一次函数与二次函数解题技巧
函数图象解题方法与技巧
对于二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)，一次函数y=kx+b(k≠0)，反比例函数y=x k (k≠0)，若将它们的函数图象向上(或下)平移m 个单位，平移后的解析式分别为y=a(x-h)2+k±m ，y=kx+b±m ，y=x k ±m ；若将它们的函数图象向左(或右)平移n 个单位，平移后的解析式分析为y=a(x-h±n) 2+k ，y=( x±n)+b ，y=n x ±1。
简言之：上加下减，左加右减(注意在上、下，左、右不同的平移中，加减的位置不同)。
根据这一法则，可以顺利解答各类平移问题。
一、求平移后的解析式例1把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，再向右平稳3个单位，所得抛物线是( )。
(A) y=3(x+3) 2-2 (B) y=3(x+3) 2+2(C) y=3(x-3) 2-2 (D) y=3(x-3) 2+2提示：根据法则，选 (D)例2 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k 、b 为常数，k≠0,b>0)可以看成将直线y=kx 沿y 轴向上平行移动b 个单位面得到，那么将直线y=kx 沿x 轴向右平行移动m 个单位(m>0)得到的直线方程是 。
提示：根据法则，平移后的直线方程为y=kx-km二、求平移前的解析式例3，把抛手线y=x2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2-3x+5，则有( )。
(A) b=3,c=7 (B) b= -9, c= -15(C) b=3, c=3 (D) b= -9, c=21分析：本题若先将y=x 2+bx+c 化为顶点式，按平移规律解答，较为繁琐，若采用逆推法，即将y=x 2-3x+5［顶点式为y=(x-23)2+411］向左平移3个单位，再向上平移2个单位反推回去，即可得原二次函数图象，较为简单，因此，y=(x-23+3)2+411+2，化简得y=x 2+3x+7。
高中函数题型及解题方法
高中函数题型及解题方法在高中数学学习中，函数是一个非常重要的内容，也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型涉及到了很多不同的情况和解题方法，下面我们就来系统地总结一下高中函数题型及解题方法。
一、基本函数题型及解题方法。
1. 一次函数。
一次函数是最基本的函数之一，其一般式为y=kx+b。
在解题时，可以根据函数的斜率和截距来确定函数的性质，例如斜率为正表示函数单调递增，斜率为负表示函数单调递减，截距表示函数与y轴的交点等。
2. 二次函数。
二次函数的一般式为y=ax^2+bx+c。
解二次函数题型时，可以利用函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、判别式等性质来进行分析，从而解决问题。
3. 指数函数和对数函数。
指数函数和对数函数是一对互逆函数，其性质和解题方法有很多特点，包括增减性、奇偶性、周期性等，需要根据具体问题来进行分析和解答。
二、函数图像与函数性质题型及解题方法。
1. 函数图像的性质。
在解题过程中，可以通过函数的导数、极值、拐点等性质来确定函数的图像特点，例如凹凸性、单调性、零点、极值点等。
2. 函数性质的应用。
在实际问题中，函数的性质经常被用来解决各种实际问题，例如最值问题、最优化问题、变化率问题等，需要根据函数的性质来建立方程并求解。
三、函数的综合运用题型及解题方法。
1. 函数的综合运用。
在综合题型中，通常会涉及到多个函数的综合运用，需要根据题目所给条件来建立方程并求解，同时要注意函数之间的关系和相互影响。
2. 函数的应用拓展。
除了基本的函数题型外，还会有一些应用拓展的函数题型，例如函数的复合、函数的逆、函数的复合逆等，需要根据具体情况来进行分析和解答。
总结，高中函数题型及解题方法涉及到了很多不同的情况和解题方法，需要学生们掌握函数的基本性质和解题技巧，同时要注重实际问题的应用和拓展，通过练习和思考来提高自己的解题能力。
希望本文的总结能够帮助学生们更好地掌握高中函数的知识，提高数学学习的效果。
二次函数与一次函数交点问题
二次函数与一次函数交点问题1. 一次函数（直线）：情况一：一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 为定值时，通过平移去讨论产生的交点问题． 如：b x y +=2是与x y 2=平行的一组直线。
情况二：当一次函数)0(≠+=k b kx y 中，b 为定值时，此时一次函数过定点(0,b)，可以通过旋转的方式， 从而讨论交点个数问题．如：3+=kx y 是过定点），（30的直线； k kx y +=是过定点），（31-的直线。
2. 一次函数与二次函数交点问题情况一：一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠产生交点，求交点坐标方法。
联立二次函数与一次函数的解析式⎩⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2=-++=n c x ax y ，解此一元二次方程即可。
例：一次函数1+=x y 与二次函数322--=x x y 交于A 、B 两点，求交点坐标。
解：联立⎩⎨⎧=+=3-2-12x x y x y 整理得：1322+=--x x x即：0432=--x x ∴.1421-==x x ；∴.0521==y y ；∴A （4,5）、B （-1,0）情况二：当n 为何值时，一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠只有一个交点？有两个交点？无交点？联立二次函数与一次函数的解析式⎩⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2=-++=n c x ax y ，∵ 二次函数c x ax y ++=b 2与一次函数n kx y +=只有一个交点，两个交点，无交点， ∴ 令0=∆，0>∆，0<∆，即可求得n 的值或范围.例：一次函数n x y +=与二次函数322--=x x y 只有一个交点，求n 的值。
