第6讲 函数的三要素(二)(必修1)第6讲 讲义
高中数学必修1函数讲义--函数的三要素
高一函数讲义一、求函数定义域1、使得x 在实数范围内让解析式可以正常运算的x 的范围。
① 分式的分母不等于0；② 偶次根式被开方式大于等于0；③ 对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；④ 指数为0时，底数不等于0【例1】求下列函数的定义域（1）21x y += （2）lgcos y x (3)y=lg(a x -kb x ) (a,b>0且a,b≠1，k ∈R)[解析]（1）依题有1021021032403241x x x x ≠+>⎪⎪+≠⎨⎪->⎪⎪-≠⎩ 4112052log 31x x x x x ≠±⎧⎪⎪>-⎪⎪⇒≠⎨⎪⎪<⎪⎪≠⎩ ∴函数的定义域为415{|0,1,log 31}22x x x -<<≠且 (2)依题意有2250cos 0x x ⎧-≥⎨>⎩ 5522()22x k x k k z ππππ-≤≤⎧⎪⇒⎨-<<+∈⎪⎩∴函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222ππππ--⋃-⋃ （3）要使函数有意义，则a x -kb x >0，即xa kb ⎛⎫> ⎪⎝⎭①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则log a b x k > 定义域为{x|log a b x k >}(Ⅱ)若0<a<b ，则log a b x k <， 定义域为{x|log a bx k <}(Ⅲ)若a=b>0，则当0<k<1时定义域为R ；当k≥1时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x 的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组)。
2、抽象函数的定义域：(1)已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域。
例：已知)(x f 定义域为[0,1]，求函数)32(-=xf y 的定义域 (2)已知))((xg f 的定义域，求)(x f 的定义域。
高考数学专题讲座 第6讲 三角函数的图象与性质
π 高考数学专题讲座 第6讲 三角函数的图象与性质一、考纲要求1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义．3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数)sin(ϕω+=x A y )的简图，理解A 、ω、ϕ的物理意义． 二、基础过关1．函数||sin x x y +=，],[ππ-∈x 的大致图象是（ ）．y y y yπ π π -πo π x -π o π x -π o π x -π o π x-π -π -πA B C D2．（2002北京）已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是（ ）．A ． )3,2()1,0(2,3(ππ --B ． )3,2()1,0()1,2(ππ --C ． )3,1()1,0()1,3( -- 0 1 2 3 xD ．)3,1()1,0(2,3( π--3．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ）． A ．21-B ．21 C ．23-D ．23 4．给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=3π对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（ ）．A ．y = sin(2x +6π) B ．y = sin(2x+6π) C ．y = sin|x| D ．y = sin(2x －6π)5．下列四个结论中正确的个数有 ( )．①y = sin|x|的图象关于原点对称；②y = sin(|x|+2)的图象是把y = sin|x|的图象向左平移2个单位而得；③y = sin(x+2)的图象是把y = sinx 的图象向左平移2个单位而得；④y = sin(|x|+2)的图象是由y = sin(x+2)( x ≥0)的图象及y = －sin(x-2) ( x<0)的图象组成的． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个y6．把函数y = cos(x+3π)的图象向左平移m 个单位(m>0), 所得图象关于y 轴对称, 则m 的最小值是 ． 7．函数y = 2sin(4π+2x )cos(4π+2x )+asinx (x ∈R)的图象关于x=8π对称, 则g(x)= asin(a+1)x 的最小正周期是 ． 三、典型例题例1 已知函数f(x)=tan(3πsinx)． （1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan 32π在区间（－π，π）上解的个数．例2 已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，求常数a 、b 的值．例3 已知函数3cos 33cos 3sin )(2x x x x f +=． （1）将)(x f 写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （2）函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的变换得到？（3）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域．例4 设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，已知不论βα,为何实数恒有)(sin αf ≥0，)cos 2(β+f ≤0．（1）求证：1-=+c b ； （2）求证：c ≥3；（3）若函数)(sin αf 的最大值为8，求b ，c 的值．四、 热身演练1．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ ）．A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ2．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（ ）．A ．若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB ．若α、β是第二象限，则tan α>tan βC ．若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD ．若α、β是第四象限角，则tan α>tan β 3．下列命题中正确的是（ ）．A ．x y tan =是增函数B ．x y sin =在第一象限是增函数C ．x y arccos 2-=π是奇函数 D ．x y sin =的反函数是x y arcsin =4．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象( )．A ．沿x 轴向左平移8π单位 B ．沿x 轴向右平移8π单位 C ．沿x 轴向左平移4π单位 D ．沿x 轴向右平移4π单位5．若2sin 2α+sin 2β－2sin α=0则cos 2α+cos 2β的取值范围是（ ）．A ．[1,5]B ．[1,2]C ．[1,49] D ．[－1,2]6．