|;(2)|－14|－|8|；(3)|－10|÷|15|;(4)|213|×|－0.3|.20. (6分) 比较下列几组数的大小：(1)－78和－89；(2)－3.14和－π；(3)－(－4)和|－4|;(4)－|－45|和－(－56)．21. (6分) 计算：(1)|－12|＋|－5|－|＋12|；(2)|－313|÷|－114|×|－112|.22. (6分) 师傅让一名学徒工加工一些标准长度为0.5米的钢管，为了检查加工的质量，师傅随便从加工成品中抽出六根，经测量发现：(表中正数表示超过标准的长度/米，负数表示不足标准的长度/米)．问哪一根钢管加工的质量要好些？你能否用所学的绝对值的知识加以解释？23. (6分) 如图，数轴的单位长度为1，且数轴上各点之间的距离均为1.(1)如果点B与点F表示的数互为相反数，那么点D表示的数是什么？(2)如果点D与点H表示的数互为相反数，那么点C表示的数是什么？24. (8分)若|a|＝－a，|b|＝b，|c|＝－c，|d|＝－d，且a，b，c，d都不为0，|a|>|b|>|c|>|d|，请把a，b，c，d四个数的大致位置在数轴上表示出来，并按从小到大用“<”连接起来．25. (8分)在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救物资，中午从A地出发，晚上到达B地．规定向东为正，当天的航行记录如下(单位：km)：－16，－7，12，－9，6，10，－11，9.(1)B在A地的哪侧？相距多远？(2)若冲锋舟每千米耗油0.46 L，则这一天共耗油多少升？参考答案1-5BCBDD 6-10 DADDA11.－1212. 绝对值，|a|13. 24，3.1，014. －315. 216. ＞ ，＜ ，＜17. ±218. Q19. 解：(1)原式＝5+17=22(2)原式＝14-8=6(3)原式＝10÷15=23(4)原式＝213×0.3=71020. 解：(1)－78＞－89(2)－3.14＞－π(3)－(－4)＝|－4|(4)－|－45|＜－(－56) 21. 解：(1)原式＝12-5-12=5 (2)原式＝313÷114×112=103 × 45 ×32=4 22. 解：第四根钢管的质量要好一些．因为标准长度为0.5米，－0.01的绝对值最小说明最接近标准长度，质量最好23. 解：(1)点D 表示的数是0(2)点C 表示的数是－324. 解：因为|a|＝－a ，|b|＝b ，|c|＝－c ，|d|＝－d ，且都不为0，所以a ，c ，d 为负数，b 为正数，又因为|a|>|c|>|d|，所以a ＜c ＜d ＜0，所以a<c<d<b ，数轴略25. 解：(1)－16＋(－7)＋12＋(－9)＋6＋10＋(－11)＋9＝－16－7＋12－9＋6＋10－11＋9＝－6(km)，所以|－6|＝6(km)，答：B地在A地的西边，相距6 km(2)0.46×(|－16|＋|－7|＋12＋|－9|＋6＋10＋|－11|＋9)＝0.46×(16＋7＋12＋9＋6＋10＋11＋9)＝0.46×80＝36.8(升)．答：这天共消耗了36.8升油。
有理数及其运算-专题1-数轴与绝对值【课外培优课件】+2024—-2025学年北师大版数学七年级上册
数学 七九年级上册 BS版
0 13
C级课前拓预展习训练
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13. （选做）如图，数轴上点 A 表示的数为1，点 A 做如下移 动：第1次，从点 A 向左移动3个单位长度至点 A1；第2次，从点 A1向右移动6个单位长度至点 A2；第3次，从点 A2向左移动9个单 位长度至点 A3；….按照这种移动方式进行下去，点 A4表示的数 是 7 .若点 An 与原点的距离不小于20，则 n 的最小值 是 13 .
A. 3
B. －3
C.
1 3
D.
－
1 3
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2. 有理数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算｜ a － b ｜的结果为（ C ）
A. a ＋ b C. b － a
B. a － b D. － a － b
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3. 已知有理数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下 列结论正确的有（ A ） ① a ＞ b ；②－ a ＞－ b ；③ a ＜－ b ；④－ a ＜－ b ；⑤｜ a ｜ ＜｜ b ｜.
到原点 O 的距离为4，求所有满足条件的点 A 所表示的数，并求
这些点到原点 O 的距离之和.
解：由题意知，点 B 所表示的数是±4.
当点 B 所表示的数是4时，点 A 所表示的数是6或2；
当点 B 所表示的数是－4时，点 A 所表示的数是－2或－6.
综上所述，点 A 所表示的数是－6，－2，2或6.
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7. 按要求完成下列各题： （1）在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接起来. 3，－4，－（－1.5），－｜－2｜.
