江苏省南京市鼓楼区_学年高二数学上学期期中试卷文(含解析)【含答案】
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测模拟试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．设复数z 满足z ·i ＝1＋i ，i 为虚数单位，则iz＝A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i2．若圆x 2＋y 2－4x ＋8y ＋2m ＝0的半径为2，则实数m 的值为A ．－9B ．－8C ．9D ．83．已知直线l 上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为A ．32B ．23C ．－32D ．－234．已知点(x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2＝4外，则直线x 0x ＋y 0y ＝4与圆C 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．记正整数m 、n 的最大公约数为(m ，n )，例如，(2，5)＝1，(6，15)＝3．已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n ＝(n ，n ＋2)，则S 50＝A ．50B ．75C ．100D ．12756．下列椭圆的形状更接近于圆的是A ．22x ＋y 2＝1B ．23x ＋22y ＝1C ．24x ＋23y ＝1D ．25x ＋24y ＝17．已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的m 、n ∈N *，都有a m +n ＝a m ＋a n ，若正整数k 满足a 2k -1＋a 2k +1＋a 2k +3＋…＋a 2k +17＝100，则k ＝A ．1B ．10C ．50D ．1008．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若△AOF 面积是△BOF面积的两倍，则|AB |＝A ．4B ．92C ．5D ．112二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡．．．相应位置上．．．．．．）9．已知直线l ：x ＋y ＋c ＝0(c ≠0)，O 为坐标原点，则A．直线l的倾斜角为120°B．若O到直线l的距离为1，则c＝2C．过O且与直线l平行的直线方程为x＝0D．过O且与直线l－y＝010．当m变化时，方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)表示的曲线形状，下列说法中正确的是A．m＝1时，方程表示一条直线B．m＜1或m＞3是方程表示双曲线的充要条件C．1＜m＜3时，方程表示椭圆D．该方程不可能表示抛物线11．若{a n}为等差数列，S n为其前n项的和，则下列说法中一定成立的是A．a2＋a7＋a11＝a8＋a12B．存在A、B∈R，使得a n＝An＋BC．若S p＝S q(p≠q)，则S p+q＝0D．{n Sn}是等差数列12．设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形B．曲线C围成图形的面积为2π－4C．曲线CD．曲线上任意两点间距离的最大值为4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）13．写出一个具有下列性质①②的数列{a n}的通项公式a n＝________．①2a n+1＝a n＋a n+2；②a n+1＜a n．14．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(3，2)，则过两点P1(a1，b1)、P2(a2，b2)的直线的方程为________．15．记[x]为不大于实数x的最大整数，例如：[3.2]＝3，[2]＝2，[－3.2]＝－4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝[lg n]，则数列{a n}的前2023项的和S2023＝________．16．若y＝33x＋1x的图象是以y＝33x和x＝0为渐近线的双曲线，则其离心率为________．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列{F n }，并根据规律得到了递推关系式：F n +2＝F n +1＋F n ．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有n (n ∈N *)级，那么他有多少种走法？分析：我们记楼梯有n (n ∈N *)级时的不同走法数为a n ，显然，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有n (n ∈N *)级，那么他有多少种走法？分析：我们记楼梯有n (n ∈N *)级时的不同走法数为b n ，显然，b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4，…请分别就上述两个问题，写出数列{a n }、{b n }的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．(1)求B ；(2)若c －a ＝3，且△ABC 的面积为ABC 的外接圆的半径．19．(本小题满分12分)已知直线l 经过P (－2，0)，且与圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝9相交于A 、B 两点．(1)若CA ⊥CB ，求直线l 的斜率；(2)若PA ＝λAB(λ＞0)，求λ的取值范围．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n ＋3．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列b n }满足：b n ＝2nn a ，求数列{b n }的最大项．21．(本小题满分12分)已知椭圆24x＋23y＝1的左、右顶点为A1、A2，与y轴平行的直线交椭圆于两点P1、P2，直线A1P1与直线A2P2的交点为P．(1)求点P的轨迹方程Γ；(2)若曲线Γ上的点Q满足∠A1QA2＝30°，求△A1QA2的面积．22．(本小题满分12分)已知抛物线x2＝4y，过P(－1，2)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与抛物线相交于A、B两点，l2与抛物线相交于C、D两点，线段AB、CD的中点分别为M、N．(1)证明：直线MN过定点；(2)若线段MN的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值．2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中数学质量检测模拟试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．设复数z 满足z ·i ＝1＋i ，i 为虚数单位，则iz＝D A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i2．若圆x 2＋y 2－4x ＋8y ＋2m ＝0的半径为2，则实数m 的值为DA ．－9B ．－8C ．9D ．83．已知直线l 上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为B A ．32B ．23C ．－32D ．－234．已知点(x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2＝4外，则直线x 0x ＋y 0y ＝4与圆C 的位置关系是AA ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．记正整数m 、n 的最大公约数为(m ，n )，例如，(2，5)＝1，(6，15)＝3．已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n ＝(n ，n ＋2)，则S 50＝B A ．50B ．75C ．100D ．12756．下列椭圆的形状更接近于圆的是DA ．22x ＋y 2＝1B ．23x ＋22y ＝1C ．24x ＋23y ＝1D ．25x ＋24y ＝17．已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的m 、n ∈N *，都有a m +n ＝a m ＋a n ，若正整数k 满足a 2k -1＋a 2k +1＋a 2k +3＋…＋a 2k +17＝100，则k ＝A A ．1B ．10C ．50D ．1008．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若△AOF 面积是△BOF面积的两倍，则|AB |＝B A ．4B ．92C ．5D ．112二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡．．．相应位置上．．．．．．）9．已知直线l ：x ＋y ＋c ＝0(c ≠0)，O 为坐标原点，则CDA．直线l的倾斜角为120°B．若O到直线l的距离为1，则c＝2C．过O且与直线l平行的直线方程为x＝0D．过O且与直线l－y＝010．当m变化时，方程(m－1)x2＋(3－m)y2＝(m－1)(3－m)表示的曲线形状，下列说法中正确的是ABDA．m＝1时，方程表示一条直线B．m＜1或m＞3是方程表示双曲线的充要条件C．1＜m＜3时，方程表示椭圆D．该方程不可能表示抛物线11．若{a n}为等差数列，S n为其前n项的和，则下列说法中一定成立的是BCD A．a2＋a7＋a11＝a8＋a12B．存在A、B∈R，使得a n＝An＋B}是等差数列C．若S p＝S q(p≠q)，则S p+q＝0D．{n Sn12．设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则ABDA．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形B．曲线C围成图形的面积为2π－4C．曲线CD．曲线上任意两点间距离的最大值为4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）13．写出一个具有下列性质①②的数列{a n}的通项公式a n＝________．①2a n+1＝a n＋a n+2；②a n+1＜a n．－n(答案不唯一)14．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(3，2)，则过两点P1(a1，b1)、P2(a2，b2)的直线的方程为________．3x＋2y＋1＝015．记[x]为不大于实数x的最大整数，例如：[3.2]＝3，[2]＝2，[－3.2]＝－4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝[lg n]，则数列{a n}的前2023项的和S2023＝________．496216．若y ＝33x ＋1x的图象是以y ＝33x 和x ＝0为渐近线的双曲线，则其离心率为________．233四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列{F n }，并根据规律得到了递推关系式：F n +2＝F n +1＋F n ．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列．问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有n (n ∈N *)级，那么他有多少种走法？分析：我们记楼梯有n (n ∈N *)级时的不同走法数为a n ，显然，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有n (n ∈N *)级，那么他有多少种走法？分析：我们记楼梯有n (n ∈N *)级时的不同走法数为b n ，显然，b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4，…请分别就上述两个问题，写出数列{a n }、{b n }的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式．答：问题1：a 4＝5，a 5＝8，a n +2＝a n +1＋a n ；问题2：b 4＝7，b 5＝13，b n +3＝b n +2＋b n +1＋b n ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．(1)求B ；(2)若c －a ＝3，且△ABC 的面积为ABC 的外接圆的半径．答：(1)B ＝3π；(2)733．19．(本小题满分12分)已知直线l 经过P (－2，0)，且与圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝9相交于A 、B 两点．(1)若CA ⊥CB ，求直线l 的斜率；(2)若PA ＝λAB(λ＞0)，求λ的取值范围．答：(1)17或1；(2)λ20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n ＋3．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足：b n ＝2nn a ，求数列{b n }的最大项．答：(1)a n ＝15122n n n -=⎧⎨≥⎩，，；(2)b 3＝94．21．(本小题满分12分)已知椭圆24x ＋23y ＝1的左、右顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线交椭圆于两点P 1、P 2，直线A 1P 1与直线A 2P 2的交点为P ．(1)求点P 的轨迹方程Γ；(2)若曲线Γ上的点Q 满足∠A 1QA 2＝30°，求△A 1QA 2的面积．答：(1)24x －23y ＝1，y ≠0；(2)2437．22．(本小题满分12分)已知抛物线x 2＝4y ，过P (－1，2)作互相垂直的两条直线l 1、l 2，l 1与抛物线相交于A 、B 两点，l 2与抛物线相交于C 、D 两点，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N ．(1)证明：直线MN 过定点；(2)若线段MN 的中点记为E ，求点E 的纵坐标的最小值．答：(1)(0，4)；(2)6316．。
2022-2023学年江苏省南京市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．102．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2 B ．0C ．2D ．±23．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x 4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车 6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．37．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．√338．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA→的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝1011．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ）A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ）A．弦AB长的最小值为8B．△MAB面积的最大值为4√2C．圆M上一定存在4个点到l的距离为2√2D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知a＞0，若圆（x﹣a）2+y2＝2与圆x2+（y﹣a）2＝8外切，则a＝．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18．则这组数据的70百分位数是．15．设函数f（x）＝2x+log a x﹣8（a＞1）的零点为x0．若x0≥3，则a的最小值为．16．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，点P的坐标为（2，1），动点A，B在抛物线C上，且P A⊥PB，则F A+FB的最小值是．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是棱BC上的点（不与点C重合），AD⊥DC1．（1）证明：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若AC＝CC1＝2，求CC1与平面ADC1所成角的正弦值．19．（12分）已知圆M过原点O，圆心M在直线y＝x﹣1上，直线2x+y＝0与圆M相切．（1）求圆M的方程；（2）过点P（0，4）的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段PB的中点，求直线l的方程．20．（12分）某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中0＜p＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．10解：∵（2+i ）z ＝3﹣4i ，∴z =3−4i2+i =(3−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=25−115i ， ∴|z|=√(25)2+(−115)2=√5． 故选：B ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行， 所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，检验当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意，当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意， 故m ＝﹣2． 故选：A ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x解：双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，可得e =ca =√3， 即有c =√3a ，由c 2＝a 2+b 2， 可得b =√2a ，即有渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故选：B ．4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解：因为直线y =√3x 的倾斜角为60°，直线y ＝x +1的倾斜角为45°，由直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称可得l 与y =√3x 与直线y ＝x +1的夹角相等，都为15°， 所以直线l 的倾斜角为30°． 故选：B ．5．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车解：两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米，由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米； 则上底面积S ＝18×8，中截面积S 0＝19×9，下底面积S 1＝20×10， 所以该建筑材料的体积为V =16×1×(144+684+200)=5143立方米， 所以建筑材料重约5143×32=257（吨），需要的卡车次为257÷4＝64.25，所以至少需要运65车． 故选：B ．6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3解：已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β）， 整理得：sin αcos β+cos αsin β＝2sin αcos β﹣2cos αsin β， 故sin αcos β＝3cos αsin β， 所以tanαtanβ=3．故选：D ． 7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．√33解：由椭圆的定义可得|BF 1|+|BF 2|＝2a ， 又|F 1B |：|F 2B |＝7：3， 所以|BF 1|=7a 5，|BF 2|=3a 5， 根据题意可得|AF 1|＝|AF 2|=√c 2+b 2=a ， 所以|AB |＝|AF 2|+|BF 2|＝a +3a5， 所以cos ∠F 1BF 2＝cos ∠F 1BA ， 所以|BF 1|2+|BF 2|2−|F 1F 2|22|BF 1||BF 2|=|BF 1|2+|AB|2−|AF 1|22|BF 1||AB|，所以(7a 5)2+(3a 5)2−(2c)22×7a 5×3a 5=(7a 5)2+(a+35a)2−a 22×7a 5×(a+3a5)， 所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=49a 2+64a 2−25a 2112a 2，所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=1114，所以25a 2＝100c 2， 所以c 2a 2=14，所以e =c a =12， 故选：C ．8．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA →的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4解：分别以AD ，AB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，B （0，3），D （2，0）， AB →=（0，3），AD →=（2，0），E 在线段CD 上，设E （2，m ），（0≤m ≤3），AE →=（2，m ）， 设AF →=k AE →=（2k ，mk ），则BF →=AF →−AB →=（2k ，mk ﹣3）， ∵BF ⊥AE ，∴BF →⋅AE →=4k +m （mk ﹣3）＝0，k =3mm 2+4， DF →=AF →−AD →=（2k ﹣2，mk ），DF →⋅DA →=（2k ﹣2，mk ）•（﹣2，0）＝4﹣4k ＝4−12mm 2+4， m ＝0，DF →⋅DA →=4， 0＜m ≤3时，12m m 2+4=12m+4m≤2√m⋅m=3，当且仅当m =4m ，即m ＝2时，取等号， 此时，DF →⋅DA →的最小值为1． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定解：由图可以看出，甲城市7天的气温为：22°C ，22°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ，26°C ， 乙城市7天的气温为：23°C ，23°C ，24°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ， 对于A ，乙城市日均气温的极差为25°C ﹣23°C ＝2°C ，故A 错误， 对于B ，乙城市日均气温的众数为24°C ，故B 正确，对于C ，甲城市的中位数为24°C ，甲城市的平均数为17×(22+22+24+24+25+25+26)=24°C ，故C 正确，对于D ，由图中可以看成，乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，故D 错误． 故选：BC ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝10解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的准线为x ＝﹣1，故A 正确； 由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的焦点坐标为F （1，0）， ∴点F 到直线l 的距离为d =|1−0−2|√1+1=√22，故B 正确；由{y =x −2y 2=4x ，消去x 得y 2﹣4y ﹣8＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴y 1+y 2＝4，y 1y 2＝﹣8，∴x 1x 2=116（y 1y 2）2＝4，∴OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝4﹣8＝﹣4，故∠AOB ≠π2，故C 不正确； 由弦长公式得|AB |=√(1+1k2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+1)[42−4×(−8)]=4√6，故D 不正确．