在∆ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求 2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ⋅++的值 为 ．7．设直角三角形ABC 的内切圆半径与外接圆半径分别为r 的R ，则Rr的最大值为 ．8．设函数)sin()(ϕω+=x x f ，（0>ω，22πϕπ<<-）给出下列四个论断：（1）它的周期为π； （2）它的图象关于直线x =12π对称；（3）它的图象关于点（3π,0）对称； （4）在区间(－6π,0)上是增函数．以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题： ． 9．（1）已知sin(4π+α)·sin(4π－α)=61, α∈(2π,π)，求sin4α；（2）已知 cos(x+4π)=53,45π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值．10．如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b．（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．11．已知函数f(x)是定义域为一切实数且图象关于x=3对称的奇函数，f(1)=1且 523sin cos =-x x ． 求证：（1）函数)(x f 是周期函数；（2）求])4cos(2sin 15[π+x xf 的值．12．已知⊙O 的半径为2，在它的内接三角形ABC 中，有()()B b a C A sin sin sin 2222-=-成立，求△ABC面积S 的最大值．π 三角函数的图象与性质一、考纲要求1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义．3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数)sin(ϕω+=x A y )的简图，理解A 、ω、ϕ的物理意义． 二、基础过关1．函数||sin x x y +=，],[ππ-∈x 的大致图象是（ C ）．y y y yπ π π -πo π x -π o π x -π o π x -π o π x-π -π -πA B C D2．（2002北京）已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是（ B ）．A ． )3,2()1,0(2,3(ππ --B ． )3,2()1,0()1,2(ππ --C ． )3,1()1,0()1,3( -- 0 1 2 3 xD ．)3,1()1,0(2,3( π--3．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ D ）． A ．21-B ．21 C ．23-D ．23 4．给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=3π对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（ D ）．A ．y = sin(2x +6π) B ．y = sin(2x+6π) C ．y = sin|x| D ．y = sin(2x －6π)5．下列四个结论中正确的个数有（ B ）．①y = sin|x|的图象关于原点对称；②y = sin(|x|+2)的图象是把y = sin|x|的图象向左平移2个单位而得；③y = sin(x+2)的图象是把y = sinx 的图象向左平移2个单位而得；④y = sin(|x|+2)的图象是由y = sin(x+2)( x ≥0)的图象及y = －sin(x-2) ( x<0)的图象组成的． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个y6．把函数y = cos(x+3π)的图象向左平移m 个单位(m>0), 所得图象关于y 轴对称, 则m 的 最小值是 ．32π 7．函数y = 2sin(4π+2x )cos(4π+2x )+asinx (x ∈R)的图象关于x=8π对称, 则g(x)= asin(a+1)x 的最小正周期是 ．π2三、典型例题： 例1 已知函数f(x)=tan(3πsinx)． （1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan32π在区间（－π，π）上解的个数． 解：（1）∵－1≤sinx ≤1 ∴ －3π≤3πsinx ≤3π． 又函数y=tanx 在x=k π+2π(k ∈Z)处无定义，且（－2π，2π）[－3π,3π]（－π, π），∴令3πsinx=±2π，则sinx=±23解之得：x=k π±3π(k ∈Z)∴f(x)的定义域是A={x|x ∈R ，且x ≠k π±3π，k ∈Z}∵tanx 在（－2π，2π）内的值域为（－∞，+∞），而当x ∈A 时，函数y=13πsinx 的值域B 满足（－2π，2π） B∴f(x)的值域是（－∞，+∞）．（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=3π和x=32π处无定义．设t=3πsinx ，则当x ∈[0, 3π)∪（3π，32π）∪（32π，π）时，t ∈[0, 2π)∪(2π,3π]，且以t 为自变量的函数y=tant 在区间（0，2π），（2π，3π]上分别单调递增．又∵当x ∈[0，3π]时，函数t=3πsinx 单调递增，且t ∈[0, 2π)，当x ∈（3π，2π]时，函数t=3πsinx 单调递增，且t ∈（2π, 3π]当x ∈[2π，32π)时，函数t=3πsinx 单调递减，且t ∈（2π, 3π]当x ∈（32π，π）时，函数t=3πsinx 单调递减，且t ∈（0，2π） ∴f(x)=tan(13πsinx)在区间[0，3π),（3π,2π]上分别是单调递增函数；在),32(),32,2[ππππ上是单调递减函数．又f(x)是奇函数，所以区间（－3π，0]，[－2π，－3π)也是f(x)的单调递增区间]2,32(),32,[ππππ----是f(x)的递减区间． 故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－2π，－3π)，（－3π，3π），（3π，2π]单调递减区间为),32(),32,32(),32,[ππππππ---． （3）由f(x)=tan 32π得：tan(3πsinx)=tan(32π)⇔3πsinx=k π+32π （k ∈Z ）⇔sinx=k 3+36(k ∈Z)① 又∵－1≤sinx ≤1，∴323323-≤≤--k ∴k=0或k= －1当k=0时，从①得方程sinx=36 当k=1时，从①得方程sinx= －3+36 显然方程sinx=36,sinx= －3+36，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tan 32π在区间（－π，π）上共有4个解．例2 已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，求常数a 、b 的值．解：∵ ()b a x a x a x f ++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π ．∵ 20π≤≤x ，∴ 32323πππ≤-≤-x ，∴ 1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ．当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b ，∴ ⎩⎨⎧-==+.513b b a ， 解得 ⎩⎨⎧-==.52b a ，当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．∴ ⎩⎨⎧=-=+.153b b a ， 解得 ⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为 ⎩⎨⎧-==52b a 或 ⎩⎨⎧=-=12b a例3 已知函数3cos 33cos 3sin )(2xx xx f +=． （1）将)(x f 写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （2）函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的变换得到？（3）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域．解：（1）23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(++=++=++=πx x x x x x f 由)332sin(π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ213)(332得即对称中心的横坐标为z k k ∈-，π213（2）将函数x y sin =的图象依次进行如下变换：① 把函数x y sin =的图象向左平移3π，得到函数)3sin(π+=x y 的图象； ② 把得到的图象上各点横坐标伸长到原来的23倍（纵坐标不变），得到函数)632sin(π+=x y 的图象；③把得到的图象向上平移23个单位长度，得到函数)632sin(π+=x y +23的图象；（3）由已知b 2=a c，，，，，，231)332sin(31)332sin(3sin |295||23|953323301cos 21212222cos 22222+≤+<∴≤+<∴->-≤+<≤<<≤∴=-≥-+=-+=πππππππππππx x x x x ac ac ac ac ac c a ac b c a x 即)(x f 的值域为]231,3(+. 综上所述，]3,0(π∈x ， )(x f 值域为]231,3(+.例4 设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，已知不论βα,为何实数恒有)(sin αf ≥0，)cos 2(β+f ≤0．（1）求证：1-=+c b ； （2）求证：c ≥3；（3）若函数)(sin αf 的最大值为8，求b ，c 的值．解： (1) ]1,1[sin -∈α ， ]3,1[cos 2∈β+， 0)(sin f ≥α 又 ， 0)cos 2(f ≤β+ 恒成立.0)1(f ≥∴ ， 0)1(f ≤， 即 0)1(f = 恒成立. ∴01=++c b ， 即 1c b -=+.（2）0)3(f ≤ ， 0c b 39≤++∴， ∴0)1(39≤+--+c c ， ∴3≥c .（3）由题意可知： 上为减函数，在]11[)x (f -，∴c b f +-=-=1)1(8 ①， 1c b -=+ ② ，由 ① ，② 可得 b = 4- ,c = 3 .四、热身演练：1．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（ C ）．A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ2．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（ D ）．A ．若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB ．若α、β是第二象限，则tan α>tan βC ．若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD ．若α、β是第四象限角，则tan α>tan β 3．下列命题中正确的是（ C ）．A ．x y tan =是增函数B ．x y sin =在第一象限是增函数C ．x y arccos 2-=π是奇函数 D ．x y sin =的反函数是x y arcsin =4．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象（ A ）．A ．沿x 轴向左平移8π单位 B ．沿x 轴向右平移8π单位 C ．沿x 轴向左平移4π单位 D ．沿x 轴向右平移4π单位5．若2sin 2α+sin 2β－2sin α=0则cos 2α+cos 2β的取值范围是（ A ）．A ．[1,5]B ．[1,2]C ．[1,49] D ．[－1,2]6．在∆ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求 2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ⋅++的值 为 ．37．设直角三角形ABC 的内切圆半径与外接圆半径分别为r 的R ，则Rr的最大值为 ．12-8．设函数)sin()(ϕω+=x x f ，（0>ω，22πϕπ<<-）给出下列四个论断：（1）它的周期为π； （2）它的图象关于直线x =12π对称；（3）它的图象关于点（3π,0）对称； （4）在区间(－6π,0)上是增函数．以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题： ． （1）（2）→（3）（4）或（1）（3）→（2）（4）9．（1）已知sin(4π+α)·sin(4π－α)=61, α∈(2π,π)，求sin4α；（2）已知 cos(x+4π)=53,45π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值．解 （1）∵α+4π+4π－α=2π∴sin(4π－α)=cos(4π+α)∴sin(4π+α)·sin(4π－α)=sin(4π+α)·cos(4π+α)=21sin(2π+2α)= 21cos2α= 61又∵π<2α<2π,cos2α=31，∴sin2α= －322，∴sin4α=2sin2α·cos2α= －924．（2）原式=xx x x x sin cos )sin (cos cos sin 2-+α=)4cos(2)4sin(22sin ππ++⋅x x x=－cos(2x+2π)tan(x+4π) =[1－2cos 2(x+4π)]tan(x+4π)而cos(x+4π)=53,tan(x+4π)= －34，代入得：原式= －7528．10．如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b ．（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；（2）图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象． ∴ωπ221⋅=14－6，解得ω=8π，由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20， 这时y =10sin(8πx +φ)+20，将x =6,y =10代入上式可取φ=43π．综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈［6,14］．11．已知函数f(x)是定义域为一切实数且图象关于x=3对称的奇函数，f(1)=1且 523sin cos =-x x ． 求证：（1）函数)(x f 是周期函数；（2）求])4cos(2sin 15[π+x x f 的值．