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》练习题含答案解析 (3)
一、选择题1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则式子∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣化简结果为( )A．2a+b−c B．2a+b+c C．b+c D．3b−c2.如图，点A，B在数轴上，点O为原点，OA=OB．按如图所示方法用圆规在数轴上截取BC=AB，若点A表示的数是a，则点C表示的数是( )A．2a B．−3a C．3a D．−2a3.一个点在数轴上距原点3个单位长度开始，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是( )A．6B．0C．−6D．0或64.已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，b≥−c>∣a∣，且a，b，c与0的大小关系是( )A．a<0，b>0，c<0B．a>0，b>0，c<0C．a≥0，b<0，c>0D．a≤0，b>0，c<05.当式子∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值时，x的取值范围为( )A．−2≤x<5B．−2<x≤5C．x=2D．−2≤x≤56.在数轴上有两个点，分别表示数x和y，已知∣x∣=1，且x>0，∣y+1∣=4，那么这两个点之间距离为( )A．2或6B．5或3C．2D．37.如果∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，那么ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣的值为( )A．−2B．−1C．0D．不确定8.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21=222=423=8⋯新运算log 22=1log 24=2log 28=3⋯指数运算31=332=933=27⋯新运算log 33=1log 39=2log 327=3⋯根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，② log 525=5，③ log 212=−1，其中正确的是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9. 【例 9−2 】已知 ∠AOB =60∘，∠AOC =13∠AOB ，射线 OD 平分 ∠BOC ，则 ∠COD 的度数为( ) A ． 20∘ B ． 40∘ C ． 20∘ 或 30∘ D ． 20∘ 或 40∘10. 下面四个数中，最大的数为 ( ) A ． (−1)2021B ． −∣−2∣C ． (−2)3D ． −12二、填空题11. 若 a +b +c >0，且 abc <0 则 a ，b ，c ，中有 个正数．12. 电子跳蚤落在数轴上的某点 k 0，第一步从 k 0 向左跳 1 个单位到 k 1，第二步由 k 1 向右跳 2个单位到 k 2，第三步由 k 2 向左跳 3 个单位到 k 3，第四步由 k 3 向右跳 4 个单位到 k 4，⋯，按以上规律跳了 140 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 k 140 所表示的数恰是 2019．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 ．13. 现定义某种运算“∗”，对给定的两个有理数 a ，b (a ≠0)，有 a ∗b =a −a b ，则 (−3)∗2= ．14. 如图所示是计算机程序计算，若开始输入 x =−1，则最后输出的结果是 ．15. 已知实数 a ，b ，定义运算：a ⋇b ={a b ,a >b 且 a ≠0b a,a ≤b 且 a ≠0，若 a ⋇(a −3)=1，则 a = ．16. 观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，⋯根据你发现的规律写出272019的末位数字是．17.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，⋯，则第2017输出的结果为．三、解答题18.阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为∣a−b∣．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1) 数轴上表示3与−2的两点之间的距离是．(2) 数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为．(3) 代数式∣x+8∣可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若∣x+8∣=5，则x=．(4) 求代数式∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值．19.计算下列各式的值．(1) −3−(−8)−(+7)+5．(2) 49÷74×(−47)÷(−16)．(3) 7−(156−23−34)÷124．(4) −32÷(−3)2+3×(−2)+∣−1∣．20.如图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数−26，−10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，(1) Q点出发3秒后所到的点表示的数为；此时P，Q两点的距离为．(2) 问当点Q从A点出发几秒钟时，能追上点P？(3) 问当点Q从A点出发几秒钟时，点P和点Q相距2个单位长度？直接写出此时点Q在数轴上表示的有理数．21.已知两点A，B在数轴上，AB=9，点A表示的数是a，且a与(−1)3互为相反数．(1) 写出点B表示的数；(2) 如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点4时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ=2时，求点P，Q所表示的数；(3) 如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当∣OM−ON∣=2时，求动点P，Q运动的速度．22.【背景知识】数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=∣a−b∣，．若a>b，则可简化为AB=a−b，线段AB的中点M表示的数为a+b2【问题情境】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为−10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．【综合运用】(1) A，B两点的距离为，线段AB的中点C所表示的数；(2) 点P所在的位置的点表示的数为，点Q所在位置的点表示的数为（用含t的代数式表示）；(3) P，Q两点经过多少秒会相遇？23.探究规律，完成相关题目．定义“∗”运算：(+2)∗(+4)=+(22+42)，(−4)∗(−7)=+[(−4)2+(−7)2]，(−2)∗(+4)=−[(−2)2+(+4)2]，(+5)∗(−7)=−[(+5)2+(−7)2]，0∗(−5)=+(−5)∗0=(−5)2，(+3)∗0=0∗(+3)=(+3)2，0∗0=02+02=0．归纳∗运算的法则（用文字语言叙述）：(1) 两数进行∗运算时，．特别地，0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行∗运算，．(2) 计算：(−3)∗[0∗(+2)]=．(3) 是否存在有理数m，n，使得(m+1)∗(n−2)=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．24.若有理数x，y满足∣x∣=5，∣y∣=2，且∣x+y∣=x+y，求x−y的值．25.数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a∗b为数阵中第a行第b列的数．例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3∗2=3．(1) 对于数阵A，2∗3的值为．若2∗3=2∗x，则x的值为．(2) 若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：条件一：a∗a=a；条件二：(a∗b)∗c=a∗c．则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A是否是“有趣的”你的结论：（填“是”或“否”）．②已知一个“有趣的”数阵满足1∗2=2，试计算2∗1的值．③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a∗b=b∗a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】观察数轴可得：−1<a<0<b<c，∣a∣<∣b∣<∣c∣，∴∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣=−a+b+a+b−(c−b)=3b−c．【知识点】绝对值的化简、利用数轴比较大小2. 【答案】B【解析】∵OA=OB，点A表示的数是a，∴点B表示的数为−a，AB=−2a，∵BC=AB，∴点C表示的数是−3a．【知识点】数轴的概念3. 【答案】D【解析】∵该点距离原点3个单位，∴该点表示的数是3或−3，①若该点表示的数是3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=6；②若该点表示的数是−3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=0；故选D．【知识点】绝对值的几何意义4. 【答案】D【解析】∵∣a∣≥0，则b≥−c>∣a∣≥0，b>0，−c>0，即c<0，a+b+c=0，即a+b=−c≤b，即a≤0，∴a≤0，b>0，c<0．【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较大小、有理数的加法法则及计算5. 【答案】D【解析】利用数轴，设A点表示的数为−2，B点表示的数为5，P点表示的数为x，则∣x+2∣+∣x−5∣=PA+PB，∴当P在A，B之间时，PA+PB最小，∴当−2≤x≤5时，∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值．