2018年高中数学联赛(四川预赛)试题和参考答案及评分细则
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
导数与极限第二辑(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题13导数与极限第二辑1．【2018年广东预赛】设函数.f (x )=e x‒1‒x ⑴求在区间（n 为正整数）上的最大值；f (x )[0,1n ]b n ⑵令（n 、k 为正整数）.求证：.a n =e 1n‒1‒b n ，p k =a 2a 4⋯a 2ka 1a 3⋯a 2k ‒1p 1+p 2+⋯+p n <2a n+1‒1【答案】（1）（2）见解析b n =e 1n‒1‒1n 【解析】⑴因为，所以当时，，即上是增函数，故上的最大值为f'(x )=e x‒1x ∈[0,1n ]f'(x )≥0f (x )在[0,1n ]f (x )在[0,1n ].b n =e 1n‒1‒1n ⑵由⑴知.因为，a n =e 1n‒1‒b n =1n (2k ‒1)(2k +1)(2k )2=4k 2‒14k 2<1所以.[1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2k ‒1)2⋅4⋅⋯⋅(2k )]2=1⋅322⋅3⋅542⋅5⋅762⋅⋯⋅(2k ‒1)(2k +1)(2k )2⋅12k +1<12k +1又容易证明.12k +1<2k +1‒2k ‒1所以p k =a 2a 4⋯a 2ka 1a 3⋯a 2k ‒1=1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2k ‒1)2⋅4⋅⋯⋅(2k )<12k +1<2k +1‒2k ‒1所以.p 1+p 2+⋯+p n <(3‒1)+(5‒3)+⋯+(2n +1‒2n ‒1) =2n +1‒1=2a n+1‒1即.p 1+p 2+⋯+p n <2a n+1‒12．【2018年甘肃预赛】设函数）．f (x )=x ‒2x ‒a ln x （a ∈R ,a >0（1）讨论的单调性；f (x )（2）如果有两个极值点，我们记过点的直线斜率为．问：是否存在，f (x )x 1和x 2A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))k a 使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．k =2‒a a 【答案】（1）见解析（2）不存在【解析】（1）f(x)的定义域为，(0,+∞)。
2020年全国高中数学联赛(四川预赛)试题及参考答案
a3 (b c)2
b3 (c a)2
c3 (a b)2
(a
b c) .
求 的最大值.
解：取 a 1 ,b 1 , c 2 ，其中 0 1 .
2
2
6
（1 +）3 则 2
(1 )3 2
(2 )3
（1 +）3 2
1 2
（1 3 )2 ( 1)2 (2 )2 （1 3 )2 2
2
2
2
对任意的（0 1）成立. 6
注意到当
0+
（1 +）3 时， 2
（1 3 )2
1 2
2
1，
2
所以， 1 .
......5 分
另一方面，下证： =1成立，即证
a3 (b c)2
b3 (c a)2
c3 (a b)2
(a b c)
.
不妨设 a b c ，则可令 a=c x,b c y ，其中 x y 0 .
设 A(x1 ,y1) ， B(x2 ,y2 ) ，则 x1 x2 k ， x1x2 1.
过点 A(x1 ,y1) 的抛物线 y x2 的切线方程是 y y1 2x1(x x1) ，
由 y1 x12 ，代入可得 y 2x1x x12 .
过点 B(x2 ,y2 ) 的抛物线 y x2 的切线方程是 y 2x2 x x22 ，
所以，问题得证.
......15 分 ......20 分
参考答案及评分标准 （第 4 页，共 4 页）
令
k2
1 t ( t ≥1 )，则 d
| t2 1 2|
2
t
3
≥2
3
3
t
2 2t
2018年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题+答案
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
1、A
2、B
3、B
4、D
………………………………………………………密……………………封……………………线………………………………………………………
2018 年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）
（5 月 20 日下午 14：30——16：30）
题目
一
二
13
得分
评卷人
复核人
三
14
15
总成绩 16
考生注意：1．本试卷共有三大题（16 个小题），全卷满分 140 分. 2．用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3．计算器、通讯工具不准带入考场. 4．解题书写不要超过密封线.
k 1
……5 分
若 m 2 ，注意到 n 时， (m 2)(n 1) ，
因此，存在充分大的 n ，使得1 (m 2)(n 1) 4 ，即 an 4 ，矛盾！
参考答案及评分标准 （第 3 页 共 5 页） 第7页
所以， m 2 . 又当 m 2 时，可证：对任意的正整数 n ，都有 0 an 4 .
