梯形多步法和辛普森积分
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果定积分是微积分中重要的概念之一，表示在一个区间上函数的面积。
在计算定积分时，有时候我们无法通过解析方法求得精确的结果，这时候可以利用数值方法来进行近似计算。
常见的数值方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
本文将分别对这三种方法进行介绍并进行比较。
1.矩形法（矩形近似法）：矩形法是最简单的数值方法之一，它的基本思想是将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个矩形的面积，然后将这些矩形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
根据矩形法的计算公式可以得到：∫f(x)dx ≈ Δx·(f(x₁)+f(x₂)+...+f(xₙ))其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
2.梯形法（梯形近似法）：梯形法同样是利用近似的思想，将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个梯形的面积，然后将这些梯形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
梯形法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/2）·[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+...+2f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
3.辛普森法（抛物线近似法）：辛普森法是一种基于三次多项式插值的数值积分方法，它通过将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个抛物线的面积，然后将这些抛物线的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
辛普森法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/3）·[f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂)+4f(x₃)+...+4f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
例：计算函数f(x)=√(1+x²)在区间[0,1]上的定积分。
接下来，我们分别利用矩形法、梯形法和辛普森法对这个定积分进行近似计算，并比较计算结果。
1)矩形法：将区间[0,1]平均分为n个小区间，取xᵢ=i/n，其中i=0,1,2,...,n。
梯形公式和辛普森求解定积分
梯形公式和辛普森求解定积分
数学中，定积分是较为常见的运算，既可以通过梯形公式、辛普森公式等方式求解。
梯形公式是用来计算定积分的一种常用方法，主要就是把封闭的积分区间[a,b]分
成若干等分，每一等分长度相等，每一等分的两端点函数值分别用各积分一次积分而得小梯形面积来等价近似。
然后，将所得的小梯形面积加起来，即可求到积分的近似值。
辛普森求解定积分是将积分区间[a,b]表示为一组有限个点，然后利用辛普森公式
来近似计算函数在该组点上的值，最后加起来就可以得到整个积分区间的值。
一般而言，当积分区间越小而越窄，辛普森公式所得的积分结果的接近的越精确，且求解的速度最快。
定积分的求解方法有多种，梯形公式和辛普森求解定积分就是其中的两种求解方式，一般情况下，梯形公式用于在积分区间中间定点数多，但是积分段数相对较少的情况下，而辛普森求解定积分则用于积分区间窄，但是积分段数稍微多的情况下。
由于梯形公式和辛普森求解定积分有其各自的优点，在实际应用中可以根据不同的情况，灵活选用二者的优点，以达到最优的结果。
(完整版)复合梯形公式与复合辛普森公式对比
SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比学生姓名:学生学号:班级:学院(系):目录1.概述 (3)2.问题提出 (4)3.算法推导 (5)4.算法框图 (6)4.1复合梯形公式算法流程图 (6)4.2 复合辛普森公式算法流程图 (7)5.MATLAB源程序 (8)6.结论与展望 (9)图表目录图4-1 复合梯形公式算法流程图 (6)图4-2 复合辛普森公式算法流程图 (7)图6-1 MATLAB计算结果 (9)表2-1函数计算结果表 (4)1.概述梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿-科斯特公式中n=1和n=2时的情形。
其中梯形求积公式可表示为由于牛顿-科斯特公式在n≥8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。
为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。
这种方法称为复合求积法。
本文主要讨论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问题中的应用。
首先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其余项的表达形式，然后用流程图的形式介绍算法思路，再运用MATLAB编写代码计算结果，最后对结果进行对比讨论。
希望通过两个算法在同一个算例中的应用对比，更好的理解和掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的适用范围和适用条件。
并且能够熟悉MATLAB编程求解问题的流程，掌握编程化的思想方法。
同时对两种方法的计算结果对比分析，讨论两种求积方法的计算精度。
2.问题提出对于函数f(x)=sinxx给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分I=∫sinxx dx1。