【知识点】绝对值的几何意义6. 【答案】A【解析】∵∣x∣=1，且x>0，∴x=1，∵∣y+1∣=4，∴y=−5或3，∴这两个点之间距离为1−(−5)=6或3−1=2．【知识点】绝对值的几何意义7. 【答案】C【解析】∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，所以a，b，c中有一个正数，二个负数，假设a>0，b<0，c<0，则ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣=−1+1−1+1=0．【知识点】绝对值的性质与化简8. 【答案】B【知识点】有理数的乘方9. 【答案】D【解析】当OC在∠AOB内时，如图1，则∠BOC=∠AOB−∠AOC=60∘−13×60∘=40∘，∴∠COD=12∠BOC=20∘；当OC在∠AOB外时，如图2，则∠BOC=∠AOB+∠AOC=60∘+13×60∘=80∘，∴∠COD=12∠BOC=40∘．综上，∠COD=20∘或40∘．故选：D．【知识点】角的计算10. 【答案】D【解析】 (−1)2021=−1；−∣−2∣=−2；(−2)3=−8；且 −8<−∣−2∣<(−1)2021<−12， ∴ 最大的数是 −12，故选D ．【知识点】有理数的乘方、绝对值的化简二、填空题 11. 【答案】 2【解析】 ∵ 有理数 a ，b ，c 满足 a +b +c >0，且 abc <0， ∴a ，b ，c 中负数有 1 个，正数有 2 个． 【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法12. 【答案】 1949【解析】由题意可知：k 140=k 0−1+2−3+4−⋯−139+140=2019， 即 k 0+(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−139+140)=2019， k 0+1+1+⋯+1⏟70 个 1=2019，∴k 0+70=2019，解得：k 0=1949．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 1949． 【知识点】有理数的加法法则及计算13. 【答案】 −12【解析】 ∵a ∗b =a −a b ， ∴(−3)∗2=(−3)−(−3)2=(−3)−9=−12.【知识点】有理数的乘方14. 【答案】−22【解析】把x=−1代入计算程序中得：(−1)×6−(−2)=−6+2=−4>−5，把x=−4代入计算程序中得：(−4)×6−(−2)=−24+2=−22<−5，则最后输出的结果是−22．【知识点】有理数的乘法15. 【答案】3或±1【解析】∵a>a−3，a⋇(a−3)=1，根据题中的新定义得：a a−3=1，∴a−3=0或a=1或a=−1，∴a=3或±1．【知识点】有理数的乘方16. 【答案】3【解析】272019=(33)2019=36057，末位的循环为3，9，7，1，6057÷4=1514⋯1，所以末位为3．【知识点】有理数的乘方17. 【答案】1【解析】根据题意，x=16，第一次输出结果为：8，第二次输出结果为：4，第三次输出结果为：2，第四次输出结果为：1，第五次输出结果为：4，第六次输出结果为：2，第7次输出结果为：1，第8次输出结果为：4，由上规律可知：从第二次输出结果开始，每3次输出后重复一次，故(2017−1)÷3=672，故输出结果为：1．【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 5(2) ∣x−7∣(3) −8；−3或−13(4) 如图，∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值即∣1007−(−1008)∣=2015．【解析】(1) ∣3−(−2)∣=5．【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法法则及计算19. 【答案】(1) 原式=−3+8−7+5=5−7+5=−2+5=3.(2) 原式=49×47×47×116=1.(3) 原式=7−(116−23−34)×24=7−(116×24−23×24−34×24) =7−(44−16−18)=7−10=−3.(4) 原式=−9÷9+(−6)+1 =−1−6+1=−6.【知识点】有理数的除法、有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的乘法20. 【答案】(1) −17；10(2) Q点出发时，PQ两点距离为(−10)−(−26)=16，Q点速度比P点速度快(3−1)=2个单位/秒，162=8秒，∴当Q从A出发8秒钟时，能追上点P．(3) 设A点出发t秒，点P和Q相距2个单位长度，当Q点还没追上P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)−2=14，解得t=7，Q点在数轴上表示的数为−26+3×7=−5，当Q点超过P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)+2=18，解得：t=9，−26+3×9=1．故Q点在数轴上表示的有理数为1．综上所得，当Q从A出发7或9秒时，点P和点Q相距2个单位长度，此时Q表示数轴的有理数为−5或1．【解析】(1) P到B点时，Q从A出发，Q点速度为每秒3个单位长度，3秒运动距离为3×3=9，−26+9=−17，∴Q点出发3秒后所到的点表示为−17，3秒钟P点运动距离为3×1=3，又−10+3=−7，PQ两点距离为−7−(−17)=10，∴Q点出发3秒后所到点表示数为−17，此时P，Q两点的距离为10．【知识点】数轴的概念21. 【答案】(1) ∵a与(−1)3互为相反数，∴a=1，∵AB=9，∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为1+9=10，如图1所示；②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为1−9=−8，如图2所示．故点B所表示的数为10或−8．(2) 当点A，B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10．设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x．∵3秒后两动点相遇，∴3(x+2x)=9，解得：x=1．∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2．运动t秒后PQ=2有两种情形：①相遇前，由题意有：2t+2+t=9，解得：t=73；∴点P表示的数为：1+2×73=173，点Q表示的数为：10−73=233；②相遇后，再运动y秒，P，Q两点相距2，由题意有：y+2y=2，解得：y=23．∴点P表示的数为：1+3×2+23×2=253，点Q表示的数为：10−3×1−23×1=193．(3) 根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度．∴点Q的运动速度为：9÷5=1.8．设点P的速度为v，∵∣OM−ON∣=2，∴∣9+1−(5v+1)∣=2，解得：v=75或115．∴点P的速度为75或115．【知识点】数轴的概念、相遇问题22. 【答案】(1) 18；−1(2) −10+5t；8−3t(3) 依题意有5t+3t=18，解得t=94．故P，Q两点经过94秒会相遇．【解析】(1) A，B两点的距离为8−(−10)=18，线段AB的中点C所表示的数[8+(−10)]÷2=−1．(2) 点P所在的位置的点表示的数为−10+5t，点Q所在位置的点表示的数为8−3t（用含t的代数式表示）．【知识点】绝对值的几何意义23. 【答案】(1) 同号得正、异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数得平方(2) −25(3) ∵(m+1)∗(n−2)=0，∴±[(m+1)2+(n−2)2]=0，∴m+1=0，n−2=0，解得m=−1，n=2，即m=−1，n=2即为所求．【解析】(1) 由题意可得：两数进行∗运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加0和任何数进行运算，或任何数和0迸行∗运算，等于这个数的平方．(2) (−3)∗[0∗(+2)]=(−3)∗(+2)2=(−3)∗(+4)=−[(−3)2+(+4)2]=−25.【知识点】有理数的乘方24. 【答案】∵∣x∣=5，∴x=±5，又∣y∣=2，∴y=±2，又∵∣x+y∣=x+y，∴x+y≥0，∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x−y=5−2=3，当x=5，y=−2时，x−y=5−(−2)=7．【知识点】有理数的减法法则及计算25. 【答案】(1) 2；1或2或3(2) ①是．② ∵1∗2=2∴2∗1=(1∗2)∗1，∵(a∗b)∗c=a∗c，∴(1∗2)∗1=1∗1，∵a∗a=a，∴1∗1=1，∴2∗1=1．③方法一：不存在理由如下：若存在满足交换律的"有趣的”数阵，依题意，对任意的a，b，c有：a∗c=(a∗b)∗c=(b∗a)∗c=b∗c，这说明数阵每一列的数均相同．∵1∗1=1，2∗2=2，3∗3=3，∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，∴1∗2=2；2∗1=1，与交换律相矛盾，因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【解析】(1) 由题意可知：2∗3表示数阵，第2行第3列所对应的数是2，∴2∗3=2．∵2∗3=2∗x，∴2∗x=2，由题意可知：数阵第1行中3列数均为1，∴x=1，2，3．(2) 方法二：不存在理由如下：由条件二可知，a∗b只能取1，2或3，由此可以考虑a∗b取值的不同情形．例如考虑1∗2：情形一：1∗2=1．若满足交换律，则2∗1=1，再次计算1∗2可知：1∗2=(2∗1)∗2=2∗2=2，矛盾．情形二：1∗2=2，由（2）可知，2∗1=1，1∗2≠2∗1，不满足交换律，矛盾．情形三：1∗2=3，若满足交换律，即2∗1=3，再次计算2∗2可知：2∗2=(2∗1)∗2=3∗2=(1∗2)∗2=1∗2=3，与2∗2=2矛盾．综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【知识点】有理数的乘法。
2020年北师大版七年级数学上册练习：第2章2 数轴 (含答案)
＞ 3 ＞0＞- 1 ＞-11 ＞-3＞-5．
2
22
能力提升 [来源:学,科,网]
6.解：（1）规定一个单位长度代表 1 000 m，向东为正方向，如图
D2-2-3.
