自动控制原理拉氏变换
自动控制原理(拉氏变换)
置信号。
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§3-1控制系统的暂态响应分析
② 斜坡（匀速）输入
xr(t)
0 t0
A
xr
(t)
At
t0
0
t
相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号， 该恒速度为A。
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§3-1控制系统的暂态响应分析
③抛物线（匀加速）输入
xr(t)
0 t0
xr
(t
)
At2
t0
0
t
相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置 信号，该恒加速度为A。
tu(t)
1 s2
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例5正弦函数
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周期函数的拉普拉斯变换
可以证明:若 f (t)是周期为T 的周期函数,即
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
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§2-2非线性数学模型的线性化
2. 数学描述 设系统的输入为x(t),输出为y（t）， 且满足y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。 设t=t0时，x=x0,y=y0为系统的稳定工作点
（x0,y0）, y(t)
y(t) f (x)
y0
x0
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x(t)
§2-2非线性数学模型的线性化
k R.
解
ℒ
f (t)
ektest dt e(sk )t dt 1
0
0
sk
ekt 1
sk
Res k
例4
求单位斜坡函数
拉氏变换)
1 1 3 1 2 1 1 1 F(s) . . . . 2 (s 1 )2 4 s 1 3 s 12 s 3 1 t 3 t 2 1 3t f(t) te e e 2 4 3 12
常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法
利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其 基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性 性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉 斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分 方程（或方程组）的解.
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 （2）微分定理
f ( n ) (t ) s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f ( n 1) (0) ℒ
（3）积分定理
（4）实位移定理
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
（终值确实存在时）
应用拉氏变换的终值定理求 y ()
注意拉氏变换终值定理的适用条件：
sY ( s) 的极点均处在复平面的左半边。
不满足终值定理的条件。
事实上：
《自动控制原理》国家精品课程
浙江工业大学自动化研究所
9
四 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F(s)
12 12 s1 s 3
f(t)
1 t 1 3t e e 2 2
s 2 5s 5 例3 已知 F ( s ) 2 ，求 f ( t ) ? s 4s 3
( s 2 4 s 3) ( s 2 ) s2 F(s) 1 2 解. s 4s 3 ( s 1)( s 3) 1 1 f(t) ( t ) e t e 3 t 2 2
自动控制原理-附录Z变换
z 变换理论z 变换是从拉氏变换引申出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的重要数学工具。
一、 z 变换定义由式(8-5)，采样信号)(*t e 的拉氏变换∑∞=-=0*)()(n nsT e nT e s E (1-1)可见()E s *为s 的超越函数。
为便于应用，进行变量代换sTe z = （1-2）将式(8-19)代入式(8-18)，则采样信号)(*t e 的z 变换定义为∑∞=-===0ln 1*)()()(n n z Ts z nT e s E z E (1-3)z 变换定义式（1-3）表示变量n z -的系数代表连续时间函数在采样时刻nT 上的采样值。
有时也将)(z E 记为[][])()()]([)(*s E Z t e Z t e Z z E === (1-4)这些都表示对离散信号)(*t e 的z 变换。
二 z 变换方法常用的z 变换方法有级数求和法和部分分式法。