表 2-1函数计算结果表3. 算法推导3.1复合梯形公式根据梯形公式，将区间[a,b]划分为n 等份，分点x k =a +kℎ,h =b−a n,k =0,1,…,n ，在每个子区间[x k ,x k+1](k =0,1,…,n −1)上采用梯形公式，则得：记则T n 为复合梯形公式。
复化梯形公式和复化Simpson公式
一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x %定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果 Tn=等分数 n=7019已知值与计算值的误差 R=2. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果 Sn=等分数 n=24已知值与计算值的误差 R=用复化梯形公式计算的结果为：，与精确解的误差为：。
梯形法则和辛普森法则
梯形法则与辛普森法则1. 概述梯形法则和辛普森法则是数值积分中常用的近似方法。
它们通过将曲线或曲面分割成若干个由直线或弧线组成的小区间，并在每个小区间内估计函数值来求解定积分。
这两种方法具有较高的精度和广泛的应用领域，本文将详细介绍这两种方法的原理、应用和优缺点。
2. 梯形法则梯形法则是一种利用梯形来近似曲线下面积的方法。
假设我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，梯形法则将该区间分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。
然后，我们可以将每个小区间内的函数值连接起来，形成若干个梯形，计算每个梯形的面积，并将它们相加，即可得到函数在整个区间上的近似积分值。
梯形法则的近似积分公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ Δx/2 * [f(a) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + f(b)]其中，x1, x2, …, xn-1 是分割点。
梯形法则的优点是简单易懂，容易推广到多维积分，适用于一般的函数。
然而，它的缺点是存在一定的误差，特别是在曲线弯曲的区域，误差较大。
3. 辛普森法则辛普森法则是一种利用拟合曲线来近似曲线下面积的方法。
与梯形法则类似，辛普森法则也将函数f(x)在区间[a, b]上分成若干个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，但不同的是，辛普森法则采用二次多项式来拟合每个小区间内的曲线。
辛普森法则的近似积分公式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ Δx/3 * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + f(xn)]其中，x0, x1, x2, …, xn 是分割点，且n为偶数。
辛普森法则的优点是相比于梯形法则，它的精度更高，尤其适用于曲线较为平滑的情况。
然而，辛普森法则的缺点是计算量较大，对于需要较高精度的计算而言，分割的区间数需要相对较多。
4. 应用场景梯形法则和辛普森法则在数值计算中有广泛的应用，特别是在求解无法用解析方法求得精确解的积分问题时，这两种方法成为重要的工具。
复化梯形公式和复化辛普生公式
1)复化梯形
#include<iostream.h>
#include<math.h>
class tixing
{
private:
int n,k;//n是等分数，
double h,f;//h步长
double a,b,integral,sum;//a上限，b下限，integral积分值
public:
《数值分析》实验报告
姓名
学号
日期
2012．11.20
实验室
设备编号
实验题目
用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx
一实验目的
1．了解复化梯形公式和复化辛普生公式。
2.用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx。
二实验内容
算法：复化梯形公式是Tn=∑h/2[f(xi)+ f(xi+1)]=(b-a)/2n[f(a)+2∑f(xi)+f(b)]记子段[xi,xi+1]的中点为xi+1/2,则复化Simpson公式为Sn=∑h/6[f(xi)+4f(xi+1/2)+ f(xi+1)]=b-a/6n[f(a)+4∑f(xi+1/2)+2f(xi)+f(b)]
double a,b,f,integral,interval;//a上限，b下限，integral积分值，interval每次应用法则的区间长度（2h）
double sum_odd_terms,x,sum_even_terms;//sum_even_terms偶数结点处的函数值之和，sum_odd_terms奇数结点处的函数值之和
复合梯形公式和复合辛普森公式
复合梯形公式和复合辛普森公式1.复合梯形公式步骤1：将积分区间[a,b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，其中n为正整数。
步骤2：定义一个函数f(x)，并在每个小区间上求出函数在小区间两个端点的函数值，记作f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn)。
步骤3：根据梯形公式，每个小区间上的定积分近似值为(h/2) * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))。
步骤4：将所有小区间上的定积分近似值相加，得到最终的近似值。
复合辛普森公式是通过将积分区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间上应用辛普森公式来逼近定积分的值。
具体的步骤如下：步骤1：将积分区间[a,b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，其中n为正偶数。
步骤2：定义一个函数f(x)，并在每个小区间上求出函数在小区间三个点的函数值，记作f(x0),f(x1),f(x2)。
步骤3：根据辛普森公式，每个小区间上的定积分近似值为(h/3)*(f(x0)+4f(x1)+f(x2))。
