27.23-四点共圆判定定理(1)PPT课件
四点共圆的判定和性质
四点共圆的判定和性质四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆．方法3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点.方法4:把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．方法6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这六种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB至E，AC、BD交于P，则A+C=180度，B+D=180°∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）∠CBE=∠D（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP×CP=BP×DP（相交弦定理）AB×CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）托勒密定理及证明：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB*CD+AD*BC=AC*BD证明：作∠BAE=∠CAD，交BD于点E∵∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ACD∴AB：AC=BE：CD∴AB×CD=AC×BE∵∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE∴△ABC∽△AED∴BC：DE=AC：AD∴BC×AD=AC×DE∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD拓展延伸：利用托勒密定理证明两角和公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ作图设圆内接四边形ABCD中,AC是直径,∠BAC=α,∠DAC=β,则∠BAD=α+β作直径BE,连接DE,则∠BED+∠BAD=180°sinα=BC/AC,sinβ=CD/ACcosα=AB/AC,cosβ=AD/ACsin(α+β)=sin∠BED=BD/BE=BD/ACsinαcosβ+sinβcosα=(BC×AD+AB×CD)/AC=AC×BD/AC=BD/AC=sin(α+β)由诱导公式得sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα。
7.四点共圆
四点共圆⼀一、四点共圆的定义如果同⼀一平⾯面内的四个点在同⼀一个圆上，则称这四个点共圆，⼀一般简称为“四点共圆”．⼆二、四点共圆的判定定理理：1、若四个点到⼀一定点等距离，则这四个点共圆．如图：OA=OB=OC=OD，即以O为圆⼼心，OA为半径画圆，此时A、B、C、D四点共圆.2、若⼀一个四边形的⼀一组对⻆角的和等于，则这个四边形的四个顶点共圆．如图：∠A与∠C互补，则A、B、C、D四点共圆.（圆的内接四边形对⻆角互补，反过来，则四点共圆）3、若⼀一个四边形的⼀一个外⻆角等于它的内对⻆角，则这个四边形的四个顶点共圆．如图：∠EDC=∠B，则A、B、C、D四点共圆.（同2）4、若两个点在⼀一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的⻆角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆．如图：∠A与∠D在BC上⽅方，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆.（圆中同弧所对的圆周⻆角相等，反过来则四点共圆）5、若、两线段和交于点，且，则、、、四点共圆．（圆幂定理理之相交弦定理理，反过来四点共圆）6、若、两线段延⻓长后相交于P．且，则四点共圆．(圆幂定理理之割线定理理，反过来四点共圆)7、若四边形两组对边乘积的和等于对⻆角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆．如图：四边形ABCD中，，则四点共圆．（圆内接四边形的托勒勒密定理理，反过来即是四点共圆.此⽅方法作了了解）判定四点共圆的⽅方法有⼀一个特点，均是圆中学习过的定理理的逆⽤用，在学习的时候可以从圆中定理理出发，这样记忆会更更快。
7个判定定理理的证明⽅方法这⾥里里不不作阐述，有兴趣可以⾃自⼰己证明。
1.如图，为、、、的斜边，求证：四点共圆．2.从的顶点到引垂线，从向、引垂线，垂⾜足为，求证：四点共圆．3.如图，在中，，中，，若三点在同⼀一直线上．连接、，点、、分别为、、的中点．求证．4.在梯形ABCD中，，，，分别在，上，．求证：．5.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对⻆角线AC，BD 交于点E，且DE=2EB，F为AC的中点．求证：（1）∠FBD=30°；（2）AD=DC．6.如图，正⽅方形中，为对⻆角线，将绕顶点逆时针旋转°（），旋转后⻆角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的⼤大⼩小是否改变，若不不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（不不必证明）；三、四点共圆的性质四点共圆有三个性质：（1）同弧所对的圆周⻆角相等（2）圆内接四边形的对⻆角互补（3）圆内接四边形的外⻆角等于内对⻆角以上性质可以根据圆周⻆角等于它所对弧的度数的⼀一半进⾏行行证明在考试当中，也是由这些性质过度到相似，进⽽而进⾏行行相似的证明和计算.其中，同弧所对的圆周⻆角相等这⼀一条⽤用得最多。
《四点共圆的条件》课件
如何证明四点共圆
01
02
03
塞瓦定理证明法
利用塞瓦定理的逆定理， 通过证明三点共线，进而 证明四点共圆。
反证法
假设四点不共圆，然后通 过一系列逻辑推理，最终 得出矛盾，从而证明四点 必定共圆。
相似三角形法
通过构建相似三角形，利 用相似三角形的性质来证 明四点共圆。
四点共圆的性质与实际应用
性质总结
要点一
总结词
要点二
详细描述
实际应用中的四点共圆问题主要涉及到几何图形在生活中 的实际应用，如建筑、机械等领域。