解：联立⎩⎨⎧=+=3-2-2x x y n x y 整理得：n x x x +=--322即：0-332=--n x x令0=∆，即0-3-4-9=）（n ∴421-=n。
通用版高中数学必修一一次函数与二次函数解题方法技巧
(每日一练)通用版高中数学必修一一次函数与二次函数解题方法技巧单选题1、已知二次函数f(x)=x2+bx+c，且f(x+2)是偶函数，若满足f(2−a)>f(4)，则实数a的取值范围是（）A．(−2,2)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)C．由b的范围决定D．由b，c的范围共同决定答案：B解析：由f(x+2)是偶函数可得f(−x+2)=f(x+2)，从而得到函数f(x)关于x=2对称，所以b=−4，再写出不等式f(2−a)>f(4)，即可得答案；∵f(x+2)是偶函数，∴f(−x+2)=f(x+2)，∴函数f(x)关于x=2对称，=2⇒b=−4，∴f(x)=x2−4x+c，∴−b2∴f(2−a)>f(4)⇒(2−a)2−4(2−a)+c>c⇒a>2或a<−2，故选：B.小提示：本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A ．f (4)>f (0)>f (1)B ．f (1)>f (0)>f (4)C ．f (0)>f (1)>f (4)D ．f (1)>f (4)>f (0)答案：B解析：由题意可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f （1），f （4），比较可得所求大小关系．关于x 的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a <0，且−1，3为方程ax 2+bx +c =0的两根，可得−1+3=−b a ，−1×3=c a ，即b =−2a ，c =−3a ，f(x)=ax 2−2ax −3a ，a <0，可得f(0)=−3a ，f （1）=−4a ，f （4）=5a ，可得f （4）<f(0)<f （1），故选B ．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．3、奇函数f(x)在(−∞,0)上的解析式是f(x)=x （1+x ），则f(x)在(0,+∞)上有（ ）A ．最大值-1/4B ．最大值1/4C ．最小值-1/4D ．最小值1/4答案：B解析：先根据奇函数性质求f(x)在(0,+∞)上解析式，再根据二次函数性质求最值.当x >0时，f(x)=−f(−x)=−[−x(1−x)]=x(1−x)=−(x −12)2+14≤14，所以当x =12时，f(x)取最大值14，选B.小提示：已知函数的奇偶性求函数解析式，主要抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式.解答题4、已知函数y =(2log 4x −2)(log 4x +12)． (1)当x ∈[1,16]时，求该函数的值域；(2)若(2log 4x −2)(log 4x +12)<mlog 4x 对于x ∈[4,16]恒成立，求实数m 的取值范围． （提示：可用换元法）答案：(1)[−98,5](2)m >52解析：（1）令t =log 4x ，可得y =(2t −2)(t +12)，利用二次函数的性质即可求出；（2）令t =log 4x ，可得m >2t −1t −1在t ∈[1,2]上恒成立，求出y =2t −1t −1的最大值即可. (1)令t =log 4x ，x ∈[1,16]，则t ∈[0,2]，函数转化为y =(2t −2)(t +12)，t ∈[0,2]， 则二次函数y =(2t −2)(t +12)=2(t −14)2−98，t ∈[0,2]，当t =14时，y min =−98，当t =2时，y max =5，故当x ∈[1,16]时，函数的值域为[−98,5]．(2)由于(2log 4x −2)(log 4x +12)<mlog 4x 对于x ∈[4,16]上恒成立，令t=log4x，x∈[4,16]，则t∈[1,2]即(2t−2)(t+12)<mt在t∈[1,2]上恒成立，所以m>2t−1t−1在t∈[1,2]上恒成立，因为函数y=2t−1t −1在[1,2]上单调递增，所以最大值为52，故m>52时，原不等式对于x∈[4,16]恒成立．5、已知函数f(x)=x2−1−k|x−1|，k∈R．(1)若y=f(x)为偶函数，求k的值；(2)若y=f(x)有且仅有一个零点，求k的取值范围；(3)求y=f(x)在区间[0,2]上的最大值．答案：(1)k=0；(2)(−∞,−2]；(3)当k<3时最大值为−k+3；当k≥3时最大值为0.解析：（1）由y=f(x)为偶函数有f(−1)=f(1)，即可求k的值；（2）由题意f(x)=0有且仅有一个解，显然x＝1是该方程的解．则x+1−k=0(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且x+1+k=0(x＜1)无解，从而求得实数k的取值范围；（3）当x∈[0,2]时求出f(x)的分段函数的形式，其最大值只可能是f(0),f(2),f(1)其中之一，再由f(2)>f(0)，可得函数的最大值．