步骤4：将所有小区间上的定积分近似值相加，得到最终的近似值。
复合辛普森公式的误差主要取决于小区间的数量和函数在每个小区间上的变化情况。
与复合梯形公式相比，复合辛普森公式的精度更高，但计算复杂度也更高。
综上所述，复合梯形公式和复合辛普森公式是数值积分中常用的近似计算方法。
它们通过将积分区间划分成小区间，并在每个小区间上应用相应的公式来逼近定积分的值。
这两种方法都可以通过增加小区间的数量来提高近似的精度，但相应地也会增加计算的复杂度。
根据实际情况，我们可以选择合适的方法来计算需要求解的定积分。
梯形公式和辛普森公式计算积分
梯形公式和辛普森公式是用于计算定积分的数值逼近方法。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算函数在某个区间上的定积分值的情况，而对于一些复杂的函数，直接进行积分计算可能会十分困难，甚至是不可能的。
我们需要借助数值逼近方法来得到积分的近似值。
梯形公式和辛普森公式都是数值积分的基本方法，它们的原理都是通过将被积函数在积分区间上进行分割，然后利用分割后的小区间上的函数值，以及各个小区间的长度来进行计算，从而得到积分的近似值。
梯形公式是一种线性插值法，它的原理是将积分区间等分成n个小区间，然后用每个小区间的两个端点处的函数值进行线性插值，将每个小区间的面积近似为一个梯形，再将所有梯形的面积相加就得到了整个积分的近似值。
具体地，对于被积函数f(x)在区间[a, b]上的积分，我们可以利用梯形公式进行近似计算：1. 将区间[a, b]等分成n个小区间，记每个小区间的长度为h，即h=(b-a)/n。
2. 根据梯形面积的计算公式，我们可以得到每个小区间上梯形的面积为(h/2)*(f(x[i])+f(x[i+1]))，其中x[i]和x[i+1]分别为第i个小区间的两个端点。
3. 将所有小区间上梯形的面积相加得到整个积分的近似值，即I ≈(h/2)*(f(a)+2*f(x[1])+2*f(x[2])+...+2*f(x[n-1])+f(b))。
梯形公式的优点在于其较为简单易懂，且可以很容易地通过计算机进行程序实现。
但是需要注意的是，当被积函数在积分区间上变化较大时，梯形公式可能会产生较大的误差。
与梯形公式类似，辛普森公式也是一种数值积分的方法，它是一种二次插值法，其原理是将积分区间等分成n个小区间，然后利用每个小区间的三个节点处的函数值进行二次插值，将每个小区间的面积近似为一个二次多项式曲线下的面积，再将所有小区间的面积相加就得到了整个积分的近似值。
具体地，对于被积函数f(x)在区间[a, b]上的积分，我们可以利用辛普森公式进行近似计算：1. 将区间[a, b]等分成n个小区间，记每个小区间的长度为h，即h=(b-a)/n。
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2.0 0
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f ( x)dx
2(0.5) (7(1.00000) 32(1.55152) 12(0.72159) 32(0.93765) 7(1.13390)) 2.29444 45
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
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华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
例7.2 对于梯形公式，h=1
1
0
1 1 f ( x)dx ( f (0) f (1)) (1.00000 0.72159) 0.86079 2 2
对于辛普森公式，h=1/2
1
0
f ( x)dx
1/ 2 1 1 ( f (0) 4 f ( ) f (1)) (1.00000 4(1.55152) 0.72159) 1.32128 3 2 6
0.5
0
1.0
0.5 f ( x)dx (1.00000 1.55152) 0.63788 2
0.5 f ( x)dx (1.00000 4(1.55152) 0.72159) 1.32128 3
f ( x)dx 3(0.5) (1.00000 3(1.55152) 3(0.72159) 0.93765) 1.64193 8
组合梯形公式
1
0
f ( x)dx
1/ 4 1 1 3 ( f (0) 2 f ( ) 2 f ( ) 2 f ( ) f (1)) 2 4 2 4 1 (1.00000 2(1.65534) 2(1.55152) 2(1.06666) 0.72159) 1.28358 8
积分简介
数值积分的目的是，通过在有限个采样点上计算 f (x)的值来逼近 f (x)在区间[a,b]上的定积分
定义7.1 设a=x0<x1<…<xM=b. 称形如
Q[ f ] wk f ( xk ) w0 f ( x0 ) w1 f ( x1 ) wM f ( xM )
I f ( x)dx f (b)(b a )
a
梯形公式
I
b a
ba f ( x)dx [ f (a) f (b)] 2
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3
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-0.5
2
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0.5
3
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3.5
故截断误差的一般形式为E[ f ]=K f (n+1)(c)，其中K是一个 合理选择的常数，n为精度
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注意：积分公式的数值精度定义没有指定积分区间 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
基于多项式插值的面积公式
M 通过M+1个等距点{( xk , f ( xk ))}k 0 存在唯一的 次数小于等于M的多项式PM(x)。当用该多 项式来近似[a,b]上的f (x)时，PM(x)的积分 就近似等于f (x)的积分，这类公式称为牛 顿－科特斯公式。当使用采样点x0=a和 xM=b时，称为闭型牛顿－科特斯公式