在建筑设计中，经常需要用到四点共圆的知识来确定建筑 物的位置和角度。在机械设计中，四点共圆的知识也被广 泛应用，例如在齿轮的设计中，需要用到四点共圆的知识 来确定齿轮的位置和角度。此外，在电路板的设计中，也 需要用到四点共圆的知识来确定元件的位置和角度。
02
四点共圆的条件
圆上三点确定一个圆的定理
总结词
三点确定一个圆的定理
详细描述
在平面几何中，任意三个不共线的点可以确定一个唯一的圆，该圆通过这三个点 。这个定理是几何学中一个基本且重要的定理，是研究圆和点关系的基础。
圆内接四边形的性质
总结词
内接四边形的性质
详细描述
圆内接四边形具有一系列重要的性质，如相对边相等、对角互补等。这些性质在证明四点共圆时常常用到，也是 几何学中的重要知识点。
VS
详细描述
如果一个四边形的对角线互相平分，则该 四边形的四个顶点共圆。这个性质可以通 过三角形三边的平方关系来证明。具体来 说，如果一个四边形的对角线互相平分， 则可以将该四边形划分为两个三角形，利 用三角形三边的平方关系，可以证明这两 个三角形的三个顶点与四边形的中心点共 圆。
再探四点共圆(精选优秀)PPT
课后作业：1.如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H， 且∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，∠BGC＝3∠A， 且GB=GC，，连结HG，求证：HG平分∠BHF
定理）两点同旁张一对等角，则四点共圆
善于观察，善于发现，善于思考是学习数学的法宝
△ABC外接圆所在平面有点D，则∠ADB与圆周角∠ACB的大小关系是？ 正方形ABCD的中心为O，面积为25，
C
P为正方形内一点，且∠OPB=45º，
，求PB
D在圆外，圆上A，B同旁所对的∠ADB---∠ACB
学而时习之，不亦悦乎？
5应用结论（定理）两点同旁张一对等角，则四点共圆
（你的猜想是两点同旁对一对等---角-，则-四---点-共圆） 请说出可信的理由
C
D
A
B
任何一个可信的道理都是真 理的一种形象。——布莱克
4．归纳结论
定理：两点同旁张一对-等---角-，则这四点共圆 几 何语言：-----.∵∠3=∠6，∴
A 1
2
3 4
B
8 D 若连CD,BA则还可得那些等角∴∠2=∠--7-
温故知新，发现规律
则归 这纳
个：
△ABC外接圆所在平面有点D，则∠ADB与圆周角
角圆 的中
∠ACB的大小关系是？ 1.D在圆外，圆上A，B同旁所对的∠ADB-小--∠于ACB 2.D在圆内，圆上A，B同旁所对的∠ADB-大--∠于ACB
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顶 点 在 圆 上
同 弦 所 对 的 一
5应用结论定理）两点同旁张一对等角，则四点共圆
例2.正方形ABCD的中心为O，面积为25， P为正方形内一点，且∠OPB=45º，AP 3 ，求PB
四点共圆条件 课件
已知点A（$- 1$，$- 1$），B（$- 2$，$- 3$），C（$- 3$ ，$- 2$），以点D（$- 1$，$- 2$）为圆心作圆，下列结论 正确的是( )
提高习题
题目：已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$和直线l ：$ax + by - ab = 0(a > 0,b > 0)$，则( )
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点，然后证明所得线段的两端分别平行于相对 两边的中点连线，最后证明该线段等于相对两边的中点连线的一半，从而证明 了四点共圆。
利用角平分线定理证明
总结词
通过角平分线定理，我们可以证明四 点共圆。
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点， 然后证明相对两边的中点连线将相对 的两个角平分，最后证明相对两边的 中点连线与相对的两边垂直，从而证 明了四点共圆。
A.直角三角形 B.等腰 三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
提高习题
题目
在直角坐标系中，$bigtriangleup ABC$三个顶点的坐标分 别是A（$- 3$，$0$），B（$- 1$，$- 2$），C（$- 2$，$1$），则$bigtriangleup ABC$外接圆的方程为____．
圆心是三个不共线点确定的三角形的 外心，而半径等于从圆心到圆上任一 点的距离。
圆的基本性质
圆的对称性
圆是中心对称和轴对称图形，对 称中心是圆心，任何经过圆心的 直线都可以将圆分成两个对称的 部分。
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于该弧所 对的圆心角的一半。
02
四点共圆的条件
证明几何定理
四点共圆判定定理ppt课件
了毕生精力.
姜立. 夫
9
.
3
巩固练习
练1. 如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦
AB，CD的两端的切线分别相交于P，Q．连 接OP和OQ分别交AB、CD于M、N. 求证：M 、N、P、Q四点共圆.
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4
提高练习
练2. 在锐角△ABC中，以BC为直径作圆与BC
边上的高AD及其延长线交于M，N.以AB为直
径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P，
Q.求证：M，P，N，Q四点共圆.
.5Leabharlann 挑战自己练3. 如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦
AB，CD的两端的切线分别相交于P，Q．求
证：OK⊥PQ.
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6
回味无穷
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7
课后作业
自选四道与四点共圆判定定理有关的题 （最好选择与判定定理4~5有关的，可以选 择本课件上的题） 温馨提醒： 1. 有代表性、有挑战性、有意义性； 2. 有题目、有图、有过程.
