有趣的数学游戏-三阶幻方
三阶幻方解题技巧
三阶幻方解题技巧
1. 嘿，三阶幻方解题啊，有个超有用的技巧就是先找“中心数”啊！就像盖房子得先打牢地基一样。
你看这个三阶幻方，中间这个数不就是关键嘛！比如在这个幻方里，一下子就能发现中心数啦。
2. 还有哦，注意每行每列的数字之和啊！这就好比是有个目标在那，你得努力朝着它去呀。
像是这个幻方，一算就能知道每行每列的和应该是多少啦。
“哎呀，原来这么简单！”
3. 要善于观察数字之间的关系呀！这就跟交朋友似的，要找到它们的特点。
比如说有些数字总是一起出现。
就像这个例子里，这几个数字老是凑一块儿，这不就有线索了嘛！
4. 然后呢，大胆去试错呀！别怕犯错，就像走路偶尔会摔跟头，但爬起来就更厉害啦。
比如这里，试一试不同的数字组合，总会找到对的。
“哇，我试出来啦！”
5. 把幻方想象成一个好玩的游戏呀！别把它想得那么难。
就如同玩拼图一样，一块块去凑。
这个三阶幻方，不就是咱们的益智小拼图嘛。
6. 记得多练练呀！熟能生巧嘛。
就像打篮球，打得多了自然就厉害啦。
你多做几个三阶幻方，肯定就越来越得心应手喽。
我的观点结论就是：三阶幻方解题没那么可怕，掌握这些技巧，多练习，你就能轻松搞定它！。
有趣的数学游戏-三阶幻方
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19 13
2倍角格=不相邻的两个边格之和 ？=（13+19）÷2=16
三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和+2个？-（19+13） 幻和=一条直线上的三个数字之和 所有数字之和=3×幻和 所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和 则：？=（13+19）÷2
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三阶幻方
风
子
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第一课 基础部分
幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上 驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案 称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样 的。
中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的 数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方。
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原先每条边的和为：30+10+10=50 新的填法每条边的和为：50+15=65 总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置 则有：30+10+30=70 70-65=5 所以，四个10各减5，合计正好减了20.
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三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
介绍10个有趣的数学游戏
【导语】数学到底哪⾥有趣了，数学之美⼜在哪⾥？⽆忧考分享的这篇⽂章精⼼选择了10个⽼少咸宜的算术问题，以定理、趣题甚⾄未解之谜等各种形式带领⼤家窥探数学世界的⼀⾓。
不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识，触及到数学的各个领域。
详细的内容欢迎继续往下阅读。
⼀ 数字⿊洞6174 任意选⼀个四位数（数字不能全相同），把所有数字从⼤到⼩排列，再把所有数字从⼩到⼤排列，⽤前者减去后者得到⼀个新的数。
重复对新得到的数进⾏上述操作，7步以内必然会得到6174。
例如，选择四位数6767： 7766-6677=1089 9810-0189=9621 9621-1269=8352 8532-2358=6174 7641-1467=6174 …… 6174这个“⿊洞”就叫做Kaprekar常数。
对于三位数，也有⼀个数字⿊洞——495。
⼆ 3x+1问题 从任意⼀个正整数开始，重复对其进⾏下⾯的操作：如果这个数是偶数，把它除以2；如果这个数是奇数，则把它扩⼤到原来的3倍后再加1。
你会发现，序列最终总会变成4,2,1,4,2,1,…的循环。
例如，所选的数是67，根据上⾯的规则可以依次得到： 67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17, 52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,... 数学家们试了很多数，没有⼀个能逃脱“421陷阱”。
但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成4,2,1循环呢？ 这个问题可以说是⼀个“坑”——乍看之下，问题⾮常简单，突破⼝很多，于是数学家们纷纷往⾥⾯跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。
已经中招的数学家不计其数，这可以从3x+1问题的各种别名看出来：3x+1问题⼜叫Collatz猜想、Syracuse问题、Kakutani问题、Hasse算法、Ulam问题等等。
后来，由于命名争议太⼤，⼲脆让谁都不沾光，直接叫做3x+1问题算了。
小学奥数三阶幻方解归纳PPT课件
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4
提高：
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a
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1
2
2a-1 2
a
2a-2 1
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5
练一练：
完成下列三阶幻方：
3 4 -1
① -2 2 6
5 01
10
②4 8
③
7
12 11 18
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6
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
（ 3,7位
为“一对”，4,6 位为“一对”，）
123456789
返回
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3
三阶幻方中的规律：
规律3:与中间数对应的上下、左 右、对角两个数字的和=中间 数×2
4 92
三
阶 3 57
幻
方 81 6
规律4：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
九子斜排，上下对易，
左右相更，四维挺出
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7
杨辉构造法
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8
试一试
• 把2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别填入三阶方格中,每个数只用一 次,使每一横行、竖列、对角线上三 个数的和都相等.