解：∵函数f(x)的图象关于x=3对称，∴f(－x)=f(6+x)，∵函数f(x)又是奇函数，∴f(6+x)=f(－x)=—f(x)，f(x+12)=－f(x+6)=f(x)，∴函数f(x)的周期为1， ∴函数f(x)是周期函数．cosx －sinx=2cos(x+4π)=523，∴cos(x+4π)=53,)4cos(2sin 15π+x x =)4cos()22cos(15ππ++-x x =－)4cos()1)4(cos 2(152ππ+-+x x =7,f[)4cos(2sin 15π+x x ]=f(7)=f(6+1)=f(－1)=－f(1)=－1．12．已知⊙O 的半径为2，在它的内接三角形ABC 中，有()()B b a C A sin sin sin 2222-=-成立，求△ABC面积S 的最大值．解：∵()()B b a C A sin sin sin 2222-=-，又2R=22，由正弦定理得：22[22)2()2(RcR a -]=（a －b ）R b 2，∴a 2+b 2－c 2=ab,∴cosC=21 ∴∠C=3π．S=21absinC=B A B R A R sin sin 32sin 2sin 243=⋅⋅=－3[cos(A+B)－cos(A-B)]．∵A+B=32π，∴s=23+3cos(A －B), 故当cos(A －B)=1时,即A=B=3π时,△ABC 面积S 的最大值为233．。
高一数学函数的三要素知识点
高一数学函数的三要素知识点在高一数学学习中，函数是一个重要的概念和工具。
理解和掌握函数的三要素是学好数学的基础。
本文将介绍函数的三要素的知识点，包括定义域、值域和图像。
一、定义域定义域是指函数所能接受的自变量的取值范围。
对于一个函数来说，它并不是任意定义的，而是有一定的限制。
在确定定义域时，需要考虑函数中出现的各种运算，比如平方根、分母不能为零等。
例如，对于函数y = √x，由于不能对负数开平方根，因此定义域为x ≥ 0；对于函数y = 1/x，由于分母不能为零，因此定义域为x ≠ 0。
需要注意的是，对于一些复杂的函数，确定定义域可能需要借助一些技巧和方法。
二、值域值域是函数所有可能的输出值的集合。
它是定义域经过函数变换后得到的结果。
确定值域的方法通常有两种：代数方法和图像法。
在使用代数方法确定值域时，可以分析函数的性质和特点，并求出函数的最值。
例如，对于函数y = x^2，在定义域为实数集时，函数的最小值为0，因此值域为y ≥ 0；对于函数y = sinx，在定义域为实数集时，由于正弦函数的取值范围是[-1, 1]，因此值域为-1 ≤ y ≤ 1。
图像法是通过作出函数的图像来确定值域。
通过观察函数的图像，我们可以直观地判断函数的值域。
例如，对于函数y = 2x + 1，在作出其图像后，我们可以看到函数的图像是一条直线，它包含了所有的实数，因此值域为实数集。
三、图像函数的图像是函数在坐标系上的表示。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和特点，进而更好地理解函数的三要素。
在绘制函数的图像时，需要根据定义域和值域的情况选择适当的坐标系和标尺。
对于简单的函数，可以通过画出一些特殊点和关键点，再通过描点连线的方法绘制函数的图像；对于复杂的函数，则可以借助计算机绘图工具进行绘制。
无论使用哪种方法，绘制的图像应该准确反映函数的性质，直观地展示函数的变化趋势。
综上所述，函数的三要素——定义域、值域和图像，是理解和掌握高一数学函数的关键知识点。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第6讲 函数及其表示
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第6讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．➢考点1 函数的概念[名师点睛]（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C.2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，()f x ，()g x 是同一函数的是（ ）A ．()2f x x =，()4g x x =B ．()2log a f x x =，()2log a g x x =C ．()4121x x f x -=-，()21x g x =+D ．()11f x x x --()11g x x x --【答案】D 【解析】解：对于A 选项，()2f x x =的定义域为R ，()4g x x =的定义域为[)0,∞+，故不满足；对于B 选项，()2log a f x x =的定义域为{}0x x ≠，()2log a g x x =的定义域为()0,∞+，故不满足；对于C 选项，()4121x x f x -=-的定义域为{}0x x ≠，()21xg x =+的定义域为R ，故不满足；对于D 选项，()f x ，()g x 的定义域均为{}1，对应关系均为0y =，故是同一函数.故选：D [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点个数（ ） A ．至少1个B ．至多1个C ．仅有1个D ．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =没有交点， 若1在函数f (x )的定义域内，y =f (x )的图象与直线1x =有1个交点， 故选：B.2．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =x -1和y =211x x -+B ．y =x 0和y =1C ．f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D ．f (xg (x 【答案】D 【解析】对于A ，函数y =x -1定义域是R ，函数y =211x x -+定义域是(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，A 不是；对于B ，0y x =定义域是(,0)(0,)-∞+∞，函数y =1定义域是R ，B 不是；对于C ，()2f x x =和()2(1)g x x =+对应法则不同，C 不是；对于D ，f (x和g (x (0,)+∞，并且对应法则相同，D 是.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y =与0y x =B ．y x =与2y =C ．22log y x =与22log y x =D ．1ln 1xy x+=-与()()ln 1ln 1y x x =+-- 【答案】D 【解析】对于A ：1y =定义域为R ，0y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确；对于B ：y x =定义域为R ，2y =的定义域为{}|0x x ≥，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确；对于C ：22log y x =的定义域为{}|0x x >，22log y x =定义域为{}|0x x ≠，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确； 对于D ：由101xx +>-可得()()110x x +-<，解得：11x -<<，所以1ln 1x y x+=-的定义域为{}|11x x -<<，由1010x x +>⎧⎨->⎩可得11x -<<，所以函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域为{}|11x x -<<且()()1ln 1ln 1ln1xy x x x+=+--=-，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D.