图 D2-2-3 （2）李林从工厂出发，按照路线：经理家老板家处长家科长 家，然后返回工厂，这样往返路程最短 .（答案不唯一） 7.解：（1）3.（2）4.（3）7.（4）n+2. （5）由（4）可知，m+2=56，解得 m=54.
（3）第五次移动后这个点在数轴上表示的数为____；
（4）第 n 次移动后这个点在数轴上表示的数为____；
（5）如果第 m 次移动后这个点在数轴上表示的数为 56，求 m 的
值． [来源:]
答案 基础巩固 1.C 解析：在原点右边的点所对应的数是 6.3， 1 ，共 2 个.故选 C.[来源:学科网ZXXK]
C．2 020
D．-2 020
3.（题型二）写出两个比-4 .2 大的负整数:_____.
4.（题型四）如图 2-2-1，数轴上的点 P 表示的数是-1，将点 P 向右
移动 3 个单位长度得到点 P′，则点 P′表示的数是；数轴上到原点的
距离等于 2 的点所表示的数是______.
图 2-2-1 5.（1）（题型一）把数-4.4， 5，-1.5，3，2.2，0.5，4.1，-3 在数轴 上表示出来； （2）（题型一）指出如图 2-2-2 的数轴上 A，B，C，D，O 各点分别 表示什么数．
m；处长的家在经理家的正东 方向，距离经理家 5 000 m；科长的家
在处长家的正东方向，距离处长家 3 000 m.”
（1）利用数轴确定四家的位置.
（2）从工厂出发,走哪条路线才能使往返路程最短？
北师大版(2024版)七年级上册数学 第2章 有理数及其运算单元测试卷 ( 含答案)
北师大版（2024版）七年级（上）数学单元测试卷第2章《有理数及其运算》满分120分时间100分钟题号得分一、选择题(共10题；共30分)1．−110的绝对值是（ ）A．110B．10C．−110D．−102．如果“亏损5%”记作−5%，那么+3%表示（ ）A．多赚3%B．盈利−3%C．盈利3%D．亏损3%3．如图，数轴上点P表示的数是（ ）A．-1B．0C．1D．24．2023年3月13日，十四届全国人大一次会议闭幕后，国务院总理李强在答记者问时表示，我们国家现在适合劳动年龄人口已经有近9亿人，每年新增劳动力是1500万人，人力资源丰富仍然是中国一个巨大优势或者说显著优势．其中1500万用科学记数法表示为（ ）A．1.5×103B．1500×104C．1.5×106D．1.5×1075．如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与−13互为相反数的是（ ）A．A B．B C．C D．D6．下列各式中，计算结果最大的是（ ）A．3+(−2)B．3−(−2)C．3×(−2)D．3÷(−2)7．式子−2−1+6−9有下面两种读法；读法一：负2，负1，正6与负9的和；读法二：负2减1加6减9．则关于这两种读法，下列说法正确的是（ ）A．只有读法一正确B．只有读法二正确C ．两种读法都不正确D ．两种读法都正确8．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数a 和b ，规定a▲b =ab +b 2，如2▲3=2×3+32=15，则(−4)▲2的值为（ ）A ．−4B ．4C ．−8D ．89．已知两个有理数a ，b ，如果ab <0且a +b >0，那么（ ）A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a ，b 同号D ．a ，b 异号，且正数的绝对值较大10．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则a 2|a 2|−|b |b−c |c |=（ ）A ．−1B ．1C ．2D ．3二、填空题(共6题；共18分)11．既不是正数也不是负数的数是 ． 12．−25 的倒数是 .13．某天最高气温为6℃，最低气温为−3℃．这天的温差是 ℃．14．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为 个．15．比较大小：−|−8| −42．（填“>”“ <”或“=”）16．数轴上的A 点与表示−3的点距离4个单位长度，则A 点表示的数为 ．三、解答题(共9题；共72分)17．（6分） 把下列数填在相应的集合内．−56，0，-3.5，1.2，6．（1）负分数集合：{}．（2）非负数集合：{ }．18．（8分）计算：（1）(−7)+13−5；（2）(−14)−(−34)−|12−1|．19．（6分）阅读下面的解题过程，并解决问题．计算：53.27−(−18)+(−21)+46.73−(+15)+21．解：原式=53.27+18−21+46.73−15+21…①=(53.27+46.73)+(21−21)+(18−15)…②=100+0+3…③=103（1）第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______．（2）根据以上解题技巧进行计算：−2123+314−(−23)−(+14)．20．（8分）已知算式“(−2)×4−8”．（1）请你计算上式结果；（2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为−11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数；（3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？21．（8分）如图的数轴上，每小格的宽度相等．（1）填空：数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ．（2）点C表示的数是−13，点D表示的数是−1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置．（3）将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接．22．（8分）一辆出租车从A 站出发，先向东行驶12km ，接着向西行驶8km ，然后又向东行驶4km ．（1）画一条数轴，以原点表示A 站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置．（2）求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？23．（8分）如图，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动.它从A 处出发去看望B 、C 、D 处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负.例如：从A 到B 记为：A→B(+1,+3)；从C 到D 记为：C→D(+1,−2)（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）.（1）填空：A→C （ ， ）；C→B （ ， ）.（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A ，请计算甲虫走过的路程.24．（8分）（1）如果a ，b 互为相反数（a ，b 均不为0），c ，d 互为倒数，|m |=4，则b a =______，求a +b 2024−cd +b a ×m 的值；（2）若实数a ，b 满足|a |=3，|b |=5，且a <b ，求a +13b 的值．25．（12分） 学习了绝对值的概念后，我们知道一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a ≥0时，|a|=a ；当a <0时，|a|=−a .请完成下面的问题：（1）因为3<π，所以3−π<0，|3−π|=−(3−π)= ；（2）若有理数a <b ，则|a−b|= ；（3）（6分）计算：|13−12|+|14−13|+|15−14|+⋯+|12022−12021|+|12023−12022|参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．D 10．B二、填空题11．0 12．- 52 13．9 14．8 15．> 16．−7或1三、解答题17．（1）解：负分数集合：{−56,−3.5⋅⋅⋅}．（2）解：非负数集合：{0，1.2，6⋅⋅⋅}18．（1）解：(−7)+13−5=6−5=1（2）解：(−14)−(−34)−|12−1|=(−14)+34−|−12|=12−12=0．19．（1）去括号，省略加号；加法交换律、结合律（2）−1820．（1）−16（2）嘉嘉把“8”错写成了3（3）淇淇的计算结果比原题的正确结果大1021．（1）23；213（2）解：如图．（3）解：由数轴可知，213>22>−13−122．（1）解：如图所示，（2）解：|12|+|−8|+|4|=24km ，这个数据的实际意义是出租车行驶的总路程为24km.23．（1）+3；+4；-2；-1（2）如图所示，∵A→B =3+1=4，B→C =1+2=3，C→D =1+2=3，D→A =2+4=6.∴AB +BC +CD +DA =4+3+3+6=16.∴甲虫走过的路程为16.24．（1）−1，−5或3；（2）a +13b 的值是143或−4325．（1）π−3（2）b−a（3）解：原式=12−13+13−14+14−15+⋯+12021−12022+12022−12023=12−12023=20214046。
北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 复习练习题(含答案)