故选：AB ．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ） A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π解：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(13，1，23)，CP →=(13，0，23)，AD →=(−1，0，0)， 设异面直线CP 与AD 所成角为θ∈(0，π2]， 则cosθ=|cos ＜CP →，AD →＞|=|CP →⋅AD →||CP →|⋅|AD →|=|(13，0，23)⋅(−100)|√19+49=√55，故sinθ=√1−cos 2θ=2√55，tanθ=2，A 错误； 如图2，因为AB ∥C 1D 1，且AB ＝C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1为平行四边形， 故BC 1∥AD 1，因为BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1， 所以BC 1∥平面ACD 1，故当点P 在BC 1上运动时，点P 到平面ACD 1的距离不变，即当C 1P →=λC 1B →(0＜λ＜1)时，四面体D 1ACP 的体积为定值，B 正确； 如图3，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，连接PB 1，因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，B 1P ⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥B 1P 1，因为AB ⊥平面BCC 1B 1，EP ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥EP ，因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，设P （m ，1，n ），0≤m ≤1，0≤n ≤1，其中B 1（1，1，1）， 当PB 1＝PE 时，√(m −1)2+(1−1)2+(n −1)2=n ， 整理得：n =12(m −1)2+12，故当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确； 如图4，当C 1P →=12C 1B →时，P 为BC 1的中点，取BD 的中点Q ，BC 的中点N ，连接PN ，则PN ∥CC 1，故PN ⊥平面ABCD ，因为BC ⊥CD ，故三角形BCD 的外心为点Q ，则外接球球心O 在过点Q 且垂直于平面ABCD 的直线上，故OQ ⊥平面ABCD ，OQ ∥PN ，连接OP ，QN ，OB ，过点O 作OM ∥QN 交PN 于点M ，设四面体BCDP 的外接球的半径为R ，则OB =OP =R ，OM =QN =12，OQ =MN ， 其中QB =√22，PN =12，设OQ ＝MN ＝h ，则PM =12−ℎ， 由勾股定理得OB =√OQ 2+QB 2=√ℎ2+12，OP =√OM 2+PM 2=√(12−ℎ)2+14，故√ℎ2+12=√(12−ℎ)2+14，解得：h ＝0，故R =√02+12=√22，4πR 2=2π， 当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π，D 正确．故选：BCD ．12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ） A ．弦AB 长的最小值为8B ．△MAB 面积的最大值为4√2C ．圆M 上一定存在4个点到l 的距离为2√2D ．A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上解：M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0化为标准方程：M ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝18．设M 到直线l 的距离为d ，则d ≤|OM |=√2， 对于A ：由垂径定理|AB|2=√18−d 2≥√16=4，即|AB |≥8，当且仅当d =√2，即OM ⊥l 时取等号，故弦AB 长的最小值为8，故A 正确；对于B ：△MAB 面积为12|AB|⋅d =d √18−d 2=√−d 4+18d 2，令t ＝d 2，则：△MAB 面积为√−t 2+18t ，t ∈（0，2]，而y ＝﹣t 2+18t ＝﹣（t ﹣9）2+81在（0，2]上单调递增，所以y max ＝y |t ＝2＝32，于是△MAB 面积的最大值为4√2，B 正确；对于C ：当OM ⊥l 时，d =√2，到l 的距离为2√2的点由3个，C 错误；对于D ：A ，B 两点处圆的切线的交点坐标为（m ，n ），则直线AB 为切点弦所在直线方程，为：mx +ny +m +x ﹣（n +y ）﹣16＝0，由于直线AB 过原点，所以m ﹣n ﹣16＝0，即A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则a ＝ 3 ． 解：因为a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则√a 2+a 2=√2+2√2=3√2， 所以a ＝3． 故答案为：3．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18． 则这组数据的70百分位数是 13 ．解：根据题意，共有15个数据，则有15×0.7＝10.5， 故这组数据的70百分位数第11个数据，即13； 故答案为：13．15．设函数f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）的零点为x 0．若x 0≥3，则a 的最小值为 √3 ．解：由于y ＝2x +8和y ＝log a x （a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，则0＝f （x 0）≥f （3），即log a 3﹣2≤0，也即log a 3≤2（a ＞1），从而a 2≥3且a ＞1，故a ≥√3，故a 的最小值为√3， 故答案为：√3．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，点P 的坐标为（2，1），动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，则F A +FB 的最小值是 11 ．解：由抛物线C ：x 2＝4y ，可得焦点为F （0，1）， ∵点P 的坐标为（2，1），∴点P 在抛物线上，∵动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，∴P A ，PB 斜率存在且不为0，设P A 的斜率为k ，PB 的斜率为−1k，则直线P A 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）， 由{y −1=k(x −2)x 2=4y，消去y 得x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0， ∴（x ﹣2）（x ﹣4k +2）＝0，∴x ＝2或x ＝4k ﹣2，∴点A 的坐标为（4k ﹣2，k （4k ﹣4）+1），即A （4k ﹣2，4k 2﹣4k +1）， 同理可得B （−4k −2，4k 2+4k+1），∴|F A|+|FB|＝4k2﹣4k+1+1+4k2+4k+1+1＝4（k2﹣k+1k2+1k+1）＝4[（k−1k）2﹣（k−1k）+3），令t＝k−1k，则|F A|+|FB|＝4（t2﹣t+3）＝4[（t−12）2+114]≥11，当t=12时，等号成立，故|F A|+|FB|的最小值是11．故答案为：11．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：因为cosB=2√77，B为三角形内角，则sinB=√1−cos2B=√217，选①：（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，展开得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA=b 2+c2−a22bc=12，因为A为三角形内角，故A＝60°，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即b217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；选②：tanA=√3bcb2+c2−a2，由余弦定理得sinAcosA=√3bc2bccosA，故sinA=√32，因为A为三角形内角，故A＝60°或120°，当A＝60°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；当A＝120°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77−12×√217=√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=√2114，解得b＝6，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×6×3×√32=9√32， 综上△ABC 的面积为3√32或9√32；选③：asinB =√3bcosA ，由正弦定理得sinAsinB =√3sinBcosA ， 因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0， 从而sinA =√3cosA ，显然cos A ≠0，所以tanA =√3， 因为A 为三角形内角，所以A ＝60°，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×2√77+12×√217=3√2114， 由正弦定理得bsinB=c sinC ，即√217=3√2114，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×3×√32=3√32． 18．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是棱BC 上的点（不与点C 重合），AD ⊥DC 1． （1）证明：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若AC ＝CC 1＝2，求CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值．解：（1）证明：因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1， 故C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故AD ⊥C 1C ， 又C 1C ∩C 1D ＝C 1，故AD ⊥平面BCC 1B 1， 又AD ⊂平面ADC 1，故平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）由（1）得平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1，且AD ⊥BC ，故D 为BC 的中点， 作CH ⊥C 1D 于H ，则CH ⊥平面ADC 1，则∠CC 1H 即为CC 1与平面ADC 1所成角， 因为AC ＝CC 1＝2，故CD ＝1，C 1D =√5， 所以sin ∠CC 1D =CD C 1D =√55，故CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为√55．19．（12分）已知圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，直线2x +y ＝0与圆M 相切． （1）求圆M 的方程；（2）过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，求直线l 的方程． 解：（1）圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，设圆的圆心（a ，a ﹣1），直线2x +y ＝0与圆M 相切．可得√a 2+(a −1)2=|2a+a−1|5，解得a ＝2，所以圆的圆心（2，1），半径为：√5， 所以圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．（2）圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．圆的圆心（2，1），半径为√5，如图，圆的图形如图，圆过原点，并且经过（0，2）点，过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，观察可知，y 轴，就是所求直线之一，即x ＝0，M 到y 轴的距离为2，所以设另一条直线l 的方程为y ＝kx +4， 可得√1+k 2=2，解得k =−512， 所以另一条直线l 的方程为y =−512x +4．即5x +12y ﹣48＝0． 综上所求直线方程为：x ＝0或5x +12y ﹣48＝0．20．（12分）某篮球场有A ，B 两个定点投篮位置，每轮投篮按先A 后B 的顺序各投1次，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．设球员甲在A 点投中的概率为p ，在B 点投中的概率为q ，其中0＜p ＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率． 解：（1）由题意可知，{(1−p)(1−q)=16p(1−q)=13， 解得，p =23，q =12；（2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况有两种，当甲恰好得8分时的概率为：C 21×23×13×12×12=19， 当甲恰好得10分的概率为：23×23×12×12=19，所以甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率：19+19=29．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：（1）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ， 由条件得|QA|+|QB|=|QA|+|QT|=|AT|=r =4＞2√3=|AB|， 所以Q 的轨迹是椭圆，且2a =4，2c =2√3， 所以b ＝1，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）假设存在满足题意的直线l ，且l 的斜率存在且不为0， 设l ：y ＝kx +2（k ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由{y =kx +2x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0，Δ＝（16k ）2﹣48（1+4k 2）＝64k 2﹣48＞0，解得k 2＞34， 则x 1+x 2=−16k 1+4k2，又y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=41+4k2，所以MN 的中点坐标为(−8k 1+4k2，21+4k2)，因此，MN 的中垂线方程为y −21+4k2=−1k(x +8k 1+4k2)，要使|PM |＝|PN |，则点P （0，﹣1）应在MN 的中垂线上， 所以−1−21+4k2=−1k ⋅8k 1+4k 2，解得k 2=54＞34， 因此，存在满足题意的直线l ，其方程为y =±√52x +2．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：（1）依题意可得M （﹣a ，0），N （a ，0），又点P （﹣1，1） 所以PM →=（﹣a +1，﹣1），PN →=（a +1，﹣1）， 由PM →⋅PN →=2﹣a 2＝1，可得a ＝1， 又双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，所以ca=√3，c =√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝2，所以双曲线C 的方程为x 2−y 22=1．（2）由（1）可得M （﹣1，0），N （1，0），若直线l 的斜率不存在，则l 与双曲线C 仅有一个公共点M ，不合题意，故l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝k （x +1）+1，联立{y =k(x +1)+12x 2−y 2=2，可得（2﹣k 2）x 2﹣（2k 2+2k ）x ﹣k 2﹣2k ﹣3＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 2+2k 2−k2，x 1x 2=k 2+2k+3k 2−2，直线OP 的方程为：y ＝﹣x ，直线AN 的方程为y =y 1x 1−1（x ﹣1）， 即可得D （y 1x 1+y 1−1，−y 1x 1+y 1−1），则k 1k 2=−y 1x 1+y 1−1y 1x 1+y 1−1+1⋅y 2x 2+1=y 1y 2(x 1+2y 1−1)(x 2+1)=k 2x 1x 2+(k 2+k)(x 1+x 2)+k 2+2k+1(2k+1)(x 1+x 2+x 1x 2+1)=k 2⋅k 2+2k−12−k2+k 2+2k+1(2k+1)(k 2−32−k2+1)=4k+22k+1=2．所以k1k2为定值．。
2016年江苏省南京市鼓楼区高二文科上学期数学期中考试试卷
2016年江苏省南京市鼓楼区高二文科上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 圆心为，且经过点的圆的标准方程为．2. 命题“，”的否定是．3. 双曲线的焦点坐标是．4. 过点开口向右的抛物线的标准方程是．5. 已知点在椭圆上，它到上准线的距离，则它到下准线的距离为．6. 若在直线的上方，则的取值范围是．7. 已知和，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8. 已知椭圆的两个焦点分别是点，，为椭圆上一点，且是和的等差中项，则该椭圆方程的离心率是．9. 在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是，那么实数的值为．10. 双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为，那么它的离心率是．11. 圆上的点到直线的距离的最小值大于，则实数的取值范围是．12. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是．13. 在平面直角坐标系中，已知圆：，：，动点在直线上，过分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是．14. 已知函数，若存在非零实数，使得，则的最小值是．二、解答题（共6小题；共78分）15. 已知命题：“直线与圆有公共点”，命题：“方程表示双曲线”．（1）已知是真命题，求实数的取值范围；（2）已知“”是真命题，求实数的取值范围．16. （1）已知点，，求以线段为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线上，且过两点，的圆的方程．17. 已知圆的方程为．（1）求过点与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，与圆交于两点，且，求直线的方程．18. 某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚．已知两个观测点到哨所的距离都是．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为）（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么?（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．19. 已知椭圆：的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为，过点且斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，与轴交于点．（1）求椭圆的方程和直线的方程；（2）圆的圆心在轴上，且与直线相切于点，试在圆上求一点，使．20. 如图，已知椭圆的右顶点为，上顶点和下顶点分别是点和，点是直线：上的一个动点（不在轴上），直线交椭圆于另一点．（1）当直线过点时，求的面积；（2）求证：为直角三角形；（3）以，为焦点，且过点的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．答案第一部分1.【解析】设圆的标准方程为，由圆经过点得，从而所求方程为．2. ，【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是：，．3. ，【解析】双曲线的，，，可得双曲线的焦点坐标为，．4.【解析】设抛物线的标准方程为，将点代入可得，故抛物线的标准方程为．5.【解析】椭圆，可得，，，所以准线方程为：．所以点到下准线的距离．6.【解析】直线上方，．7. 充分不必要【解析】“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”，是充分条件，“这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”，不是必要条件．8.【解析】因为是和的等差中项，所以，所以，解得．9.【解析】由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．解得，，，直线与与轴组成的三角形面积为，所以，所以解得或（舍去）．10. 或【解析】当双曲线的焦点在轴时，渐近线为，即，变形可得，可得离心率，当双曲线的焦点在轴时，渐近线为，即，变形可得，可得离心率，所以双曲线的离心率为：或．11. 或【解析】将圆方程化为标准方程得：，所以圆心，半径，因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小值，所以或．12.【解析】设弦的端点为，，斜率为，代入椭圆方程得，得，由中点坐标，，代入上式，得，所以直线斜率为，所求弦的直线方程为：，即．13.14.第二部分15. （1）若命题：“直线与圆有公共点”是真命题，则圆心到直线的距离不大于半径，即，解得：．（2）若命题：“方程表示双曲线”是真命题，则，解得：，若“”是真命题，则，均为真命题，故．16. （1）已知点，，则以线段为直径的圆的圆心为、半径为．（2）由圆心在直线上，可设圆的圆心为，再根据圆过两点，，可得，即，所以，圆心为、半径为，故要求的圆的方程为．17. （1）显然直线的斜率存在，设切线方程为，则，解得，，，故所求的切线方程为或．（2）当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，这两点的距离为，满足题意．当直线不垂直于轴时，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，所以，所以，所以，此时直线方程为，综上所述，所求直线方程为或．18. （1）以接报中心为原点，正东、正北方向为轴，轴正向，建立直角坐标系．设，，分别是西、东、北观测点，则，，，设为巨响发生点，因点比点晚听到爆炸声，故，由双曲线定义知点在以，为焦点的双曲线如图．（2）由，同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，依题意得，，所以，故双曲线方程为，用代入上式，得，因为，所以，，故．答：巨响发生在接报中心的西偏北距中心处．19. （1）由题意有解得，，从而，所以椭圆的标准方程为．由题意可得，直线的方程为，联立得．由，解得．所以直线的方程为，即．（2）如图，设圆的圆心为，由题意可得，，得．则半径，所以圆的方程为设，则由，得，化简得：联立解得：或．20. （1）由椭圆的方程，可得，，，即有，，，直线即：，即为，由，代入上式可得，到直线：的距离为，即有；（2）设，，：，代入椭圆方程可得，解得，，，则，即，即有为直角三角形；（3）设关于直线的对称点为，由，可得，连接，交直线即为，则到，的距离之和最小，且为，，由，可知以，为焦点的椭圆经过，此时椭圆的离心率取得最大，且为．。