➢考点2 函数的定义域[典例]1．（2022·北京·模拟预测）函数()()=-的定义域是_______．lg2f x x【答案】1[,2)2- 【解析】 由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤<则函数()()lg 2f x x =-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2-2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[0,8]，则函数()g x =义域是（ ）A ．(1,32)B ．(1,2)C ．(1,32]D ．(1,2] 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =的定义域是[0,8]， 所以04802,,12101x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧∴∴<≤⎨⎨->>⎩⎩.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(12,0)-B ．(12,0]-C ．1(,)3+∞D ．1(,]3-∞ 【答案】B 【解析】∵()f x =的定义域为R ，∴只需分母不为0即可，即230ax ax +-≠恒成立， （1）当0a =时，30恒成立，满足题意，（2）当0a ≠时，24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得120a -<<， 综上可得120a -<≤. 故选：B. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y =13x -的定义域为（ ） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C 【解析】要使函数y =13x -有意义，则 所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞). 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数y 22x ππ-≤≤)的定义域是（ ）A ．,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,26ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．,02π⎡-⎫⎪⎢⎣⎭D ．,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A由题意，得512sin 0log (12sin )022x x x ππ⎧⎪->⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，则1sin 212sin 122x x x ππ⎧<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤≤⎩，即sin 022x x ππ≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，∴[,0]2x π∈-.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)=-y f x 的定义域为[]1,3，则函数()3log y f x =的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[]1,9C ．[]0,2D ．[]0,9 【答案】B 【解析】由[]1,3x ∈，得[]10,2x -∈， 所以[]3log 0,2x ∈，所以[]1,9x ∈． 故选：B ．4．（2022·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数()Jzzx x 定义域为[211,985]，则函数 ()shuangyiliu x (2018)(2021)Jzzx x Jzzx x =+的定义域为（ ）A ．211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211985,20212018⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．211985,20182018⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．211985,20212021⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由抽象函数的定义域可知，21120189852112021985x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得21198520182021x， 所以所求函数的定义域为211985,20182021⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -<<B ．12m -<≤C ．12m -≤≤D ．12m -≤< 【答案】C 【解析】由题意得：()()231104m x m x +-++≥在R 上恒成立.10m +=即1m =-时，()f x =10m +≠时，只需()()2101310m m m +>⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩， 解得：12m -<≤， 综上：1,2m ，故选：C .6．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【解析】解：由1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞7．（2022·全国·高三专题练习）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________． 【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4． 故答案为：[)0,4.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =R ，则a的范围是________． 【答案】[1,5) 【解析】当1a =时，()1f x =，即定义域为R ；当1a ≠，要使()f x 的定义域为R ，则2()(1)(1)10g x a x a x =-+-+>在x ∈R 上恒成立，∴()()210{1410a a a ->∆=---<，解得15a <<， 综上，有15a ≤<， 故答案为：[1,5)➢考点3 函数解析式[典例]1.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．【答案】(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x【解析】(1)方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3， 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. 