椭圆弦长的求法练习
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
椭圆中弦长问题
△AOB面积的最大值.
c 2
e＝ ＝ ，
a 2
由题意得 4 ＋ 1 ＝1，
a2 b2
a2＝b2＋c2，
a＝ 6，
x2 y2
∴椭圆 C 的方程为 6 ＋ 3 ＝1.
∴
b＝ 3，
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
y＝－x＋m，
9
2
2 t2·t2＋6
所以|AB|的最大值为 2.
你还能想到其他做法吗？
三、定值、定点问题
【例 3】设
y2 x2
A(x1，y1)、B(x2，y2)是椭圆 a 2 b 2 1(a b 0)
x1 y1
x2 y2
上的两点，已知 m ( b , a ), n ( b , a ) ，若 m n 0 且
a b
1(a>b>0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝
或|AB|＝
1＋k x1＋x2 －4x1x2
2
2
1
2
1＋k2 y1＋y2 －4y1y2
k存在
k存在且k≠0
.
注意点：
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解
的情况下进行的，不要忽略判别式.
(2)不确定直线斜率的情况下，要分类讨论.
2 ，
1＋2k
|k| 4＋6k2 10
10
由
＝ 3 ，得 k＝±1，满足 Δ>0. 所以当△AMN 的面积为 时，k＝±1.
2
3
1＋2k
二、与弦长有关的最值、范围问题
2
2
x
y
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （其中2a>F1F2）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
当椭圆焦点在x轴上时，标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。
当椭圆焦点在y轴上时，标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0）。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b。
椭圆有x轴和y轴两条对称轴，对称中心为坐标原点O(0,0)。
椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b。
椭圆的顶点坐标为(±a,0)，(0,±b)。
椭圆的焦点坐标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a（其中0<e<1）。
a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆。
对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F，PF_max=a+c，PF_min=a-c。
当点P在短轴端点位置时，∠F1PF2取最大值（余弦定理）。
椭圆方程常用三角换元为x=acosθ，y=bsinθ。
弦长公式为：设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)（k≠0）。
判断点P(x,y)是否在椭圆内，当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为c/a，短轴长为4√2，则它的长轴长为2a=6.1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部，点$A(a,1)$，则$a$的取值范围是$-2<a<2$。
2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$，焦点为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
圆锥曲线大题—弦长问题-含解析
第02章弦长问题经过第一章的学习, 本章部分题目会跳步(实际考试一定要把完整过程写上去), 对于不知道硬解公式的人来说是跟不上的, 但是对于掌握硬解公式的人来说解题效率会有很大提升！通过前面的学习, 相信你已经对硬解定理有了一定的了解和掌握, 在圆雉曲线中弦长问题的计算也是比较烦琐的, 本章目的是通过练习能够熟练使用弦长公式, 并不要求死记硬背, 跟随着我们的脚步, 慢慢熟练掌握这个公式即可, 相信掌握之后能够大大减少你的计算时间!首先推导一下弦长公式. 由{x2a2+y2b2=1Ax+By+C=0ε=a2A2+b2B2消y得(a2A2+b2B2)x2+(2a2AC)x+a2(C2−b2B2)=0εx2+βx+μ=0Δx=β2−4εμ=4a2b2B2(ε−C2)由弦长公式AB=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2有AB =√1+A2B2√β2ε2−4εμε⋅ε=√1+A2B2√β2−4εμε2=√1+A2B2√Δxε2=√1+A2B2√4a2b2B2|ε−C2|ε2=√A2+B22ab√∣ε−C2Φ|ε|=2ab⋅√A2+B2⋅√∣ε−C2T|ε|所以【注】这个公式的绝对值对于椭圆来说是不必要的,对于双曲线来说是必要的. 在练习题中如果急需弦长, 只需看着上面的方程组来默写弦长即可. 我们先借助一些简单的题目来熟悉一下弦长公式.【例 1】过椭圆 x 26+y 22=1 的布焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、B 两点, 求 线段 AB 的长度.解 :法一:一般解法.吻知右焦点坐标为 (2,0), 设直线 l 的方程为 y =x −2, 联立方程组有{x 26+y 22=1x −y −2=0消去 y 并整理得 2x 2−6x +3=0.