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9
生活中的幻方
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10
小结：
完成三阶幻方的步骤： ①把9个数从小到大排列，找出中位数a,填 在幻方中心 ②求出幻和3a ③先选取“两对”数分别填写在对角线上 ④根据幻和填其它数 ⑤根据定义验证，如不符合，返回步骤③。
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11
§探索神奇的幻方
三阶幻方初探
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1
三阶幻方
492 357 816
将1-9九个数学不重复的填入方格中，满足幻 方的定义是如何做到的？？
三年级三阶幻方教案
三年级三阶幻方教案1. 简介幻方是一种古老而有趣的数学谜题，被广泛用于培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
本教案主要介绍如何在三年级教学中引入三阶幻方，帮助学生学习和理解该数学概念，并通过实践操作提高他们的解决问题能力和团队合作能力。
2. 教学目标•了解幻方的概念和特点•能够构造出三阶幻方•提高学生的逻辑推理和解决问题能力•培养学生的团队合作和沟通能力3. 教学准备•幻方的定义和特点•三阶幻方的构造方法•三阶幻方的实例•学生黑板和白板笔•学生练习册和作业本•计时器•分组命名牌4. 教学过程步骤1：引入幻方概念（15分钟）•向学生简单介绍幻方的定义和特点，强调幻方中每行、每列和对角线上的数之和都相等。
•展示一些幻方实例，并让学生观察规律和特点。
步骤2：构造三阶幻方（30分钟）•向学生讲解构造三阶幻方的方法：1.将数字1放在第一行的中间位置；2.从数字2开始，按照右上方45度方向填充数字，如果方格已被填充则向下一行移动；3.如果移动到最右上角，则转移到最左下角继续填充。
•按照上述方法，现场演示如何构造出一个三阶幻方。
•让学生分组练习构造三阶幻方，并设定时间限制。
步骤3：讨论和总结（15分钟）•让每个小组展示他们构造的三阶幻方，并让其他小组检查其正确性。
•引导学生讨论构造幻方时的策略和规律，总结构造三阶幻方的步骤和技巧。
步骤4：解决问题和拓展（30分钟）•提出一些有关幻方的问题，让学生在小组内讨论和解决，例如找出对角线上所有数字之和等于某个特定值的幻方。
•鼓励学生分享解决问题的方法和思路。
•将解决问题的时间限制在一定范围内，促进学生合作和集体智慧。
步骤5：作业和反思（10分钟）•发放练习册和作业本，让学生完成相关练习题。
•邀请学生分享他们在本节课中的学习感悟和困惑。
5. 教学拓展•引导学生尝试构造其他阶数的幻方，如四阶、五阶等，并探究其构造方法和规律。
•引导学生寻找幻方与数学中其他概念的联系，如平方数、素数等。
构造三阶幻方的方法
构造三阶幻方的方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊构造三阶幻方的方法。
首先，构造三阶幻方有特定的步骤哦。
先把数字 1 放在第一行中间位置，然后按照斜上方依次填入数字，若遇到边界，就把下一个数字填到相对的那一侧。
就好像走迷宫一样，可有意思啦！但要注意哦，填到已有数字的位置时，就要填到它下面啦。
这步骤简单吧？嘿嘿，是不是觉得挺有趣的。
然后说说这过程中的安全性和稳定性。
就像建房子，每一块砖都要放对位置，才能稳稳当当。
构造三阶幻方也是这样，只要按照规则来，就不会出错，安安稳稳地就把幻方给造出来啦，多靠谱呀！
三阶幻方的应用场景那可多啦！比如在数学游戏中，它能带来很多乐趣，让我们玩得不亦乐乎。
它的优势也很明显呀，能锻炼我们的思维能力，就像给大脑做了一场健身操！
我给大家举个实际案例吧。
在一次数学竞赛中，有个题目就是关于三阶幻方的，那些掌握了构造方法的同学，那可真是如鱼得水呀，轻松就解决了问题，看到他们得意的样子，就知道效果有多好啦！
所以呀，构造三阶幻方真的是个超棒的数学技巧，它既能带来乐趣，又能提升我们的能力，为啥不赶紧学起来呢？。
《有趣的小学数学—幻方问题》
幻方知识点：1、幻方：在一个正方形中，将其分为n n 个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n 个数相加的和都相等。
像这样的正方形，我们把它叫做n 阶幻方。
在幻方中这个相等的和就叫做幻和。
2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。
3、三阶幻方的性质：（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3； （2）幻和=填入的所有数总和÷3； （3）“斜T 法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i 位置的数=（b 位置的数+d 位置的数）÷2；a 和f 、h 位置也有此规律)。
（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。
( )123456789( )191817161514131211【答案】×；√；【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。
例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。
接着一一填出各个空格中的数。
例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示 【分析】先根据斜T 法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。
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三个数相乘的幻方的属性：
1、等差数列或者三组等差数列：找一个包含10的等差数列（如图） 或者：｛1、2、4｝、｛5、10、20｝、｛25、50、100｝
2、角格的平方=不相邻的边格之积
按三条红线排列三组等差或等比数列，再按红数字位置调整
则把下一个数放在上一个数的下面。
双偶幻方：N为4的倍数。采用对称元素交换法。 1)把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵 2)将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心
6、剩下的空格就很容易了。
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2倍角格=不相邻的两个边格之和 ？=（13+19）÷2=16