x3
x0
3h 3h5 (4) f ( x)dx ( f 0 3 f1 3 f 2 f3 ) f ( ) 8 80
布尔公式的精度为n=5，如果f∈C6[a,b]，则
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x4
x0
2h 8h7 (6) f ( x)dx (7 f 0华南师范大学数学科学学院f3 谢骊玲4 ) 32 f1 12 f 2 32 7 f f ( ) 45 945
组合辛普森公式
1
0
f ( x)dx
1/ 4 1 1 3 ( f (0) 4 f ( ) 2 f ( ) 4 f ( ) f (1)) 3 4 2 4 1 (1.00000 4(1.65534) 2(1.55152) 4(1.06666) 0.72159) 1.30938 12
x4
x0
利用N－C公式求数值积分
例7.1 函数f(x)=1+e-xsin(4x)，等距面积节点为x0=0.0, x1=0.5,x2=1.0,x3=1.5,x4=2.0,对应的函数值为f0=1.00000, f1=1.55152, f2=0.72159, f3=0.93765, f4=1.13390,h=0.5
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华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
组合公式
例7.3 在区间[0,1]上取相同的步长h=1/4，进行5次函数求值
组合梯形公式
x4
x0
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x) dx f ( x) dx
x0 x1 x2 x3
x1
0.5 3.5
0.5 3
1
1.5
-0.5
2 3
2.5
0.5
3
1
3.5
1.5
2
-0.5 2.5
[x0,x1]上y=P1(x)的梯形积分公式
-0.5 2.5
[x0,x2]上y=P2(x)的辛普森积分公式
-1 2
-1 2
-1.5 1.5
-1.5 1.5
-2 1
-2 1
-2.5 0.5
-2.5 0.5
0.5
布尔公式的结果 该定积分的真解
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(5)
5 0
t3 dt 4.8998922 t e 1
本章的目的是推导数值积分的基本原理
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几个简单的数值积分公式
左/中/右矩形公式
I f ( x)dx f ( a)(b a )
a b
I
b
a b
ab f ( x)dx f ( )(b a ) 2
x2
x3
x4
h h h h ( f 0 f1 ) ( f1 f 2 ) ( f 2 f3 ) ( f3 f 4 ) 2 2 2 2 h ( f 0 2 f1 2 f 2 2 f3 f 4 ) 2
组合辛普森公式 x
x4
0
f ( x)dx f ( x)dx f ( x )dx
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5
5
4
例7.2
该定积分的真解为
4
3
1
0
21e 4cos(4) sin(4) f ( x)dx 1.3082506046426 17e
3 2
2
1 5
1 5
0.5 4 -1 3 -2 2 -3 1 -4
1
1.5 4
2
0.5
2.5
1
[0,1]上y=P1(x)的梯形积分公式
对于辛普森3/8公式，h=1/3
1
0
f ( x)dx
3(1/ 3) 1 2 ( f (0) 3 f ( ) 3 f ( ) f (1)) 8 3 3 1 (1.00000 3(1.69642) 3(1.23447) 0.72159) 1.31440 8
对于布尔公式，h=1/4
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闭型牛顿－科特斯面积公式
定理7.1 设xk=x0+kh为等距节点，且fk=f(xk)。前4个闭型N－C 面积公式为 x1 h （梯形公式） x0 f ( x)dx 2 ( f0 f1 )
x2
x0
h f ( x)dx ( f 0 4 f1 f 2 ) 3
1
1.5
-0.5
2
2.5
0.5
3
1
3.5
1.5
2
-0.5
[x0,x3]上y=P3(x)的辛普森3/8积分公式
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-0.5
[x0,x4]上y=P4(x)的布尔积分公式
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N－C公式的精度
推论7.1 设f(x)充分可微，则N－C面积公式的E[f]包含一个高 阶的导数项。 梯形公式的精度为n=1，如果f∈C2[a,b]，则
（辛普森公式）
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x3
x0
3h f ( x)dx ( f0 3 f1 3 f 2 f3 ) （辛普森3/8公式） 8
2h f ( x)dx (7 f 0 32 f1 12 f 2 32 f3 7 f 4 ) （布尔公式） 45
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
步长的选择
因为各个公式所需节点个数不同，如果固 定求积区间[a,b]的端点，则对不同公式要 采用不同的步长。梯形公式、辛普森公式、 辛普森3/8公式和布尔公式的步长分别为 h=b-a,h=(b-a)/2,h=(b-a)/3和h=(b-a)/4
例7.2 分别将区间[0,1]作1、2、3、4等分
2013-7-29
第7章 数值积分
2013-7-29
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
数值积分问题
数值积分是工程师和科学家经常使用的基本工具， 用来计算无法解析求解的定积分的近似解
如： ( x)