……5 分
参考答案及评分标准 （第 4 页 共 5 页） 第8页
当 0＜p＜1 时，由 x[1,e]，得 x 1 ≥0， x
故 f(x)p(x 1 )2lnx＜x 1 2lnx＜2，不合题意.
学校：
5. 已知方程1 x x2 x3 x4 x2018 0 的所有实数根都在区间[a, b] 内
谈谈赫尔德不等式
6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。
各省高中数学竞赛试题汇编——函数小题目
各省数学竞赛试题汇编——函数小题目1．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.【答案】【解析】由得，所以函数的定义城为.故答案为2．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。
【答案】10【解析】由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．3．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 4．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 5．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 6．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】【解析】由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.7．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________. 【答案】【解析】设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故.故答案为：8．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.【解析】，因为，所以当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.故答案为：当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.9．【2018年广东预赛】已知方程在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k的取值范围是__________. 【答案】【解析】记，令，得.当时，在（）上为增函数.当时，在（）上为减函数.所以在点处取得最大值，当且仅当时，在区间（-2，2）内恰有两个实根，故k的取值范围是.故答案为：10．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，代入，得.由.11．【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.【答案】【解析】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.12．【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解法一原方程化为．（1）．（2）时，的两根分别为1、3，不符合题意．（3）时，的两根分别为2，．因此，符合题意要求．（4），即时，若，不符合要求；若，因此，符合要求．解法二，因为，所以．上单调递增，在上单调递减．又，所以的取值范围是．13．【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________.【答案】（1，2）（4，5）【解析】由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.故答案为：（1，2）（4，5）14．【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______．【答案】【解析】设，则①＋②＋③得．解得．又当时，有解．故当时，取到最小值．15．【2018年山东预赛】已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9【解析】由题设，则．因为，则必为完全平方数．设，则．所以．解得，8，,0．所以的最大可能值为9.16．【2018年山东预赛】设为最接近的整数，则______．【答案】【解析】设，则，即．而，因此满足个．注意到，从而或7．由于，所以．因此．17．【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：18．【2018年天津预赛】若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.故答案为：19．【2018年河南预赛】已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______．【答案】0【解析】因为，所以有，得，故上是增函数，进而．解得（舍）或．故填0．20．【2018年河北预赛】若，且满足那么. 【答案】1【解析】把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数，另，故，所以.21．【2018年四川预赛】设函数上的最大值为，最小值为，那么的值为______. 【答案】4【解析】因为上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.又的最大值为故故答案为：422．【2018年四川预赛】的值为______.【答案】1【解析】令，则从而，化简为.所以，原式故答案为：123．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.24．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解. 【答案】3【解析】因为由得到，或.由，得一个解；由得两个解，共3个解.25．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】【解析】由.令，，所以.26．【2018年江西预赛】函数的值域是区间______．【答案】【解析】显然函数定义域为，在此区间内，由于，即，故有角使得．于是，因为，则．在此范围内，则有．因此．（当时，；当时，）故答案为：27．【2018年山西预赛】函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.28．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则=__________.【答案】【解析】对角度x进行简单的分类，然后根据三角函数的定义得到利用函数的周期性得到.故答案为：29．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为，则上的表达式为__________.【答案】【解析】①由于是以4为周期的周期函数，所以当时此时由周期性及①式的结果得到故答案为：30．【2018年湖南预赛】设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为_____.【答案】【解析】对于每一个，函数是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有由于函数图像交点的横坐标c满足，得到其图像为两条折线组成，且故答案为：31．【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．【答案】2【解析】由为奇函数，且其图象关于直线对称，知，且，所以．是以8为周期的周期函数．又，所以．32．【2018年福建预赛】已知整系数多项式，若，则______．【答案】24【解析】设，则，于是．所以．所以是多项式的一个根．又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点．所以整除．故为整数．所以．由，得．所以．33．【2018年福建预赛】已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则______．【答案】【解析】在中，令，得．令，得．又，所以，即．又，，所以．故．34．【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时，恒为正值，则实数a的取值范围是____________。
2018 年全国高中数学联合竞赛A 卷试题及解析(含一试及加试)
而I＜π － 2 < 8-2r. < 2 ， 故原不等式组成立当且仅当xE［肯 － 2, 8-2肯｝． 6.设复数z满足l= I=I ， 使得关于，y的方程 x' + 2:x+2 =0有实根 ， 则这样
＝
的复数z的和为 答案：
分别是F；、凡，椭l2ll c 的弦 ST 与 UV 分别 －＇￥· 行于 x 剿l与y轴 ， 且相交子点P. 己 知线段PU,PS ‘ PV 、 PT 的长分另lj为L 2. 3. 6 ， 则 MF., 凡的朋积为 答案： -Jl5. 解： 由对称性 ， 不妨设 P （，飞·，，， )'p ）在第 一 象限，则由条件知
主．
解：设们在平面。上的射影为。白条件知， 立 ＝ tanLOQP ｜丘♂ I ' OQ I 3
ε
i己为 a, b,c, d, e,f ，则。be ÷d吃f ；是偶数的
概率为 答案： 解：先考虑。 bc+def ：为奇数的俏况，此时 abc、 d吃f 一 奇一 ｛间，若 abc 为奇敛，
10
则。 ， b,c 为l, 3, 5 的排列 ， 避而 d‘ e,f 为2,4,6的排列，这样有3！×31=36种情况， 由对称性可知 ， 使 abc+def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc+d，电f 为偶 72 72 9 ＝I－一一＝一． 数的概率为I－一 ' 6 720 JO
1. 设织合 A= {I, 2, 3、
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 参考答案及评分标准
,99｝‘B={2xjxE A}, C={xl2xε斗 ， 则B门C的元
2021年四川预赛(参考答案及评分细则)
a b
2
cyc
a.