设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故x 1+x 2=3, x 1x 2=32则|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√6法二: 套公式解法.公式: AB =2ab⋅√A 2+B 2⋅√|ε−C 2||ε| (对照使用,熟悉该式, 建议保留原始数据去 计算).这里说明一下:并不是让大家做题直接套公式,首先联立方程的标准书写流程大家都是会的,当熟悉了硬解定理之后,联立方程的步骤就相当于默写,弦长公式也是可以跳过前面的流程邺写的,这对提高解题效率是很有帮助的.其实圆雉曲线联立的计算流程都是千篇一律的,当熟悉了硬解公式后,解题的重心就偏向于分析解题思路而不是限于计算,也就是节省计算时间来分析题日思路.下面的解题过程会适当跳步.【例2】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2,离心率为√22.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)经过椭圆的左焦点F 1作倾斜角为60∘的直线l ,直线l 与椭圆交于A 、B 两点,求线段AB 的长.解:(1){2c =2c a =√22⇒x 22+y 2=1.a 2=b 2+c 2(2)过椭圆的左焦点F 1(−1,0),倾斜角为60∘的直线l 的方程为y =√3(x +1).公式:AB =2ab⋅√Λ2+B 2⋅√|ε−C 2||ε|.{x 22+y 21=1√3x −y +√3=0AB =2√2×√1×√√32+12√7−√322×√32+1=8√27例1、例2正常计算也是十分简单的,因为不含用字母表示的末知量,接下来我们看看带用字母表示的末知量的情况.【例3】已知椭圆G:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32,长轴长为4,过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点.(1)求椭圆G 的方程.(2)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.解:(1)由题意可得{c a =√322a =4a 2=c 2+b 2⇒x 24+y 2=1. (2)法一:设切线l 的方程为ty =x −m,|m|⩾1. 由√t 2+1=1,得m 2=t 2+1.联立{ιy =x −m x 2+4y 2=4,得 (t 2+1)y 2+2tmy +m 2−4=0由Δ>0,可得4+t 2>m 2,所以y 1+y 2=−2tm t 2+4,y 1y 2=m 2−4t 2+4|AB|=√(1+t 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=1√3|m|m 2+3=1√3|m|+3|m|⩽2 当务仅当|m|=√3时取等号.此时|AB|取得最大值2.法二:使用公式计算.公式:AB =2ab⋅√A 2+B 2⋅√|ε−C 2||ε|. 由{x 24+y 21=1x −ty −m =0,得 AB =2√4×√1×√1+t 2√4+ι2−m 24+t 2由相切可得|m|√1+t 2=1⇒t 2=m 2−1所以 AB =2√4×√1×√1+t 2√4+t 2−m 24+t 2=4√3|m|m 2+3=4√3|m|+3|m|后面同法一一样,不再慗述.【例4】设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过M(2,√2)、N(√6,1)两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程.(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ,且OΛ⊥OB , 若存在,写出该圆的方程,并求出|AB|的范围;若不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过M(2,√2)、N(√6,1)两点,所以{4a 2+2b 2=16a 2+1b 2=1 解得a 2=8,b 2=4所以椭圆E 的方程:x 28+y 24=1.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ,且OA ⊥OB ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),该圆的切线方程为x =ky +m .由{x 28+y 24=1x −ky −m =0消x 得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,；消y 得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.所以x 1x 2=,,,,,,,,,,,,,,；,y 1y 2= ,,,,,,,,,,,,,,；Δ>0⇒,,,,,,,,,,,,,.因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2+y 1y 2=8(m 2−4k 2)+4(m 2−8)8+4k 2=0 所以(8+4)m 2=8×4(1+k 2)⇒m 2=83(1+k 2) 因为直线y =kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =√1+k 2=√8×48+4=2√63（应用公式r =√a 2b 2a 2+b 2) 所以所求的圆为x 2+y 2=83. 由弦长公式有。
椭圆求弦长两种解题方法
椭圆求弦长两种解题方法
椭圆的弦长问题通常可以通过两种主要方法来解决：几何法和代数法。
方法一：几何法
1.首先，确定椭圆的标准方程，例如 a2x2+b2y2=1，其中 a 和
b 是椭圆的半长轴和半短轴。
2.确定直线方程，例如 y=kx+m。
3.联立椭圆方程和直线方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或
