辛普森(simpson)公式
辛普森积分法
⾟普森积分法定积分函数f(x) 在区间 [l,r] 上的定积分∫r l f(x)dx指的是f(x) 在区间 [l,r] 内与x轴所围成的区域的⾯积（x轴上⽅为正，下⽅为负）。
我们需要⼀种⾼效的求解这种积分的近似值的⽅法，于是就有了⾟普森积分法。
普通⾟普森法⾟普森法的基本思想是将求解区间分成若⼲段，每⼀段都使⽤⼆次函数的积分公式来进⾏求解。
⼆次函数积分公式（⾟普森公式）：对于⼀个⼆次函数f(x)=Ax2+Bx+C，有∫r l f(x)d x=(r−l)(f(l)+f(r)+4f(l+r2))6证（from OI-Wiki）：求积分可得F(x)=∫x0f(x)d x=a3x3+b2x2+cx+D那么则有∫r l f(x)d x=F(r)−F(l)=a3(r3−l3)+b2(r2−l2)+c(r−l)=(r−l)(a3(l2+r2+lr)+b2(l+r)+c)=r−l6(2al2+2ar2+2alr+3bl+3br+6c)=r−l6((al2+bl+c)+(ar2+br+c)+4(a(l+r2)2+b(l+r2)+c))=r−l6(f(l)+f(r)+4f(l+r2))然后我们通过套公式就可以写出这样⼀段代码：double simpson(double l, double r) {const double mid = (l + r) / 2;return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6; //f(x)为待求解的函数}⾃适应⾟普森普通的⾟普森积分法为了保证精度，在时间效率上会很⼤地受到区间的限制。
问题在于：区间少了精度不够，区间多了⼜太慢。
⾃适应⾟普森做到了⾃动控制拆分区间的⼤⼩。
double asr(double l, double r, double eps, double ans) {const double mid = (l + r) / 2;const double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eps)return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;return asr(l, mid, eps / 2, fl) + asr(mid, r, eps / 2, fr);}到了这⾥，你就可以去做了！Processing math: 100%。
辛普森公式 龙贝格算法
辛普森公式龙贝格算法辛普森公式与龙贝格算法 辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们可以用于计算函数的定积分，通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题来求解。
下面将介绍辛普森公式和龙贝格算法的原理和应用。
辛普森公式是一种通过将函数划分为多个小区间，并在每个区间内使用二次多项式逼近函数曲线的方法来求解定积分。
该公式的基本思想是将函数曲线近似看作是由一系列抛物线段组成的，然后通过对这些抛物线段的面积进行求和来获取整个函数曲线下的面积。
辛普森公式的推导基于牛顿-科特斯公式，通过将区间划分为偶数个小区间，并在每个小区间内使用二次多项式逼近函数曲线来计算定积分。
这种方法可以大大提高计算的精确性，尤其在对曲线进行高精度逼近时特别有效。
龙贝格算法是一种迭代方法，通过逐步细化区间格点来逼近定积分的方法。
它的基本思想是将区间进行二等分，然后通过递归地对子区间进行步长缩放和函数值计算，以获得更加精确的数值积分结果。
龙贝格算法的核心是通过不断加密区间格点和调整步长来逐渐提高计算精度，直到满足预设的误差要求。
这种方法在计算复杂函数的定积分时非常有用，它能够自适应地调整计算步长，并在迭代过程中逐渐收敛到期望的结果。
辛普森公式和龙贝格算法在数值计算中广泛应用于求解定积分问题。
它们适用于各种类型的函数，包括连续函数、平滑函数和非平滑函数。
通过适当选择区间划分和迭代次数，可以有效地控制计算误差，并获得满足要求的数值积分结果。
这种方法相对于传统的数值积分方法具有更高的精确性和可靠性，能够满足各种实际应用的计算需求。
总之，辛普森公式和龙贝格算法是数值计算中常用的数值积分方法。
它们通过将复杂的定积分问题转化为更简单的求和问题，并利用适当的逼近和迭代方法来提高计算精度。
这些方法在实际应用中具有很高的灵活性和可靠性，可以应对各种类型的函数和积分问题。
