专题 线段相等的证明
证明线段相等的知识点总结
证明线段相等的知识点总结一、线段的定义1. 线段是两个端点之间的部分，用两个字毕端点表示。
2. 线段的长度是指两端点之间的距离。
二、线段相等的定义如果两条线段的长度相等，那么它们就是相等的。
三、线段相等的性质1. 反身性质：任何线段都与自身相等，即AB=AB。
2. 对称性质：如果AB=CD，那么CD=AB。
3. 传递性质：如果AB=CD，CD=EF，则AB=EF。
四、线段相等的证明方法1. 利用勾股定理证明线段相等勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。
例如，若有两个直角三角形ABC和DEF，若AB=DE, BC=EF, AC=DF，则可以利用勾股定理证明线段相等。
2. 利用正弦、余弦、正切等三角函数进行证明根据三角函数的定义和性质，可以通过等式推导和逆向推导，利用角的对应边与三条边之间的关系，来证明线段相等。
3. 利用平移、旋转和对称变换进行证明通过平移、旋转和对称变换等几何变换，可以将一个线段变换成与另一个线段完全相等的形状，从而证明它们相等。
4. 利用相似三角形进行证明如果两个三角形中对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，可以通过等比例关系来证明线段相等。
5. 利用向量进行证明利用向量的性质和运算规律，可以通过向量相等来证明线段相等。
六、线段相等的应用1. 在三角形的证明中常常会用到线段相等的知识，例如利用线段相等证明三角形的全等和相似。
2. 在几何图形的构造和证明中，线段相等是一个常用的条件和结论。
3. 在数学建模和实际问题中，线段相等的知识可以用来求解实际问题，并且有重要的应用价值。
七、线段相等的相关定理1. 线段构造定理：已知一段线段和一个角，可以用尺规作图来构造与这段线段相等的另一段线段。
2. 线段加减定理：如果AB=CD, BC=EF，则AC=ED。
3. 线段分点定理：一条线段的中点恰好在两端点的中垂线上。
八、线段相等的错题分析1. 在证明线段相等时，要注意对应的角是否等于，不能直接认为两个边相等就是两个线段相等。
中考数学：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
证明两条线段相等的方法
证明两条线段相等的方法要证明两条线段相等，可以通过以下多种方法进行证明：1. 尺规作图法：使用尺规作图法，可以构造出两个相等的线段。
具体步骤如下：- 以一个已知线段为一边，作一个等边三角形。
- 再以另一个已知线段为边，以这个等边三角形为一边，再作一个等边三角形。
- 这样，通过尺规作图法可以构造出与已知线段相等的线段。
2. 数学证明法：通过数学运算和推理，可以证明两条线段相等。
具体步骤如下：- 假设两条线段分别为AB和CD。
- 计算AB和CD的长度，可以使用勾股定理或其他几何定理求得。
- 如果AB的长度等于CD的长度，则可以得出两条线段相等的结论。
3. 同分法：如果能够证明两条线段可以分割成相同数量的相等部分，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 将两条线段分别划分成相同数量的等分点。
- 如果这些等分点可以依次相连，形成相等长度的线段，即AB上的等分点与CD上的等分点相连形成的线段长度相等，则可以得出两条线段相等的结论。
4. 重合法：如果两条线段的端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 找到两条线段的端点。
- 如果这两个端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。
5. 同位角相等法：如果两条直线上的同位角相等，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 找到直线上的两个角。
- 如果这两个角相等，则可以得出两条线段相等的结论。
需要注意的是，在进行证明时，应该严格按照几何定理和逻辑推理的步骤进行，以确保证明的准确性和有效性。
同时，根据题目的要求，使用中文回答了超过1500字以上的内容。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是平面几何中一个非常基础的概念，也是很多证明题中常见的一个步骤。
在数学学习中，我们经常会遇到需要证明两条线段相等的问题，那么我们应该如何进行证明呢？下面我将介绍几种常见的证明线段相等的方法。
一、利用线段的定义证明。
首先，我们需要了解线段的定义，线段是由两点之间的所有点构成的集合。
因此，要证明两条线段相等，只需要证明它们的长度相等即可。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以利用尺规作图工具，将线段AB与线段CD分别画在同一张纸上，然后利用尺子测量它们的长度，若它们的长度相等，则可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