(1)∵y=f(x)为偶函数，∴f(−1)=f(1)，即−2k=0，解得k＝0，经检验k＝0符合题意；(2)由题意得，方程x 2−1−k|x −1|=0有且仅有一个解，显然，x ＝1已是该方程的解，当x ≥1时，方程化为(x −1)(x +1−k)=0；当x ＜1时，方程化为(x −1)(x +1+k)=0； ∴x +1−k =0(x ≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且x +1+k =0(x ＜1)无解， 又x ＝1时，k ＝2，此时x ＝−3也是方程的解，不合题意，∴关于x 的方程x =k −1(x ≥1)、x =−(k +1)(x ＜1)均无解，可得k ＜2且k ≤−2， 综上，k ≤−2，即实数k 的取值范围为(−∞,−2]．(3)当x ∈[0,2]时，f(x) ={x 2+kx −k −1,0≤x ≤1x 2−kx +k −1,1<x ≤2， ∵y =f(x)在 [0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，∴最大值只可能是f(0),f(2),f(1)其中之一，又f(0)=−k −1，f(1)=0，f(2)=−k +3，显然f(2)>f(0)，∴当k ＜3时，所求最大值为f(2)=−k +3；当k ≥3时，所求最大值为f(1)=0．。
二次函数与一次函数的运算
二次函数与一次函数的运算引言：在数学中，函数是一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。
而二次函数和一次函数是我们最为熟悉的两种函数类型。
本文将探讨二次函数与一次函数的运算，包括加减乘除和复合运算等方面，以帮助读者更好地理解和应用这两种函数。
一、二次函数的定义和性质首先，我们来回顾一下二次函数的定义和性质。
二次函数是指形如f(x) = ax^2+ bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数的性质包括：顶点坐标、对称轴、开口方向、零点、判别式等等。
二、一次函数的定义和性质接下来，我们回顾一下一次函数的定义和性质。
一次函数是指形如f(x) = kx +b的函数，其中k、b为常数，且k ≠ 0。
一次函数的图像通常是一条直线。
一次函数的性质包括：斜率、截距、零点等等。
三、二次函数与一次函数的加减运算现在，我们来讨论二次函数与一次函数的加减运算。
假设有二次函数f(x) =ax^2 + bx + c和一次函数g(x) = kx + b。
它们的加法运算可以表示为h(x) = f(x) +g(x)，即h(x) = (a + k)x^2 + (b + b)x + (c + b)。
同理，减法运算可以表示为h(x) = f(x) - g(x)，即h(x) = (a - k)x^2 + (b - b)x + (c - b)。
通过这样的运算，我们可以得到一个新的二次函数。
四、二次函数与一次函数的乘法运算接下来，我们来研究二次函数与一次函数的乘法运算。
假设有二次函数f(x) =ax^2 + bx + c和一次函数g(x) = kx + b。
它们的乘法运算可以表示为h(x) = f(x) *g(x)，即h(x) = (ak)x^3 + (bk + ak)x^2 + (bk)x + (bc)。
通过这样的运算，我们可以得到一个新的三次函数。
五、二次函数与一次函数的除法运算现在，我们来探讨二次函数与一次函数的除法运算。
知识讲解_ 一次函数和二次函数
一次函数和二次函数【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。
【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．②用运动的观点理解斜率k ．函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．②b 的取值范围：b ∈R ．③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．一次函数(0)y kx b k =+≠图象性质单调性奇偶性k ＞0b ＝0增函数 奇函数b ≠0增函数 非奇非偶函数k ＜0 b ＝0减函数 奇函数b ≠0减函数 非奇非偶函数．(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．(3)图象的特点：①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ<g ，则在(,)αβ内必存在一点x 0使0()0f x =．要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2(0)y ax a =≠的图象和性质关于二次函数2(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值y ＝ax 2(a ＞0)向上 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是减函数，在区间[0,)+∞上是增函数当x ＝0时，min 0y =y ＝ax 2(a ＜0)向下 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上是减函数当x ＝0时，max 0y =要点诠释：函数2(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；(2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象a ＞0a ＜0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线2b x a =-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称轴是直线2b x a=-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是减函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是增函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数 抛物线有最低点，当2bx a=-时， y 有最小值，2min44ac b y a-=抛物线有最高点，当2bx a=-时， y 有最大值，2max44ac b y a-=(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为：2224()24b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭．其中2bh a=-，244ac b k a -=．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．3．二次函数的解析式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠．(2)顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k )．(3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠g ，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标． 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，且a ≠0．③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数2y ax bx c =++的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i )先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii )求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点．当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线2y ax bx c =++都可转化为2()y a x h k =-+的形式，都可由2y ax =的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于2y ax bx c =++，通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，再对2()y a x h k =-+进行研究．一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是244ac b a -；当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是244ac b a-．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知(4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴为2a bx +=． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t -a ，∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-．要点三、待定系数法 1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组；②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。
高一数学函数题型及解题技巧总结
高一数学函数题型及解题技巧总结1. 函数概述在高一数学学习中，函数是一个重要的概念。
函数描述了自变量和因变量之间的关系，并在各个数学领域中被广泛应用。
通过掌握各种函数题型及解题技巧，我们能够更好地理解和运用函数，提升数学解题能力。
2. 一次函数一次函数是最基础的函数之一，形式为y=ax+b。
其中a表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距。
在解一次函数的题目时，可以利用函数的定义、斜率和截距等性质来求解。
此外，还需要注意直线与x轴和y轴的交点，以及直线与其他线段的关系。
3. 二次函数二次函数是一个抛物线，通常由形式为y=ax^2+bx+c的方程表示，其中a、b、c为常数且a≠0。
解题时需要掌握二次函数的性质和基本特征。
例如，抛物线的开口方向由a的正负确定，顶点的坐标可以通过求解x的值来确定。
4. 指数函数和对数函数指数函数和对数函数是一对互为反函数的特殊函数。
指数函数形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
对数函数形式为y=loga(x)，表示以a为底，x的对数。
在解题时，需要掌握指数函数和对数函数的定义、性质和常用公式。
例如，指数函数与对数函数之间的关系可以帮助我们快速求解方程。
5. 三角函数三角函数是解析几何和三角学的重要内容。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解题时，需要熟悉三角函数的周期性、正负性和基本关系。
例如，利用正弦函数和余弦函数的和差化积公式可以简化复杂的三角函数表达式。
6. 分段函数分段函数在解决实际问题和图像绘制中起到重要作用。
分段函数由多个不同的函数组成，每个函数在一定的区间内有效。
解题时需要找到各个区间的特点，并且针对不同区间使用相应的函数表达式。
7. 综合题型高一数学中的函数题往往是综合性的，要求综合运用多个函数的知识和技巧进行分析和求解。