北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算复习练习题一．选择题（共22小题）1．下列四个算式：①﹣2﹣3＝﹣1；②2﹣|﹣3|＝﹣1；③（﹣2）3＝﹣6；④﹣2÷＝﹣6．其中，正确的算式有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）A．﹣2πB．3﹣2πC．﹣3﹣2πD．﹣3+2π3．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac＜0，b+c＜0，则下列式子一定成立的是（）A．a+c＞0B．a+c＜0C．abc＜0D．|b|＜|c|4．数轴上原点左边有一点A，点A对应着数a，有如下说法：①﹣a表示的数一定是一个正数．②若|a|＝9时，则a＝﹣9．③在﹣a，，a2，a3中，最大的数值是a2．④式子|a+|的最小值为2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，则6（a+b）+m2﹣3xy的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．16．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜3 7．当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣28．如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（）A．b为正数，c为负数B．c为正数，b为负数C．c为正数，a为负数D．c为负数，a为负数9．下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的绝对值不小于它自身B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D．﹣a的绝对值等于a10．计算+++++……+的值为（）A．B．C．D．11．下列各式中无论m为何值，一定是正数的是（）A．|m|B．|m+1|C．|m|+1D．﹣（﹣m）12．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字（1﹣10），要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．7B．5C．4D．113．计算：1+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+（+5）+（﹣6）+…+（+99）+（﹣100）+（+101）的结果是（）A．0B．﹣1C．﹣50D．5114．如果|a+b+1|+（b﹣1）2＝0，则（a+b）2017的值是（）A．0B．1C．﹣1D．±115．如图，数轴上的六个点满足AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近﹣10的点是（）A．点B B．点C C．点D D．点E16．m是有理数，则m+|m|（）A．可以是负数B．不可能是负数C．一定是正数D．可是正数也可是负数17．将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（）A．位B．位C．位D．位18．若5y﹣2x＝3，则代数式4﹣10y+4x的值是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．719．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499B．500C．501D．100220．观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为（）A．491B．1045C．1003D．53321．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是2，则经过2021次输出的结果是（）A．1B．3C．4D．822．四个长宽分别为a，b的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（）A．mn﹣4ab B．mn﹣2ab﹣amC．an+2bn﹣4ab D．a2﹣2ab﹣am+mn二．填空题（共7小题）23．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么2a+2b﹣5cd＝．24．已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图所示，则|a﹣b|﹣2|b﹣c|﹣|a﹣1|化简后的结果是．25．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．26．已知，|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝．27．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是．28．在长为20米、宽为15米的长方形地面上修筑一条宽度为2米的道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，则耕地面积为平方米．29．若将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，从左至右第b 个数．例如（4，3）表示的数是9．则（31，5）表示的数是．三．解答题（共10小题）30．计算下列各题：（1）（﹣12）﹣5+（﹣17）﹣（﹣13）；（2）（﹣+﹣）×（﹣24）；（3）﹣42﹣（﹣1）2019÷5×+|﹣17+21|．31．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C 所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．32．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如数轴上数x与5两点之间的距离等于|x﹣5|，（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？请说明理由．33．计算：已知|x|＝，|y|＝，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．34．（1）计算：16÷（﹣2）3﹣（﹣）3×（﹣4）+2.5；（2）计算：（﹣1）2017+|﹣22+4|﹣（﹣+）×（﹣24）35．如图，将连续的自然数1至1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数，要使这个正方形框出的9个数之和分别为：（1）2011；（2）2016．这是否可能？若可能，请写出这9个数中的最小数和最大数；若不可能，试说明理由．36．观察下列每一列数，按规律填空（1）﹣7，7，﹣7，7，﹣7，7，，，……（2）2，﹣4，6，﹣8，10，，，……（3）5，0，﹣5，0，5，0，﹣5，0，5，0，，，……（4）在（1）列数中第100个数是，在（2）列数中第200个数是，在（3）列数中第199个数是．37．国庆期间，王老师计划组织朋友去晋西北游览两日．经了解，现有甲、乙两家旅行社针对组团两日游的游客报价均为每人500元，且提供的服务完全相同．甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按八折收费．假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人．（1）请列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）若王老师组团参加两日游的人数共有30人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．38．每周日，宜春九中（外国语学校）巡逻队乘车沿马路东西方向巡视维护校园安全，星期天早晨从A地出发，最后到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+12，﹣14，+13，﹣10，﹣8，+7，﹣16，+8．（1）问B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？（2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，求该天共耗油多少升？39．已知a为整数（1）|a|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（2）|a|+2能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（3）2﹣|a﹣1|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（4）|a﹣1|+|a+2|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．参考答案一．选择题（共22小题）1．C；2．B；3．B；4．C；5．A；6．C；7．B；8．C；9．A；10．B；11．C；12．C；13．D；14．C；15．B；16．B；17．A；18．B；19．C；20．B；21．C；22．B；二．填空题（共7小题）23．﹣5；24．2c﹣b﹣1；25．2或18；26．﹣2c；27．120；28．234；29．470；三．解答题（共10小题）30．；31．﹣3；﹣1；﹣4；32．3；5；1或﹣5；33．；34．；35．；36．﹣7；7；﹣12；14；﹣5；0；7；﹣400；﹣5；37．；38．；39．小；0；0；小；2；0；大；2；1；小；3；﹣2或﹣1或0或1；。