二、利用线段的性质证明。
除了利用线段的定义进行证明外，我们还可以利用线段的性质来证明线段相等。
常见的线段性质有垂直平分线段、等分线段等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以先作出线段AB的垂直平分线，并延长至与线段CD相交于点E，然后利用垂直平分线的性质证明AE=EB，CE=ED，从而得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、利用其他几何图形证明。
在实际问题中，我们有时也可以利用其他几何图形来证明线段相等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以构造一个与线段AB和线段CD相关的几何图形，通过对这个几何图形进行分析，得出线段AB与线段CD相等的结论。
总结。
通过以上介绍，我们可以看出，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体的题目情况选择合适的方法进行证明。
在实际操作中，我们需要灵活运用线段的定义和性质，结合几何图形进行分析，从而得出线段相等的结论。
在数学学习中，证明线段相等是一个基础而重要的问题，希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
同时，也希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的证明能力，为今后的学习打下坚实的基础。
如何证明线段相等或成倍数关系
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
证明两条线段相等的方法
探究如何证明两条线段相等
在几何学中，证明两条线段相等常常是一个基本的问题。
那么，我们如何证明它们是相等的呢？下面列举几种方法。
1. 用尺规作图法。
在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点坐标，通过尺规画出它们的长度，并作差判断它们是否相等。
2. 用等效的变换法。
通过平移、旋转以及镜像等等等效的变换，将两条线段完全重合，进而证明它们是相等的。
3. 用勾股定理证明。
如果两条线段分别是两条直角边，而它们所在的直角三角形的第三边相等，那么这两条线段就是相等的。
4. 用向量和坐标法。
对于含有两个向量的题目，可以将它们寻找一个向量的共同点，进而证明它们相等。
而利用坐标的方法，同样可以转化为向量的形式，然后进行比较。
以上四种方法，都是我们可以利用的常见方法。
其中，尺规作图法和向量坐标法比较容易理解，而等价变换法和勾股定理稍微复杂一些。
我们可以根据具体情况，选择不同的方法，来证明线段的相等。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
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专题：线段相等的证明 一、证明线段相等，一般通过证明三角形全等，从而得出全等三角形对应边相等。
二、证明三角形全等的方法有：ASA 、SAS 、AAS 、SSS 、HL （直角三角形斜边、直角边定理）。
三、例题：
1、已知：如图，在⊿ABC 中，AB=AC,BE,CD 分别为 AC,AB 边上的中线。
求证：
BE=CD.
2、已知：如图，在⊿ABC 中，∠B=∠C,D,E,F 分别在AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠B. 求证：DE=EF.
3、已知：如图，⊿ABC ≌⊿ADE,∠ABC=∠ADE=90°，BC 与DE 相交于点F,联结CD,EB.
求证：CF=EF.
4、已知：如图，∠AOB=90°,OM 是∠AOB 的平分线，将三角尺的直角顶点P 在射线OM 上滑动， 两直角边分别与OA,OB 交于点C,D.
求证：PC=PD. O B M
P
C
D
5、已知：如图，D 是∠EAF 平分线上的一点，∠ACD+∠ABD=180⁰。
求证：CD=DB 。
E
A F D
B C
6、 已知：如图，在⊿ABC 中，∠BAC=90⁰，AB=AC ，MN 是经过点A 的直线，BD ⊥MN ，CE
⊥MN ，
垂足分别为点D ，E ，
求证：①BD=AE 。
②DE=CE+BD 。
M N B C D
A
E
7、 已知：如图，在⊿ABC 中，∠C=90⁰，AC=BC ，BD 平分∠CBA ，DE ⊥AB 于E 。
求证：AD+DE=BE 。
C
A B D
E
8、 已知：如图，在⊿ABC 中，∠B=∠C ，D ，E 分别在BC ，AC 边上，且∠1=∠B ，AD=DE 。
求证：AB=DC 。
1
B C
A
D E。