通过合理应用辛普森公式和龙贝格算法，我们能够更准确、更快速地求解定积分，为科学研究和工程计算提供有力的支持。
关于辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用
关于复化辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用天津西站项目部刘思传摘要：本文里利用辛普森公式导证了线路坐标计算的公式，并在卡西欧FX-4800P计算器中编写了中边线坐标计算的源程序。
关键词：复化辛普森公式，线路坐标计算，曲率。
一.引言随着我国道路建设等级和质量水平的飞速发展，公路、铁路建设的机械化和日产量日益提高，促使施工中在满足设计精度的前提下，尽可能快速、准确地进行测量放样和检查工作，本文线路曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了线路坐标计算的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。
二.复化辛普森公式数学模型把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。
记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。
复化辛普森积分计算公式而，称(1)式(1)即为辛普森复化公式。
三.线路坐标计算2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算如图1，设回旋曲线起点A 的曲率为A ρ，其里程为DK A ；回旋曲线终点B 的曲率为B ρ，其里程为DK B ，Ax ’'y 为以A 为坐标原点，以A 点切线为'x 轴的局部坐标系；Axy 为线路坐标系。
由此回旋曲线上各点曲率半径为R i 和该点离曲线起点的距离ﺎi 成反比，故此任意点的曲率为 c l R i i i /1==ρ（=为常数）. （2）y'YB图1由式（2）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DK i 点的曲率为)(A i A B AB A i DK DK DK DK ---+=ρρρρ （3） 当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。
在图1中有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===⎰I A DK DK i i i dl dl dl R d ρβρβ1 （4）将式（3）代入式（4）得πρρβ180*)(2A i Ai i DK DK -+= （5）若已知回旋曲线起点A 在线路坐标系下切线坐标方位角αA ，则里程为Dk i 点切线坐标方位角为i A i βαα+= π180 （6）将式(5)代入式（6）得*)(2A i Ai A i DK DK -++=ρραα π180（7）对于式(7)，当，时，，则a i =a A ，式(7)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，，，则式(7)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。
辛普森公式是什么
辛普森公式是什么
辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。
利用区间二等分的三个点来进行积分插值。
其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6.
设拟柱体的高（两底面α，β间的距离）为H，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V为
V=H（S_1+4S_0+S_2）/6.
式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积（即平面γ与平面α之间距离h=H/2时得到的截面的面积）。
事实上，不光是拟柱体，其他符合条件（所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积。
辛普森公式