1. 级数求和法根据z 变换的定义，将连续信号)(t e 按周期T 进行采样，将采样点处的值代入式（1-3），可得+++++=---n z nT e z T e z T e e z E )()2()()0()(21再求出上式的闭合形式，即可求得)(z E 。
例1-1 对连续时间函数⎩⎨⎧<≥=)0(0)0()(t t a t e t按周期1=T 进行采样，可得⎩⎨⎧<≥=)0(0)0()(n n a n e n试求)(z E 。
解 按(1-3)z 变换的定义++++===---∞=-∞=-∑∑31211010)()(1)()()(az az az az znT e z E n n n n若a z >，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为a z az zz E >-=)(2. 部分分式法（查表法）已知连续信号)(t e 的拉氏变换)(s E ，将)(s E 展开成部分分式之和，即)()()()(21s E s E s E s E n +++=且每一个部分分式,,2,1,)(n i s E i =都是z 变换表中所对应的标准函数，其z 变换即可查表得出)()()()(21z E z E z E z E n +++=例1-2 已知连续函数的拉氏变换为)1(2)(2++=s s s s E 试求相应的z 变换)(z E 。
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换复习课程
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换附录1. 拉普拉斯变换附录1.1拉氏变换的定义如果有一个以时间为变量的函数()f t ，它的定义域是0t >，那么拉氏变换就是如下运算式()()st t F s f t e dt ∞=⎰ A-1式中s 为复数。
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是 （1） 在0t <时，()0f t =；（2） 在0t ≥时的任一有限区域内，()f t 是分段连续的； （3） 0()st f t e dt ∞<∞⎰在实际工程中，上述条件通常是满足的。
式A-1中，()F s 成为像函数，()f t 成为原函数。
为了表述方便，通常把式A-1记作()[()]F s L f t =如果已知象函数()F s ，可用下式求出原函数1()()2c j st c j f t F s e ds j π+∞-∞=⎰ （A-2）式中c 为实数，并且大于()F s 任意奇点的实数部分，此式称为拉氏变换的反变换。
同样，为了表述方便，可以记作1()[()]f t L F s -=为了工程应用方便，常把()F s 和()f t 的对应关系编成表格，就是一般所说的拉氏变换表。
表A-1列出了最常用的几种拉氏变换关系。
一些常用函数的拉氏变换附录1.1.1单位阶跃函数的拉氏变换这一函数的定义为0, 0()0, 0t u t t <⎧=⎨>⎩它表示0t =时，突然作用于系统的一个不变的给定量或扰动量，如图3-1所示。
单位阶跃函数的拉氏变换为0011()[]st st F s e dt e s s∞--∞==-=⎰ 在进行这个积分时，假设s 的实部比零大，即Re[]0s >，因此lim 0st t e -→∞→附录1.1.2 单位脉冲函数的拉氏变换单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。
它是在持续时间0ε→期间内作用的矩形波，其幅值与作用时间的乘积等于1，如图3-3所示。
自动控制原理拉氏变换
3.拉氏变换的基本定理 ¾线性定理
若函数分别有其拉氏变换：
f1(t) ⇒ F1(s) f2 (t) ⇒ F2 (s) 则
L[af1(t) + bf2 (t)] = aF1 (s) + bF2 (s)
¾延迟定理
若 f (t) ⇒ F (s)
则
L[ f (t −τ )] = e−τs F (s)来自根据拉氏变换的 基本定理
部
分
分母全部为单根
分
式
法
分母有重根
¾A(s)=0 全部为单根
ai 为F (s) 对应于极点 si 的留数。
例:已知 解：
求 F (s) 拉氏反变换。
¾A (s) =0 有重根
。。。。。。
例：求
解：
的拉氏反变换 f (t) 。
例：已知
解：
，试求其 f (t)
6. 应用拉氏变换解微分方程
¾ 方程两边作拉氏变换 ¾代入初始条件和输入信号 ¾写出输出量的拉氏变换
¾作拉氏反变换求出系统输出的时间解
例 RC滤波电路如图所示，输入电压信号Ui(t)=5V，
电容的初始电压 Uc(0) 分别为 0V 和1V 时，分
别求时间解Uc(t)。
解：
¾Uc(0)=0V 时 ¾Uc(0)=1V 时
¾终值定理
若 f (t) ⇒ F (s) 且 f (∞) 存在，则
¾卷积定理
若 f1(t) ⇒ F1(s) f2 (t) ⇒ F2 (s) 则
求 ？
4. 拉氏变换的优点：
¾简化函数
¾简化运算
5. 拉氏反变换
拉氏变换： 已知 f ( t ) → 求 F (s) 拉式反变换： 已知 F (s) → 求 f ( t )
自动控制原理简明教程第二版2.第二章习题答案
P
1
n k 1
pk k
P11 P22
G6
1
G1G2G3G4G5 G2G3H2 G3H1
G3G4
H3
2-15(c) 试用梅森公式求下图的传递函数C(s)/R(s).