三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和+2个？-（19+13） 幻和=一条直线上的三个数字之和 所有数字之和=3×幻和 所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和 则：？=（13+19）÷2
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上下对调
左右对调
第二课 拓展部分
平面幻方的构造一
奇幻方：N 为奇数时 ⑴ 将1放在第一行中间一列； ⑵ 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放： 按 45°方向行走，如向右上 每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1 ⑶ 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1; ⑷ 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，
例1：（p.45例1）将1-9这9个数填入上图，使它成为一个三阶幻方。
动动手： p.45随堂1
幻和与中央数：一个幻方的幻和=3×中央数=总和÷3
例1：（p.46例3）
动动手： p.46随堂3
已知三个数填写幻方
例1：（p.47例4）
动动手： p.47随堂4
ABC DE F GH I
对九宫格每个格子进行编号为A-I，设S=A+B+C +D+E+F+G+H+I，即九个数的和。 定义：幻和=A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G =B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G，即每条横、竖、 斜线上的三个数的和相等，为幻和。
22 30 26 30 26 22 26 22 30
三组｛22，26，30｝，为等差数列，所以先把中间数放中间； 以中间格为中心，画四条直线；在一条对角线上放与中间格相同的 数，另一条对角线上放两个不同的数；剩下四个位置只要保证同一 行或列上没有重复的数字。
3 10 5
864
729
利用角格是不相邻的两个边数和的一半，可以得到右下角方格的数字； 其次利用红线和相等关系，知道下中间的数为2；利用蓝线和相等，得 到中右格数为4。 利用幻和=3×中间数 3×幻和=所有数，可知中间那个数为6。 这样其他几个利用幻和可以得到了。
三阶幻方
风子编辑
第一课 基础部分
幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马， 马背上驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张 象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线， 加起来的数字和都是一样的。
中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13 世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方。
10 15 8 9 11 13 14 7 12
本题与上体方法一样，自己尝试下
50 1 20
4 10 25
5 100 2
先在两条蓝线上确定左下角的数：1×10÷2=5，在两条线段上的公共格不 用考虑；再找有两个确定数的线段，通过未知角画出另外的线段，如图红 线，则可知左中格为：2×10÷5=4，右上格为：2×10÷1=20。利用一条 对角线上的三个数的积5×10×20=1000，可以得到其它几个数。
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30
10 30 10
30 5 30
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原先每条边的和为：30+10+10=50 新的填法每条边的和为：50+15=65 总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置
则有：30+10+30=70 70-65=5 所以，四个10各减5，合计正好减了20.
22 30 26 22 30 26 22 30 26
幻方的发展：经过国内外幻方数学家和爱好者的研究， 幻方得到了快速的发展。从最初的三阶幻方发展到现 在的高阶幻方，由和幻方发展到乘幻方。对平面幻方 的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N 为其它偶数(4n+2的形式）。
清末民初数学家寿孝天
三阶幻方：就是将9个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每 一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。
3×幻和=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）=S，即幻和是总和的1/3。
D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G，即4×幻和= A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=3×幻 和+3E 所以，3E=幻和，即E是幻和的1/3，是总和的1/9
S= （A+B+C）+（A+E+I）+（A+D+G）= （A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I） 所以，2A=F+H 同理可得：2G=B+F，2I=B+D，2C=D+H
例：在下图空格上填上互不相等,且不大于15的自然数，使每行、每例、对角线 上的和为30。
ABC DE F 8GH
6 12 12
10 4
8
14
7 11 12 15 10 5 8 9 13
为方便表述，对每个空格编号为A-H。 1、根据中心数是幻和的1/3，可得到E=10 2、根据幻和为30，可知C=30-10-8=12 3、根据A+H=B+G=D+F=20,且每个数不大于15， 则最小为5。符合条件的数对还
有四对：｛5,15｝、｛6,14｝、｛7,13｝、｛9,11｝，只有一堆为偶数。 4、选｛6、14｝放入任何格对中，因为偶数+偶数+偶数=偶数，但剩下的数都
是奇数，所以不符合。
5、选择包含最大数的一对｛5，15｝，如果15与12在同一行或列，则这行或列 的另一个数为3，小于5。所以，15不能与12在同一行或列，因此放在D格。 对应的F格则为5。