21--22学年北师大版七年级上册 2、1-2、3：有理数、数轴与绝对值 一课一练(含答案)
《有理数、数轴与绝对值 》习题2一、选择题1．在0，1-，3，12，﹣0.1，0.08中，负数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在下列数﹣56，+1，6.7，﹣15，0，722，﹣1，25%中，属于整数的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．下列各数：78,1.010010001,,0,, 2.626626662,0.12,433π---其中有理数的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．64.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A ．a ＞﹣2B ．a ＜﹣3C ．a ＞﹣bD ．a ＜﹣b5.如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<6.a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是( )A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣bB ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜bC ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜aD ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a7.实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是( )A ．m n >B ．n m ->C ．m n ->D ．m n <8.一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动。
设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数。
给出下列结论：①33x =；②51x =；③108104x x <；④20182019x x >。
其中，正确的结论的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②④9.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是( )A ．3B ．1C ．﹣2D ．﹣410.下列各组数中，互为相反数的是( )A ．﹣2与|﹣2|B ．﹣2与﹣|﹣2|C ．﹣2与﹣12 D ．2与|﹣2|11.如图，数轴上有 A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是( )A ．点B 与点 D B ．点 A 与点C C ．点 A 与点D D ．点 B 与点 C12.下列各组数中，互为相反数的是( )A ．(2)--和2B ．(5)--和(5)+-C ．12和2- D ．(6)+-和(6)-+13.如图表示互为相反数的两个点是( )A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D14.下列各组数中，互为相反数的一组是( )A ．3-和-3B ．3和13C ．-3和13 D ．3-和315.数轴上点A ，B 表示的数分别是5，－2，它们之间的距离可以表示为() A ．|25|－－ B ．25－－ C ．25+－ D ．||25+－16.若x 与3的绝对值相等，则x ﹣1等于( )A ．2B ．﹣2C ．﹣4D ．2或﹣417.数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，其中绝对值等于2的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D18.已知下列说法：①符号相反的两个数互为相反数；②符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是负数．其中正确的说法有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．419.如图，实数3-，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M ，N ，P ，Q ，那么这四个数中绝对值最小的数对应的点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q20.如图，数轴上A ，B ，C ，D 四个点所表示的实数分别为a ，b ，c ，d 在这四个数中绝对值最小的数是( )A ．aB ．bC ．cD ．d21.设x 为有理数，若|x|＝x ，则( )A ．x 为正数B ．x 为负数C ．x 为非正数D ．x 为非负数22.若|x+2|+|y ﹣3|=0，则|x+y|的值为( )A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．以上都不对23.若|m|＝5，|n|＝7，m+n ＜0，则m ﹣n 的值是( )A ．﹣12或﹣2B ．﹣2或12C ．12或2D ．2或﹣1224.已知15a -=，则a 的值为( )A ．6B ．-4C ．6或-4D ．-6或425.若3,a =5b =，则a b -=( )A ．2B ．78C ．8-D ．2或8二、填空题1.如图，在数轴上有三个点A 、B 、C ，请回答下列问题．(1)A 、B 、C 三点分别表示 、 、 ；(2)将点B 向左移动3个单位长度后，点B 所表示的数是 ；(3)将点A 向右移动4个单位长度后，点A 所表示的数是 .2.|﹣34|的相反数是_____． 3.已知2x+4与3x ﹣2互为相反数，则x=_____．4.已知a 与b 的和为2，b 与c 互为相反数，若c =1，则a=__________．5.33x x -=-，则x 的取值范围是______．6.若210x y -++=，则2x y -的值为_______________．7.已知()2231a b +++取最小值，则a ab b+=____________。
北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》复习题含答案解析 (27)
一、选择题1.已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b<0，有以下结论：①b<0；②a−b<0；③b<−a<a<−b；④∣a∣<∣b∣，其中结论正确的个数是( )A．4个B．2个C．3个D．1个2.如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1 cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1 cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为−2和2，则1 cm对应数轴上的点表示的数是−1；④若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为−1和1，则1 cm对应数轴上的点表示的数是−0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是( )A．①②B．②④C．①②③D．①②③④3.已知a n=1(n+1)2(n=1,2,3,⋯)，我们又定义b1=2(1−a1)=32，b2=2(1−a1)(1−a2)=43，b3=2(1−a1)(1−a2)(1−a3)=54，⋯，根据你观察的规律可推测出b n等于( )A．n+1n B．n+2n+1C．n+3n+2D．n+1n+24.若∣a∣≤1，则a2−1是( )A．正数B．负数C．非正数D．非负数5.将一列有理数−1，2，−3，4，−5，6，⋯⋯，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知：“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数 ，−2013应排在A，B，C，D，E中 的位置，其中两个填空依次为( )A．−28，C B．−29，B C．−30，D D．−31，E6.M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若∣a∣+∣b∣=3，则原点是( )A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R7.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且b−2a=9，那么这条数轴上的原点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点8.m，n两数在数轴上的位置如图所示，设A=m+n，B=−m+n，C=m−n，D=−m−n，则下列各式正确的是( )A．