辛普森程序程序名：ZBJSLb1 0:M" (ZHI JING)X": N" (ZHI JING)Y": U" (HOU SHI)X" : V" (HOU SHI)Y":I=0:J=0:Pol(U-M,V-N):Z [7]=I: "JU LI": Z [7]◢W=J:J<0⇒J=J+360Δ" FWJ":J→DMS◢Lb1 1:｛EG｝: A"XA": B"YA": C"CA"→DMS D"1÷RA": E"1÷RB":F"DK A": G"DKB"↵Lb1 2: ｛HOR｝: H"DKI": O"DL": R"DR":H>G⇒Goto3Δ↵P=(E-D) ÷Abs(G-F): Q= Abs(H-F): S= P×Q: T=D+S ↵L=C+( S+2D) Q ×90÷π: L＜0⇒L = L+360Δ"J=":L→DMS◢Z [1]=C+( S ÷4+2D) Q×45÷(2π): Z [2]=C+(3 S ÷4+2D) Q ×135÷(2π)↵K=C+( S÷2+2D)Q ×45÷π↵"X=": X=A+(Q÷12×(cosC+4(cos Z [1] + cos Z [2])+2 cos K + cosL)◢"Y=": Y=B+(Q÷12×(sinC+4(sin Z [1] + sinZ [2]) +2 sin K +sin L)◢I=0:J=0:Pol(X-M,Y-N):Z=J-W:Z＜0⇒Z=Z+360Δ"Z(JIAO DU)":Z→D MS◢"Z(JU LI)":I◢"XL=": Z [3]=X+Ocos(L-90)◢"YL=": Z [4]= Y+Osin (L-90)◢I=0:J=0:Pol(Z [3]-M, Z [4]-N):Z=J-W:Z＜0⇒Z=Z+360Δ"L(JIAO DU)": Z→DMS◢"L(JU LI)":I◢"XR=": Z [5]=X+Rcos(L+90)◢"YR=": Z [6]= Y+Rsin (L+90)◢I=0:J=0:Pol(Z [5]-M, Z [6]-N):Z=J-W:Z＜0⇒Z=Z+360Δ"R(JIAO DU)": Z→DMS◢"R(JU LI)":I◢(A= X : B= Y : D=E: C= L : F=H:) Goto2↵Lb1 3:A= X : B= Y : D=E: C= L : F=G: Goto1↵注：括号闪烁（）中内容可省略。
辛普森法则公式举例
辛普森法则公式举例好的，以下是为您生成的关于“辛普森法则公式举例”的文章：在数学的奇妙世界里，有一个叫做辛普森法则的家伙，它就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决不少复杂的计算问题。
先来说说啥是辛普森法则吧。
简单来讲，辛普森法则是一种用于数值积分的方法。
比如说，我们要计算一个曲线下面的面积，但是这个曲线的形状又很奇怪，不好直接算，这时候辛普森法则就派上用场啦。
给您举个例子哈。
假设我们有一个函数 f(x) = x² + 2x + 1 ，要计算它在区间 [0, 2] 上的面积。
我们把区间 [0, 2] 分成 n 等份，这里为了简单，咱就先分成 2 等份吧，那每个小区间的长度就是 1 。
然后计算每个区间端点和中点的函数值。
在区间 [0, 1] ，端点是 0 和 1 ，中点是 0.5 。
f(0) = 1 ，f(1) = 4 ，f(0.5) = 1.75 。
在区间 [1, 2] ，端点是 1 和 2 ，中点是 1.5 。
f(1) = 4 ，f(2) = 9 ，f(1.5) = 5.25 。
接下来，就可以用辛普森法则的公式来计算啦。
面积≈ （区间长度 / 3 ）× [ (f(x₀) + f(xₙ)) + 4 × (f(x₁) + f(x₃) +... + f(xₙ₋₁)) + 2 × (f(x₂) + f(x₄) +... + f(xₙ₋₂)) ]在这里，区间长度是 2 ，n = 2 。
所以面积≈ （2 / 3 ）× [ (1 + 9) + 4 × (4 + 5.25) + 2 × 1.75 ] 。
经过计算，就可以得到这个函数在区间 [0, 2] 上的近似面积啦。
我记得有一次，我给班上的学生讲这个辛普森法则。
有个调皮的小家伙，一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这也太复杂了，我感觉我的脑袋要转不过来了。
”我笑着对他说：“别着急，咱们一步一步来，你会发现它其实就像玩游戏一样有趣。
辛普森公式推导
辛普森公式推导好的，以下是为您生成的关于“辛普森公式推导”的文章：在数学的奇妙世界里，有一个叫做辛普森公式的家伙，它就像一把神奇的钥匙，能帮助我们更准确地计算一些图形的面积。