这种题型常常需要从不同的角度考虑问题，运用多种函数的特性及相关知识，找到问题的关键点并进行适当的变换和求解。
总结：在高一数学学习中，函数题型及解题技巧是数学学习的核心内容之一。
策略与技巧初中数学解题技巧解析二次函数与一次函数题
策略与技巧初中数学解题技巧解析二次函数与一次函数题策略与技巧：初中数学解题技巧解析解析二次函数与一次函数题初中数学对于很多学生来说是一个具有挑战性的科目。
尤其是在解决涉及二次函数和一次函数的问题时，很多学生常常感到困惑。
然而，只要我们掌握了一些解题的策略与技巧，就能更加轻松地应对这些题目。
在本文中，我们将探讨解析二次函数和一次函数题的一些实用技巧，帮助我们更好地理解和解决这类数学问题。
一、二次函数问题解析1. 确定函数的类型：先观察题目中给出的函数形式，判断是否为二次函数。
例如，当函数形式为y=ax^2+bx+c时，就可以判断为二次函数。
2. 求函数的导数：为了研究二次函数的凹凸性和最值等性质，我们需要求出函数的导数。
由于二次函数的导数仍然是一个一次函数，因此其求导的过程相对简单。
3. 找到顶点和对称轴：一般情况下，二次函数的顶点坐标对应着函数的最值。
通过求导可得到二次函数的对称轴，从而快速找到顶点的横坐标。
4. 求解方程：当涉及到求二次函数的零点时，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方式。
这些方法皆可根据具体情况选择使用，以达到最简解。
二、一次函数问题解析1. 确定函数的类型：先观察题目中给出的函数形式，判断是否为一次函数。
例如，当函数形式为y=kx+b时，就可以判断为一次函数。
2. 画出函数图像：通过给定的斜率k和截距b，我们可以确定一次函数的直线方向和位置。
将该直线绘制在坐标系上可以帮助我们更好地理解问题并得出解答。
3. 运用函数性质：一次函数在凸性、最值等方面没有二次函数那么复杂，因此可以直接考虑函数性质。
例如，当x的系数为正数时，函数图像将上升；当x的系数为负数时，函数图像将下降。
4. 运用直线性质：根据直线性质，我们可以利用两点的坐标或一点的坐标与直线的斜率来解题。
通过求解方程组或利用一元一次方程可以计算出未知数的值。
综上所述，解析二次函数和一次函数题需要掌握一些基本的策略与技巧。
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直线与二次函数解题方法闫萧寒博士提起中考倒数第二道大题——二次函数，很多同学可能就会觉得头疼。
二次函数大题一般二到三问，其中第一问送分题，计算一次函数解析式，或者计算点坐标；第二和第三问，考察学生知识的融合能力，以抛物线为几何载体的代数几何综合能力考察，涉及三角形、四边形的特殊图形动点问题，相似问题，图形判定以及面积计算等。
很多学生从第二问开始，有时候就是老虎吃天，无从下手，知识点，模型记了一大推，结果反而失去了自我思考自我总结的能力，题目稍微一新颖，稍微一灵活，稍微一难，他们不晓得该从哪个知识点下手了。
本文主要给正在上初三和即将升入初三的同学讲讲一条线的事儿，即直线在解决二次函数大题时的一些巧妙运用。
希望可以帮助大家，辨真去伪，直抓核心。
中考加油！【一条线的事儿·知识点篇】那些年，直线不可不知的秘密——精简核心版2.斜率和截距A.斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
B. 斜率计算：① ()② 已知直线上任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线斜率为212121()AB y y k x x x x -=≠-③ 已知直线的一般式：0Ax By C ++=，则 3. 两条直线位置关系（仅仅研究特殊情况：垂直和平行）已知直线111:l y k x b =+和222:l y k x b =+ A ． 若两直线垂直，则121k k =- B ． 若两直线平行，则1212,k k b b =≠ 4. 直线平移（关键）已知直线:l y kx b =+则与他平行的直线方程可设为：':l y kx c =+5. 两点距离公式已知平面内任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB d =6. 直线与二次函数交点和韦达定理2y kx m y ax bx c =+⎧⎨=++⎩联系化简得20Ax Bx C ++=，则韦达定理可知：1212B x x A C x x A⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 另外，① 方程组有两组不同的解时，直线与二次函数有两个交点; ② 方程组只有一组解时，直线与二次函数只有一个交点； ③ 方程组无解时，直线与二次函数没有交点7. 补充知识两个三角形面积相等： 等底等高三角形面积最大：定底边，令高最大即可。
8. 平行线间的对称（关键）已知直线11:l y kx b =+和:l y kx b =+则直线1l 关于直线l 对称的直线1l 的方程为22:l y kx b =+，其中212b b b =-【一条线的事儿·应用篇】面积有关的动点存在性问题：面积最值，面积相等1. (2009•陕西)如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥ OA,且OB=2OA,点A 的坐标是(﹣1，2). （1）求点B 的坐标；（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式；（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得S ⊥ABP =S ⊥ABO ．【解析】第一问考察三角形相似，第二问考察抛物线表达式求解。
第三问动点存在性问题，要求面积相等。
需要牢记两个三角形面积相等的条件——等底等高。
选公用边为底边，过另一点做底边平行线，再对称做一条即可。