梅森公式求得的传递函数：
P
ed(1 bg) abcd
1 (af bg ch ehgf ) afch
(3) 代入初始条件，得到输出量的拉氏形式:
d 2c(t) 3 dc(t) 2c(t) 2r(t)
dt 2
dt
s2C(s) sc(0) c(0) 3{sC(s) c(0)} 2C(s) 2R(s)
s2C(s) s 3sC(s) 3 2C(s) 2 s
与前向通路的P1（增益=ed）对应的余子式Δ1?
1 1 bg
与前向通路的P1（增益=abcd）对应的余子式Δ2?
梅森公式求得的传递函数：
2 1
P
1
n k 1
pk k
P11 P22
1 (af
ed(1 bg) abcd bg ch ehgf ) afch
2-6.已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 c(t) 1 e2t et
试求系统的传递函数和脉冲响应。
第一步：对系统响应进行拉氏变换
C(s) 1 1 1 s2 4s 2 1 s2 4s 2 R(s) s s 2 s 1 (s 1)(s 2) s (s 1)(s 2)
3 1
(s)
1
n k 1
自动控制原理--用拉氏变换求解线性微分方程
R
u0 uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc t
应用拉a)氏变换法求解微分b方) 程的步骤归纳如下：
（1）对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，将微分方 程变成关于的代数方程；
（2）整理代数方程，求得待求函数的拉氏变换表达式；
（3）对拉氏变换式进行反变换得到待求函数的时域表达 式，即微分方程的解。
压
uc
(0)，求开关瞬时闭合后T 电容R 的端电压u0uc
t 。
uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc
解：网络的微分方程为 RC 两边进行拉氏变换得 sRCU
cd(aus)dc)t(t)RCuucC(t()0)uU0
C
(s)
1 s
U
0
(s)b)
t
所以
U (s) U0 RC U (0)
1．线性性质
设F1(s) L f1(t) ，F2(s) L f2(t)，a，b 均为常数，则有
Laf1(t) bf2(t) aL f1(t)bL f2(t) aF1(s) bF2(s)
2．微分性质
若L f (t) F(s) ，则有 L f '(t) sF (s) f (0)
3．积分性质
F (s)
s1）m1
s s1 s sm1
s sn
… cm1
lim
s s1
d ds
(s
s1 ) m
F (s)
cm j
1 dj lim
j! ss1 ds j
(s s1)m F(s)
…
c1
1
自动控制原理第一讲_拉氏变换
第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。
3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。
4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。
而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。
2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。
应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。
3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。
即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。
显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。
例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。
解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。
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s
δ(t )
d [
ε(t )]
S
1
1
dt
S
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
3.积分性质
重点！
设： [ f (t)] F(s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
F(s) s
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ(s)
[ f (t)]
dt
F(s) K - Ke-t
K K Ka s s a s(s a)
2. 微分性质
若： f (t) F(S) udv uv vdu
则
df ( t dt
)
sF ( s )
f
(0 )
重点！
证：
df ( t dt
例13-8
求：F(s)
s2
1 (s 1)3
的原函数f
(t)
解
F(s)
K22 s
K21 s2
K13 (s 1)
K12 (s 1)2
K11 (s 1)3
以(s+1)3乘以F（s）
(s
1)3
F (s)
1 s2
1
K11 s2 s1 1
K12
d ds
1 s2
s1
注 f (t t0) 0 当 t t0
证：
f(t - t0 )
0
f (t t0 )estdt
f (t t )e e dt
s( t t0 ) st0
t0
0
e 令t t0 st0 f (τ )esτdτ est0 F (s) 0
0
A1 f1( t ) A2 f2( t ) estdt
0
A1
f1(
t
)e st dt
0
A2
f2
(
t
)e
st dt
A1F1( S ) A2F2( S )
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。
dt 0
f (t)dt
应用微分性质
t
F (s) sφ(s) 0 f (t)dt t0