2022-2023学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()2i 34i z +=-，则z =（ ）A ．2BC ．5D ．10【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据复数的模的计算公式计算即可. 【详解】解：因为()2i 34i z +=-，所以()()()()34i 2i 34i 211i 2i 2i 2i 55z ---===-++-，所以z =故选：B.2．已知直线l 1：4x +my +2=0和l 2：mx +y +1=0平行，则实数m =（ ） A ．2- B ．0C ．2D ．±2【答案】A【分析】由两直线平行的条件计算． 【详解】由题意240m -=，2m =±，2m =时，1l 方程是4220x y ++=，即210x y ++=，2l 的方程是210x y ++=，两直线重合，舍去，2m =-时，1l 方程可化为210x y -+=，2l 方程化为210x y --=，平行． 故选：A.3．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的焦距为 ）A ．y =B ．2y x =±C ．y =D ．12xy =±【答案】C【分析】由双曲线的性质根据焦距求得a ，从而可得渐近线方程．【详解】由题意224a +=，又0a >，故解得a =∴渐近线方程为22222y x x =±=±， 故选：C ．4．直线l 与直线3y x =关于直线1y x =+对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12 B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【分析】分别求出直线3y x =和直线1y x =+的倾斜角，再求出直线3y x =与直线1y x =+的夹角，再根据对称性即可得出答案.【详解】解：直线3y x =的倾斜角为π3，直线1y x =+的倾斜角为π4，则直线3y x =与直线1y x =+的夹角为πππ3412-=设直线l 与直线1y x =+的夹角为α，则π12α=， 所以直线l 的倾斜角为πππ4126-=. 故选：B.5．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V =16h （S +4S 0+S'），其中S ，S'分别是上､下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长､宽比下底长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（ ） （注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车【答案】B【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽，进而求出各个面的面积、体积以及重量，进一法求出所需要的车次.【详解】解：由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积188S =⨯，中截面积0199S =⨯，下底面积12010S =⨯，所以该建筑材料的体积为V =()1514114468420063⨯⨯++=立方米， 所以建筑材料重约514325732⨯=（吨）， 需要的卡车次为257464.25÷=，所以至少需要运65车. 故选：B6．已知,αβ均为锐角，且()()sin 2sin αβαβ+=-，则tan tan αβ=（ ） A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】D【分析】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解. 【详解】解：因为()()sin 2sin αβαβ+=-，所以sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβαβαβαβ+=-， 即3cos sin sin cos αβαβ=， 又,αβ均为锐角， 所以sin cos 3cos sin αβαβ=，即tan 3tan αβ=.故选：D.7．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D 3【答案】C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，即222224c a a a a =+-=，所以12c a =， 即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.8．在矩形ABCD 中，3,2,AB AD E ==为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF DA ⋅的最小值是（ ） A ．1 B ．1613 C ．85D ．4【答案】A【分析】分别以,AD AB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(2,)E m （03m ≤≤），设(2,)AF k AE k mk ==，由垂直求得k ，再计算DF DA ⋅得出关于m 的表达式，利用基本不等式可得最小值．【详解】分别以,AD AB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，(0,3)B ，(2,0)D ，(0,3)AB =，(2,0)AD =， E 在线段CD 上，设(2,)E m （03m ≤≤），(2,)AE m =， 设(2,)AF k AE k mk ==，则(2,3)BF AF AB k mk =-=-， 因为BF AE ⊥，所以4(3)0BF AE k m mk ⋅=+-=，234mk m =+， (22,)DF AF AD k mk =-=-，212(22,)(2,0)4444mDF DA k mk k m ⋅=-⋅-=-=-+， 0m =时，4DF DA ⋅=，03m <≤时，212121234442m m m m m m=≤=++⋅，当且仅当4m m =，即2m =时取等号， 此时DF DA ⋅取得最小值431-=． 综上，DF DA ⋅的最小值是1. 故选：A ．二、多选题9．甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如下图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3℃B ．乙城市日均气温的众数为24℃C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 【答案】BC【分析】观察统计图，根据极差、平均数、中位数以及众数的定义，逐个选项判断，可得答案. 【详解】对于A ，乙城市日均气温的极差=最高气温-最低气温，故所求气温的极差为25232-=，故A 错；对于B ，根据众数的定义，可得乙城市日均气温的众数为24℃，故B 正确；对于C ，对甲城市的气温进行排列：22C,22C,24C,24C,25C,25C,26C ，则中位数为：24C ，平均数为：22222424252526247++++++=，故C 正确；对于D ，从图中明显看出乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，故D 错； 故选：BC10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =x -2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为=1x -B ．点F 到直线lC ．∠AOB π2=D ．10AB = 【答案】AB【分析】根据抛物线方程求得准线、焦点，结合点到直线的距离公式、向量垂直、弦长等知识求得正确答案.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线为=1x -，A 选项正确. 直线:2l y x =-，即20x y --=，F 到20x y --=B 选项正确. 由224y x y x =-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩不妨设((4,4A B ++--，则((4416124124OA OB ⋅=++⋅--=-+-=-， 所以π2AOB ∠≠，C 选项错误.AB D 选项错误.故选：AB11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为侧面11BCC B 内一点，则（ ） A ．当1113C P C B =时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当11(01)C P C B λλ=<<时，四面体1D ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线11A B 的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分 D ．当1112C P C B =时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π【答案】BCD【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线线角的余弦值，进而求出正切值； B 选项，证明线面平行，进而得到，四面体1D ACP 的体积为定值；C 选项，先作出辅助线，得到11A B ⊥1B P ，PE ⊥平面ABCD ，故设出(),1,P m n ，利用1PB PE =列出方程，化简后得到轨迹方程，得到当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线11A B 的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确；D 选项，作出辅助线，找到球心，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到外接球的表面积. 【详解】如图1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()120,0,0,1,0,0,0,1,0,,1,33D A C P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()12,0,,1,0,033CP AD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，设异面直线CP 与AD 所成角为π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则13cos cos ,CP AD CP AD CP ADθ⎛ ⋅⎝====⋅故sin θ==tan 2θ=，A 错误；如图2，因为11//AB C D ，且11AB C D =， 所以四边形11ABC D 为平行四边形， 故11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ， 所以1//BC 平面1ACD ，故当点P 在1BC 上运动时，点P 到平面1ACD 的距离不变，即当11(01)C P C B λλ=<<时，四面体1D ACP 的体积为定值，B 正确； 如图3，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，连接1PB ， 因为11A B ⊥平面11BCC B ，1B P ⊂平面11BCC B ， 所以11A B ⊥1B P ，因为AB ⊥平面11BCC B ，EP ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥EP ，因为AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，设(),1,P m n ，01,01m n ≤≤≤≤，其中()11,1,1B ， 当1PB PE =时，()()()2221111m n n -+-+-=，整理得：()211122n m =-+，故当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线11A B 的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确； 如图4，当1112C P C B =时，P 为1BC 的中点，取BD 的中点Q ，BC 的中点N ，连接PN ，则PN //1CC ，故PN ⊥平面ABCD ，因为BC ⊥CD ，故三角形BCD 的外心为点Q ，则外接球球心O 在过点Q 且垂直于平面ABCD 的直线上，故OQ ⊥平面ABCD ，OQ //PN ，连接OP ，QN ，OB ，过点O 作OM //QN 交PN 于点M ，设四面体BCDP 的外接球的半径为R ， 则OB =OP =R ，12OM QN ==，OQ =MN ， 其中212QB PN ==，设OQ =MN =h ，则12PM h =-，由勾股定理得OB =OP ==0h =，故2R ==24π2πR =， 当1112C P C B =时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π，D 正确.故选：BCD.【点睛】立体几何求外接球的表面积或体积问题，要先找到一个特殊平面，一般为直角三角形，矩形或等边三角形，找到外心，从而找到球心的位置，设出未知数，再根据半径相等列出方程，求出半径，进而求出外接球的表面积或体积.12．过原点的直线l 与圆M ：2222160x y x y ++--=交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ） A ．弦AB 长的最小值为8B ．△MAB 面积的最大值为C ．圆M 上一定存在4个点到l 的距离为D ．A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线160x y --=上 【答案】ABD【分析】A 选项，由圆的几何性质得到当弦AB 与直线MO 垂直时，弦AB 长取得最小值，从而由垂径定理求出答案；B 选项，由三角形面积公式得到9sin ABMSAMB =∠，设C 是AB 中点，研究得到AMB ∠始终为钝角，且当C 点与原点重合，AMB ∠取得最小值，由二倍角公式和同角三角函数关系得到此时sin AMB ∠=，结合sin y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调性，求出面积最大值即可；C 选项，举出反例；D 选项，设出(),P s t ，求出故,,,M A B P 四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB 过原点，将原点代入后得到(),P s t 满足的方程.【详解】2222160x y x y ++--=变形为()()221118x y ++-=，圆心M 为()1,1-，半径r =因为()()22010118++-<，故原点O 在圆内，故当弦AB 与直线MO 垂直时，弦AB 长取得最小值，其中112MO =+=，故22221828AB r MO =-=⨯-=，A 正确； 由三角形面积公式得：1sin 9sin 2ABMSMA MB AMB AMB =⋅∠=∠ 设C 是AB 中点，故MC AB ⊥，当C 点与原点重合，弦长AB 最短，AMB ∠取得最小值， 此时AMC AMO θ∠=∠=，1cos 3OM R θ==， 故27cos 2cos 109AMB θ∠=-=-<，此时2742sin 199AMB ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭由7cos 09AMB ∠=-<求得AMB ∠取得最小值时为钝角，所以AMB ∠始终为钝角，因为sin y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当42sin 9AMB ∠=时，面积取得最大值，最大值为9sin 42AMB ∠=，B 正确；当弦AB 与直线MO 垂直时，圆心M 到直线l 的距离为112MO =+ 由于半径为32l 的左侧有2个点到直线l 的距离为22 在直线l 的右侧，只有1个点到直线l 的距离为2 此时圆M 上存在3个点到l 的距离为2C 错误； 设(),P s t ，则,,,M A B P 四点共圆，且MP 为直径，其中线段MP 的中点坐标为11,22s t -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即圆心坐标为11,22s t -+⎛⎫⎪⎝⎭， ()()221112s t ++- 故,,,M A B P 四点所在圆的方程为：()()222211111224s t x y s t -+⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=++- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，化简得：()()22110x s x y t y s t --+-+-+=①，2222160x y x y ++--=②，①－②得：()()11160s x t y s t -++--++=， 则直线AB 的方程为()()11160s x t y s t -++--++=， 又因为直线AB 过原点，将原点代入得：160s t -++=， 故A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线160x y --=上，D 正确. 故选：ABD【点睛】已知圆的方程为()()222x a y b r -+-=，()00,P x y 为圆上一点，则过点()00,P x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=；若()00,P x y 为圆外一点，则()()()()200x a x a y b y b r --+--=表示切点弦所在方程.三、填空题13．已知a >0，若圆(x －a )2+y 2=2与圆x 2+(y －a )2=8外切，则a =__________. 【答案】3【分析】由圆心距等于半径和求解．【详解】圆(x －a )2+y 2=2的圆心坐标为(,0)a ，圆x 2+(y －a )2=8的圆心坐标为(0,)a ，半径为3a =（因为0a >）， 故答案为：3.14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下： 9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18. 则这组数据的70百分位数是__________. 【答案】13【分析】利用百分位数的求法即可.【详解】1570%=10.5⨯，所以70百分位数是第11个数据为13. 故答案为：1315．设函数()2log 8a f x x x =+-（a >1）的零点为x 0，若x 0≥3，则a 的最小值为__________.【分析】根据()f x 的单调性和0x 的范围，可得到a 的不等式log 32a ≤，求解即可得到a 的最小值. 【详解】解：因为()2log 8a f x x x =+-()1a >，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，且03x ≥，所以823+log 3a ≥⨯，即2log 32=log a a a ≤，解得23a ≥，即a ≥16．已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，点P 的坐标为（2，1），动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，则F A +FB 的最小值是__________. 【答案】11【分析】由P A ⊥PB 得0PA PB ⋅=，从而推得()425ab a b =-+-，再由抛物线的定义推得24()4()12FA FB a b a b +=++++，从而利用换元法及配方法即可求得FA FB +的最小值.【详解】依题意，设()()224,4,4,4A a a B b b ，由于,A B 与P 不重合，则42,42a b ≠≠，即21,21a b ≠≠， 因为P A ⊥PB ，所以())2242,41(42,41PA PB a a b b ⋅=--⋅--4(21)(21)(21)(21)(21)(21)a b a a b b =--++-+-[](21)(21)4(21)(21)a b a b =--+++[](21)(21)42()50a b ab a b =--+++=，则()425ab a b =-+-， 由拋物线的定义可得()222222414144242FA FB a b a b a b +=+++=++=++24()82a b ab =+-+224()2[2()5]24()4()12a b a b a b a b =+--+-+=++++，设=+t a b ，则2214412411112FA FB t t t ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b t +==-时，等号成立，所以FA FB +的最小值为11. 故答案为：11.四、解答题17．在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②tan A =，③sin cos a B A =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,cos c B ==，且_________，求△ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】选①：根据正、余弦定理整理得1cos 2A =，进而可求角A 和sin C ，再运用正弦定理求b ，即可根据面积公式求面积；选②：根据余弦定理整理得sin A =A 和sin C ，再运用正弦定理求b ，即可根据面积公式求面积；选③：根据正弦定理整理得tan A =A 和sin C ，再运用正弦定理求b ，即可根据面积公式求面积. 【详解】因为cos B =B为三角形内角，则sin B ==选①：22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，展开得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为A 为三角形内角，故60A =， 所以()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin b cB C==，解得2b =， 所以ABC的面积11sin 2322S bc A ==⨯⨯=选②：tan Asin cos A A =sin A = 因为A 为三角形内角，故60A =或120，当60A =时，()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin b cB C==，解得2b =， 所以ABC的面积11sin 2322S bc A ==⨯⨯=当120A =时，()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==由正弦定理得sin sin b cB C==6b =，所以ABC 的面积11393sin 632222S bc A ==⨯⨯⨯=， 综上ABC 的面积为332或932. 选③：sin 3cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 3sin cos A B B A =， 因为B 为三角形内角，所以sin 0B ≠， 从而sin 3cos A A =，显然cos 0A ≠，所以tan 3A =， 因为A 为三角形内角，所以60A =. 所以()327121321sin sin sin cos cos sin 272714C A B A B A B =+=+=⨯+⨯=， 由正弦定理得sin sin b cB C=，即321321714b =，解得2b =， 所以ABC 的面积11333sin 232222S bc A ==⨯⨯⨯=. 18．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，D 是棱BC 上的点（不与点C 重合），1AD DC ⊥.(1)证明：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；(2)若12AC CC ==，求1CC 与平面1ADC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 5【分析】（1）首先由1CC 垂直底面得到1CC AD ⊥，又因为1AD DC ⊥，则由线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面11BCC B ，而AD ⊂面1ADC ，最终证明面1ADC ⊥面11BCC B ；（2）在平面11BCC B 中，作1CE DC ⊥于点E ，由AD ⊥平面11BCC B 得AD CE ⊥，又因为1CE DC ⊥，可得CE ⊥平面1ADC ，故1CC E ∠为1CC 与平面1ADC 所成的角，再利用等边三角形三线合一、勾股定理得到1,DC DC 的值，最终计算出其正弦值.【详解】（1）证明：在正三棱柱111ABC A B C 中，1CC ⊥平面ABC ， 因为AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥.又1AD DC ⊥，111CC DC C ⋂=，1CC ，1DC ⊂平面11BCC B ， 所以AD ⊥平面11BCC B . 又因为AD ⊂面1ADC ， 所以面1ADC ⊥面11BCC B .（2）在平面11BCC B 中，作1CE DC ⊥于点E .由（1）可知AD ⊥平面11BCC B ， 因为CE ⊂平面11BCC B ，所以AD CE ⊥， 又1CE DC ⊥，1ADDC D =，1,AD DC ⊂平面1ADC ，所以CE ⊥平面1ADC .因此1CC E ∠为1CC 与平面1ADC 所成的角.因为在正三棱柱111ABC A B C 中，ABC 为正三角形， 由AD ⊥平面11BCC B ，DC ⊂平面11BCC B ，得AD DC ⊥， 所以D 为BC 的中点，1DC =. 在Rt 1C CD 中，12222115sin 12DCDC C DC DC C C ∠====++15sin CC E ∠=， 所以1CC 与平面1ADC 5.19．已知圆M 过原点O ，圆心M 在直线1y x =-上，直线20x y +=与圆M 相切. (1)求圆M 的方程；(2)过点(0,4)P 的直线l 交圆M 于A ，B 两点.若A 为线段PB 的中点，求直线l 的方程. 【答案】(1)22(2)(1)5x y -+-= (2)0x =或512480x y +-=.【分析】（1）根据几何法得到圆心也在直线12y x =上，联立直线1y x =-求出圆心坐标，再计算出其半径OM 长，得出圆标准方程；（2）设点(,)A x y ，利用中点公式表示出(2,24)B x y -，将两点代入圆的方程，则求出点A 坐标，再计算出直线方程即可.【详解】（1）因为圆M 过原点O ，且与直线20x y +=相切， 所以圆心M 在直线12y x =上， 又圆心M 也在直线1y x =-上， 联立12y x =与1y x =-，解得2,1x y ==，故圆心(2,1)M ，所以半径r OM ==因此圆M 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.（2）设(,)A x y ，因为A 为线段PB 的中点，所以(2,24)B x y -.因为A ，B 在圆M 上，所以2222(2)(1)5(22)(25)5x y x y ⎧-+-=⎨-+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩或24134213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当(0,2)A 时，直线l 的方程为0x =；当2442,1313A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，424513241213l k -==-，故直线l 的方程为5412y x =-+，即512480x y +-=. 综上，直线l 的方程为0x =或512480x y +-=.20．某篮球场有A ，B 两个定点投篮位置，每轮投篮按先A 后B 的顺序各投1次，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分.设球员甲在A 点投中的概率为p ，在B 点投中的概率为q ，其中01p <<，01q <<，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响.已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13.(1)求p ，q 的值；(2)求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率. 【答案】(1)21,32p q ==(2)29.【分析】（1）根据甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13，列出方程，即可求出,p q .（2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况共3种，第一轮3分，第二轮5分；第一轮5分，第二轮3分；第一轮5分，第二轮5分；求出三种情况概率之和即可得到结果. 【详解】（1）由题意得()()()1116113p q p q ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21,32p q ==.（2）每轮投篮结束后，甲得分可能为0，2，3，5.记甲第一轮投篮得分为i 分的事件为()0,2,3,5i C i =，第二轮投篮得分为i 分的事件为()0,2,3,5i D i =，则()()i i P C P D =，,i i C D 相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，则355355E C D C D C D =++，且35C D ，53C D ，55C D 彼此互斥.易得()()332111326P C P D ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()()55211323P C P D ==⨯=，所以355355355355PE P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++（）（）（）（）（）11111126336339=⨯+⨯+⨯=. 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为29.21．已知圆A：22(16,(x y B +=，T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，1-）.问：是否存在直线l ，满足PM =PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)2214x y +=(2)存在，yx +2.【分析】（1）由椭圆定义确定轨迹是椭圆，然后求出,,a b c 得椭圆方程；（2）假设存在满足题意的直线，设出直线方程，代入椭圆方程后，由直线与椭圆相交得参数范围，设()()1122,,,M x y N x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，求出线段MN 的垂直平分线的方程，由P 点在这个垂直平分线求得参数值．【详解】（1）由条件得4QA QB QA QT AT r AB +=+===>=， 所以Q 的轨迹是椭圆，且24,2a c ==1b =， 所以C 的方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的直线l ，显然l 的斜率存在且不为0， 设():20l y kx k =+≠，由222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=， 则()222Δ(16)481464480k k k =-+=->，得234k >， 设()()1122,,,M x y N x y ， 则1221614kx x k -+=+，()1212244,14y y k x x k +=++=+又 所以MN 的中点坐标为2282,1414k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因此，MN 的中垂线方程为222181414k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 要使PM PN =，则点()0,1P -应在MN 的中垂线上， 所以2221811414k k k k --=-⋅++，解得25344k =>，故k = 因此，存在满足题意的直线l ，其方程为yx +2. 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查椭圆中存在性问题，解决存在问题的方法是先假设存在，在直线与椭圆相交时，设出直线方程，设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理，把这个结论代入题中其他条件求解．22．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为3，左､右顶点分别为M ，N ，点()1,1P -满足1PM PN ⋅=(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D .设直线MB ，MD 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值. 【答案】(1)2212y x -=；(2)证明见解析.【分析】（1）利用向量数量积列出方程，求出1a =，结合离心率求出3c =，从而得到2222b c a =-=，求出双曲线方程；（2）考虑直线斜率不存在，不合题意，当斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，求出直线OP 方程，表达出直线()11:11y AN y x x =--，联立求出D 点坐标，计算12k k ，将两根之和，两根之积代入，化简得到12k k 为定值.【详解】（1）由题意知()(),0,,0M a N a -，又()1,1P -， 所以()()1,1,1,1PM a PN a =-+-=+-， 由221PM PN a ⋅=-=，可得1a =， 又3==ce a，所以3c =，故2222b c a =-=， 所以双曲线C 的方程为2212y x -=； （2）因为()()1,0,1,1M P --，若直线l 的斜率不存在，则l 与双曲线C 仅有一个公共点M ， 不合题意，故l 的斜率存在，第 21 页 共 21 页 设l ：()11y k x -=+，联立()221112y k x y x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩得：()()222221230k x k k x k k --+---=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()21212222123,22k k k k x x x x k k +---+==--. 因为()1,1P -，故:OP y x =-，①又()()11,,1,0A x y N ， 所以()11:11y AN y x x =--，② 联立①②，解得111111,11y y D x y x y ⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭， 于是()()1112121212112111121111y x y y y y k k y x x y x x y -+-=⋅=-++-+++- ()()()()121121122211kx k kx k x kx k x ++++=-+++-+()()()()22121212121(1)211k x x k k x x k k x x x x +++++=-++++ ()()()()2222222221231(1)22212321122k k k k k k k k k k k k k k k k k +---⋅++⋅++--=-⎛⎫+---+++ ⎪--⎝⎭ ()()22222221(1)42222132112k k k k k k k k k k +-⋅+++-=-=-=-+⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭ 所以12k k 为定值.【点睛】直线与圆锥曲线结合，通常设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，或表达出直线斜率，三角形或四边形面积等，将两根之和，两根之积代入化简，进行解答.。
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(word版附答案)
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑n i ＝1x i 2－n －x2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是( )A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为( )A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是( )A ．－19B ．－18C ．19D ． 187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是( )A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为( )A ．6B ．7C ．8D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且AP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32（第5题图）O注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是( ) A. l ⊥α，l ⊥β B ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲ ．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.60.6，0.7] 频数 2 3 8 12 5（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.1，0.20.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.6] 频数 2 5 11 6 6 （1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，且∠P AB＝∠PDC＝90°．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）若点E，F分别是棱PD，BC的中点，求证：EF∥平面P AB．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3．（1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程．22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ① 若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；② 设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．参考答案一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD二、填空题： 13．4；4 14．22 15．131516．2 5 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分 因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ． ……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213． ……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513． ……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26． ………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55． ………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分 所以所求的概率约为1830＝0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6． ………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 —x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分 —x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m 3． ………… 12分 19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ，所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分 因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD 平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点， 所以EG ∥P A ．又EG 平面P AB ，PA 平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以 FG ∥BA ．又FG ⊥平面P AB ，AB ⊥平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ． …………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊥平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)．因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以 CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)．设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分| n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53，所以c a ＝53． ①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125． ② 联立①②，解得a ＝35，c ＝5， 从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1． ……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4． ……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆． 又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）① 若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4． …………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分② 因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
江苏省南京市2020-2021学年第一学期期中调研测试高二数学(含解析)
南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试 高 二 数 学 2020.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，准线为l ，则点F 到直线l 的距离为A ．12B ．1C ．2D ．42．已知向量a ＝(－2，3，－1)，b ＝(4，m ，n )，且a ∥b ，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝ A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 3．若sin θ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋π4)的值为A ．3B ．13 C ．－3D ．－134．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆C ：x29＋y2m＝1与双曲线T ：x 2－y2m＝1有相同的焦点，则双曲线T 的渐近线方程为 A ．y ＝±14x B ．y ＝±12xC ．y ＝±4xD ．y ＝±2x5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －4＝0与两坐标轴分别交于点A ，B ，圆C 经过A ，B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为A ．x 2＋y 2＋6y －16＝0B ．x 2＋y 2－6y －16＝0C ．x 2＋y 2＋8y －9＝0D ．x 2＋y 2－8y －9＝06．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 37．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，∠BAC ＝90°，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2，则线段AO 的长度为A ．292 B ．29 C ．232D ．23 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为A ．3－1B ．5－1C ．3＋1D ．5＋1 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 10．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x24＋y22＝1的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1B ．2C ．3D ．411．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是 A ．距离坐标为(0，0)的点有1个 B ．距离坐标为(0，1)的点有2个 C ．距离坐标为(1，2)的点有4个N（第11题）OMPl 2l 1 （第6题）C 1（第7题）ABCB 1OD ．距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则A ．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2B ．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C ．它的体积为523D ．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x ＋ay ＝0和直线l 2：2x －(a －3)y －4＝0，a ∈R ．若l 1与 l 2平行，则l 1与 l 2之间的距离为▲________． 14．在空间直角坐标系中，若三点A (1，－1，a )，B (2，a ，0)，C (1，a ，－2)满足(AB →－2AC →)⊥BC →，则实数a 的值为▲________．15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中P A ⊥平面ABC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，则四面体P ABC 的外接球的表面积为▲________．16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为▲________，溢流孔与桥拱交点A 的横坐．．（第12题）标．为▲________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在 ①sin(A －B )＝sin B ＋sin C ；②2a cos C ＝2b ＋c ；③△ABC 的面积S ＝34(a 2－b 2－c 2) 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，D 是边BC 上的一点，∠BAD ＝π2，且b ＝4，c ＝2，求线段AD 的长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆F ：(x －2)2＋y 2＝1，动圆M 与直线l ：x ＝－1相切且与圆F外切．（1）记圆心M 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）已知A (－2，0)，曲线C 上一点P 满足P A ＝2PF ，求∠P AF 的大小． 19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 中点． （1）求证：B 1A ∥平面C 1BD ；（2）若AA 1＝AB ＝3，BC ＝4，且AB ⊥BC ，求三棱锥B －B 1C 1D 的体积．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点A ，B 是直线x －y ＋m ＝0(m ∈R )与圆O 的两个公共点，点C 在圆O 上．