充分利用直线对称平移的性质，简单题目，简单运用。
解：(1)过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ， 过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ， 则AF=2，OF=1 ∵ OA ⊥OB ，∴∠AOF+∠BOE= 又∵∠OBE+∠BOE= ∴∠AOF=∠OBE∴Rt △AFO ∽ Rt △OEB ∴∴BE=4,OE=2 ∴B(4,2)(2) 设过点A(-1,2)，B(4,2)，O(0,0)的抛物线表达式为2y ax bx c =++∴216420a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得，12320a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线表达式为：21322y x x =- (3)由题意可知，S ⊥ ABP =S ⊥ ABO又∵S ⊥ ABP=AB ·d ，S ⊥ ABO=AB ·AF 又∵AB//x 轴，∴满足题意的P 点为y=0和y=4这两条直线与抛物线的交点。
令y=0,即213022x x -=，得x=0或x=3 ∴(0.0)， (3,0)令y=4,即213422x x -=，得3412x ±=∴(，4)， (，4)2.如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥ x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与⊥ OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得⊥ DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． 【解析】第一问求解抛物线解析式，根据所给点，灵活选择设抛物线表达式的形式，两点式，顶点式还是一般式；第二问图形变换，找相似三角形，一般没有指明谁对应谁时，两三角形相似总计六种可能，但题目必然会通过定一角，将相似种类缩少到两种。
第三问便是咱们的一条线的事儿啦，采用三角形底一定，高最大，则面积最大。
而高最大的找法就是利用平行于底边的一条线，平移它可以发现，当它与抛物线有且仅有一个交点时，高最大。
解：(1) 设过点A （4，0），B （1，0）的抛物线表达式为(1)(4)y a x x =-- 又∵抛物线过C （0，﹣2）∴代入抛物线表达式得12a =-∴抛物线表达式为215222y x x =-+-（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，∵P 是抛物线AB 段上一动点，∴1＜m ＜4， 则P 点的纵坐标为，当1＜m ＜4时，AM=4﹣m ，． 又∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当时，△APM ∽△ACO ，即． 解得m1=2，m2=4（舍去），∴P （2，1）． ②当时，△APM ∽△CAO ，即．解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）∴当1＜m ＜4时，P （2，1）． 综上所述，符合条件的点P 为（2，1）；(3) ∵ ==AC ·d ，且AC 为定值∴d 取最大值时，面积最大即点D 到直线AC 的距离最大时，面积最大。
又∵过AC 的直线表达式为1:22AC l y x =- ∴设过点D 且平行于AC 的直线方程为12y x m =+联立21522212y x x y x m⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 化简得，212202x x m -+--=∵当有且仅有一个交点时，满足点D 到直线AC 的距离最大∴2420b ac m ∆=-== ∴m=0∴此时交点坐标为（2,1） ∴D 点坐标为(2,1)3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点Q ，使⊥ QMB 与⊥ PMB 的面积相等？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使⊥ RPM 与⊥ RMB 的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】第一问考察抛物线表达式求解； 第二问考察三角形面积相等，所以又是一条线的事儿。
只需找到平行于底边并且过点P 的直线以及这条直线关于底边对称的另一条直线就成。
第三问依然考察同学们对三角形面积相等的理解。
解：(1) 设过点A （-1，0），B （3，0）的抛物线表达式为(1)(3)y a x x =+- 又∵抛物线过C （0，3）∴代入抛物线表达式得1a =- ∴抛物线表达式为223y x x =-++(2) ∵，底取公共边MB∴待求点Q 到MB 的距离等于P 到MB 的距离即可又∵B （3，0），C （0，3）∴过BC 的直线表达式为:3BC l y x =-+D又∵点P是对称轴与抛物线的交点，∴P（1,4）∴过点P且平行于BC的直线方程为5y x=-+联立2235y x xy x⎧=-++⎨=-+⎩化简得，11x=，22x=∴(1,4)， (2,3)另一条符合题意的直线为1y x=-+联立2231y x xy x⎧=-++⎨=-+⎩化简得，11x=-，23x=∴(，)， (，)(3)由已知可得，M点坐标为直线BC与对称轴的交点联立13 xy x=⎧⎨=-+⎩∴M（1，2）又∵，底取公共边RM∴问题等价为点P到RM的距离等于点B到RM的距离。
取PB中点为N，∵P（1,4），B（3,0）∴N（2,2）过点M和点N的直线方程为：:2MNl y=联立2232y x xy⎧=-++⎨=⎩化简得，112x=+，212x=-（舍）∴R为（1+，2）N R。