B>D>A>C B．A>B>C>DC．C>B>A>D D．D>C>B>A9.如图，数轴上的点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且b−2a=3c+d+21，那么数轴上原点对应的点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点10.点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P表示的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果bc<0，b+c>0，ab>ac，那么表示数c的点为( )A．点M B．点N C．点P D．点O二、填空题11. 已知 a ，b ，c 为三个不相等的整数，且 (a −2017)(b −2017)(c −2017)=−15，则这三个数的和的最大值等于 ．12. 按如图程序输入一个数 x ，若输入的数 x =−1，则输出结果为 ．13. 已知：11+12−1=12，13+14−12=112，15+16−13=130，17+18−14=156，⋯，根据上面各式的规律，等式 12019+12020−▫=12019×12020中 ▫ 里应填的数是 ．14. 如图，把一个直径为 1 个单位长度的圆形纸片放在数轴上，纸片上的点 A 表示的数是 1，将纸片沿数轴无滑动地滚动 1 周，点 A 到达点 B 的位置，则点 B 表示的数是 （结果保留 π）．15. 我们知道 ∣x ∣=∣x −0∣ 表示的是 x 到 0 的距离，若 ∣x −2∣=1，则 x = ，当式子 ∣x +1∣+∣x −6∣ 取得最小值时，x 的取值范围为 ．16. 如图，一个数表有 7 行 7 列，设 a ij 表示第 i 行第 j 列上的数（其中 i =1,2,3,⋯7，j =1,2,3,⋯,7）．12343212345432345654345676545678765678987678910987例如：第 5 行第 3 列上的数 a 53=7．则： （1）(a 23−a 22)+(a 52–a 53)= ；（2）此数表中的四个数 a np ，a nk ，a mp ，a mk ，满足 (a np −a nk )+(a mk −a mp )= ．17. 定义 a ∗b =3a −b ，则 2∗(2∗3)= ．三、解答题18. 张伯伯积极参加体育锻炼，天天坚持跑步，他每天以 3000 m 为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，如表是一周内张伯伯跑步情况的记录（单位： m）：星期一二三四五六日跑步情况(m)+520+560−100−310−370+3000(1) 星期三张伯伯跑了多少米？(2) 张伯伯在跑得最少的一天跑了多少米？跑得最多的一天比最少的一天多跑了多少米？(3) 若张伯伯跑步的平均速度为240m/min，求本周内张伯伯用于跑步的时间．19.下列有理数：−1，2，5，−112．(1) 将上列各数在如图的数轴上表示出来；(2) 将上列各数从小到大排列，并用“<”符号连接．20.如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为A→B{1,4}，从B到A记为：B→A{−1,−4}，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1) 图中A→C{，}，C→B{，}；(2) 若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最短路程；(3) 若图中另有两个格点M，N，且M→A{3−a,b−4}，M→N{5−a,b−2}，则N→A应记为什么？直接写出你的答案．21.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，−9，+8，−7，+13，−6，+12，−5．(1) 请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米．(2) 若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少油．22.已知∣2−xy∣+(1−y)2=0．(1) 求y2021+(−y)2021的值；(2) 求1xy +1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2021)(y+2021)的值．23.计算：(1) 2×(−3)3−4×(−3)+15；(2) −12+[(−4)2−(1−32)×2]．24.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1) 数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示−3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于∣m−n∣．如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么a=．(2) 若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，求∣a+4∣+∣a−2∣的值；(3) 当a取何值时，∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣的值最小，最小值是多少？请说明理由25.计算：(1) 4+(−23)+21．(2) (−112+14)×23．(3) −22×5−(−12)÷4−4．答案一、选择题1. 【答案】C【知识点】利用数轴比较大小、绝对值的几何意义2. 【答案】D【解析】方法一：① 0 cm和 4 cm表示1和5，则每1 cm表示1个单位长度，1 cm位于有理数1右边1个单位长度处，即为2．② 0 cm和 4 cm表示1和9，则每1 cm表示2个单位长度，1 cm位于有理数1右边2个单位长度处，即为3．③ 0 cm和4 cm表示−2和2，则每1 cm表示1个单位长度，1 cm位于−2右边1个单位处，即为−1．④ 0 cm和4 cm表示−1和1，则每1 cm表示0.5个单位长度，1 cm位于−1右边0.5个单位处，即为−0.5．方法二：① ∵0 cm和4 cm对应的数轴上的点表示的数分别是1和5，=1 cm，∴单位长度为4−05−1=2．故①正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是1+1−01② ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别是1和9，=0.5 cm，∴单位长度是4−09−1=3．故②正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是1+1−00.5③ ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数是−2和2，=1 cm，∴单位长度是4−02−(−2)=−1．故③正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是−2+1−01④ ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别是−1和1，=2 cm，∴单位长度为4−01−(−1)=−0.5．故④正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是−1+1−02【知识点】数轴的概念3. 【答案】B【知识点】有理数的乘除混合运算4. 【答案】C【解析】因为∣a∣≤1，所以−1≤a≤1，所以a2−1≤0，即a2−1是非正数．【知识点】有理数的乘方5. 【答案】B【解析】∵每个峰需要5个数，∴5×5=25，25+1+3=29，∴“峰6”中C位置的数的是−29，∵(2013−1)÷5=402余2，∴−2013为“峰403”的第二个数，排在B的位置．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算6. 【答案】A【解析】∵MN=NP=PR=1，∴∣MN∣+∣NP∣=∣PR∣=1，∴∣MR∣=3；①当原点在N或P点时，∣a∣+∣b∣<3，又∵∣a∣+∣b∣=3，∴原点不可能在N或P点；②当原点在M，R时且∣Ma∣=∣bR∣时，∣a∣+∣b∣=3；综上所述，此原点应是在M或R点．【知识点】绝对值的几何意义7. 【答案】C【解析】根据题意，知b−a=4，即b=a+4，将b=a+4代入b−2a=9，得：a+4−2a=9，解得：a=−5，∴A点表示的数是−5，则C点表示原点．【知识点】数轴的概念8. 【答案】A【解析】由数轴可知−2<m<−1<0<a<1，∴−m+n>−m−n>m+n>m−n，即B>D>A>C．【知识点】利用数轴比较大小9. 【答案】D【解析】由数轴上各点的位置可知d−c=3，d−b=4，d−a=8，故c=d−3，b=d−4，a=d−8，代入b−2a=3c+d+21得，d−4−2d+16=3(d−3)+d+21，解得d=0．故数轴上原点对应的点是D点．故选：D．【知识点】数轴的概念10. 【答案】A【解析】∵bc<0，∴b，c异号，∵b+c>0，∴M表示b，c中的负数，P表示其中的正数，∴M表示数c．