北师版数学高二-选修2-2课时作业类比推理

1.2 类比推理
一、选择题
1．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
2．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆的半径为r，则r＝2S
a＋b＋c，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于()
A.V
S1＋S2＋S3＋S4 B.2V
S1＋S2＋S3＋S4
C.3V
S1＋S2＋S3＋S4 D.4V
S1＋S2＋S3＋S4
3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到()
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
4．已知f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝7，f(5)＝11，…，则f(10)等于()
A．28B．76C．123D．199
5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，下列正四面体的性质比较恰当的是()
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．①B．①②
C．①②③D．③
6．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；
②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是()
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 二、填空题
7．圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2，由此类比，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为______________．
8．已知点A (x 1，log a x 1)，B (x 2，log a x 2)是函数y ＝log a x (a >1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间的函数图像的下方，因此有结论
log a x 1＋log a x 2
2
<log a x 1＋x 2
2成立．运用类比思想方法，若点C (x 1，cos x 1)，D (x 2，cos x 2)是函数y ＝cos x (x ∈(－
π2，π
2
))的图像上任意不同的两点，则类似地有____________成立． 9．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，类比有x ＋a
x n ≥n
＋1(n ∈N ＋)，则a ＝________.
10．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则数列{S n
n }为等差数列，且通
项为S n n ＝a 1＋(n －1)d
2，类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n
项的积为T n ，则数列{n
T n }为等比数列，通项为________． 三、解答题
11．若数列{a n }为等差数列，且a m ＝x ，a n ＝y (m ≠n )，则a m ＋n ＝mx －ny
m －n .现已知数列{b n }是各
项均大于0的等比数列，且b m ＝x ，b n ＝y (m ≠n )，则类比等差数列，你能得到什么结论？
12．在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．
13．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意
一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →
为定值b 2－a 2；
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲
线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，则AN →·BM →
为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
四、探究与拓展
14．对于命题“如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →
＝0”将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →
＝0，将它类比到空间的情形是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________． 15．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有
1AD 2
＝1AB 2＋1
AC
2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．
答案精析
1．D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.B 7.x 0x a 2＋y 0y b 2
＝1 8.
cos x 1＋cos x 22<cos x 1＋x 2
2
9．n n 10.n T n ＝b 1(q )n －
1
11．解 等差数列中的和与等比数列中的积相对应，等差数列中的差与等比数列中的商相对应，因此有理由认为等差数列中的积与等比数列中的乘方相对应，等差数列中的商与等比数列中的开方相对应．
因此类比得到的结论是b m ＋n ＝m －n x m
y n .
12．解 在长方形ABCD 中，
cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(b
c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c
2＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
证明如下：
cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝(m l )2＋(n l )2＋(g
l )2
＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2
l
2＝1.
13．(1)证明 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )， 依题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0
x 0＋a (x ＋a )．
令x ＝0，得y M ＝ay 0
x 0＋a ，
同理得y N ＝－ay 0
x 0－a ，
所以y M y N ＝a 2y 20
a 2－x 20
.
又点P (x 0，y 0)在椭圆上， 所以x 20a 2＋y 20
b
2＝1，
因此
y 2
0＝b 2a
2(a 2－x 20)，
所以y M y N ＝a 2y 20
a 2－x 20
＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →
＝(－a ，y M )， 所以AN →·BM →
＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2. (2)解 －(a 2＋b 2)．
14．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →
＝0
15.解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD 2.
猜想正确．
如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD .
而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴
1AE 2
＝1AB 2＋1AF
2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2
＝1AC 2＋1AD
2. ∴
1AE 2
＝1AB 2＋1AC 2＋1AD
2， 故猜想正确．。