所以⎩⎨⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .2．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f (x )的解析式． （1）f (x )是一次函数，且满足f (f (x ))=4x －3；（2）已知f (x )满足2f (x )+f (1x)=3x ，求f (x )的函数解析式．（3）已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)． 【解】（1）因为f (x )是一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()2f f x k kx b b k x kb b =++=++，又因为f (f (x ))=4x －3，所以243k x kb b x ++=-，故243k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩或23k b =-⎧⎨=⎩，所以()21f x x =-或()23f x x =-+；（2）将1x 代入()123f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()132f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此()()123132fx f x x ff x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得()()120f x x x x=-≠. (3)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y=()()21y y -+-+，所以f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+ C ．()()211x f x x x =≠-+D ．()()211x f x x x =-≠-+ 【答案】A 【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+ ，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 所以()()2211xf x x x =≠-+，故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3，则f （x ）＝（ ） A ．x 2+4x B ．x 2+4C ．x 2+4x ﹣6D ．x 2﹣4x ﹣1 【答案】A【解析】()()()22123141f x x x x x -=+-=-+-，所以()24f x x x =+.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且2()2()f x f x x x +-=-，则()f x =（ ）A ．223x x +B ．223x x +C ．2223x x+D ．23x x +【答案】D【解析】令x 为x -，则2()2()f x f x x x -+=+， 与2()2()f x f x x x +-=-联立可解得，2()3x f x x =+．故选：D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()()98f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =- C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 【答案】AD 设()f x kx b =+，由题意可知()()()298f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以298k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩或34k b =-⎧⎨=-⎩，所以()32f x x =+或()34f x x =--. 故选：AD.5．（2022·山东济南·二模）已知函数2()23f x x x =--+，则(1)f x +=______． 【答案】24x x -- 【解析】解：因为2()23f x x x =--+，所以()()22(+1)+12+143f x x x x x =--+-=-，(1)f x +=24x x --.故答案为：24x x --.6．（2022·全国·高三专题练习）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x =_________【答案】23x +或29x --. 【解析】因为()f x 为一次函数，所以设()()0f x kx b k =+≠，所以()()()()21f f x f kx b k kx b b k x b k =+=++=++⎡⎤⎣⎦， 因为()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，所以()2149k x b k x ++=+恒成立， 所以()2419k b k ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩，所以()23f x x =+或()29f x x =--， 故答案为：23x +或29x --.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数)25f x =+，则()f x 的解析式为_______【答案】()()212f x x x =+≥【解析】2t +=，则2t ≥，且()22x t =-， 所以()()()2224251f t t t t =-+-+=+，()2t ≥所以()()212f x x x =+≥，故答案为：()()212f x x x =+≥.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数f (x )对x ≠0的一切实数都有f (x )＋2f (2020x)＝3x ，则f (x )＝_________. 【答案】4040()f x x x=- 【解析】 因为()202023f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得()2020232020x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()()2020232020232020f x f x x x f f x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得4040()f x x x=-. 故答案为：4040()f x x x=-. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()323f x f x x --=，则()f x =___________.【答案】3x【解析】因为()()323f x f x x --=，所以()()323f x f x x --=-，同除以2得()()31322f x f x x --=-，两式相加可得()33322f x x =，即()3f x x =.故答案为：3x .10．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，求()f x ；（2）已知1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x .