注意到由均值不等式，
2b
b
a
4( b
b
b
a
)
1 4
4b ，
a c d aacd
2b
b
c
4( b
b
b
c1 )4
4b ，
c a d ccad
上两式相加得： 3 b 3 b c a 8b . c add
对（*）轮换求和即得：
3 b 3 b c a 8 b
cyc c cyc a cyc d cyc d
n i1
ai ai 1
n i 1
ai +1 ai
n
2
i1
ai
79 124 127 2 0 .
故 n 6 均不满足条件. 所以， n 4 .
……10 分
另一方面，再证： n 4 满足条件.
将
a1, a2, a3, a4
分别记为 a, b, c, d
，则 abcd
1，即证
cyc
b a
cyc
所以，点 Q 的轨迹方程为 (x 1)2 4 y2 1 （ y 0 ）． 3
解法二：易求得椭圆 的方程是 x2 y2 1 ． 43
因为直线 BQE 截△ADP，由梅涅劳斯定理，得 AB DE PQ 1 ． BD EP QA
因为 AB 2 ， DE 3 ， BD 3 EP 2
……4 分
2, a6
an
1，
n
则
ai
2 1 1 64 2 (n 6) 16 78 n 1 79 n ，
a i1 i1
64 64
32
及 n ai1 1 64 64 1 1 (n 6) 1 124 n ，
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（2）设
g(x)
2e x
，且
p
0 ，若在[1,
e] 上至少存在一点
x0
，使得
f
( x0
)
g ( x0
)
成
立， 求实数 p 的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数 n ，都有 n ln2 (1 2) 3 成立.
k 1
所以，T 的最小值为 20 14 2 .
x 1 2
y
解法三：注意到：
2 2
1 2
2
x
2
1
2
1 y
2
2
2
1
1
x 2
2
(
1
)
1 2
2
2
12 2
.
y
(x 1 2)( y 1 2）(z 1 2)
y
z
x
于是，
(2 2)3
……10 分 ……15 分
③对任意正整数 a ，都有 Z (3a ) 3a 1.
其中所有真命题的序号为
A、 ①②
B、 ①③
C、 ②③
【】 D、①②③
得 分 评卷人 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
7. 设函数 f (x) x 9 在 [1, 4] 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M m 的值 x
A2 ，点 P 是双曲线上不同于 A1 、
A2 的一个动点，直线 PA1 、 PA2 分别与直线 x 1交于 M1 、 M 2 两点.
证明：以线段 M1M 2 为直径的圆必经过定点.
14. 设 x ， y ， z 为正实数，求 (x 1 2)( y 1 2)(z 1 2) 的最小值.
则 x02 y02 1. 43
因为直线
PA1 的方程为
y
y0 x0
2
(x
2)
，直线
PA2 的方程为
y
y0 x0
(x 2
2)
，
所以 M1(1,
3y0 x0 2
)，
M2
(1,
y0 ) x0 2
)，
……5 分
设以线段 M1M 2 为直径的圆 C 上任意一点 Q(x,y)，
y
z
x
……20 分
当 x y z 1时，可取到等号.
所以，T 的最小值为 (2 2)3 20 14 2 .
15.
已知数列{an } 满足：a1
1 ，an1
1 8
an2
m
(n N* ) ，若对任意正整数 n ，都有
an 4 ，求实数 m 的最大值.
解：因为 an1
A、1
B、 2
C、 3
D、2
3.