今天咱们就一起来瞧瞧这辛普森公式到底是怎么推导出来的！记得有一次，我在给学生们讲解这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这公式到底是从哪儿冒出来的呀？”看着他那求知若渴的模样，我就知道得好好给他讲讲这背后的奥秘了。
咱们先来说说什么是辛普森公式。
它主要是用来近似计算曲线下的面积的。
比如说，给你一条弯弯扭扭的曲线，要你算它和坐标轴围成的面积，这可不好直接算吧？但辛普森公式就能帮上大忙。
那它是怎么来的呢？咱们假设要计算的区间是 [a, b]，然后把这个区间平均分成 n 等份，每个小区间的长度就是 h = (b - a) / n 。
接下来，咱们在每个分点上取值，分别记为 f(a) 、f(a + h) 、f(a +2h) ...... f(b) 。
然后，辛普森公式就闪亮登场啦！它的表达式是：S = (h / 3) * [f(a)+ 4f(a + h) + 2f(a + 2h) + 4f(a + 3h) + 2f(a + 4h) +... + 4f(b - h) + f(b)] 。
那为啥会是这样呢？咱们来仔细琢磨琢磨。
想象一下，咱们把这个曲线下的面积近似地看成是由一个个小曲边梯形组成的。
对于相邻的三个点，比如 a 、a + h 、a + 2h ，咱们可以用一个二次抛物线来近似这一小段曲线。
通过一番复杂但有趣的数学推导（这里就不详细展开啦，不然脑袋都要晕啦），就可以得到这一小段抛物线所围成的面积的近似表达式，然后把所有这样的小段面积加起来，就得到了辛普森公式。
回到刚刚那个好奇的小家伙，我给他画了好多图，举了好多简单的例子，他终于有点开窍啦，脸上露出了那种“哦，原来是这样”的表情，可把我乐坏了。
其实啊，数学里的很多公式定理都不是凭空出现的，都是前辈们通过不断地思考、尝试、推导得出来的。
复化simpson公式
复化simpson公式Simpson公式是求积分的重要方法，由英国数学家Thomas Simpson在1743年提出。
Simpson公式的基本思想是将定积分的区间分成n个等分，每个等分被近似地看成一个三角型，以此来计算定积分的值。
首先，根据Simpson公式，将积分区间[a, b]等分为n个点：X0 = a，X1 = a + h，X2 = a + 2h，…，Xn = b。
其中，h = (b – a)/n。
接着，假定函数f(x)在[a, b]上可以用n次多项式来近似，即f(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn。
然后，根据Simpson公式，可以得到定积分的近似值：∫abf(x)dx ≈ h/3[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + … + 4f(xn-1) + f(xn)]上式就是Simpson公式的原始形式，它的精确度和n的大小有关，当n越大时，Simpson公式的精确度越高。
基于Simpson公式，还有一种叫做复化Simpson公式的积分计算方法。
复化Simpson公式把定积分区间分成多个子区间，在每个子区间上使用Simpson公式计算，然后把所有子区间的积分值加起来，就可以得到定积分的近似值。
例如，把[a, b]分成n个子区间[x0, x1]，[x1, x2]，…，[xn-1, xn]，它们的积分值分别为I1，I2，…，In，则复化Simpson公式的结果为：∫abf(x)dx ≈ I1 + I2 + … + In复化Simpson公式比单一Simpson公式更容易理解和使用，它还可以提高计算精度，使用复化Simpson公式可以得到更准确的结果。
从上面可以看出，Simpson公式是一种简单、高效的积分计算方法，它可以使用复化Simpson公式提高精度，在很多工程和科学应用中都得到了广泛的应用。
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辛普森(Simpson)公式是用于数值积分的重要方法之一，它可以更精确地计算定积分的值。
由于其高精度和易于理解的特点，辛普森公式被
广泛运用于科学计算和工程领域。
本文将对辛普森公式的原理、推导
过程以及应用进行详细介绍。
一、辛普森公式的原理
辛普森公式是利用多项式的插值思想来逼近定积分的值。
其基本原理
是将被积函数在每个小区间上用二次多项式来逼近，然后对所有区间
上的二次多项式进行积分，最终得到整个函数的积分值。
辛普森公式
的精度比较高，尤其适合于二次或四次多项式的积分计算。
二、辛普森公式的推导
在区间[a,b]上进行积分，将区间等分成n段，每段长度为h=(b-a)/n。
设被积函数为f(x)，则辛普森公式的推导过程如下：