DBB 1A 1（第19题）C 1AC（1）若△ABC 为正三角形，求直线AB 的方程；（2）若直线x －y －3＝0上存在点P 满足AP →·BP →＝0，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ，P A ＝AD ＝4， BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝2，→PE＝λ→PC (0≤λ＜1)． （1）若λ＝12，求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）设二面角B -AE -C 的大小为θ，若|cos θ|＝23417，求λ的值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0) 的左顶点与上顶点的距离为23，且经过点(2，2)． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 的中点．若椭圆上存在点N 满足ON→＝3MO →，求证：△PQN 的面积S 为定值．1【答案】B【考点】抛物线的定义【解析】由题意抛物线p 的几何意义为焦点到准线的距离，而该题中2p =2，所以p =1，故答案选B.2【答案】B【考点】空间向量共线的坐标运算（第21题）PABCDE（第22题图）【解析】由题意a ∥b ，则412432⨯-=-⨯=-n m ，，解得26=-=n m ，，所以m +n =－4；或利用空间向量共线定理可得a =λb ，即3×－2=m ，－1×（－2）=n ，解得26=-=n m ，，依旧有：m +n =－4，故答案选B.3【答案】D【考点】三角函数恒等变换公式的应用【解析】由题意()θθπθcos 2cos 2sin -=-=，则2tan -=θ， 所以tan(θ+π4 )=()()312121tan 1tan 1-=---+=-+θθ，故答案选D. 4【答案】D【考点】椭圆及双曲线的几何性质【解析】由题意9－m =1+m ，解得m =4，所以双曲线标准方程为1422=-y x ，则其渐近线方程为x x aby 2±=±=，故答案选D. 5【答案】A【考点】圆的标准方程及圆的性质【解析】由题意可解得A(4，0)，B(0，2)，且由圆心在y 轴上可设圆C 的圆心为(0，m )，因为圆C 经过A ，B ，所以|CA|=|CB|，即()r m m =-=+22224，化简解得m =－3，则圆C 的半径为5，所以圆C 的标准方程为()22253=++y x ，化为一般方程为：x 2＋y 2＋6y －16＝0 ，故答案选A.6【答案】D【考点】空间想象能力与椭圆的几何性质【解析】由题意可知椭圆的长轴长为Rt 三角形中的斜边，且一个直角边为底面直径，斜边与底面的夹角为60°，则解得长轴长为860cos 4=︒，而椭圆的短轴为底面的直径4，则椭圆的焦距为3424282222222=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=b a c ，故答案选D.7【答案】A【考点】空间向量基本定理（线性运算）、模长的求法【解析】由题意可知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，→→→→→+=+=121CB AC CO AC AO⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→121BB CB AC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→121AA AC AB AO ，则21241⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AA AC AB AO 22112122241241212121414141⋅+⋅=⋅+++⋅+++=→→→→→→→→→AA AC AA AB AC AB AA AC AB 42960cos 322160cos 3221341241241222=︒⋅⋅⋅+︒⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=，解得229=→AO ， 故答案选A.8【答案】C【考点】双曲线的几何性质应用：求离心率【解析】由题意可知|OF |=c ，由四边形OFMN 为菱形，可得|MN |=|OF |=c ，设点M 在F 的上方，可知M 、N 关于y 轴对称，可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-232c c M ，，代入双曲线方程可得：12322222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b c a c ，又由222c b a =+，化简可得0842244=-+c a a c ，方程两边同除4a ，可得8424=-+e e ，解得3242+=e ，因为1>e ，解得324+=e ()13312+=+=，故答案选C.9【答案】BC【考点】立体几何的位置关系：平行与垂直【解析】由题意，对于A 选项，β⊂m 也可以满足，选项A 错误；对于B 选项，可由线面垂直的性质定理证明，选项B 正确；对于C 选项，可由面面垂直的判定定理证明，选项C 正确；对于D 选项，α与β可以是任意关系：平行、垂直、相交，选项D 错误.故答案选BC.10【答案】ABC【考点】椭圆的几何性质：焦点三角形【解析】由题意，c =2，2a =4，由椭圆的定义可得：AF 1＋AF 2＝4，则有： ①若221π=∠AF F ，则有()()()222212c AF AF =+，联立解得AF 1＝2；②若221π=∠F AF ，则有()()()222212AF c AF =+，联立解得AF 1＝1；③若212π=∠F AF ，则有()()()212222AF AF c =+，联立解得AF 1＝3；故答案选ABC.11【答案】ABC【考点】直线与直线的位置关系及对称问题【解析】由题意，对于A 选项，距离坐标(0，0)的点是l 1与l 2的交点，即点O ，只有一个，选项A 正确；对于B 选项，距离坐标为(0，1)的点分别在l 2上方和下方，有2个点，选项B 正确；对于选项C ，距离坐标为(1，2)的点可由距离l 1为1的直线有两条，距离l 2为2的直线有两条，其四条直线共有4个交点，可满足题意，选项C 正确；对于D 选项，距离坐标为(x ，x )的点在l 1与l 2的角平分线上，有两条直线满足，选项D 错误.故答案选ABC.12【答案】ACD【考点】空间几何体的体积、外接球半径的计算、空间角的计算 【解析】由题意该立方八面体可看作是由棱长为2的立方体切去8个角得到，则呈现完全对称性，且外接球的球心为该立方八面体的中心，由勾股定理可得外接球半径为1，则直径为2，即选项A 、D 正确；对于选项B ，棱A 2A 3与B 2C 3不共面，则A 2A 3与B 2C 3所成的角即为A 2A 3与B 2A 3所成的角，可得为60°，所以选项B 错误；对于选项C ，该立方八面体的体积可利用割补法解得=V ()3252221318223=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-，选项C 正确.故答案选AC D.13【答案】2【考点】平行直线的判断及两平行线间的距离公式【解析】由题意可得－(a －3)×1=2a ，解得a =1，则直线l 1：x ＋y ＝0，直线l 2：x +y －2＝0，由平行线距离公式得222==d . 14【答案】29-【考点】空间向量得坐标运算【解析】由题意()a a AB -+=→，，11，()a a AC --+=→210，，，()201--=→，，BC ，所以()()()0924212014112=--=+--=--⋅+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→a a a a BC AC AB ，，，，，解得29-=a . 15【答案】4π【考点】立体几何中三棱锥的外接球【解析】由题意∠ACB =90°，则取PB 的中点为点O ，可得OA=OB=OP=OC ，即O 为球心，则其半径121212122222=++=+==BC AC PA AB PA PB R ，则其表面积ππ442==R S .另解：可把该三棱锥补成长宽高分别是1，2，1的长方体，则其体对角线为外接球的直径可求得()πππ412142222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++==R S .16【答案】()214365--=x y ；13140 【考点】抛物线的实际问题【解析】由题意可知拱桥为以原点为顶点的抛物线，且经过点C (20，－5)，可设拱桥所在抛物线的方程为2ax y =，带入点C 可解得801-=a .而溢流孔ABC 是以点B (14，0)可解得为顶点的抛物线，也经过点C (20，－5)，则设溢流孔ABC 所在抛物线的方程为()214-=x b y ，代入点C 可解得365-=b ，所以溢流孔ABC 所在抛物线的方程为()214365--=x y 。
2019-2020江苏南京市高二上学期期中考试数学试卷及答案
x1
1 30
(2
0.25
3
0.35
8
0.45
12
0.55
5
0.65)
0.5
；
该家庭使用了节水龙头后 30 天日用水量的平均数为
x2
1 30
(2 0.15 5 0.25 11 0.35
6 0.45
6 0.55)
0.38
；
x1 x2 0.5 0.38 0.12 . 因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为 0.12m3 . 19、证明：（1）在四棱锥 P ABCD 中， 因为 PAB PDC 90 ，所以 AB PA, DC PD . 又因为四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，所以 AB / /DC ， 所以 AB PD . 因为 PA PD P, PA, PD 平面 PAD ，所以 AB 平面 PAD . （2）如图，取 AD 的中点 G ，连 EG, GF .
8
7．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P 1, 2 ，且被圆 O ： x2 y2 9 截得的弦
长为 4 2 ，则直线 l 的方程为（ ） A． 3x 4 y 5 0
B． 3x 4y 11 0
C． x 1 或 3x 4 y 5 0
D． x 1 或 3x 4y 11 0
12．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两个定点 F1(1, 0) 和 F2 (1, 0) 的距离之积等
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于 8，记点 P 的轨迹为曲线 E ，则（ A．曲线 E 经过坐标原点 C．曲线 E 关于 y 轴对称
）
B．曲线 E 关于 x 轴对称
D．若点 x, y 在曲线 E 上，则 3 ≤ x ≤ 3
江苏省南京市鼓楼区高二数学上学期期中试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是．2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．3．双曲线﹣=1的实轴长为．4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是．5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是．6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有条公切线．7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为．8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值X围是．9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值X围为．12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值X围是．13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值X围是．14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是．二、解答题15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值X围．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）某某数a的取值X围及直线l的方程；（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，某某数a的取值X 围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．2015-2016学年某某省某某市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是6π．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】求出圆的半径，即可求解圆的周长．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，圆的半径为：3．圆的周长为：6π．故答案为：6π【点评】本题考查圆的方程的应用，是基础题．2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7 ．【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：7【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．3．双曲线﹣=1的实轴长为 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程﹣=1中，由a2=9，能求出双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线方程﹣=1中，∵a2=9，∴双曲线的实轴长2a=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线的实轴长的求法，考查计算能力．4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是x+．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；直线与圆．【分析】点是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为求得圆的切线方程．【解答】解：∵把点代入圆x2+y2=4成立，∴可知点是圆x2+y2=4上的一点，则过的圆x2+y2=4的切线方程为，即x+．故答案为：x+．【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为，此题是基础题．5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是（5，2）．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，联立，解得．故答案为：（5，2）．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有 2 条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数．【解答】解：∵圆C1：（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r1=2，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径r2=3，|C1C2|=，∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，∴圆C1：（x+2）2+y2=4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交，∴公切线有2条．故答案为：2．【点评】本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为y2=﹣4x或x2=y ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），解方程可得m，n，进而得到抛物线的标准方程．【解答】解：由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），可得4=﹣m或1=2n，解得m=﹣4或n=，则抛物线的方程为y2=﹣4x或x2=y．故答案为：y2=﹣4x或x2=y．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算能力，属于基础题．8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值X围是1＜k＜3 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接由题意可得5﹣k＞k﹣1＞0求得k的X围得答案．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴5﹣k＞k﹣1＞0，∴1＜k＜3．故答案为：1＜k＜3．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值X围为[﹣2，2）∪{2} ．【考点】曲线与方程．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；综合法．【分析】由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）有公共点，当直线过点A（2，0）时，求得 b的值；当直线和半圆相切于点B时，根据圆心到直线的距离等于半径求得b的值，数形结合从而得到b的取值X围．【解答】解：由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）恰有1个公共点，如图所示：当直线过点A（2，0）时，可得0=2+b，求得b=﹣2．当直线和半圆相切于点B时，由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得b=2，或b=﹣2（舍去），故b的取值X围是[﹣2，2）∪{2}，故答案为：[﹣2，2）∪{2}．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值X围是[﹣1，]．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合法；直线与圆；不等式．【分析】直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直；求出k再求m，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，∴k=1，圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心的横坐标为=，圆心坐标（，）在直线x+y=0上，∴m=﹣1，即不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义为区域内的点（a，b）到定点）D（2，﹣2）的斜率，由图象知，OD的斜率最小，此时z=﹣1，BD的斜率最大，此时B（﹣1，0），则z==，即﹣1≤≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线和圆的位置关系求出k，m的值，以及利用数形结合是解决本题的关键．13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值X围是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的X围，即为离心率e的X围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的X围．【解答】解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得： ++2≥0，为任意实数；由②得： +3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值X围是[，1）．故答案为：[，1）【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是x2﹣y2=1 ．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得B的坐标，进而可得线段AB的中点M的坐标，消去a，即可得到结论．【解答】解：设A（a，a+1），则直线AE的方程为y=（x﹣1），与直线l2：x+y+1=0联立，可得B（，﹣﹣1），设M（x，y），则x=（a+），y=（a﹣），消去a，可得x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查曲线方程，考查学生的计算能力，正确求出B的坐标是关键．二、解答题15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，⇒b2=3，∴所求椭圆的标准方程为．（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．∴，，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出半径，即可求出圆C的方程．（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1，当l的斜率不存在时，l：x=3成立；若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，求出k，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，r=2，∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4；（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1当l的斜率不存在时，l：x=3成立，若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，得=1，解得k=﹣，∴l：12x+5y﹣31=0．综上，直线l的方程为x=3或12x+5y﹣31=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】先设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=7x+12y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．【解答】解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为，目标函数为z=7x+12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x+12y=t，当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点B（20，24）时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max=7×20+12×24=428（万元）．【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值X围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；设而不求法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x，只需证明f（x）有解即可；（2）设出交点坐标，利用根与系数得关系表示出x1+y1和x1•x2，带入弦长公式得到关于a 得函数．求此函数的最值．【解答】解：（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x=﹣x2+（a﹣2）x+，则△=（a﹣2）2+2≥2．∴f（x）有两个不相等的实数根．∴抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x相交．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+y1=a﹣2，x1•x2=﹣．∴|AB|===．∵a∈（1，4），∴2≤（a﹣2）2+2＜6．∴≤|AB|＜．【点评】本题考查了二次函数零点的存在性判断，弦长公式应用，设而不求是常用方法之一．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）某某数a的取值X围及直线l的方程；（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，某某数a的取值X 围．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】方程思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，点与圆的位置关系即可求出a的取值X围；（2）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，某某数a的取值X围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k==﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．（2）设P（x，y），由|PM|=|PN|，可得=•，化简可得，x2+（y+5）2=12，即为P的轨迹为圆心（0，﹣5），半径为2的圆．据题意：两个圆相交：|﹣2|＜＜+2，解得﹣57﹣20＜a＜﹣57+20，且﹣57+20＜3，则实数a的取值X围是（﹣57﹣20，﹣57+20）．【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查点与圆及圆与圆的位置关系，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意得，从而解椭圆的方程；（2）由题意作图辅助，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），设直线PN：y=kx ﹣8k，从而联立化简可得（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，从而可得x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），从而可得=，从而化简d=+x1===2．【解答】解：（1）由题意得，，解得，a=4，c=2，故b=2；故椭圆的方程为+=1；（2）证明：由题意作图象右图，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），易知直线PN的斜率存在，设直线PN：y=kx﹣8k，联立方程得，，化简可得，（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，故x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），则=，即，d=+x1=+x1====2；故直线ME与x轴相交于定点（2，0）．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及数形结合的思想应用，关键在于化简运算．。