【解】（1）∵f （x ）为二次函数，∴f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵f （0）＝c ＝2，∵f （x +1）﹣f （x ）＝x ﹣1，∴2ax +a +b ＝x ﹣1，∴a 12=，b 32=-， ∴f （x ）12=x 232-x +2． （2）∵()12f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①，∴f （1x ）+2f （x ）1x=，② ①-②×2得：﹣3f （x ）＝x 2x-， ∴2()(0)33xf x x x =-≠➢考点4 分段函数1．（2022·广东梅州·二模）设函数()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()22log 6f f -+=（ ） A ．2B ．6C ．8D ．10 【答案】B 【解析】 解：因为()()21log 6,1,2, 1.x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，所以()()2log 61222log 83,log 623f f --====，所以()()22log 66f f -+=. 故选：B.2．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()8f =（ ）A ．10B ．9C ．7D ．6【答案】C 【解析】因为()()()3,104,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()()()()()()()812913107f f f f f f f =====.故选：C.3．（2022·浙江省江山中学高三期中）已知[]1,1∈-a ，函数()()()22sin 2, 21,π⎧⎡⎤-≤⎪⎣⎦=⎨-++>⎪⎩x a x a f x x a x a x a 若()() 1=f f a ，则=a _______.【答案】1-或34【解析】()()()01f f a f ==,当01a ≤≤时，()()0sin 21π=-=f a ，得14a k =--，故34a =；当10a -≤<时，()201f a ==，故1a =-.故答案为：34a =或1a =-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 21,0,0a xx x f x a x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()12f f -=，则=a ___________，()4f x ≤的解集为___________.【答案】∞⎛- ⎝⎦【解析】①由题可知，()()()()121log 212a f f f a a ---==+=，则2221a a -=+，即4220a a --=，解得22a =，故a =②当0x 时，())2214f x x=+，解得602x；当0x <时，()4x f x =恒成立.故不等式的解集为∞⎛- ⎝⎦.∞⎛- ⎝⎦. [举一反三]1．（2022·山东·济南一中高三阶段练习）已知函数()()21,13,1xx f x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()9f =（ ） A ．2B ．9C ．65D ．513 【答案】A 【解析】()09(93)(6)(3)(0)212f f f f f =-====+=,故选：A2．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()2log 12f =（ ）A ．13B ．6-C ．16D ．3- 【答案】A 【解析】因为()2log 31,2∈，则()22log 122log 33,4=+∈，所以()()()()22log 31log 322211log 122log 3log 3223f f f -⎛⎫=+==== ⎪⎝⎭，故选：A.3．（2022·安徽安庆·二模）已知函数()()()lg ,10R 10,01axx x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩且()12f =，则()41log 310f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ） A．1-．1-．1．1【答案】A【解析】∵()1102a f ==，∴lg 2a =,由()()()lg ,10R 10,01ax x x f x a x ⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，知()()lg ,102,01x x x f x x ⎧--≤<=⎨≤≤⎩. 于是()241log 3log log 32411log 3lg 2121211010f f ⎛⎫--=-=--=--=- ⎪⎝⎭故选:A4．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦___________. 【答案】-2【解析】因为()33,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()()22323log 32f f f ---===-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：-25．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增， ()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立； ③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-； ()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-， ()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 6．（2022·浙江省临安中学模拟预测）设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则=a __________，1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】146 【解析】 若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+，得()211a a =+-，即24a a =， 解得：0a =（舍去）或14a =；若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，()()142416f f a =⎛⎫ =⎪-⎝=⎭ 故答案为：14； 67．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知函数，则()()1f f =___________；方程()1f x =的解集为___________． 【答案】 1 {1,e}【解析】()()()()11e e,1e lne 1f f f f =====，()1,1e 10x x f x x ≤=⇒=⇒=， ()1,1ln 1e x f x x x >=⇒=⇒=， {}0,e .x ∴∈故答案为：1；{}0,e .8．（2022·浙江·高三专题练习）已知()23log ,1,,1,x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()(2)f f -=______；若()1f x <，则x 的取值范围是______.【答案】 3 ()1,2-【解析】因为()32(2)8f -=--=， ()()()328l g 8o 3f f f ∴-===，当1x <时，()31f x x =-<，得11x -<<，当1≥x 时，()2log 1f x x =<，得12x ≤<， 故x 的取值范围是()1,2-故答案为：3；()1,2-.9．（2022·浙江浙江·二模）设a ∈R ，函数33(0)()log (0)ax x f x x x ⎧≤=⎨>⎩．则(9)f =________；若1273f f ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 2 [)3,∞-+【解析】3(9)log 92f ==， 311log 133f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由()31132733a f f f -⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a -≤，所以3a ≥- 故答案为：2；[)3,∞-+。