故选：A．【知识点】有理数的乘法二、填空题11. 【答案】6066【解析】∵a，b，c为三个不相等的整数，且(a−2017)(b−2017)(c−2017)=−15，∴满足题意可能为：a−2017=−1，b−2017=1，c−2017=15，解得：a=2016，b=2018，c=2032，则这三个数和的最大值为6066．【知识点】有理数的乘法12. 【答案】1【解析】输入x=−1，计算如下：−1×(−2)−5=−3，结果是负数，继续计算如下：−3×(−2)−5=1，结果为正数，输出，即输出的结果为1．【知识点】有理数的乘法13. 【答案】11010【解析】12019+12020−11010=12019×12020．【知识点】有理数加减混合运算14. 【答案】π+1【解析】∵⊙A的直径为1，∴⊙A的半径为12，∴⊙A的周长C=2πr=2π×12=π，∵⊙A滚动1周到点B，∴点1到点B的距离为π，∴B点表示的数为π+1．【知识点】数轴的概念15. 【答案】1和3；−1≤x≤6【解析】∣x−2∣=1表示在数轴上与x距离为1，点的对应数为1和3，即x的值为1和3．∵∣x+1∣+∣x−6∣取最小值，∴表示x的点在−1和6之间的线段上，∴−1≤x≤6．故答案为：−1≤x≤6．【知识点】绝对值的几何意义16. 【答案】0；0【解析】（1）(a23−a22)+(a52–a53)=(4−3)+(6−7)=1−1=0；（2）∵数表的每行中的第p列和第k列的差是相等的，∴(a np−a nk)与(a mk−a mp)互为相反数，∴(a np−a nk)+(a mk−a mp)=0．【知识点】相反数的性质、有理数加减混合运算17. 【答案】3【解析】2∗(2∗3)=2∗(3×2−3) =2∗(6−3)=2∗3=3×2−3=6−3= 3.故答案为：3．【知识点】有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 3000−100=2900(m)，故星期三张伯伯跑了2900米．(2) 张伯伯在跑得最少的一天跑了3000−370=2630（米）；跑得最多的一天比最少的一天多跑了560−(−370)=930（米）．=90(min)，(3) (520+560−100−310−370+300+0)+3000×7240故本周内张伯伯用于跑步的时间是90min．【知识点】有理数加法的应用、有理数的乘除混合运算19. 【答案】(1) 将各数表示在数轴上，如图所示：<−1<2<5．(2) 根据题意得：−112【知识点】利用数轴比较大小、数轴的概念20. 【答案】(1) 3；4；−2；0(2) 根据已知条件可知：A→B表示为：{1,4}，B→C记为{2,0}，C→D记为{1,−2}．则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10．(3) {−2,−2}．【解析】(1) ∵规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，∴图中A→C{3,4}，C→B{−2,0}．(3) 由M→A{3−a,b−4}，M→N{5−a,b−2}，∴5−a−(3−a)=2，b−2−(b−4)=2，∴点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，∴N→A应记为{−2,−2}．【知识点】有理数加法的应用21. 【答案】(1) ∵14−9+8−7+13−6+12−5=20，∴B地在A地的东边20千米．(2) 这一天走的总路程为：14+∣−9∣+8+∣−7∣+13+∣−6∣+12+∣−5∣=74千米，应耗油74×0.5=37（升），故还需补充的油量为：37−28=9（升）．【知识点】有理数加法的应用22. 【答案】(1) 因为∣2−xy∣+(1−y)2=0，而∣2−xy∣≥0，(1−y)2≥0，所以{2−xy=0, ⋯⋯①1−y=0. ⋯⋯②由②得y=1．把y=1代入①得2−x=0，故x=2．y2021+(−y)2021=12021+(−1)2021=1+(−1)=0.(2)1xy+1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2021)(y+2021)=11×2+12×3+13×4+⋯+12022×2023=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(12022−12023)=1−12+12−13+13−14+⋯+12022−12023=1+(−12+12)+(−13+13)+(−14+14)+⋯+(−12022+12022)−12023 =1−12023=20222023.【知识点】有理数的乘方、有理数加减乘除混合运算23. 【答案】(1) 原式=2×(−27)+12+15=−54+27=−27．(2) 原式=−1+16+16=31．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算24. 【答案】(1) 3；5；1或−5(2) 因为∣a+4∣+∣a−2∣表示数轴上数a和−4，2之间距离的和，又因为数a位于−4与2之间，所以∣a+4+∣a−2∣=6．(3) 根据∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣表示一点到−5，1，4三点的距离的和，所以当a=1时，式子的值最小，此时∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣的最小值是9．【知识点】绝对值的化简、绝对值的几何意义25. 【答案】(1) 原式=−23+25=2.(2) 原式=−32×23+14×23=−1+16=−56.(3) 原式=−20+3−4=−17−4=−21.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的加法法则及计算、有理数的乘法。
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有理数及其运算常考题型（数轴与绝对值）（北
师版）
一、单选题(共13道，每道7分)
1.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项错误的是( )
A.a<0<b
B.b＞-a
C.-a＞0
D.-b＞a
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：利用数轴比较大小
2.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，，从大到小的顺序为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：利用数轴比较大小
3.若，则( )
A.0
B.x
C.-x
D.以上答案都不对
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值法则
4.是一个( )
A.正数
B.非正数
C.非负数
D.负数
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值法则
5.若，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值法则
6.已知学校、图书馆和小明家依次坐落在一条东西走向的大街上，学校在图书馆西边20米处，小明家位于图书馆东边70米处，小明从图书馆沿街向东走了30米，接着又向东走了-40米，此时小明的位置在( )
A.图书馆
B.小明家
C.学校西10米处
D.学校东10米处
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：数轴的作用——表示数
7.已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为( )
A.-4a+b-2c
B.-2a-b-2c
C.-2a+b
D.-b+2c
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
8.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为( )
A.-2a
B.-2a+2b
C.-2b
D.-2a-2b
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
9.若，则( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值法则
10.已知，，且，则化简的结果为( )
A.2c
B.-2a+2b
C.0
D.-2a-2c
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值
11.已知，，且，则x+y的值为( )
A.-2或12
B.2或-12
C.2或12
D.-2或-12
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
12.已知有理数a，b，c满足，则的值为( )
A.3或-1
B.1或-3
C.±1或3
D.±1或±3
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值
13.若x为有理数，则的最小值为( )
A.2
B.4
C.6
D.10
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义。