2023-2024学年江苏省南京市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有20件，则样本容量n 为（ ） A ．50B ．80C ．100D ．2002．已知复数z 0＝3+i ，其中i 为虚数单位，复数z 满足zz 0＝3z +z 0，则z ＝（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3+iD ．3﹣i3．已知圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0的公共弦所在直线与x 轴垂直，则实数a 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．44．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径（直径）一尺四寸，底径（直径）六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），则平地降雨量为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知cos x +sin x =√23，则sin2xcos(x−π4)=（ ）A ．−716B ．−7√26C ．−76D ．−736．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为其右支上一点，连接PF 1交y 轴于点Q ，若△PQF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√57．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x +4y +1＝0上一点．若向量a →=（3，4），则向量OP →在向量a →上的投影向量为（ ） A ．−15B ．（−35，−45）C ．（−325，−425）D ．无法确定8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）．若∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），且f （x ）在（0，π）上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（0，32]B ．（34，32]C ．（34，94]D ．（32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ） A ．众数是22 B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ（x ），音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f （x ）＝sin x +12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g （x ）=32sin ωx （ω＞0），则下列说法正确的有（ ） A ．纯音乙的响度与ω无关 B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3）为抛物线C 上的任意三点（异于O 点），FA →+FB →+FD →=0→，则下列说法正确的有（ ） A ．设A ，B 到直线x ＝﹣1的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＜AB B ．F A +FB +FD ＝6 C ．若F A ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB+1k AD+1k BD=012．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有（ ） A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ=2√23C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC =π2，则EB 的最小值为3√5−3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （2，√3）和N （4，0），点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为 ．14．在△ABC 中，AB ＝3√6，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD＝ ．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为 ． 16．已知向量a →=（1，√3），b →=（1，0），|a →−c →|=12，则向量b →，c →最大夹角的余弦值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t （x ∈R ）的最大值为√22． （1）求f （x ）的解析式； （2）若∀x ∈[π12，π2]，f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的最小值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，且圆C 与x 轴相切，直线l 1：x ﹣ay ＝0（a ∈R ），D （6，0）．（1）若直线l 1与圆C 相切，求a 的值；（2）若直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3，且DA ＝DB ，求圆C 的方程．19．（12分）如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0～9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），抛掷这个骰子，并记录下朝上一面（与地面或桌面平行）的数字．记事件A 1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A 2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A 3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”． （1）求P （A 1），P （A 2）；（2）判断事件A 1A 2与事件A 3是否相互独立，并说明理由．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB →•AC →=b 2−12ab ． （1）求角C 的大小； （2）若△ABC 的面积为√32，且CM →=2MB →，AN →=3NM →，求|CN →|的最小值． 21．（12分）如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABB 1=π2，∠B 1BC =π3． （1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为2√3，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A （2，﹣1），且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有20件，则样本容量n 为（ ） A ．50B ．80C ．100D ．200解：由题意可知，n •22+3+5=20，解得n ＝100．故选：C ．2．已知复数z 0＝3+i ，其中i 为虚数单位，复数z 满足zz 0＝3z +z 0，则z ＝（ ） A ．1﹣3iB ．1+3iC ．3+iD ．3﹣i解：z 0＝3+i ，zz 0＝3z +z 0， 则z （z 0﹣3）＝z 0， 故z =3+ii=1−3i ． 故选：A ．3．已知圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0的公共弦所在直线与x 轴垂直，则实数a 的值为（ ） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4解：圆C 1：x 2+y 2﹣x ﹣ay ＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +2＝0， 两个方程相减，得到公共弦所在直线方程为：x +（4﹣a ）y ﹣2＝0， 公共弦所在直线与x 轴垂直，则4﹣a ＝0，a ＝4． 故选：D ．4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径（直径）一尺四寸，底径（直径）六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），则平地降雨量为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为7寸，下底面半径为3寸，高为12寸． ∵积水深6寸，∴水面半径为12（7+3）＝5寸，则盆中水的体积为13π×6×（32+52+3×5）＝98π（立方寸）．∴平地降雨量等于98ππ×72=2（寸）．故选：B ．5．已知cos x +sin x =√23，则sin2xcos(x−π4)=（ ）A ．−716B ．−7√26C ．−76D ．−73解：因为cos x +sin x =√23，两边平方得1+2sin x cos x =29，即sin2x =−79， 又cos （x −π4）=√22（cos x +sin x ）=√22×√23=13，则sin2x cos(x−π4)=−7913=−73．故选：D ． 6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为其右支上一点，连接PF 1交y 轴于点Q ，若△PQF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5解：设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ， ∴|PF 1|﹣|PF 2|＝x ＝2a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝16a 2+4a 2﹣2×4a ×2a ×12， ∴c =√3a ， ∴e =ca =√3． 故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x +4y +1＝0上一点．若向量a →=（3，4），则向量OP →在向量a →上的投影向量为（ ） A ．−15B ．（−35，−45）C ．（−325，−425） D ．无法确定解：设OP →=(x ，y)，由于点P 是直线3x +4y +1＝0上任意一点， 则OP →⋅a →=3x +4y =−1，a →=（3，4），则|a →|=√32+42=5，故向量OP →在向量a →上的投影向量为：OP →⋅a →|a →|×a→|a →|=−125a →=(−325，−425)．故选：C ．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）．若∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），且f （x ）在（0，π）上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A ．（0，32]B ．（34，32]C ．（34，94]D ．（32，94]解：由于∀x ∈R ，f （x ）≤f （π3），故f(π3)=sin(π3ω+φ)=1，整理得π3ω+φ=π2+2kπ，（k ∈Z ），所以φ=π2+2kπ−π3ω（k ∈Z ）， 由于ω＞0，0＜x ＜π； 所以−π3ω＜ωx −π3ω＜2π3ω，由于f （x ）在（0，π）上恰有1个零点， 所以{−3π2≤−π3ω＜−π20＜2π3ω≤π2，无解； {−π2≤−π3ω＜0π2＜2π3ω≤3π2，解得34＜ω≤32． 故实数ω的取值范围为(34，32]． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ）A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：20，22，22，22，24，26，26，28，32，78； 所以这组数据的众数是22，选项A 正确； 80百分位数是12×（28+32）＝30，选项B 错误；平均数是110×（20+22+22+22+24+26+26+28+32+78）＝30，选项C 正确；前4个数据是20，22，22，22，平均数是21.5，方差是14×（2.25+0.25+0.25+0.25）=34；后4个数据是26，28，32，78，平均数是41，方差是14×（225+169+81+1369）＞34；选项D 正确．故选：ACD ．10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ（x ），音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f （x ）＝sin x +12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g （x ）=32sin ωx （ω＞0），则下列说法正确的有（ ） A ．纯音乙的响度与ω无关 B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大解：音的响度与φ（x ）的最大值有关，最大值越大，响度越大，响度与A 有关，A 正确； 音调与φ（x ）的最小正周期有关，T =2πω，即音调与ω有关，B 错误； C 项，音调与φ（x ）的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉， 若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲的周期比纯音乙的周期大， 又复合音甲的周期为2π，则对于g （x ），需ω＞1，正确；D 项，若f （x ）＝sin x +12sin2x 其最大值为32，必有sin x ＝1，sin2x ＝1，这样的x 是不存在的，则复合音甲的响度与纯音乙的响度不会一样大，错误． 故选：AC ．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3）为抛物线C 上的任意三点（异于O 点），FA →+FB →+FD →=0→，则下列说法正确的有（ ） A ．设A ，B 到直线x ＝﹣1的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2＜ABB ．F A +FB +FD ＝6C ．若F A ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB+1k AD+1k BD=0解：A 中，由题意可得d 1+d 2＝F A +FB ≤AB ，当A ，F ，B 三点共线时取等号，所以A 不正确； B 中，因为FA →+FB →+FD →=0→，则（x 1﹣1）+（x 2﹣1）+（x 3﹣1）＝0，即x 1+x 2+x 3＝3， 所以F A +FB +FC ＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝x 1+x 2+x 3+3＝6，所以B 正确； C 中，若F A ⊥FB ，则FA →•FB →=0，且F A 2+FB 2＝AB 2，又因为FA →+FB →+FD →=0→，则FD →2＝（−FA →−FB →）2=FA →2+FB →2+2FA →•FB →=FA →2+FB →2=AB →2，即FD ＝AB ，所以C 正确；D 中，由FA →+FB →+FD →=0→，则y 1+y 2+y 3＝0，x 12=y 124，x 22=y 224，x 3=y 324， 则1k AB+1k AD+1k BD=x 1−x 2y 1−y 2+x 1−x 3y 1−y 3+x 2−x 3y 2−y 3=y 124−y 224y 1−y 2+y 124−y 324y 1−y 3+y 224−y 324y 2−y 3=2(y 1+y 2+y 3)4=0，所以D 正确．故选：BCD ．12．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有（ ） A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ=2√23C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC =π2，则EB 的最小值为3√5−3解：因为长方体中，平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故D 1E ⊂平面DD 1C 1C ， 又点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，所以E ∈C 1C ，故A 正确；在长方体中，D 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以∠B 1EC 1即为θ，此时tanθ=B 1C 1C 1E =8C 1E ≥862=2√23， 当且仅当E 与B 重合时取等号，故B 正确；不妨设BE ＝x ，则CE 2＝x 2+36，D 1E 2=(x −6)2+100，在三角形D 1EC 中，由余弦定理得cos ∠D 1EC =CE 2+D 1E 2−D 1C22CE⋅D 1E=x 2+36+(x−6)22√x 2+36⋅√(x−6)+1000，故C 错误；因为∠D 1EC =π2，所以E 在以D 1C 为直径的球上．设D 1C 中点为M ，则M 为球心． 此时M 到面BB 1C 1C 的距离为4，又因为球直径为6，所以面BB 1C 1C 被球截得的圆的半径为3，且M 与CC 1中点N 所在直线垂直面BB 1C 1C ， 即E 在以CC 1中点N 为圆心，3为半径的圆上．又BN =√62+32=3√5，因此EB 最小值为3√5−3，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （2，√3）和N （4，0），点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为 （12，0） ．解：设Q （a ，0），则MQ 的斜率k 1=√3−02−a=√32−a，因为直线MN 的斜率k 2=√3−02−4=−√32，且直线MQ 与MN 互相垂直，所以k 1k 2=√32−a ⋅(−√32)=−1，解得a =12，故点Q 的坐标为（12，0）．故答案为：（12，0）．14．在△ABC 中，AB ＝3√6，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝ 14 ．解：在三角形ABC 中，因为∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，所以∠ACB ＝60°， 则由正弦定理可得：ACsin∠ABC=AB sin∠ACB，即AC =3√6⋅√22√32=6，在三角形ACD 中，∠ACD ＝180°﹣∠ACB ＝120°，则由余弦定理可得：AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD =√196=14． 故答案为：14．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为 49．解：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开， 则能在11；00﹣14；30看演出，故上午能看演出的概率为13，记为P （A ）=13，下午能看演出的概率为16，记为P （B ）=16，他当天能观看到演出的概率P ＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ） =13×13+13×56+23×16=49． 故答案为：49．16．已知向量a →=（1，√3），b →=（1，0），|a →−c →|=12，则向量b →，c →最大夹角的余弦值为 √15−√38．解：根据题意设c →=(x ，y)，可得a →−c →=(1−x ，√3−y)，所以|a →−c →|2=(1−x)2+(√3−y)2=14，设向量b →，c →夹角为θ，则cosθ=b →⋅c →|b →||c →|=x1×√x +y =√x 2x 2+y 2=√11+(y x)2， 设k =y x ，得y ＝kx ，代入(1−x)2+(√3−y)2=14，整理得(1+k 2)x 2−(2+2√3k)x +154=0， 由Δ≥0，得(2+2√3k)2−4(1+k 2)×154≥0，即3k 2−8√3k +11≤0，解得4√3−√153≤k ≤4√3+√153， 所以当k =4√3+√153时，(y x )2有最大值7+8√53，此时cos θ有最小值√18+8√53=√912(6+25)=3√12(√5+1)=√15−√38，由于θ∈[0，π]，可知cos θ最小时角θ最大，所以b →、c →最大夹角的余弦值为√15−√38． 故答案为：√15−√38． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t （x ∈R ）的最大值为√22． （1）求f （x ）的解析式；（2）若∀x ∈[π12，π2]，f （x ）﹣m ≤0，求实数m 的最小值．解：（1）f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x +t =12sin2x −1−cos2x 2+t =√22sin （2x +π4）−12+t ≤√22−12+t =√22， 当2x +π4=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π8+k π，k ∈Z 时取等号； 解得t =12， 即f （x ）=√22sin （2x +π4）；（2）∀x ∈[π12，π2]，所以2x +π4∈[512π，34π]，所以sin （2x +π4）∈[√22，1]， 即f （x ）∈[12，√22]， 因为f （x ）﹣m ≤0，所以m ≥f （x ）max =√22．即实数m 的最小值为√22．