高一数学函数的三要素
高一数学函数的三要素数学中的函数是一种非常重要的概念，它在高中数学课程中占据着极其重要的位置。
作为高一数学的一部分，理解函数的三要素对于学生掌握数学知识和解题能力至关重要。
首先，我们来谈谈函数的定义域和值域。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素上。
在函数的定义中，我们需要明确指定函数的定义域和值域。
定义域是指函数能够接受的输入值的集合，而值域则是函数输出的所有可能值的集合。
通过确定函数的定义域和值域，我们可以清晰地了解函数的输入和输出范围，从而进行正确的运算和解题。
其次，讨论函数的图像和性质是不可或缺的。
函数的图像是函数在坐标系中的表示形式，它可以直观地展现函数的随变关系。
通常情况下，我们可以用平面直角坐标系来绘制函数的图像。
图像的性质包括增减性、奇偶性、周期性等等。
通过研究函数的图像和性质，我们可以深入了解函数的规律和特点，并在解决问题时能够更加灵活地运用函数的性质。
最后，要探讨函数的解析式或者定义式。
函数的解析式是用代数表达式来表示函数的一种方式。
通过解析式，我们可以用简洁明了的方式描述函数的规律和特征。
例如，对于一元函数来说，我们可以用y=f(x)的形式来表示函数，其中 f(x)就是函数的解析式，y 表示函数的值。
掌握函数的解析式可以使我们更方便地进行函数运算和问题求解。
综上所述，高一数学的函数概念涉及了函数的三个重要要素：定义域和值域、图像和性质以及解析式。
只有全面理解和掌握了这些要素，我们才能在数学学习和解题中灵活运用函数的知识。
因此，我们应该注重理论学习，结合实际问题进行实践，逐步提升对函数的理解和运用能力。
第6讲函数的概念及其表示方法2023高三数学一轮复习提高版课件共33张PPT
课堂评价
1. (2019·潍坊段测)函数 f (x)＝ln(x－1)＋ 21－x的定义域为( A )
A. (1,2)
B. [1,2)
C. (1,2]
D. [1,2]
【解析】 由题意得x2－－1x＞ ＞00， ， 解得 1＜x＜2，所以函数 f (x)的定义域为(1,2)．
2. (多选)已知函数 f (x)＝legx－－1，xx，≥x0<. 0， 若 f (1)＋f (a)＝2，则 a 的所有可能值为
下列对应法则 f 为 A 上的函数的有_____1___个． ①A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2； ②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； ③A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0. 【解析】 对于①，当 0∈A 时，y＝0∉B，故①所给的对应法则不是 A 到 B 的映射， 当然它不是 A 上的函数关系；对于②，当 2∈A 时，y＝ 2∉B，故②所给的对应法则不 是 A 到 B 的映射，当然它不是 A 上的函数关系；对于③，对于 A 中的任一个数，按照 对应法则，在 B 中都有唯一元素 0 和它对应，故③所给的对应法则是 A 到 B 的映射， 这两个数集之间的关系是集合 A 上的函数关系．
(3) f (x)＝x，g(x)＝3 x3； 【解答】 两个函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数． (4) f (x)＝2x，g(x)＝ 4x2. 【解答】 两个函数的对应法则不同，其中 g(x)＝|2x|，所以它们不是同一函数．
函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f，当且仅当两个函数 的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数．
目标 2 求函数的定义域 (1) 函数 y＝ x＋1＋2－1 x的定义域为____[_－__1_,2_)_∪__(2_，__＋__∞__)_____.
函数三要素
高中数学函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则。
每个要素里掌握的方向不一样。
定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些，下面一一介绍。
一、定义域1、具体函数定义域，主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义。
2、抽象函数的定义域，此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题，既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求。
二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）。
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。
(4)消去法（构造方程组法）：已知f(x)与fx(1)或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数。
（2）反解法。
（3）配方法。
（4）不等式法。
（5）单调性法。
（6）换元法。
（7）数形结合法。
（8）导数法。
函数的概念及其三要素
函数的概念及其三要素
一、什么是函数
函数是指一种映射关系，它把一个或多个输入值映射成输出值，当用
相同的输入值时，可以产生相同的输出值，这种一一映射的关系就是函数。
数学上的函数可以分为普通函数和复合函数，普通函数主要用作表达其中
一种性质随变量而变化的定量关系，复合函数是通过一个函数定义另一个
函数，而满足其中一种定义域和值域的关系，是构成数学理论的基础。
二、函数的三要素
1、定义域
定义域也叫做函数的域，它表示函数的取值范围，即允许函数的输入
取值的范围，它可以是实数的整数、分数、有理数，也可以是复数。
一般
情况下，为了更好地研究函数的特性，会将定义域划分为有限多个区间，
即定义域可以表示为一个有限的集合。
2、值域
值域表示函数的输出取值可以取到的范围，也就是函数的输出值可以
取的范围。
值域可以是实数集、自然数集等，有时也会将值域分为有限多
个区间，以方便函数特性的研究。
3、解析式
解析式是一种表示函数关系的方式，它用数学符号把函数所表示的变
化关系表示出来，如一元函数的解析式一般可以写成y=f(x)，其中f(x)
就是函数的解析式，这里的x表示函数的自变量，y表示函数的因变量，
f(x)称为函数式。