φ(s) F (s) s
例13-4 求: f (t) t的象函数
解
L f
(t)
1 s
1 s
1 s2
熟记！
4.延迟性质
重点！
设： [ f (t)] F (s) 则： [ f (t t0 )] est0 F(s)
例13-2（1） 求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s) sin (t)
1
2
j
(e
j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2
2
熟记！
例13-2 （2）
求 : f (t) K(1- e-t )的象函数
e st0 延迟因子
例13-5
求矩形脉冲的象函数
解 f (t) (t) (t T)
根据延迟性质 F (s) 1 1 esT ss
f(t) 1
Tt
[ f (t t0)] est0 F(s)
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：
3s 2
2s 1 14s 10
s0
0.1
F (s) K1 K2 K3 S S2 S5
K2 0.5
K3 0.6
f (t) 0.1 0.5e2t 0.6e5t
2 若D(s) 0有共轭复根
p1 α jω
一对共轭复根为：
p2
α
对于单根，仍采用
公式计算。
为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3， 则K11被单独分离，即
则
K11＝(s-p1)3F(s)|s＝p1
再对式(13-8)两边对s求导一次，K12被分离，即
同样方法得 推论得D(s)＝0具有q阶重根，其余为单根时分解式为
式中：
如D(s)＝0具有多个重根时，对每个重根分别利用上 述方法即可得各系数。
象函数的一般形式：
F(s)
N(s)
a0 s m
a sm1 1
am
(n
m)
D(s)
b0 s n
b sn1 1
bn
设n m，F(s)为真分式
1 若D(s) 0有n个单根分别为p1 pn
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
F (s) k1 k2 kn
jω
重点！
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e jθ K2 K e-jθ f (t) (K1e( j)t K2e( j)t ) ( K e j e( j)t K e j e( j)t )
K et [e j(t ) e j(t ) ] 2 K et cos(t )
若 [ f1( t )] F1( S ) , [ f2( t )] F2( S )
则 A1 f1( t ) A2 f2( t ) A1 f1( t ) A2 f2( t )
A1F1( S ) A2F2( S )
证：
A1 f1( t ) A2 f2( t )
f (t) Mect t [0, )
则 f (t)estdt Me (sc)tdt M
0
0
sC
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
3.典型函数的拉氏变换
重点！
F (S) 0 f (t )estdt
例13-1
(1)单位阶跃函数的象函数
f (t) (t)
熟记！
F(s)
[ (t)]
(t)estdt
0
0 e stdt
1 est 1 s 0s
(2)单位冲激函数的象函数
熟记！
f (t) (t)
F (s)
[ (t)]
(t)estdt
小结
由F(s)求f(t) 的步骤：
1. n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和
)
df ( t )estdt 0 dt
estdf ( t )
0
est f (t)
est f (t )(s)dt
0
0
f (0 ) sF(s)
例13-3(1)求 : f (t) cos( t )的象函数
解 dsin(ωt) ωcos(ωt) cos(ωt) 1 dsin(ωt)
13.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函
数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变
换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域 的代数方程以便求解。
例 熟悉的变换
1 对数变换 把乘法运算变换为加法运算
A B AB
lg A lg B lg AB
2. 拉氏变换的定义 t < 0 , f(t)=0
一个定义在【0，+∞）区间的函数f(t),它的拉普拉斯变换 式定义为：
F (s)
f (t )e stdt
0
f (t)
1
c j F (s)e stds
2j c j
正变换 反变换
拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s 域内的复变函数F(s)
0
0 ( t )estdt 0
es0 1
(3)指数函数的象函数
f ( t ) eat
熟记！
F( s )
e e e dt at
at st 0
1 1 e(sa)t
sa
0 sa
13.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
重点！
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
简写
F (S)
f (t)
f (t) 1 F (S)
正变换 反变换
注 1 F (S) f (t )estdt 0 f (t )estdt f (t )estdt
(1)利用公式
f (t) 1
c
j
F
( s )e st ds
2πj c j
(2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数
(3)把F(S)分解为简单项的组合
部分分式 展开法
F (s) F1(s) F2(s) Fn(s)
f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
一对共轭复根为：
p1 p2
α α
jω jω