函数
y
(sin
x 1)(cos x 2 sin 2x
1)（x
R)
的最大值为
【】
2
A、
2
B、1
C、 1 2 22
D、 2
4. 设多项式 f (x) x12 x6 1除以 x2 1的商式为 q(x) ，余式 r(x) ax b ，其
x1 y
2 y1 z
2 z1 x
2
2 2
2 2
2 2
1
(x 2
2
(
1
)
1 2
2
2
12 2
1
) ( y2
2
(
1
)
1 2
2
2
12 2
1
) (z 2
2
(
1
)
1 2
2
2
12 2
)
y
z
x
1 .
故 (x 1 2)( y 1 2)(z 1 2) (2 2)3 .
an
1 8
an2
an
m
1 8 (an
4)2
m
2
m
2
，
n1
故 an a1 (ak1 ak ) 1 (m 2)(n 1) .
k 1
……5 分
若 m 2 ，注意到 n 时， (m 2)(n 1) ，
因此，存在充分大的 n ，使得1 (m 2)(n 1) 4 ，即 an 4 ，矛盾！
y
z
x
2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 3 页 (共 4 页)
15.
已知数列{an } 满足：a1
1 ， an1
1 8
an2
m
(n N* ) ，若对任意正整数 n ，都
有 an 4 ，求实数 m 的最大值.
16. 设函数 f (x) px p 2 ln x . x
（2）设
g(x)
2e x
，且
p
0 ，若在[1,
e] 上至少存在一点
x0
PC 2 ，若点 Q 为三棱锥 P ABC 外接球的球面上任一点，则 Q 到面 ABC 距离的最大
值为
.
11. 设直线 y kx b 与曲线 y x3 x 有三个不同的交点 A 、 B 、 C ，
且| AB || BC | 2 ，则 k 的值为
.
12. 设集合 I {1, 2,3, 4,5,6, 7,8}， 若 I 的非空子集 A 、B 满足 A B ,就称有
y
z
x
解：记T (x 1 2)( y 1 2)(z 1 2) ,
y
z
x
当 x y z 1时， T 有最小值 (2 2)3 20 14 2 .
下证： T 20 14 2 .
……5 分
解法一：T (xyz 1 ) 2(xy yz zx 1 1 1 )
………………………………………………………密……………………封……………………线………………………………………………………
2018 年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）
（5 月 20 日下午 14：30——16：30）
题目
一
二
13
得分
评卷人
复核人
三
14
15
总成绩 16
考生注意：1．本试卷共有三大题（16 个小题），全卷满分 140 分. 2．用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3．计算器、通讯工具不准带入考场. 4．解题书写不要超过密封线.
26
三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）
13.
已知双曲线
x2 4
y2 3
1，设其实轴端点为 A1 、
A2 ，点 P 是双曲线上不同于 A1 、
A2 的一个动点，直线 PA1 、 PA2 分别与直线 x 1交于 M1 、 M 2 两点.
证明：以线段 M1M 2 为直径的圆必经过定点. 证明：由已知可设 A1 (2, 0) ， A2 (2, 0) ，双曲线上动点 P 的坐标为 (x0 , y0 ) 且 y0≠0，
k
2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 4 页 (共 4 页)
2018 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档；其它各题的
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
则由 M1Q
M2Q
0
得圆
C
的方程为 (x
1)(x
1)
(y
3y0 )( y x0 2
y0 ) x0 2
0 .…10
分
令
y0，代入上述圆方程，得
(x
1)2
3 y02 x02 4
0
，
由 x02 4
y02 3
1可得
y02 x02
4
序集合对 ( A, B) 为 I 的“隔离集合对”，则集合 I 的“隔离集合对”的个数为
.
（用具体数字作答）
2018 年全国高中数学联赛(四川预赛) 第 2 页 (共 4 页)
得 分 评卷人 三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分）
13.
已知双曲线
x2 4
y2 3
1，设其实轴端点为 A1 、
【】
A、2
B、3
C、5
D、7
2.
x2 设 F1 、F2 分别是椭圆 a2
y2 b2
1 (a b 0) 的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，
满足F1PF2 90 . 若 PF1F2 的面积为 2， 则 b 的值为【 】
xyz
zxy
2 6 2 36 2 3 5 2 20 14 2 . 当 x y z 1时，可取到等号.
……15 分 ……20 分
所以，T 的最小值为 20 14 2 .
解法二：T (2 x 2)(2 y 2)(2 z 2)
y
z
x
……10 分
8 4 2( x z y ) 4( x y z ) 2 2