y 的二次方程。
4.利用韦达定理，求出这个二次方程的根的和与积，即弦的两个
端点的 x 或 y 坐标的和与积。
5.利用弦长公式，如 d=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2，其中 k 是直线
的斜率，x1 和 x2 是二次方程的根，求出弦长。
方法二：代数法
1.同样首先确定椭圆和直线的方程。
2.联立椭圆方程和直线方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或
y 的二次方程。
3.利用求根公式求出这个二次方程的根，即弦的两个端点的 x
或 y 坐标。
4.直接计算这两个端点之间的距离，即弦长。
这两种方法的主要区别在于如何计算弦长。
几何法利用弦长公式和韦达定理，而代数法则直接计算两个端点之间的距离。
在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的方法。
《椭圆中的弦长问题》进阶练习(三)-1
《椭圆中的弦长问题》进阶练习一、选择题.已知直线，当变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长是（）. . ..若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，且线段中点的横坐标为，则弦的长为（）.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且：：，则△的面积为(). .二、解答题. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上．上一点到两焦点、的距离之和为，且该椭圆的离心率为．（）求椭圆的标准方程；（）若直线：交椭圆于不同两点、，且满足（为原点），求直线的方程．.设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为（，），右焦点到点的距离为．（）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（，）的直线与椭圆相交于不同两点，满足，试求直线的方程．参考答案.解：（），（）.解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由，得，即，故．又∵，∴，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）由题意可设直线的方程为（≠），由，知点在线段的垂直平分线上，由得（）即（）①△（）（）×＞即时方程①有两个不相等的实数根设（，），（，），线段的中点（，）则，是方程①的两个不等的实根，故有从而有，于是，可得线段的中点的坐标为又由于≠，因此直线的斜率为由⊥，得即，解得，∴，∴所求直线的方程为：．. 本题主要考查直线与椭圆的位置关系.解：直线恒过定点(，)，且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点与椭圆上任意一点的距离，设椭圆上任意一点(θ，θ)∴(θ)(θ)θθ∴当θ时，∴，故选.. 解：因为抛物线为，所以设、两点横坐标分别为，，因为线段中点的横坐标为，则，即，故．. 解：∵：：，∴可设，，由题意可知，∴，∴，，∵，∴△是直角三角形，其面积．故选．. 本题主要考查椭圆的应用，熟悉直线与椭圆的关系是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题.（）由题意得，直接运用椭圆的标准方程的应用即可求解；（）由题意得，直接运用直线与椭圆的关系即可求出答案..（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，由右焦点到点的距离为列式求出的值，结合和求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出直线的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点、的坐标和，从而求出线段的中点的坐标，由，知点在线段的垂直平分线上，由两点式写出的斜率，利用和垂直，斜率之积等于求直线的斜率，则方程可求．本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了设而不求的解题思想，训练了两直线垂直的条件，是难题．。
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椭圆课时作业(1)
1.若直线20x y m -+=与椭圆22
194
x y += （1）相交；（2）相切；（3）相离，求实数m 。
2.已知直线l 过椭圆22154x y +=的一个焦点F ，交椭圆于点A 、B ，若直线l 的倾斜角为3
π，求弦AB 的长。
3.已知斜率为1的直线l 过椭圆2
214
x y +=的右焦点，交椭圆于点A 、B ，求弦AB 的长。
4.已知斜率为1的直线L 过椭圆2
214
x y += 的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。
5.求椭圆22
44x y +=截直线y x t =+所得的最大弦长？
6.已知椭圆12
22
=+y x 的左右焦点分别为21,F F ,若过点1F )2,0(及-P 的直线交椭圆于B A ,两点,求△2ABF 的面积.
7.已知椭圆:的一个顶点为，离心率为.直线
与椭圆
交于不同的两点M,N. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当△AMN 得面积为
时，求的值.
8.设椭圆C: 2222x y 1a b += (a>b>0)过点(0,4)，离心率为35
. (1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为
45的直线被C 所截线段的中点坐标.。