4. 若两线段AB、CD交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B 、C、D四点共圆；
5. 相交线段PA、PB上分别有异于P、A、B的点C、D， 且PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆.
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2
经典例题
例.在△ABC中，AB= AC，D为BC中点，且 BE⊥AC于E，交AD于P，已知BP=3，PE=1，求 PA的值.
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.24 四点共圆判定定理（2）
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1
知识链接
常见四点共圆的判定定理： 1. 若干个点与定点的距离相等，则这些点在同一圆周
上；
2. 点C、D在线段AB的异侧，且∠ACB+∠ADB=180° ，则A、B、C、D四点共圆；
四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若可以判断出OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。
若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。
3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，若∠A=∠C=90°，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
6、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PA ×PB=PC ×PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 。
四点共圆基本判断方法(超全)-课件
3.若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个 四边形的四个点共圆。
若∠B=∠CDE，则A、B、 C、D四点共圆证法同上
例 如图 所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，
过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点。
求证: C、D、E、 F 四点共圆。 A E
D
B
• 分析: 欲证 C、D、E、F 四点共圆，可证以 该四点构成的四 边形中，一组对角互补或外 角等于内对角即可。
• 因二角共用AB弧，则〈A≠<D， 与实际不符， 所以只有D点在△ABC外接圆上， 故A、B、C、D四点共圆。
5.同斜边的直角三角形的顶点共圆
如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D 四点共圆.
如图2，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点共圆.
• 分析指导：可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到 某一定点的距离相等.取斜边的中点O.，再连接A.C,利用斜边
FC
4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条 线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个 点和这条线段的两个端点共圆。
• 若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四 点共圆
用反证法： 已知：同侧△ABC和△CBD，共有底边CB， 〈A=〈D， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：
• 假设四点不在同一圆上， 作△ABC外接圆，则D点不在圆上，
中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。
A
A
D
C
D
B
C
B
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
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证：HK平分QS.
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5
提高练习
练3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在 BC上，且BM=AC，点N在AC上，且AN=MC ，AM与BN相交于P，求∠BPM.
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挑战自己
练4. 四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线 交于点F，DC、AB的延长线交于点E，EP切圆
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.23 四点共圆判定定理（1）
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1
知识链接
1. 常见四点共圆的判定定理： 2. 1. 若干个点与定点的距离相等，则这些点在同一圆
周上；
3. 2. 点C、D在线段AB的异侧，且 ∠ACB+∠ADB=180°，则A、B、C、D四点共圆
；
4. 3. 若点C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB， 则A、B、C、D四点共圆；
5. 4. 若两线段AB、CD交于E，且AE·EB=CE·ED，则 A、B、C、D四点共圆；
6. 5. 相交线段PA、PB上分别有异于P、A、B的点C、 D，且PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆.
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经典例题
例. 如图，锐角△ABC的三条高AD，BE，CF交 于H，在A，B，C，D，E，F，H七个点中，能
间直线球面变换法》．论文是在库利芝教授指导下完成的，内容是用
代数和微分几何方法来讨论Leabharlann 影空间的直线和非欧空间的球面之间的
对应关系，并获得了博士学位．学成之后回国，为中国数学事业贡献
了毕生精力.
姜立. 夫
10
组成四点共圆的组数有多少？
有多少个三角形？
有多少组相似三角形？又有多少对相似三角形？
有多少组三点共线？又有多少组三线共点？
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巩固练习
练1.如图，在△ABC中，∠B=50°，BE⊥AC 于E，CF⊥AB于F，∠AFE=80°，求∠A.
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提高练习 练2.已知PQRS是圆内接四边形，∠PSR=90°，
民的钱，就应当为人民做点好事．他立志要把现代数学移植于中
国．那时候，在中国，现代数学还谈不上有什么基础，他充分意识到，
他面临艰巨的任务．但他不考虑成败得失，用他自己的话说，就是
“不管时机是否成熟”．为了进一步充实自己，以便实现上述抱负，
他努力转到哈佛大学作研究生．1918年，他在哈佛受聘为助教，作为 奥斯古德教授的助手．1919年5月，他完成博士论文《非欧几里得空
于P，FS切圆于S，求证：EF2=EP2+FS2.
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回味无穷
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课后作业
自选四道与四点共圆判定定理有关的题 （最好选择与判定定理1~3有关的，可以选 择本课件上的题） 温馨提醒： 1. 有代表性、有挑战性、有意义性； 2. 有题目、有图、有过程.
预习四点共圆的判定.
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他是现代数学在中国最早而又最富成效的一位播种人，他1890年 生于浙江省平阳县(今苍南县)农村一个知识分子家庭．他6岁丧父，10
岁丧母，以后主要由哥嫂抚养成长。后来到美国后，他入加利福尼亚 州的加州大学(伯克利)，专攻数学．1915年获学士学位．那时民国虽
已成立数年，中国的贫弱落后面貌依旧．他认为，中国要富强起来，
需要科学，数学是科学的基础，因而也需要数学．他还认为，他到美
国，用的是美国退回的庚子赔款，那是中国人民血汗换来的，用了人