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，且圆C 与x 轴相切，直线l 1：x ﹣ay ＝0（a ∈R ），D （6，0）．（1）若直线l 1与圆C 相切，求a 的值；（2）若直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3，且DA ＝DB ，求圆C 的方程．解：（1）因为圆C 的圆心在l ：x ﹣2y ＝0上，所以设圆心C （2m ，m ）， 由直线l 1与圆C 相切，所以√1+a 2=|m |，显然m ≠0，所以√1+a 2=1，解得a =34；（2）因为直线l 1与圆C 相交于A ，B 两点，将圆C 分成的两段弧的弧长之比为1：3， 所以可得√1+a 2=√22|m |，所以√1+a 2=√22，整理得a 2﹣8a +7＝0，解得a ＝7或a ＝1， 又DA ＝DB ，所以D 在AB 的垂直平分线上，又AB 的垂直平分线过圆心， 所以m−02m−6×1a=−1，当a ＝7时，m−02m−6=−7，解得m =145，所以圆C 的方程为（x −285）2+（y −145）2=19625，当a ＝1，m−02m−6=−1，解得m ＝2，所以圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4．综上所述：圆C 的方程为（x −285）2+（y −145）2=19625或（x ﹣4）2+（y ﹣2）2＝4．19．（12分）如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0～9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），抛掷这个骰子，并记录下朝上一面（与地面或桌面平行）的数字．记事件A 1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A 2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A 3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”． （1）求P （A 1），P （A 2）；（2）判断事件A 1A 2与事件A 3是否相互独立，并说明理由．解：（1）第一次抛出数字为a i ，第二次抛出数字为b i ，用数对（a i ，b i ）表示， 则所有的基本事件为（0，0），（0，1），……，（9，9）共100个，事件A 1包括（8，9），（9，8），（9，9）共3个基本事件，所以P(A 1)=3100．事件A 2表示抛出骰子两次，一次为奇数，另一次为偶数，则共有C 21C 51C 51=50个基本事件，可得P(A 2)=50100=12； （2）根据题意，可得P(A 1A 2)=2100=150，P(A 3)=C 51C 101100=12，且P(A 1A 2A 3)=1100，P(A 1A 2)P(A 3)=150×12=1100，所以P （A 1A 2A 3）＝P （A 1A 2）P （A 3）成立，可知A 1A 2与A 3相互独立．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB →•AC →=b 2−12ab ． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为√32，且CM →=2MB →，AN →=3NM →，求|CN →|的最小值．解：（1）因为AB →⋅AC →=b 2−12ab ，所以bcosA =b 2−12ab ，由余弦定理得bc ×b 2+c 2−a 22bc =b 2−12ab ， 化简得b 2+a 2−c 22ab =12，所以cosC =12，因为C 为△ABC 内角，所以C =π3．（2）因为S △ABC =12absinC =√32，所以ab ＝2， 因为CM →=2MB →，AN →=3NM →，所以CN →=CA →+AN →=CA →+34AM →=CA →+34(CM →−CA →)=14CA →+34CM →=14CA →+12CB →，从而|CN →|2=(14CA →+12CB →)2=116b 2+14a 2+14CA →⋅CB →， =116b 2+14a 2+14≥2√116b 2×14a 2+14=34， 当且仅当116b 2=14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以|CN →|的最小值为√32． 21．（12分）如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABB 1=π2，∠B 1BC =π3． （1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1=π2，AB ＝BB 1＝1， 所以AB 1=√2，在△BCB 1中，∠B 1BC =π3，BC ＝BB 1＝1， 所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1=√2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12=AC 2+B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ，又因为在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ， （2）解：连接AB 1，A 1B 交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1， 因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1，由（1）知B 1C ⊥A 1C 1，又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面 A 1BC 1因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ，因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1，又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面 AB 1C ， 因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ，又因为A 1B ∩AB 1＝O ， A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1， 所以∠CBO 为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1=π2，所以BO =√22． 因为BC ＝1，所以cos ∠CBO =√22，所以∠CBO =π4， 所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为2√3，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A （2，﹣1），且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由． 解：（1）已知椭圆C 的焦距为2√3， 所以2c ＝2√3，①因为椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→•BF 2→=−2， 所以b 2﹣c 2＝﹣2，② 又a 2＝b 2+c 2，③联立①②③，解得a ＝2，b ＝1， 则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）不妨设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2）﹣1，M （x 1，y 1） N （x 2，y 2），联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1，消去y 并整理得（4k 2+1）x 2﹣8k （2k +1）x +16k （k +1）＝0， 由韦达定理得x 1+x 2=8k(2k+1)4k 2+1，x 1x 2=16k(k+1)4k 2+1，易知直线BM 的方程为y =y 1−1x 1x +1， 所以y P =4(y 1−1)x 1+1， 同理得y Q =4(y 2−1)x 2+1， 则y P +y Q =4(y 1−1)x 1+1+4(y 2−1)x 2+1 =2+4[2k −2(k +1)x 1+x2x 1x 2]=2+4[2k −2(k +1)8k(2k+1)16k(k+1)]=−2，故存在G （4，﹣1），使得P ，Q 关于点G （4，﹣1）对称．。
江苏省南京市鼓楼区高二上学期期中考试数学文试卷
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的标准方程为．2．命题“∃x∈，x2﹣3x+1＜0”的否定是．3．双曲线﹣=1的焦点坐标是．4．过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是．5．已知点P在椭圆+=1上，它到上准线的距离4，则它到下准线的距离为．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8．已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．9．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为．10．双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是．11．圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是．12．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．16．（14分）（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且过两点A （2，0），B （0，﹣4）的圆的方程．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）求过点P （﹣1，2）与圆相切的直线I的方程；（2）直线m过点P （﹣1，2），与圆C交于AB两点，且AB=，求直线m的方程．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．己知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．20．（16分）如图，已知椭圆+y2=1的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P是直线L：y=﹣2上的一个动点（P不在y轴上），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过点A时，求△ABP的面积；（2）求证：△MBP为直角三角形；（3）以A，B为焦点，且过点P的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．圆心为（1，1），且经过点（2，2）的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=R2，由圆经过点（2，2）得R2=2，从而所求方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【点评】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．2．命题“∃x∈，x2﹣3x+1＜0”的否定是∀x∈，x2﹣3x+1≥0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈，x2﹣3x+1＜0”的否定是：∀x∈，x2﹣3x+1≥0．故答案为：∀x∈，x2﹣3x+1≥0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．双曲线﹣=1的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）．【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，由c=，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．【解答】解：双曲线﹣=1的a2=4，b2=5，c==3，可得双曲线的焦点坐标为（﹣3，0），（3，0）．故答案为：（﹣3，0），（3，0）．【点评】本题考查双曲线的焦点坐标，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．4．过点（2，﹣2）开口向右的抛物线的标准方程是y2=2x．【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求．【解答】解：设抛物线的标准方程为y2=2px，将点（2，﹣2）代入可得p=1，故抛物线的标准方程为y2=2x；故答案为：y2=2x．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．5．已知点P在椭圆+=1上，它到上准线的距离4，则它到下准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：椭圆+=1，可得a=5，b=4，c==3，∴准线方程为：y=±．∴点P到下准线的距离=﹣4=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】点在直线上方，点的坐标代入方程，有﹣4﹣3t+6＜0，求出t的取值范围．【解答】解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞【点评】本题考查点与直线的位置关系，是基础题．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合充分必要条件的定义，分别对充分性，必要性进行判断即可．【解答】解：“这两个三角形全等”能推出“这两个三角形面积相等”，是充分条件，“这两个三角形面积相等”推不出“这两个三角形全等”，不是必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．已知椭圆的两个焦点分别是点F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项，则该椭圆方程是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】F1F2是PF1和PF2的等差中项，可得2F1F2=PF1+PF2，再利用椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵F1F2是PF1和PF2的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，∴2×2c=2a，解得=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2015•河南一模）在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先画出不等式组（a为常数）表示的平面区域，再由三角形面积公式即可解得．【解答】解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．解得A（﹣2，2）、B（a，a+4）、C（a，﹣a），直线x﹣y+4=0与x+y=0与y轴组成的三角形面积为•2•4=4＜9．所以a＞0=×（2a+4）×（a+2）=9，所以S△ABC解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．【点评】本题主要考查如何画出二元一次不等式组表示的平面区域．10．双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为2x±y=0，那么它的离心率是或．【考点】双曲线的简单性质．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线的焦点在x轴时，由渐近线方程可得b=2a，离心率e===，当双曲线的焦点在y轴时，可得a=2b，同理即可求得焦点在y上的双曲线的离心率．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得b=2a，可得离心率e====，当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±x=±2x，即=2，变形可得a=2b，可得离心率e====，∴双曲线的离心率为：或．故答案为：或．【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线，和分类讨论的思想，属中档题．11．圆x2+y2﹣4x+6y﹣12=0上的点到直线3x+4y+k=0的距离的最小值大于2，则实数k的取值范围是k＜﹣29或k＞41．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由d﹣r求出最小值，可得不等式，即可得出结论．【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+3）2=25，∴圆心（2，﹣3），半径r=5，∵圆心到直线3x+4y+k=0的距离d==，∴圆上的点到直线的最小值=﹣5＞2，∴k＜﹣29或k＞41．故答案为k＜﹣29或k＞41．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，根据题意得出d+r为距离的最大值，d﹣r为距离的最小值是解本题的关键．12．（2009•天心区校级模拟）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y﹣8=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中点坐标=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直线斜率为k==﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．【点评】本题考查了圆锥曲线中由中点坐标公式，通过作差的方法，求得直线斜率k的应用模型，属于基础题目．13．（2016•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是﹣＜b＜4．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】求出P的轨迹方程，动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，即可求出实数b的取值范围．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，圆心坐标为（﹣，0），半径为，∵动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴﹣﹣＜b＜﹣+故答案为：﹣＜b＜4．【点评】本题考查实数b的取值范围，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，则a2+4b2的最小值是37．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；换元法；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得t2+at+b+++b=﹣3，t+=m，|m|≥2，得到﹣2b=m2+am+1，代入到a2+4b2，构造函数f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，利用二次函数的性质得到f（a）min=（m2+1）（4m2+1），再令m2=n≥4，构造函数f（n）=（n+1）（4n+1）=4n2+5n+1，根据函数的单调性即可求出最小值．【解答】解：∵存在非零实数t，使得f（t）+=﹣3，∴t2+at+b+++b=﹣3，设t+=m，|m|≥2，∴m2+am+2b+1=0∴﹣2b=m2+am+1，∴a2+4b2=a2+（m2+am+1）2=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，设f（a）=（1+m2）a2+2am（m2+1）+（m2+1）2，其对称轴为a=m，∴f（a）min=（1+m2）m2+2m2（m2+1）+（m2+1）2=（m2+1）（4m2+1），设m2=n≥4，则f（n）=（n+1）（4n+1）=4n2+5n+1，当n≥4时，函数f（n）为增函数，∴f（n）min=4×4+4×5+1=37∴a2+4b2≤37故答案为：37【点评】本题考查了“换元法”、基本不等式的性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）已知命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”，命题q：“方程﹣=1表示双曲线”．（1）已知p是真命题，求实数k的取值范围；（2）已知“p∧q”是真命题，求实数k的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，解得实数k的取值范围；（2）若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，求两个命题为真时k的范围的交集，可得答案．【解答】解：（1）若命题p：“直线y=x+k与圆x2+y2=2有公共点”是真命题，则圆心（0，0）到直线x﹣y+k=0的距离不大于半径，即≤，解得：k∈，（2）若命题q：“方程﹣=1表示双曲线”是真命题．则（k﹣2）k＞0，解得：k∈（﹣∞，0）∪（2，+∞），若“p∧q”是真命题，则p，q均为真命题，故k∈hslx3y3h﹣2，0）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与圆的位置关系，双曲线的定义，复合命题等知识点，难度中档．16．（14分）（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程；（2）求圆心在直线y=﹣x上，且过两点A （2，0），B （0，﹣4）的圆的方程．【考点】圆的一般方程．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）利用中点公式求得AB的中点的坐标，即为圆心坐标，半径为的值，可得圆的标准方程．（2）圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据CA=CB 求得a的值，可得圆心和半径，从而求得圆的方程．【解答】解：（1）已知点A （﹣2，﹣5），B （6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的圆心为（2，﹣3）、半径为=，故它的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=40．（2）由圆心在直线y=﹣x上，可设圆的圆心为C（a，﹣a），再根据圆过两点A （2，0），B （0，﹣4），可得CA=CB，即=，∴a=3，圆心为（3，﹣3）、半径为CA==，故要求的圆的方程为（x﹣3）2+（y+3）2=10．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．17．（14分）已知圆C的方程为x2+y2=4．（1）求过点P （﹣1，2）与圆相切的直线I的方程；（2）直线m过点P （﹣1，2），与圆C交于AB两点，且AB=，求直线m的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】（1）设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求出过点P（﹣1，2）且与圆C相切的直线l的方程；（2）通过弦长|AB|=2，半径与弦心距满足勾股定理，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．【解答】解：（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y﹣2=k（x+1），…（1分）则=2 …（2分）解得，k1=0，k2=，…（3分）故所求的切线方程为y=2或4x﹣3y﹣10=0．…（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=﹣1，l与圆的两个交点坐标为（﹣1，）和（﹣1，﹣），这两点的距离为2，满足题意；…（7分）当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y﹣2=k（x+1），…（8分）即kx﹣y+k+2=0，设圆心到此直线的距离为d，则2=2，∴d=1，…（9分）∴1=，∴k=﹣，…（10分）此时直线方程为3x+4y+5=0，…（11分）综上所述，所求直线方程为3x﹣+y+5=0或x=﹣1．