1. 计算积分区间的分割点
首先需要计算各个分割点的横坐标 xi(i=0,1,2,...,n)，即
xi=a+ih(i=0,1,2,...,n)。
2. 计算每个分段上的积分值
对于每个小区间 [xi-1,xi]，可以采用三点插值公式来逼近积分值：
∫f(x)dx≈h/3*(f(xi-1)+4f((xi-1+xi)/2)+f(xi))
3. 求和计算总的积分值
将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间[a,b]上的定积分值。
经过以上推导，可以得到辛普森公式的表达式为：
∫f(x)dx≈h/3*(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2f(xn-2)+4f(xn-
1)+f(xn))
三、辛普森公式的应用
辛普森公式在数值积分中有着广泛的应用，尤其适用于被积函数光滑
而且二次可微的情况。
在实际工程和科学计算中，经常需要对曲线和
曲面进行积分计算，而辛普森公式可以提供比较精确的积分结果。
在概率统计学、信号处理、图像处理等领域，辛普森公式也被广泛运用。
在概率密度函数的计算中，可以利用辛普森公式来对密度函数进
行积分，从而得到概率分布的特征参数。
辛普森公式作为一种数值积分的方法，具有计算精度高、易于编程实
现等特点，因此在实际工程和科学计算中得到了广泛的应用。
以上就是对辛普森公式的原理、推导过程以及应用进行的详细介绍。
辛普森公式的提出为数值积分提供了一种高效精确的计算方法，为工
程计算和科学研究提供了重要的数值计算工具。
希望本文的介绍能够
对读者有所帮助，增进对辛普森公式的理解和运用。
辛普森公式作为
一种数值积分的方法，在实际应用中具有许多优势，但同时也存在一
些限制和注意事项。
在本节中，我们将进一步探讨辛普森公式的优点、局限性及应用注意事项。
1. 优点
辛普森公式计算简单，易于理解和编程实现，适用于连续光滑的函数。
其数值积分结果比较精确，尤其是在被积函数是二次或四次多项式的
情况下，辛普森公式的精度更高。
在工程计算和科学研究中，常常遇
到对曲线、曲面等复杂函数进行积分的需求，而辛普森公式能够提供
比较可靠的计算结果，因此被广泛应用。
2. 局限性
尽管辛普森公式具有较高的计算精度，但在某些情况下也存在局限性。
在被积函数在区间上不光滑、不连续的情况下，辛普森公式的适用性
会受到影响。
当被积函数的二阶导数存在较大变化或者函数具有尖点
的情况下，辛普森公式的逼近精度也会受到一定的影响。
当积分区间
较大时，需要进行多次分割以保证精度，这将导致计算量增加，因此
在计算效率上也存在一定的局限性。
3. 应用注意事项
在应用辛普森公式进行数值积分时，需要注意以下几点：
a. 分割区间的选择：积分区间的分割数n应该选取合适的值，通常情况下n取偶数效果会更好。
如果选择的n过小，可能会导致积分结
果的精度不够；而如果选择的n过大，则会增加计算量，影响计算效率。
b. 函数的光滑性：辛普森公式适用于光滑的函数，对于不连续或者
具有尖点的函数，需要特别小心，可能需要进行额外的处理或者选择
其他的数值积分方法。
c. 积分区间的选择：在实际应用中，需要根据被积函数的特点选择
合适的积分区间，以保证辛普森公式的精度和稳定性。
在实际应用中，辛普森公式通常作为数值积分的一种辅助手段，结合
其他数值积分方法来提高计算精度和稳定性。
在复杂函数的积分计算中，可以先利用辛普森公式进行初步逼近，然后结合复合梯形公式、
龙贝格积分法等方法进行进一步的修正和改进。
辛普森公式作为一种重要的数值积分方法，在工程计算和科学研究中
扮演着重要的角色。
它的应用优点和局限性需要我们在实际计算中加
以注意和处理，合理选择计算参数和方法，以确保数值积分结果的准
确性和可靠性。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解辛普森公式，提高数值积分计算的准确性和效率。
在工程计算和科学研究中，数值积分是一项非常重要的数值计算任务。
辛普森公式作为其中的一种计算方法，在实际应用中有着广泛的应用
和意义。
通过对辛普森公式的原理、推导过程以及应用进行详细的介绍，相信读者对这一重要的数值积分方法有了更加深入的了解。
希望
本文能够对广大科研工作者和工程师在实际工作中的数值积分计算有
所帮助。
随着科学技术的不断发展，数值积分方法也在不断改进和拓展，相信辛普森公式作为经典的数值积分方法，将继续发挥重要的作用，为工程计算和科学研究提供更加可靠的数值计算工具。