…（12分）【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程的求法，考查计算能力，注意直线的斜率不存在的情况．18．（16分）某哨所接到位于正西方向、正东方向两个观测点的报告，正东方向观测点听到炮弹爆炸声的时间比正西方向观测点晚4s．己知两个观测点到哨所的距离都是1020m．（1）爆炸点在怎样的曲线上，为什么？（2）已知，哨所正北方向也有一个观测点，它到哨所的距离也是1020m，哨所接到报告知道，该观测点与正西方向观测点同时听到爆炸声，试确定爆炸点的位置．（约定：观测点均在同一平面上，哨所和观测点均视为不计大小的点，声音传播的速度为340m/s）【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用双曲线的定义进行判断；（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），P（x，y）为巨响为生点，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意能求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．【解答】解：（1）设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=﹣x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|﹣|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线如图，（2）以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（﹣1020，0），B（1020，0），C（0，1020），依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2﹣a2=10202﹣6802=5×3402故双曲线方程为﹣=1用y=﹣x代入上式，得x=±680，∵|PB|＞|PA|，∴x=﹣680，y=680，故PO=680m答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680m处．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时由题设条件作出图形，数形结合效果很好．19．（16分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一个焦点到相应准线的距离为3，过点A（0，2）且斜率为k （k＞0）的直线l与椭圆有且只有一个公共点，l与x轴交于点B．（1）求椭圆M的方程和直线l的方程；（2）圆N的圆心在x轴上，且与直线l相切于点A，试在圆N上求一点P，使PB=3PA．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意列关于a，c的方程组，求解得a，c的值，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求．设出直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k，则直线l的方程可求；（2）求出圆N的方程，设出P的坐标，由PB=3PA求得P的轨迹，联立两圆的方程可得P的坐标．【解答】解：（1）由题意有，解得a=2，c=1，从而b=，∴椭圆的标准方程为+=1．由题意可得，直线l的方程为y=kx+2（k＞0），联立，得（3+4k2）x2+16kx+4=0．由△=256k2﹣16（3+4k2）=0，解得k=（k＞0）．∴直线l的方程为y=，即x﹣2y+4=0；（2）如图，设圆N的圆心为（m，0），由题意可得，，得m=1．则半径r=，∴圆N的方程为（x﹣1）2+y2=5．①设P（x，y），则由PB=3PA，得，化简得：2x2+2y2﹣2x﹣9y+5=0．②联立①②解得：P（）或P（）．【点评】本题主要考查了直线与椭圆方程．考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）如图，已知椭圆+y2=1的右顶点为A，上顶点和下顶点分别是点B和C，点P是直线L：y=﹣2上的一个动点（P不在y轴上），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过点A时，求△ABP的面积；（2）求证：△MBP为直角三角形；（3）以A，B为焦点，且过点P的椭圆有无数个，求这些椭圆的离心率的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）直线AC的方程易求，从而可得P点坐标，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，从而△ABP的面积可求；（2）设P（m，﹣2）（m≠0），求得PM的斜率，联立直线PM和椭圆方程，可得M的坐标，利用直线PB与BM斜率之积为﹣1可证；（3）点B关于直线y=﹣2的对称点B′可求，连AB′与y=﹣2的交点即为P，求得AB'的长，即为PA+PB 的长，由椭圆定义和离心率公式，可得最大值．【解答】解：（1）由椭圆的方程+y2=1，可得a=，b=1，c=，即有B（0，1），C（0，﹣1），A（，0），直线PM即PC：﹣y=1，即为x﹣y﹣=0，由y=﹣2，代入上式可得x=﹣，P（﹣，﹣2）到直线BA：x+y﹣=0的距离为d==2，=BA•d=•2•2=2；即有S△ABP（2）证明：设P（m，﹣2）（m≠0），k PM==﹣，PM：y=﹣x﹣1，代入椭圆方程可得（3+m2）x2+6mx=0，解得M（﹣，），k PB==﹣，k BM==，则k PB k BM=﹣1，即PB⊥BM，即有△MBP为直角三角形；（3）设B关于直线y=﹣2的对称点为B'，由B（0，1），可得B'（0，﹣5），连接AB'，交直线y=﹣2即为P，则P到A，B的距离之和最小，且为|AB'|==2，|AB|==2，由2＞2，可知以A，B为焦点的椭圆经过P，此时椭圆的离心率取得最大，且为e===．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆联立，以及点关于直线对称的求法，两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
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2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）一、填空题1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是．2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．3．双曲线﹣=1的实轴长为．4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是．5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是．6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有条公切线．7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为．8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是．9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为．12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是．13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．14．已知：点E（1，0），点A在直线l1：x﹣y+1=0上运动，过点A，E的直线l与直线l2：x+y+1=0交于点B，线段AB的中点M在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是．二、解答题15．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的周长是6π．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；规律型；函数思想；直线与圆．【分析】求出圆的半径，即可求解圆的周长．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9，圆的半径为：3．圆的周长为：6π．故答案为：6π【点评】本题考查圆的方程的应用，是基础题．2．已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7 ．【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：7【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．3．双曲线﹣=1的实轴长为 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程﹣=1中，由a2=9，能求出双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线方程﹣=1中，∵a2=9，∴双曲线的实轴长2a=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线的实轴长的求法，考查计算能力．4．过点且与圆x2+y2=4相切的直线方程是x+．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；直线与圆．【分析】点是圆x2+y2=4上的一点，然后直接代入过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为求得圆的切线方程．【解答】解：∵把点代入圆x2+y2=4成立，∴可知点是圆x2+y2=4上的一点，则过的圆x2+y2=4的切线方程为，即x+．故答案为：x+．【点评】本题考查圆的切线方程，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为，此题是基础题．5．已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是（5，2）．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，联立，解得．故答案为：（5，2）．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9有 2 条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】分别求出两圆的半径和圆心距，由此得到两圆相交，从而能求出两公切线的条数．【解答】解：∵圆C1：（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r1=2，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径r2=3，|C1C2|=，∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，∴圆C1：（x+2）2+y2=4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9相交，∴公切线有2条．故答案为：2．【点评】本题考查两圆的公切线的条数的求法，是基础题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．7．顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点（﹣1，2）的抛物线的标准方程为y2=﹣4x或x2=y ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），解方程可得m，n，进而得到抛物线的标准方程．【解答】解：由于点（﹣1，2）在第二象限，可设抛物线的方程为y2=﹣mx或x2=ny（m，n＞0），代入（﹣1，2），可得4=﹣m或1=2n，解得m=﹣4或n=，则抛物线的方程为y2=﹣4x或x2=y．故答案为：y2=﹣4x或x2=y．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查解方程的运算能力，属于基础题．8．已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是1＜k＜3 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接由题意可得5﹣k＞k﹣1＞0求得k的范围得答案．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴5﹣k＞k﹣1＞0，∴1＜k＜3．故答案为：1＜k＜3．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．9．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．10．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．11．曲线y=与直线y=x+b恰有1个公共点，则b的取值范围为[﹣2，2）∪{2} ．【考点】曲线与方程．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；综合法．【分析】由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）有公共点，当直线过点A（2，0）时，求得 b的值；当直线和半圆相切于点B时，根据圆心到直线的距离等于半径求得b的值，数形结合从而得到b的取值范围．【解答】解：由题意可得直线y=x+b与半圆x2+y2=4（y≥0）恰有1个公共点，如图所示：当直线过点A（2，0）时，可得0=2+b，求得b=﹣2．当直线和半圆相切于点B时，由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得b=2，或b=﹣2（舍去），故b的取值范围是[﹣2，2）∪{2}，故答案为：[﹣2，2）∪{2}．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．12．如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，若P（x，y）为平面区域上的任意一点，则的取值范围是[﹣1，] ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合法；直线与圆；不等式．【分析】直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直；求出k再求m，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：由题意可知，直线x+y=0过圆心，且与直线y=kx+1垂直，∴k=1，圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心的横坐标为=，圆心坐标（，）在直线x+y=0上，∴m=﹣1，即不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义为区域内的点（a，b）到定点）D（2，﹣2）的斜率，由图象知，OD的斜率最小，此时z=﹣1，BD的斜率最大，此时B（﹣1，0），则z==，即﹣1≤≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据直线和圆的位置关系求出k，m的值，以及利用数形结合是解决本题的关键．13．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．【解答】解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF 1|=2a ﹣|PF 2|=2a ﹣=2d ，即d=，而|PF 1|∈（a ﹣c ，a+c]，即2d=，所以得到，由①得： ++2≥0，为任意实数；由②得： +3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e ＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）【点评】此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．14．已知：点E （1，0），点A 在直线l 1：x ﹣y+1=0上运动，过点A ，E 的直线l 与直线l 2：x+y+1=0交于点B ，线段AB 的中点M 在一个曲线上运动，则这个曲线的方程是 x 2﹣y 2=1 ． 【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设A （a ，a+1），则直线AE 的方程为y=（x ﹣1），与直线l 2：x+y+1=0联立，可得B 的坐标，进而可得线段AB 的中点M 的坐标，消去a ，即可得到结论． 【解答】解：设A （a ，a+1），则直线AE 的方程为y=（x ﹣1），与直线l 2：x+y+1=0联立，可得B （，﹣﹣1），设M （x ，y ），则x=（a+），y=（a ﹣）， 消去a ，可得x 2﹣y 2=1． 故答案为：x 2﹣y 2=1．【点评】本题考查曲线方程，考查学生的计算能力，正确求出B 的坐标是关键． 二、解答题15．（1）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，⇒b2=3，∴所求椭圆的标准方程为．（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．∴，，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．16．已知圆C的圆心为（2，4），且圆C经过点（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（3，﹣1）作直线l与圆C相交于A，B两点，AB=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）求出半径，即可求出圆C的方程．（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1，当l的斜率不存在时，l：x=3成立；若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，求出k，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，r=2，∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4；（2）由题知，圆心C到直线l的距离d==1当l的斜率不存在时，l：x=3成立，若l的斜率存在时，设l：y+1=k（x﹣3），由d=1，得=1，解得k=﹣，∴l：12x+5y﹣31=0．综上，直线l的方程为x=3或12x+5y﹣31=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．17．某企业有甲乙两种产品，计划每天各生产不少于10吨，已知，每生产1吨甲产品，需煤3吨，电力4kW，每生产1吨乙产品，需煤10吨，电力5kW，每天用煤量不超过300吨，电力不得超过200kW；甲产品利润为每吨7万元，乙产品利润为每吨12万元，问每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，该企业能完成计划，又能使当天的总利润最大？总利润的最大值是多少？【考点】简单线性规划的应用．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】先设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=7x+12y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．【解答】解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为，目标函数为z=7x+12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x+12y=t，当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点B（20，24）时，利润最大．即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max=7×20+12×24=428（万元）．【点评】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解．属中档题．18．已知抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x．（1）求证：抛物线与直线相交；（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；设而不求法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x，只需证明f（x）有解即可；（2）设出交点坐标，利用根与系数得关系表示出x1+y1和x1•x2，带入弦长公式得到关于a 得函数．求此函数的最值．【解答】解：（1）令f（x）=﹣x2+ax+﹣2x=﹣x2+（a﹣2）x+，则△=（a﹣2）2+2≥2．∴f（x）有两个不相等的实数根．∴抛物线y=﹣x2+ax+与直线y=2x相交．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+y1=a﹣2，x1•x2=﹣．∴|AB|===．∵a∈（1，4），∴2≤（a﹣2）2+2＜6．∴≤|AB|＜．【点评】本题考查了二次函数零点的存在性判断，弦长公式应用，设而不求是常用方法之一．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围及直线l的方程；（2）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】方程思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】（1）利用配方法得到圆的标准方程，根据直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，点与圆的位置关系即可求出a的取值范围；（2）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，则圆心C（﹣1，2），半径r=，∵弦AB的中点为M（0，1）．∴点M在圆内部，即＜，∴5﹣a＞2，即a＜3．∵弦的中点为M（0，1）．∴直线CM的斜率k==﹣1，则直线l的斜率k=1，则直线l的方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．（2）设P（x，y），由|PM|=|PN|，可得=•，化简可得，x2+（y+5）2=12，即为P的轨迹为圆心（0，﹣5），半径为2的圆．据题意：两个圆相交：|﹣2|＜＜+2，解得﹣57﹣20＜a＜﹣57+20，且﹣57+20＜3，则实数a的取值范围是（﹣57﹣20，﹣57+20）．【点评】本题主要考查直线和圆的方程的应用，同时考查点与圆及圆与圆的位置关系，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线方程为x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意得，从而解椭圆的方程；（2）由题意作图辅助，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），设直线PN：y=kx﹣8k，从而联立化简可得（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，从而可得x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），从而可得=，从而化简d=+x1===2．【解答】解：（1）由题意得，，解得，a=4，c=2，故b=2；故椭圆的方程为+=1；（2）证明：由题意作图象右图，设点N（x1，y1），E（x2，y2）则M（x1，﹣y1），易知直线PN的斜率存在，设直线PN：y=kx﹣8k，联立方程得，，化简可得，（4k2+1）x2﹣64k2x+256k2﹣16=0，故x1+x2=，x1x2=；假设存在定点D（d，0），则=，即，d=+x1=+x1====2；故直线ME与x轴相交于定点（2，0）．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及数形结合的思想应用，关键在于化简运算．。